Lista de Exercícios – 10
Matemática Financeira
Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b
por a/b ou a:b.
Exemplo:
Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o
número de moças. (lembrando que razão é divisão)
÷
÷
÷
÷
= (Indica que para cada 4 rapazes existe 5 moças)
= (Indica que para cada 5 moças existe 4 rapazes)
Lendo Razões
, lê - se, 2 está para 5 ou 2 para 5
Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.
Escala =
Medidadedesenho
Medidareal
Exemplo: Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm.
A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa.
As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm
Escala =
, =
Porcentagem
Toda a razão que tem um divisão por 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
7/100, 15/100, 125/100
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
= 0,07 = 7%
(lê-se "sete por cento")
= 0,16 = 16%
(lê-se "dezesseis por cento")
= 1,25 = 125%
(lê-se "cento e vinte e cinco por cento")
Exemplo:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
50% de 50 =
.50 =
= 25
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Exemplos:
Calcular 10% de 300.
10% de 300 =
. 3∅∅ = 30
∅∅
Calcular 25% de 200kg.
25% de 200 =
. 2∅∅ = 50
∅∅
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Exercícios resolvidos:
a) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas
faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
8% de 75 =
. 75 =
=6
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
b) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de
lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a
esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
250 + 250. = 300
2,5 x = 300 - 250
x= ,
x = 20
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Exercícios:
1) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?
2) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00
reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?
3) Em uma turma de Ciências da Computação formada de 40rapazes e 40 moças, tem-se a seguinte
estatística:20% dos rapazes são fumantes;30% das moças são fumantes.Logo, a porcentagem dos que não
fumam na turma é de:
4) Em um viveiro há várias araras.
N 60% das araras são azuis,
N 40% das araras são vermelhas,
N 40% das araras azuis têm bico branco,
N 30% das araras vermelhas têm bico branco.
Que porcentagem das araras do viveiro tem bico branco?
5) João recebeu um aumento de 10% e com isso seu salário chegou a R$1.320,00. O salário de João antes do
aumento era igual a?
6) Que número deve ser somado ao numerador e ao denominador da fração 2/3 para que ela tenha um aumento
de 25%?
7) 30% de 30% são:
8) Seu Antônio, um sujeito organizado e atento a promoções, decidiu pesquisar os preços de passagens aéreas,
após ler a seguinte manchete:
“As medidas tomadas para aumentar a concorrência no setor aéreo já tiveram efeito. Os preços das passagens
nacionais e internacionais baixaram. Esses preços podem ficar ainda menores se o consumidor se organizar.”
(O Globo, 12/05/2009)
Seu Antônio descobriu que certa empresa aérea estava operando o trajeto Florianópolis – São Paulo com um
desconto de 40% durante o mês de novembro, e que esta empresa oferecia ainda um desconto adicional de
10%, às segundas-feiras. Ele então decidiu viajar em uma segunda-feira de novembro para economizar R$
138,00, aproveitando esta promoção. O valor desta passagem, em reais, cobrado por esta empresa antes da
promoção, era igual a:
Juros Simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os
juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor
inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J=P.i.n
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros
simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Principal + Juros
M=P+J
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido
145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
Exercícios resolvidos sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234
2) Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular
diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital
aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
Exercícios:
9)O juro produzido por um capital de 5.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. durante 2 anos é
igual a:
a) 500,00
b) 1.200,00
c) 1.000,00
d) 800,00
e) 600,00
10) O juro de uma aplicação de 1.000,00 em 18 meses, se a taxa de juros é de 42% a.a. é de:
a) 720,00
b) 420,00
c) 756,00
d) 630,00
e) 1.200,00
11) A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a., para
que se obtenha 1.000,00 no fim de 4 anos é:
a) 320,00
b) 543,47
c) 238,09
d) 570,00
e)757,58
12) Um capital aplicado a 5% ao mês a juro simples, triplicará em:
a) 3 anos
b) 80 meses
c) 40 meses
d) 12 meses
e)50meses
13) Um principal de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 2,2% a.m., atingindo, depois de certo
período, um montante equivalente ao volume de juros gerados por outra aplicação de R$ 12.000,00 a 5% a.m.
durante 1 ano. O prazo de aplicação do primeiro principal foi de:
a) 10 meses
b) 20 meses
c) 2 anos
d) 1,5 ano
e)30 meses
14) A taxa de juros simples relativa a uma aplicação de R$ 10.000,00 por um período de 10 meses, que gera
um montante de R$ 15.000,00 é de:
a) 48% a.a.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 100% a.a. e)5% a.m.
15) Uma loja oferece um relógio por R$ 3.000,00 à vista ou 20% do valor à vista, como entrada, e mais um
pagamento de R$ 2.760,00 após 6 meses. A taxa de juros cobrada é de:
a) 30% a.a.
b) 1% a.d.
c)3% a.m.
d) 360% a.a. e) 12% a.a.
16)O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5
meses de aplicação?
17) Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$
1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo?
Juros Compostos
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de
problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros
do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para
n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
J=M-P
Exemplo:
1) Fernando empresta o capital inicial de R$ 4000,00 (quatro mil reais) para Pedro cobrando juros compostos
de 4% ao mês. Pedro prometeu pagar tudo após 5 meses. Qual será o valor que ele terá que pagar?
M = ? (é o valor que queremos saber)
C = R$ 4000,00
i = 4% /100 = 0,04
t=5
M = 4000 * (1 + 0,04)5
M= 4000 * (1,04)5
M= 4000 * 1,2165
M= 4866
Subtraindo o capital inicial do montante temos:
J = 4866 – 4000 = 866
Exercícios:
18) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um
ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?
19) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos:
a) 4% am e 6 meses
b) 8% at e 18 meses
c) 12% aa. e 18 meses
20)Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 à taxa efetiva de 15%
am?
21) Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ 100.000,00 daqui a 4 anos com o montante de
uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de:
a) 13% at
b) 18% aa
c) 14% as
d) 12% am
22) Um capital de R$ 51.879,31 aplicado por 6 meses resultou em R$ 120.000,00. Qual a taxa efetiva ganha?
Respostas:
1) 45%
2) 120 reais
3) 75%
4) 36%
5) R$1200,00
6) 3
7) 9%
8) 300
9)E
10)D
11)E
12)C
13)B
14)E
15) A
16)R$609,50
17) 4anos
18) Após um ano de aplicação receberei de volta um total de R$ 18.362,96, dos quais R$ 3.362,96 serão
recebidos a título de juros.
19) a) 4.428,62
b) 5.554,06
c) 4.148,54
20) 11 meses
21) a) 14.149,62
b) 51.578,89
c) 35.055,91
d) 434,05
22) 15 % am
Profº Leandro Colombi Resendo