Fundamentos da Matemática
Aula 09
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Aula 09: Razão e proporção
Objetivo: razão e proporção são usadas para a compreensão de conceitos
matemáticos tanto nas questões numéricas como naquelas envolvendo medidas e
geometria. Proporcionalidade é um conceito das mais diversas áreas de
conhecimento. Vamos conhecê-lo em seus diferentes enfoques, no sentido de
pensar a proporcionalidade como um assunto cujo aprendizado vai além das
situações puramente técnicas – como é o caso da resolução da regra de três – e
que pode estruturar o estudante a resolver problemas nas diversas áreas de
conhecimento com compreensão, significado e habilidade.
A razão de duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números
que expressam as suas medidas racionais, consideradas na mesma unidade.
Grandezas são características dos objetos possíveis de serem comparadas e cujas
medidas podem ser adicionadas, subtraídas ou divididas uma pela outra. A razão é
uma forma de divisão.
Razão é a divisão ou relação entre duas grandezas. Razão de um número a
para um número b, sendo b diferente de zero, é o quociente de a por b.
a: b ou
a
b
O número a é chamado de antecedente, e o b de consequente.
Assim, o conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre
dois números. Por exemplo, para saber quantas vezes o número 100 é maior do que
o número 2 (ou, em outras palavras, qual a razão entre 100 e 2), procedemos da
seguinte forma:
100 : 2 = 50
Portanto, o número 100 é 50 vezes maior do que o número 2. A razão é a
relação entre duas grandezas que já estão relacionadas, é uma divisão entre dois
valores. Um exemplo é a razão entre um perímetro e a medida de um lado de um
triângulo: a razão seria o perímetro dividido pela medida do lado.
Podemos dizer que uma razão entre dois valores é o mesmo que uma fração.
Uma razão é o quociente (divisão) entre dois valores em uma mesma unidade de
grandeza.
Vamos analisar alguns exemplos para entender o que é razão.
Exemplos:
1) A razão de uma taxa percentual é a razão entre um número e 100.
Taxa percentual =
número
100
2) Em uma cidade, há cerca de 2.000 pessoas, e, dessas pessoas, 800 são
mulheres. A razão entre as mulheres e a quantidade total de pessoas é dada
por:
800 : 2.000 ou
800
2000
3) Um time de futebol fez 15 gols em uma partida, e 8 gols foram realizados pelo
jogador Leandro. A razão entre os gols de Leandro e os pontos da equipe toda é
de:
8 : 15 ou
8
15
4) O peso de Alberto é 80 kg, e o de Valmir é 60.000 g. Qual a razão entre seus
pesos?
Devemos transformar primeiro as grandezas na mesma unidade de medida:
60.000 g = 60 kg
Assim,
80 4
4
= e, portanto, a proporção entre as igualdades é de .
60 3
3
5)
Se numa classe tivermos 40 meninos e 30 meninas, qual a razão entre
o número de meninos e o número de meninas?
A razão entre meninos e meninas é de:
4
3
Proporção entre razões
A proporção é a igualdade entre razões.
Duas razões são proporcionais quando o produto dos extremos for igual ao
produto dos meios. Esse enunciado é conhecido também como a propriedade
fundamental das proporções: multiplicação em X.
Podemos equacionar essa propriedade da seguinte forma:
a c
 , multiplica-se em “X” e obtemos a.d = b. c
b d
Exemplo:
1) Temos duas maneiras de representar a divisão de duas frações, como:
1:2=3:6
ou
1 3

2 6
Agora vamos multiplicar em “X”
a fração:

1.6 = 2.3

Ao efetuarmos o cálculo, temos: 1 . 6 = 6 e 2 . 3 = 6
As duas multiplicações resultaram em 6, portanto, existe proporção entre
essas duas frações.
2) Meu carro faz 13 km por litro de combustível, então para 26 km preciso de 2
L, para 39 km preciso de 3 L, e assim por diante.
1ª situação:
2ª situação:
, logo formam uma proporção.
Observe a igualdade:
Se você multiplicar em cruz, o resultado será o mesmo:
26 . 3 = 2 . 39 = 78
Numa proporção, quando multiplicamos em cruz, o resultado é o mesmo.
Mas, além dessa propriedade, temos outras que serão muito úteis.
Numa proporção, quando somamos termo a termo:
, a razão se mantém.
Numa proporção, quando subtraímos termo a termo:
, a razão se mantém.
Dadas as proporções:
REFERÊNCIAS
IEZZI, Gelson et al. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 2003.
JMPIRES.
Sistemas
de
equações
do
1º
grau.
Disponível
em:
<http://jmpmat1.blogspot.com/>. Acesso em: 23 mai. 2001.
MEDEIROS et al. Matemática Aplicada aos cursos de Administração, Economia e
Ciências Contábeis. v. 1. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2000.
MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O.; HAZZAN, Samuel. Cálculo. Função de
uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.