UNIVERSIDADE DO MINHO
MÉTODOS NUMÉRICOS
ENGENHARIA
ELECTRÓNICA INDUSTRIAL e de
COMPUTADORES
EXERCÍCIOS TEÓRICO-PRÁTICOS
Ano lectivo de 2004/2005
Métodos Numéricos - L.E.E.I.C.
Exercícios
Erros. Solução de uma equação não linear
Folha 1
1. O resultado de uma operação não tem necessariamente o mesmo número de algarismos significativos do que as parcelas.
Comprove a afirmação, calculando
x+y
com x = 0.123 × 104 e y = 0.456 × 10−3 .
2. Para x = 0.433 × 102 , y = 0.745 × 100 e z = 0.100 × 101 , calcule usando aritmética
de três algarismos significativos
(a) x + y
y
(b)
x
(c) xz
Quantos algarismos significativos apresentam os resultados? Estime os erros de
arredondamento cometidos.
3. Calcule um limite superior do erro absoluto no cálculo da expressão
f (x, y, z) =
2xy
x2 + z
Sabendo que são usados os seguintes valores aproximados:
x = 3.1416 de π
√
y = 1.732 de 3
√
z = 1.4142 de 2
Estime também o erro relativo em f .
4. Determine através de métodos gráficos e por dois processos distintos, a localização
do zero da função
f (x) = x + ln(x).
5. A equação
1
f (x) ≡ 1 + (sec (x)) 2 − tg (x) = 0
surge na teoria das reacções nucleares e tem várias raízes. Calcule a raiz que pertence
ao intervalo [1, 1.5] usando um método iterativo que não precise do cálculo das
derivadas. Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado
para ε1 = ε2 = 0.05.
2
6. Baseado num trabalho de Frank-Kamenetski, em 1955, a temperatura no interior
de um material, quando envolvido por uma fonte de calor, pode ser determinada se
resolvermos a seguinte equação não linear em x:
√
e−0.5x
= 0.5L
0.5x
cosh(e )
Para L = 0.088, calcule a raiz da equação, usando um método que não recorra a
derivadas.
Tome como aproximação inicial o intervalo [−1, 0] e pare o processo iterativo quando
o critério de paragem for verificado para ε1 = 0.5 e ε2 = 0.1, ou ao fim de 2 iterações.
Nota: cosh(y) =
ey +e−y
2
7. Considere a equação não linear f (x) ≡ x + ln(x) = 0 que tem uma única raiz.
Sabe-se que esta pertence ao intervalo [0.5, 1.0].
(a) Determine uma aproximação a essa raiz através do método de Newton. Considere no critério de paragem ε1 = 0.005 e ε2 = 0.0005.
(b) Repita o processo, para o método de Newton, tomando agora x1 = 3.0. Que
conclusões pode tirar desta implementação?
8. Uma bola esférica de raio r = 10 cm feita de uma substância cuja densidade é
ρ = 0.638, foi colocada num recipiente com água. Calcule a distância x da parte
submersa da bola sabendo que
f (x) ≡
π (x3 − 3x2 r + 4r3 ρ)
=0
3
usando o método de Newton. Pare o processo iterativo quando o critério de paragem
for verificado para ε1 = ε2 = 0.001, ou ao fim de 3 iterações.
2000
y = 2552 − 30 x + x
2
3
1000
r = 10
0
x
5
10
15
20
-1000
9. Para a equação
x2 + 1 = 0
calcule as duas raízes complexas conjugadas, usando o método de Laguerre. Inicie o
processo iterativo com x1 = 0 e considere uma precisão de 10−6 . Repita o processo
com x1 = 2i.
3
10. Dada a função G (x) definida por um quociente de dois polinómios em x,
G (x) ≡
p1 (x)
3x + 2
≡ 3
,
p3 (x)
x + 5x2 + 11x + 15
pretende-se calcular os zeros do polinómio p3 (x). A equação polinomial p3 (x) = 0
tem duas raízes complexas e uma real.
Calcule as raízes complexas usando o método de Laguerre. Tome como aproximação
inicial o ponto x1 = 1 e pare o processo iterativo quando o critério de paragem for
verificado para ε1 = 0.01 e ε2 = 0.001.
4
Métodos Numéricos - L.E.E.I.C.
Exercícios
Sistemas de equações não lineares
Folha 2
1. Determine uma aproximação à solução do sistema não linear

µ
¶
x1 + x2


= 2x1
 sen
µ 2 ¶
x1 − x2


= 2x2
 cos
2
através do método iterativo de Newton. Considere como aproximação inicial o vector
(0, 0) e para o critério de paragem use os valores ε1 = 0.01 e ε2 = 0.005.
2. Considere o seguinte sistema de equações:
½ 2
3x +2y 2 = 35
.
4x2 −3y 2 = 24
Como se pode observar na figura o sistema tem 4 raízes. Utilize o método de
Newton para resolução de sistemas de equações não lineares para determinar uma
aproximação à raiz do 1o quadrante. Considere como aproximação inicial o ponto
(2.5, 2) e ε1 = ε2 = 10−1 ou no máximo 2 iterações.
3. Pensei em dois números x e y. O produto dos dois somado ao cubo do segundo é
igual a 3 e o logaritmo neperiano do segundo adicionado à metade do primeiro é 1.
Em que números pensei?
a) Formule o problema como um sistema de equações.
b) Resolva-o utilizando para aproximação inicial o ponto (1.9, 1.1). Apresente o
resultado obtido no final de uma iteração e a correspondente estimativa do
erro relativo.
4. Duas estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais
económica possível. O custo total de operação das duas estações é dado por
f (x1 , x2 ) = 0.1 + 0.01x1 x2 + 0.15x42 + 0.01x41 − 0.25(x1 + x2 − 100)
em que x1 é a energia fornecida pela primeira estação e x2 é a energia fornecida
pela segunda estação. Determine os valores de x1 e x2 por forma a minimizar o
custo total de operação das duas estações. Utilize como aproximação inicial o ponto
(2.0, 0.5) e ε1 = ε2 = 0.2 (uma iteração).
5
Métodos Numéricos - L.E.E.I.C.
Exercícios
Interpolação polinomial
Folha 3
1. Dada a tabela de valores de uma função f (x)
xi
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.8 1.0
f (xi ) 0
1
1
2
2
3
3
4
(a) Pretende-se aproximar f (0.6) usando um polinómio de grau 3. Use a fórmula
interpoladora de Newton baseada em diferenças divididas.
(b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior.
(c) Estime f (0.6) usando todos os pontos da tabela.
2. Considere a seguinte tabela:
x
−2 −1 0
0.25
1 2
f (x) −17 −1 1 1.421875 7 35
a. Construa a tabela das diferenças divididas (utilize nos cálculos 6 casas decimais).
b. Estime o valor de f (0.5) utilizando dois polinómios interpoladores de grau 3.
c. Comente os resultados obtidos.
3. Os registos efectuados numa linha de montagem são os seguintes:
no de unidades
1 3 4 6 7 10
horas necessárias 2 3 4 5 6 10
(a) Tendo sido recebidos pedidos para a montagem de 2 unidades e 8 unidades,
use interpolação quadrática para estimar o tempo (em horas) necessário para
satisfazer cada pedido.
(b) Estime os erros de truncatura.
(c) Use uma ’spline’ cúbica completa para estimar o tempo necessário para a montagem de 5 unidades.
(d) Estime o erro de truncatura.
4. A partir de uma experiência foram obtido os seguintes valores de y em função da
variável t:
ti
yi
−1 −0.96 −0.86 −0.79 0.22 0.5 0.93
−1 −0.151 0.894 0.986 0.895 0.5 −0.306
6
Foram calculados dois modelos, M1 (t) baseado numa ’spline’ cúbica e M2 (t) baseado
num polinómio interpolador de Newton, para aproximar os dados, e que estão representados na figura.
Diga justificando, a que modelo corresponde cada uma das linhas - a linha contínua
e a linha a tracejado.
5. A resistência de um certo fio de metal, f (x), varia com o diâmetro desse fio, x.
Foram medidas as resistência de 6 fios de diversos diâmetros:
xi
1.5 2.0 2.2 3.0 3.8 4.0
f (xi ) 4.9 3.3 3.0 2.0 1.75 1.5
Como se pretende estimar a resistência de um fio de diâmetro 1.75, use uma ’spline’
cúbica natural para calcular esta aproximação.
6. Num estudo realizado sobre a raduação emitida por raios Gama concluiu-se que a
dose varia com a posição (distância a um certo ponto). Da esperiência obteve-se a
seguinte tabela de valores de f (x) (dose):
posição 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0
dose
1.90 2.39 2.71 2.98 3.20 3.20 2.98 2.74
(a) Por várias razões não foi possível registar a radiação na posição 2.0. No entanto,
ela é precisa. Estime a informação que falta, usando uma aproximação baseada
numa ’spline’ cúbica completa..
(b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior.
7. Considere a função f (x) = sen(x)cos(x) dada pela tabela:
xi
0
sen(xi )cos(xi )
cos2 (xi ) − sen(xi )
−4sen(xi )cos(xi )
16sen(xi )cos(xi )
0
1
0
0
π π 3π
4
2
4
0.5 0 -0.5
0 -1
0
-2 0
2
8
0
-8
a. Construa
cúbica completa para aproximar f (x) no intervalo
¸ uma função³ ’spline’
·
π´
3π
. Estime f
.
0,
4
16
b. Calcule um limite superior do erro de truncatura cometido com a aproximação
da alínea anterior.
7
Métodos Numéricos - L.E.E.I.C.
Exercícios
Aproximação dos mínimos quadrados
Folha 4
1. De uma tabela de logaritmos obteve-se o seguinte quadro de valores:
xi
1 1.5
2
3
3.5
ln(xi ) 0 0.4055 0.6931 1.0986 1.2528
Calcule uma aproximação a ln(0.5), tendo como base o polinómio dos mínimos
quadrados de grau dois que melhor se ajusta aos pontos do quadro.
2. Um carro inicia a sua marcha num dia frio de inverno e um aparelho mede o consumo
de gasolina verificado no instante em que percorreu x Km. Os resultados obtidos
foram:
x
distância em Km
f (x)
l
consumo em Km
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
0.260 0.208 0.172 0.145 0.126 0.113
Construa um modelo quadrático, para descrever o consumo de gasolina em função
da distância percorrida, usando a técnica dos mínimos quadrados.
3. Pretende-se ajustar o modelo linear
M(x; c1 , c2 , c3 ) = c1 e−x + c2 x + c3
à função f (x) dada pela tabela
xi
−1 0 1
2
f (xi ) 1.4 0 0.75 2.3
no sentido dos mínimos quadrados. Determine os coeficientes do modelo apresentado. Apresente uma estimativa para f (0.5).
4. Considere a seguinte tabela matemática
xi
fi
0
2
4
−1.0 0.0 4.0
Qual dos modelos a seguir indicados ajusta melhor os dados da tabela, no sentido
dos mínimos quadrados?
i. p1 (x) = 1 + 1.25(x − 2)
ii. p2 (x) = 1 + 1.25(x − 2) + 0.37 [(x − 2)2 − 2.67]
x
iii. M(x; a, b) = −1.97 + 0.80e 2
8
5. A resistência de um certo fio (de uma certa substância), f (x), varia com o diâmetro
desse fio, x. A partir de uma experiência registaram-se os seguintes valores:
xi
1.5 2.0 3.0 4.0
f (xi ) 4.9 3.3 2.0 1.5
Foram sugeridos os seguintes modelos para ajustar os valores de f (x), no sentido
dos mínimos quadrados:
- uma recta
- o modelo linear: M (x, c1 , c2 ) =
c1
+ c2 x
x
(a) Calcule a recta.
(b) Calcule o modelo M (x) .
(c) Qual dos modelos escolheria? Justifique a sua escolha.
6. Em sistemas de transportes urbanos o preço das viagens depende da procura.
Quanto maior é a procura, x, mais baixo é o preço P (x) (em euros). Obtiveram-se,
no passado, os seguintes valores:
x
1
3
5
8
P (x) 1 0.75 0.5 0.5
Pretende-se construir um modelo do tipo
M (x; c1 , c2 ) = e−c1 x + c2
para descrever o comportamento de P (x). Usando a técnica dos mínimos quadrados,
calcule os coeficientes do modelo apresentado.
Use o método de Gauss-Newton e pare o processo iterativo quando o critério de
paragem for verificado para ε1 = ε2 = 0.1 (ou ao fim de uma iteração). Tome como
aproximação inicial o vector (c1 , c2 )(1) = (0.15, 0.15).
7. Muitos processos em engenharia são determinados através da medição de uma variável dependente (”output” do sistema) para um conjunto de valores da variável
independente (”input” do sistema). Dado o modelo matemático do processo, que
depende de um conjunto de parâmetros desconhecidos, o modelo é ajustado aos
dados, usando a técnica dos mínimos quadrados. Considere a função f (x) (variável
dependente) definida pela seguinte tabela
xi
fi
-1
0
1
2.7 1.0 0.4
Pretende-se, no sentido dos mínimos quadrados, ajustar o modelo
M (x; c1 , c2 ) = c1 e−c2 x
aos valores de f (x). Implemente uma iteração do método de Gauss-Newton e tome
como aproximação inicial o vector (1, 1).
9
8. Implemente o método iterativo de Gauss-Newton, com o objectivo de ajustar o
melhor possível o modelo não linear
M (x; c1 , c2 ) = c1 + sen (c2 x)
à função f (x) dada pela seguinte tabela de 3 pontos
xi
fi
-1
0
1
0.9 1.0 1.1
no sentido dos mínimos quadrados. Como aproximação inicial aos parâmetros considere o vector (1, 3). Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for
verificado para ε1 = ε2 = 0.02.
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Métodos Numéricos - L.E.E.I.C.
Exercícios
Optimização não linear sem restrições
Folha 5
1. Dada a função
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 4
determine os seus pontos extremos.
2. Dada a função f : IR3 → IR definida por
f (x1 , x2 , x3 ) = 5x21 + 2x22 + x43 − 32x3 + 6x1 x2 + 5x2
verifique que ela tem apenas um ponto estacionário. Classifique-o.
3. Considere a função
f (x, y) = 3x21 − x22 + x31
Mostre que:
(a) a função dada tem um máximo local em (−2, 0)T ;
(b) a função dada tem um ponto de sela em (0, 0)T ;
(c) a função dada não tem mínimos.
4. Mostre que qualquer ponto da linha x2 − 2x1 = 0 é um mínimo de f : IR2 → IR
definida por
f (x1 , x2 ) = 4x1 2 − 4x1 x2 + x22 .
5. Dada a função f : IR2 → IR definida por
f (x1 , x2 ) = x21 (1 − x1 )2 + x1 x2 .
Verifique se tem pontos máximos, mínimos e/ou de descanso.
6. A função f (x) definida por
f (x) = sen (x) tg (1 − x)
dá a posição de um ponto relativamente a um centro de coordenadas, como função de
um ângulo x. Pretende-se calcular o ponto mais alto dessa trajectória, no intervalo
[0, 1], isto é, o máximo de f (x). Use o método iterativo de Newton para calcular
um ponto estacionário e pare o processo iterativo quando o critério de paragem for
verificado para ε1 = 0.5 e ε2 = 0.1. Verifique se o ponto encontrado é máximo.
11
7. Dada a função f : IR → IR definida por
f (x) = x2 − x
calcule o seu mínimo usando o algoritmo de Davies, Swann e Campey (DSC),
baseado na interpolação quadrática. O processo iterativo deve ser iniciado com
o ponto x0 = 2.
Considere δ = 1, M = 0.5 e ε = 0.5.
8. Tendo como objectivo fabricar latas cilíndricas com um volume de 1000 cm3 e tapá-las
em ambas as extremidades, qual deverá ser o raio da base e a altura da lata de modo
a minimizar a quantidade de placa metálica, em termos de área superficial? Utilize
o algoritmo de DSC, baseado na interpolação quadrática, com o valor inicial r1 = 7,
δ = 0.5, ε = 0.1 e M = 0.5.
NOTA: Use a restrição do volume para eliminar uma das variáveis, por exemplo,
h = 1000
.
πr2
9. No circuito eléctrico que se apresenta na figura abaixo, a energia à saída da resistência R é dada por
P =
104 R
.
(R + 20)2
Determine o valor de R que maximiza a energia de saída, utilizando o método de
DSC baseado em interpolação quadrática.
Utilize como valor inicial R1 = 15, δ = 2, ε = 0.5 e M = 0.5.
10. Considere a função f : IR → IR definida por
½
/ [0, 2]
(x − 1)2 para x ∈
1
para x ∈ [0, 2]
Implemente o algoritmo de Davies, Swann e Campey (DSC), baseado em interpolação quadrática, fazendo x0 = 4, δ = 0.5 e M = 0.5.
11. Calcule o mínimo da função f (x) definida por
¡
¢
f (x1 , x2 ) = máx (x1 − 1)2 , x21 + 4 (x2 − 1)2
12
implementando o método de Nelder-Mead, tomando para conjunto inicial os vectores
µ ¶ µ ¶ µ ¶
1
0
1
e
,
0
0
1
e ε = 0.5.
12. No planeamento da produção de dois produtos, uma determinada companhia espera
obter lucros iguais a P :
P (x1 , x2 ) = 3(1 − e−1.2x1 ) + 4(1 − e−1.5x2 ) + (1 − e−x1 x2 ) − x1 − x2
em que x1 e x2 são respectivamente, as quantias gastas para produzir e promover
os produtos 1 e 2, em unidades de 105 euros.
Determine o máximo de P e os valores óptimos de x1 e x2 usando o método de
Nelder-Mead. O processo iterativo deve terminar quando o critério de paragem for
verificado para ε = 0.6, ou ao fim de duas iterações. Considere os seguintes pontos
iniciais:
(0.5, 0.5)T , (0.5, 2.0)T , (1.5, 0.5)T .
13. Três estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais
económica possível. Os custos individuais de operação de cada uma das estações
são dados por
f1 = 0.1 + 0.25x
f2 = 0.08 + 0.12y + 0.00125y 2
f3 = 0.05 + 0.09z + 0.001z 2 + 0.0001z 3
em que x, y e z são as energias fornecidas pelas três estações (em MW att). Determine os valores de x, y e z que minimizam o custo total se a energia total a ser
fornecida for de 100 MW att, recorrendo ao método de segurança de Newton.
Como valores iniciais use (y, z)(1) = (30, 50), no critério de paragem considere ε1 = ε2 =
ε3 = 0.5 e tome η = 0.0001. Como estratégia de procura unidimensional utilize o
algoritmo das repetidas divisões de α por dois.
NOTA: Use a restrição relacionada com a energia a fornecer, para eliminar uma das
variáveis, por exemplo, x = 100 − y − z.
14. Dada a função f : IR2 → IR definida por
f (x1 , x2 ) = −x21 − 6x22
calcule o seu máximo usando o algoritmo de segurança de Newton.
O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (1, −1) e deve terminar quando
o critério de paragem for verificado para ε1 = ε2 = ε3 = 0.5. Considere η = 0.0001.
Deve implementar o algoritmo das repetidas divisões de α por dois para calcular o
comprimento do passo α, em cada iteração.
13
15. A energia potencial de duas barras ligadas, como ilustra a figura, é dada por:
µ ¶2
µ ¶2
EA l
EA h
2
x1 +
x22 − P x1 cos(θ) − P x2 sen(θ)
f (x1 , x2 ) =
s 2s
s
s
em que E = 207 × 109 P a (modulus de Young), A = 10−5 m2 (área transeccional
de cada barra), l = 1.5m (distância entre as duas barras), s é o comprimento das
barras, h = 4m (altura da ligação), P = 104 N (força aplicada), θ = 0.523599 rad
(ângulo a que a força é aplicada) e x1 e x2 são respectivamente, a componente
horizontal e vertical da energia potencial no ponto de aplicação.
Calcule os valores de x1 e x2 que minimizam a energia potencial usando o método
de Segurança de Newton (η = 0.00001). Inicie o processo iterativo com o ponto
(0.2, 0.001). O processo iterativo deve terminar quando o critério de paragem for
verificado para ε1 = ε2 = ε3 = 0.001, ou ao fim de duas iterações.
16. Considere um circuito eléctrico em que existem duas resistências variáveis, R e X,
como se mostra na figura abaixo. O valor médio da energia do circuito é dado por
P =
104 R
.
(R + 20)2 + X 2
Determine os valores de R e X para os quais se obtém uma energia de saída máxima.
Use uma estratégia quasi-Newton e os valores iniciais (R, X)(1) = (10, 5) .
Utilize ainda o algoritmo das repetidas divisões de α por dois para determinar o
comprimento do passo α em cada iteração e no critério de paragem ε1 = ε2 = ε3 =
0.3.
14
Métodos Numéricos - L.E.E.I.C.
Exercícios
Equações diferenciais ordinárias
Folha 6
1. A disciplina de Métodos Numéricos do curso de Engenharia Electrónica Industrial
no ano lectivo 2002/03 tem 102 alunos inscritos. Inicialmente, um grupo de 10
alunos resolveu lançar o boato de que o exame iria ser cancelado. Em média cada
estudante conversa com outros colegas a uma taxa de 2 estudantes/hora, podendo
estes já saberem ou não da novidade. Se y representar o número de estudantes que
sabem do boato no instante de tempo t (horas) então a taxa de recepção do boato
é dada por:
dy
102 − y
= 2y(
).
dt
102
Utilizando o método mais adequado que estudou, calcule o número de estudantes
que após 2 horas tomou conhecimento do boato (use h = 1).
2. Considere o seguinte modelo de balanço de massa, num reactor químico misto
V
dc
= F − Qc − KV c2
dt
em que V é o volume (10m3 ), F é a alimentação (200 g/min), Q é o escoamento
(1m3 / min) e K é a razão da reacção (0.1m/g/min). No instante inicial a concentração c é nula. Utilize 2 etapas do método de Runge-Kutta de 2a ordem para
calcular a concentração c passado 1 minuto.
3. Considere a seguinte equação diferencial ordinária e respectiva condição inicial
y 0 (x) + y (x) |y (x)| = 0
y (0) = 1
Determine a sua solução numérica, considerando h = 0.5, através do método de
Runge-Kutta de 2a ordem, no intervalo [0, 2].
4. O seguinte sistema de equações diferenciais descreve a relação existente entre a
população de raposas, Nr , e coelhos, Nc , existentes numa determinada ilha, ao
longo do tempo

µ
¶
dNr (t)
Nr


+ Ar Nr Nc
= Gr Nr 1 −

dt
Mr¶
µ

 dNc (t) = Gc Nc 1 − Nc + Ac Nc Nr

dt
Mc
em que os coeficientes A correspondem ao termo de competição existente entre as
duas espécies, Gr e Gc a razão de crescimento de ambas as populações, Mr e Mc
são os limites de cada uma das populações. Considerando Gr = 0.02, Gc = 0.05,
Ar = 0.0001, Ac = −0.0004, Mr = 250 e Mc = 4000, estime a população de ambas
as espécies, ao fim de 10 anos, para populações iniciais iguais a 1000. Considere
h = 2.5.
15
5. O movimento de um certo mecanismo controlado é descrito pelas seguintes equações
diferenciais
½ 0
y1 (t) = y1 (t)(y1 (t) − 1.5) − sinal(1 + y2 (t))
0
y2 (t) = y2 (t)(1.5 − 2y1 (t))
onde t é o tempo e
y1 (0) = 1 e y2 (0) = b
Resolva numericamente as equações no intervalo [0, 1], com h = 0.5, usando o
método de Runge-Kutta de 2a ordem e b = −0.5.
Nota: A função sinal(z) é definida por:

 −1, se z < 0
0,
se z = 0
sinal(z) =

1,
se z > 0.
6. O desvio y(x) de uma viga com uma força distribuída ao longo de todo o seu
comprimento é representado pela seguinte equação diferencial
Fl
d2 y(x)
(L − x)2 = 0
−
2
dx
2EI
em que Fl é a carga distribuída, E é o módulo de elasticidade, I é o movimento de
inércia e L é o comprimento da barra.
Calcule o desvio na extremidade da viga (y(10)), sabendo que Fl = 150N/m, E =
7.2 × 109 Kg/m2 , I = 0.13 × 10−4 m4 e L = 10m.
dy(0)
= 0, tome h = 5m.
Considerando y(0) = 0 e
dx
7. A equação de Van der Pol é dada pela seguinte expressão
00
0
y − A(1 − y 2 )y + By = 0
Calcule pelo método de Runge-Kutta de 2a ordem uma aproximação a y(x) no in0
tervalo [0, 0.2], usando h = 0.1. Considere A = 0.1, B = 1, y(0) = 1 e y (0) = 0.
8. O movimento simples de um pêndulo pode ser descrito pela seguinte equação diferencial de 2a ordem:
d2 θ
g
sen(θ),
=
−
dt2
L
θ(0) = θ0 e
dθ
=0 .
dt
Considerando L = 1 m, g = 9.81 m/s2 e θ0 = π/10, calcule a posição θ no instante
de tempo t = 5 (considere um espaçamento h = 2.5).
16
9. Para cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais, coloque-os na forma
apropriada para a sua resolução numérica. Indique também os valores para iniciar
o processo numérico.
(a)
½
u00 + u0 v 0 = sen (x)
v 0 + v + u = cos (x)
com u (0) = u0 (0) = 0 e v (0) = 1.
(b)
½
y 00 − 4y + z 0 = 0
z 00 − 4y 0 + 2z = 0
com y (0) = z (0) = 0 e y 0 (0) = z 0 (0) = 1.
17
Métodos Numéricos - L.E.E.I.C.
Exercícios
Integração numérica
Folha 7
1. Foram registados os consumos, f (xi ), de um aparelho em determinados instantes,
xi (em segundos):
xi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 3.6 6.6 9.6 9.8 10
f (xi ) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.6 0.6 0.6 0.7 0.8
Calcule o consumo total ao fim de 10 segundos.
2. A função F (t) surge na determinação da tensão à superfície de um líquido que rodeia
uma bolha esférica de gás:
Z t
P (x)
F (t) =
dx para 0 ≤ t ≤ 1
0 Q(x)
em que
P (x) = 3 + 3x + x2
Q(x) = 3 + 6x + 6x2 + 2x3
Determine F (1) considerando apenas os seguintes valores de x no cálculo do integral
0, 0.25, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0
3. Considere a seguinte tabela de valores da função P (x) :
xi
0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7
1
P (xi ) 0 0.1 0.2 0.29 0.46 0.61 0.79
(a) Calcule a melhor aproximação ao integral
Z 1
sen (xP (x)) dx
0
usando toda a informação da tabela.
(b) Estime o erro de truncatura cometido no intervalo [0.7, 1] com a aproximação
da alínea anterior.
4. O comprimento do arco da curva y = f (x) ao longo do intervalo [a, b] é dado por
Z bq
1 + (f 0 (x))2 dx.
a
Calcule uma aproximação numérica ao comprimento do arco da curva f (x) = e−x
no intervalo [0, 1], usando 5 pontos igualmente espaçados no intervalo.
18
5. A função distribuição normal acumulada é uma função importante em estatística.
Sabendo que
Z z
2
1
e−x /2 dx
1 + √2π
Z z
1
2
−z
.
e−x /2 dx =
F (z) = √
2
2π −∞
Calcule uma estimativa de F (1), usando a fórmula composta do trapézio com 5
pontos no cálculo do integral.
6. A resposta de um transdutor a uma onda de choque causada por uma explosão é
I(a)
dada pela função F (t) = 8e−t
para t ≥ a, em que
π
Z 2
eax
f (x, a)dx
com f (x, a) =
I(a) =
x
1
Calcule I(1) usando a fórmula composta do trapézio com erro de truncatura inferior
a 0.05.
7. Considere o seguinte integral
I=
Z
1
x2 ex dx.
0
Calcule uma aproximação ao integral I obtida a partir da fórmula composta do
trapézio, de tal forma que o erro (de truncatura) cometido, em valor absoluto, não
exceda 0.005.
8. Determine uma aproximação ao valor do integral definido
¶
Z 1µ
1
2
x +
dx
x+1
0
através da fórmula de Simpson, com um erro de truncatura, em valor absoluto,
inferior a 0.0005.
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