Questões para Simulado Discursivo 3 de FGV - 2o sem. de 2015 − Resoluções
QUESTÃO 1
1 0 1
Considere a matriz A =  k 1 3  , onde k é um número real. Ela será
1 k 3


singular se e somente se todos os possíveis valores de k também forem raízes
do polinômio P(x) = x³ + ax² + bx − 6. Então pede−se:
A) os valores de a e b.
B) as raízes de P(x).
A) a matriz é singular ↔ det A = 0
→ 3 + k² − 1 − 3k = 0
→ k² − 3k + 2 = 0
→ k = 1 ou k = 2 são raízes de P(x)
Logo: P(1) = 0 → 1 + a + b − 6 = 0 → a + b = 5
e P(2) = 0 → 8 + 4a + 2b − 6 = 0 → 2a + b = −1
Resolvendo os sistema, temos: a = −6 e b = 11
B) Por Girard, temos que o produto das raízes de P(x) é dado por:
P = x1 . x2 . x3 = 6 → 1.2.x3 = 6 → x3 = 3.
Logo, as raízes pedidas são 1, 2 e 3.
QUESTÃO 2
Em uma fábrica de automóveis, o custo (em milhares de reais) de produção
de x unidades de certo modelo é dado pela função f(x) = x + x + 1070.
Estima-se que são fabricadas x = 6.t unidades durante t dias de trabalho.
A) Qual é o custo médio de cada unidade produzida nos primeiros 24 dias de
trabalho, aproximadamente?
B) Quantos meses de trabalho são necessários para que o custo de produção
atinja exatamente o valor de 2 milhões de reais?
A) t = 24
→ x = 6.24 = 144
→ f(144) = 144 + 144 + 1070 = 1226 mil = 1,226mi
1, 226
Logo, o custo médio é:
= 8513,8888… ≈ 8514 reais.
144
B) f(x) = 2000
→ x + x + 1070 = 2000
→ x + x = 930
→ x = 900
→ 6.t = 900
→ t = 150 dias
→ t = 5 meses.
QUESTÃO 3
A fila para entrar em uma balada é encerrada `as 21h e, quem chega
exatamente nesse horário, somente consegue entrar `as 22h, tendo que
esperar uma hora na fila. No entanto, quem chega mais cedo espera menos
tempo: a cada dois minutos de antecipação em relação `as 21h que uma
pessoa consegue chegar, ela aguarda um minuto a menos para conseguir
entrar. Se uma pessoa não quiser esperar nem um segundo na fila, qual é o
horário máximo que ela deve chegar? Justifique.
De acordo com o texto, temos:
Tchegada (h)
21:00
20:58
20:56
20:54
…..
x
Tespera (min)
60
59
58
57
…..
0
Tentrada (h)
22:00
21:57
21:54
21:51
…..
x
Note que:
para cada redução de 1 minuto na coluna do meio, temos um recuo de 2
minutos na 1ª coluna, então para não esperar sequer 1 minuto, a pessoa deve
diminuir 60 minutos na coluna do meio ou 120 minutos na 1ª coluna, isto é,
chegar 2 horas mais cedo, exatamente às 19h.
QUESTÃO 4
 3 1
 2
2
,
No plano cartesiano, são dados os pontos M 
,  , N(−1, 0) e P 

2 
 2
 2 2
sobre a circunferência de centro na origem e raio 1. Determine a medida do
ângulo MPN.
De acordo com o texto, temos a seguinte figura correspondente:
o
150
M
o
30
A(1,0)
N(-1,0)
O
o
75
45
P
Logo, o ângulo pedido mede 75°.
QUESTÃO 5
A figura abaixo mostra parte do gráfico do polinômio de coeficientes reais
P(x) = x³ + α.x² + β.x + γ, onde se veem dois de seus zeros: x1 = −2 e x2 = 1.
y
Sobre P(x) responda e justifique:
A) P(x) possui alguma raiz não real?
B) Qual é o valor de γ?
C) Qual é o valor de x3, que é
o outro zero de P(x)?
D) Quais são os valores de α e β?
6
−2
1
x
A) o Polinômio P é do 3º grau, então possui 3 raízes complexas, isto é, reais
ou imaginárias.
Como todos os seus coeficientes são reais então, pelo Teorema das Raízes
Imaginárias, P possui todas as três raízes reais ou apenas uma delas é real.
Mas, pela parte de seu gráfico exibida, vemos que duas de suas raízes são
reais (x1 = −2 e x2 = 1). Logo, a 3ª raiz (x3) de P(x) só pode ser real.
Portanto, P(x) não possui raiz imaginária ou não real.
B) De acordo com o gráfico, o termo independente de P(x) é a ordenada do
intercepto vertical, γ = 6.
C) Pelo produto das raízes de Girard, temos:
x1 . x2 . x3 = − γ
→ −2.1.x3 = − 6
→
x3 = 3
D) Pelas demais relações de Girard:
soma: S = x1 + x2 + x3 = − α
→ −2 + 1 + 3 = − α
→ α = −2
mista: M = x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = β
→ −2.1 + (−2).3 + 1.3 = β
→ β = −5
QUESTÃO 6
Várzea Pequena é um município com apenas 870 habitantes. Num belo dia,
passa por ela um visitante com uma fofoca "muito quente" sobre o prefeito
da cidade. Imediatamente a notícia corre pela comunidade de modo que após
t dias da apresentação da novidade, exatamente P moradores de Várzea
Pequena já tomaram ciência do fato. Sabe−se que:
P(t) = 870.(1 − e−0,049.t)
Então pede−se:
A) qual é a porcentagem da população da cidade que ficou sabendo da notícia
1 mês após a divulgação da fofoca? aproxime por um número inteiro.
B) qual é o número mínimo de dias necessários para que ao menos a metade
da população de Várzea Pequena fique sabendo dessa nova informação?
Se necessário considere que ln 2 = 0,69 e ln 4,35 = 1,47
A) T = 1 mês
→ t = 30
→ P(30) = 870.(1 − e−0,049.30)
→ P(30) = 870.(1 − e−1,47),
mas ln 4,35 = 1,47 → e1,47 = 4,35 =
100
)
435
335
→ P(30) = 870.(
)
435
435
100
→ e−1,47 =
100
435
→ P(30) = 870.(1 −
→ P(30) = 670 habitantes ou
670
.100% = 77%
870
B) 870.(1 − e−0,049.t) ≥ 435
→ 1 − e−0,049.t ≥ ½
→ e−0,049.t ≤ ½
→ ln e−0,049.t ≤ ln ½
→ −0,049.t ≤ ln 2−1
→ −0,049.t ≤ − ln 2
→ −0,049.t ≤ − 0,69
0, 69
→t≥
= 14,08 dias
0, 049
Portanto, o número mínimo de dias necessários é 15.
QUESTÃO 7
A) João criou uma sequência de inteiros positivos seguindo as três regras abaixo.
Começando com um inteiro positivo, ele aplica ao resultado a regra apropriada,
dentre as abaixo relacionadas, e continua sempre desta forma.



Regra 1: Se o inteiro for menor do que 10, multiplica-o por 9.
Regra 2: Se o inteiro for par e maior do que 9, divide-o por 2.
Regra 3: Se o inteiro for ímpar e maior do que 9, dele subtrai 5.
Qual é o 2016o termo da sequência que começa com 98? Justifique.
Começando por 98, a seqüência obtida é:
98 → 49 → 44 → 22 → 11 → 6 → 54 → 27 → 22 → 11 → 6 → 54 → 27 → …
Logo, retirando os três primeiros termos da sequência, ela se repete
indefinidamente de 5 em 5 termos. Então para se obter o termo pedido,
temos:
2016 − 3 = 2013 e 2013 dividido por 5 dá quociente 402 e resto 3, o que
corresponde ao 3º termo do período de repetição, isto é, o 6.
B) A figura mostra os quatro primeiros termos da sequência dos números
piramidais de base quadrada.
Determine o quinto, o sexto e o sétimo termos da sequência.
Note que:
a1 = 1 = 1
a2 = 5 = 1 + 4
a3 = 14 = 1 + 4 + 9
a4 = 30 = 1 + 4 + 9 + 16
isto é, cada termo an é dado pela soma dos n primeiros quadrados perfeitos.
Logo:
a5 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
a6 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91
a7 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140
QUESTÃO 8
Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui três
sabores de sorvete: chocolate, morango e uva. De quantos modos diferentes ele pode
fazer a compra?
Sejam:
x … o número de bolas de chocolate compradas, x ϵ IN, 0 ≤ x ≤ 4
y … o número de bolas de chocolate compradas, y ϵ IN, 0 ≤ y ≤ 4
z … o número de bolas de chocolate compradas, z ϵ IN, 0 ≤ z ≤ 4
Logo:
x+y+z=4
3!
cujas soluções possíveis são: I. (4, 0, 0) →
=3
2!
II. (3, 1, 0) → 3! = 6
3!
III. (2, 1, 1) →
=3
2!
3!
IV. (2, 2, 0) →
=3
2!
Então o total de soluções é 3 + 6 + 3 + 3 = 15.
Portanto, ele tem 15 modos diferentes possíveis de fazer a compra do
sorvete.
QUESTÃO 9
Uma fábrica constrói dados com a forma de um tetraedro regular. A área de
uma face do dado é igual a 9 3 cm².
A) Qual é a soma das medidas das arestas de um dado?
B) As faces do dado são numeradas de 1 a 4. Lançamos dois desses dados.
Qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, da soma dos números das
faces visíveis ser um múltiplo de 5?
2
3
2
3
=9 3→ℓ=6
4
4
Um tetraedro possui 6 arestas, logo a soma das arestas pedida é 36.
A) A área do triângulo equilátero de lado ℓ é
. Logo
B) O total de resultados possíveis é 4.4 = 16
Quando um dado é lançado, uma de suas faces fica oculta (em baixo) e as
demais ficam visíveis e apresentam a soma SI, onde:
Face
oculta
1
2
3
4
Faces
visíveis
2, 3 e 4
1, 3 e 4
1, 2 e 4
1, 2 e 3
SI
9
8
7
6
Logo, 6 ≤ SI ≤ 9
Analogamente, para o 2º dado, temos: 6 ≤ SII ≤ 9
Então com o lançamento de 2 dados, temos que a soma total Stot = SI + SII,
onde:
12 ≤ Stot ≤ 18
Como a soma total tem que ser um múltiplo de 5, então só pode ser 15, isto é,
Stot = 15
Mas isto pode ocorrer em alguma dessas 4 possibilidades:
SI
9
8
7
6
Logo, a probabilidade pedida é
SII
6
7
8
9
4
= ¼ = 0,25 = 25 %
16
QUESTÃO 10
A figura abaixo mostra um retângulo de área 80 cm². Os pontos A, B, C e D são
médios dos lados do retângulo e os pontos M e N são médios dos segmentos
BC e CD.
Se uma pulga saltitante cair no retângulo em um dos seus pulos, qual é a
probabilidade dela repousar no triângulo sombreado?
Dê a resposta em porcentagem, apresentando duas casa decimais.
Dividindo o retângulo dado em 8 retângulos menores de lados b e h, temos:
C
|
N
H
|
M
=
=
D
B
=
=
A
Logo, 2b é a base e 4h é a altura do retângulo maior. Daí:
Aret = (2b) . (4h) = 80 → b.h = 10
A base MN do ∆AMN é também a base média do ∆BCD, isto é, MN = b e, a
altura do ∆AMN é AH = 3h.
Portanto a sua área vale
b.3h 3.b.h 3.10


= 15 cm²
2
2
2