Métodos Iterativos de Minimização aplicados ao Problema de
Interpolação por Krigagem
Alexandre D. Scatolon*, Márcio Cardim, Marcio C. Fenille, Edmila Montezani
Depto de Matemática, FCT, UNESP,
19060-900, Presidente Prudente, SP
E-mail: [email protected] , [email protected]
1
γ ( h) =
2 N ( h)
N
i =1
[ z ( x i ) − z ( x i + h)] 2
Sendo o semivariograma crescente, é detectada a
Dependência Espacial. A seguir, ajusta-se para este
um modelo matemático utilizado para determinar os
pesos λ i que, através da combinação linear com os
dados observados, irá estimar valores não
amostrados. Este processo dá origem ao sistema de
equações lineares:
Aλ = b
(1.1)
Onde A ∈ R n×n é uma matriz simétrica, esparsa e de
alta dimensão, e λ é o vetor determinado pelos
pesos λ i . O valor da variável Z num ponto x 0
pode ser estimado pela equação:
Z * (x 0 ) =
n
i =1
λi Z (xi )
Uma forma de resolver o sistema linear (1.1) é
aplicar métodos iterativos de minimização, os quais
têm como princípio minimizar a forma quadrática:
q (λ ) =
1
λ , Aλ − λ , b
2
De modo geral, dado uma aproximação inicial λ1
escolhemos uma direção v i e uma distância α i na
direção v i
para obter uma nova aproximação
λ i +1 = λi + α i v i . Escolhendo v i = ∇q(λ i ) temos um
método conhecido como Descida Máxima. No
método do Gradiente Conjugado, buscamos a
*
Bolsista de Iniciação Científica CNPq.
solução do sistema construindo uma seqüência de
vetores A-ortogonais, ou seja, v j , Av i = 0, i ≠ j.
Logo, ficamos com o seguinte algoritmo: dado λ1 , até
convergir, façamos v1 = r1 = b − Aλ1 ,
α i = v iT r / v iT Av i ,
λ i +1 = λi + α i v i , ri +1 = ri − α i Avi ,
β i = −v Ari +1 / v iT Av i ,
vi +1 = ri +1 + β i vi
T
i
O método do Residual Conjugado apresenta-se como
uma derivação do Gradiente Conjugado, construindo
agora uma seqüência de vetores chamados A T A ortogonais, isto é, Av j , Av i = 0, i ≠ j.
Resolvendo o sistema linear (1.1) pelos métodos
expostos podemos observar que, de modo geral, o
Gradiente Conjugado converge mais rapidamente do que
os outros métodos. Para n suficientemente grande, o
método da Descida Máxima diverge, sendo neste caso,
necessário aplicar pré-condicionamentos para obter uma
convergência do método.
Número de Iterações dos Métodos
Iterações
A geoestatística trabalha com determinados
fenômenos que carregam consigo uma variabilidade
espacial contínua no espaço e no tempo, conhecida
como Dependência Espacial. Sendo verificada esta
propriedade, é possível estimar valores da variável
em estudo através do processo de Interpolação por
Krigagem em qualquer posição do campo amostral.
A Krigagem consiste em calcular as semivariâncias
dos valores observados, analisadas pelo gráfico do
semivariograma, definido por:
100
80
60
40
20
0
0
50
100
150
200
Dimensão da matriz
Descida Máxima
Residual Conjugado
Gradiente Conjugado
Figura 1: Gráfico do número de iterações dos métodos
Referências
[1] G. H. Golub & G. A. Meurant, Résolution
numérique des grands systèmes linéaires, Ed.
Eyrolles (1983).
[2] R. W. Freund et al., Iterative solution of linear
systems, Acta Numerica 1 (1992) 57-100.
[3] D. G. Krige, A statistical approaches to some basic
mine evaluation problems on the Witwatersrand, J.
Chem. Metall. Min. Soc. S. Afi., 52 (1951) 119-139.