CIRCUITOS ELÉTRICOS II
Prof.: Helder Roberto de O. Rocha
Engenheiro Eletricista
Doutorado em Computação
Circuitos com Dois Indutores
Obter a corrente de malha i2 do circuito abaixo.
2
12 4 (1)
1 4 0 → 4 2
4 1
4 (2)→ 1 2
4
12
4
10
16 2
4 Circuitos com Dois Indutores
Equação diferencial de 2ª ordem
10
16 2
Circuitos de 2ª ordem normalmente possuem 2 elementos
armazenadores de energia.
Existem exceções em que circuitos com dois elementos
armazenadores são de 2ª ordem. Exemplo:
Eq. nodais
Equações de 2ª Ordem
onde os ai são constantes reais.
Solução da equação:
A resposta completa é igual a soma da resposta natural com
a resposta forçada.
x deve conter também duas constantes arbitrárias para
satisfazer as duas condições impostas pela energia inicial
armazenada em cada um dos elementos armazenadores.
Equações de 2ª Ordem
Resposta Natural Xn
Resposta quando f(x) = 0, ou seja, a resposta deve satisfazer
a equação:
!
!
0
Como cada termo da equação contém xn, no mesmo grau, o
membro da direita pode ser assumido como 0xn (equação
homogênea).
Equações de 2ª Ordem
Resposta forçada Xf
A resposta deve satisfazer a equação:
"
"
Somando as duas equações e rearranjando os termos,
obtemos:
resposta natural = solução complementar
resposta forçada = solução particular
Equações de 2ª Ordem
Resposta Natural Xn
Resposta natural deve satisfazer a equação:
0
Evidentemente a função x = xn deve ser tal que esta não
mude de forma quando diferenciada. Ou seja, a função, sua
1ª derivada e sua 2ª derivada devem ter todas a mesma
forma.
Possível solução: #$ %
A e s são constantes a serem determinadas.
Equações de 2ª Ordem
Resposta Natural Xn
Mostre que # $ & e # $ &' são soluções de:
Exemplo:
5
6 0
Substituindo # $ & na expressão acima resulta:
# $ &
# $ &
& 0
5
6
#
$
Equações de 2ª Ordem
Substituindo #$ % na equação homogênea, obtemos:
#$ % #$ % % 0
#$
#$ % ) ) 0
Como #$ % não pode ser 0, pois isto faria 0, então
) ) 0
∓ 4
)
2
Conhecida com a equação característica e sua solução é:
# $ % # $ % Portanto, temos duas soluções naturais:
Equações de 2ª Ordem
# $ % # $ % é uma solução geral da equação homogênea, quando s1 e s2
são raízes distintas da equação característica.
10
16 0
Exemplo: equação homogênea
Equação característica:
) 10s 16 0
As raízes são s1 = -2 e s2 = -8.
E a solução geral é:
# $ & # $ &,
Equações de 2ª Ordem
Tipos de Frequências Naturais
As freq. naturais são as raízes da equação característica,
portanto, elas podem ser reais, imaginárias ou complexas.
Raízes Reais e Distintas: Caso Superamortecido
# $ % # $ % Raízes Complexas: Caso Subamortecido
x. A e12345 A e1&345
e15 6A A cosβtA A senβt<
# # $ %
Raízes Reais e Iguais: Caso de Amortecimento Crítico
Equações de 2ª Ordem
Resposta Forçada Xf
A resposta forçada xf de um circuito genérico de 2ª ordem
deve satisfazer:
e não conter constantes arbitrárias.
Exemplo:
10
16 2
Equações de 2ª Ordem
Resposta Forçada Xf
10
16 32
Fazendo i2 = x, e vg=16 temos:
# $ & # $ &,
Para a resposta forçada vamos tentar x=xf = A, onde A é uma
constante a ser determinada:
Resposta natural:
#
#
10
16# 32
32
#
2
16
Equações de 2ª Ordem
Resposta X
Portanto, a solução geral é:
# $ & # $ &, 2
A1 e A2 são obtidas a partir da energia inicial armazenada
nos indutores.
No caso de funções de excitação constantes, pode-se obter xf
do próprio circuito.
Equações de 2ª Ordem
Tentativas de Respostas Forçadas:
Equações de 2ª Ordem
Exemplo: Obter a corrente de malha i2 do circuito abaixo
sabendo que vg = 20cos(4t) .
10
16 2
d i
di
10
16i 40cos4t
dt
dt
Equações de 2ª Ordem
d i
di
10
6i 40 cos 4t
dt
dt
Equação característica:) 10s 16 0 => Raízes distintas,
logo a Resposta Natural é:
# $ & # $ &,
Resposta Forçada é do tipo:
Acos4tBsen4t
Substituindo i2 por xf em:
di
d i
10
6i 40 cos 4t
dt
dt
Temos que A=0 e B=1, assim
sen4t
Asoluçãogeraldoproblemaé # $ & # $ &, sen4t
Equações de 2ª Ordem
Resposta Completa
A resposta natural e a completa possuem constantes
arbitrárias, que devem satisfazer condições iniciais de
energia armazenada.
&'
2 5 M 16$
→ 2
5 48$ &'
L 0 2
Exemplo:
Equação característica: ) 2) 5 0 → ), 1 P Q2
Resposta Natural: x. e&5 6A cos2tA sen2t<
Equações de 2ª Ordem
Resposta forcada: Ae&'5
&'
2
5
48$
Substituindo x por xf em:
Obtem-se A=-6
A resposta completa é:
e&5 6A cos2tA sen2t<- 6e&'5
S
0
20 5 M 0 16$ &' 0
L →
12
0 2
Determinação das constantes arbitrárias:
Equações de 2ª Ordem
Aplicando a primeira condição inicial na resposta completa,
obtemos:
x 0 2 e& 6A cos20A sen20<- 6e&' → A =8
Diferenciando x e&5 6A cos2tA sen2t<- 6e&'5
E igualando
a
12 obtemos:
122A A 18 → A 1
A resposta completa é:
x e&5 68cos2tsen2t<- 6e&'5
Equações de 2ª Ordem
Excitação na Frequência Natural
Suponha que a equação do circuito a ser resolvido é dada
por:
V
V ,
WV
E.C: ) V ) V 0 → ) ,) V
Resposta natural:# $ &X # $ &Y
Considera que =$ X , corresponde a uma das frequência
naturais.
Equações de 2ª Ordem
Excitação na Frequência Natural
A resposta forçada será do tipo : #$ X
#$ X #$ X X $ X
V
V#$
→ 0 $ X (solução impossível)
Substituindo xf na equação diferencial temos:
Considera a resposta forçada agora do tipo : #$ X
Suponha que a equação do circuito a ser resolvido é dada
por:
#$ X #$ X X $ X
V
V#$
Equações de 2ª Ordem
Excitação na Frequência Natural
#$ X #$ X X $ X
V
V#$
1
#
V
1
teX5
V
# $ &X # $ &Y
#
$ &X
#
$ &Y
1
teX5
V
Exercício
Dado o circuito a baixo:
Calcule a equação que satisfaz a corrente de malha i2 , sendo
vg = 6e-2t +32.
# $ & # $ &, 2te&5 4
Exercício
Dado o circuito a baixo:
a)Calcule a equação que satisfaz a corrente de malha i2.
b)Sendo vg = 14e-2t V, i1(0+) = 6 A, i2(0+) = 2 A, calcule
di2(0+)/dt .
c)Sendo vg = 14e-2t V, i1(0+) = 6 A, i2(0+) = 2 A, calcule i2.
Exercício
Solução:
a) Calcule a equação que satisfaz a corrente de malha i2.
7
6 b) Sendo vg = 14e-2t V, i1(0+) = 6 A, i2(0+) = 2 A, calcule
di2(0+)/dt .
02 4#
c) Sendo vg = 14e-2t V, i1(0+) = 6 A, i2(0+) = 2 A, calcule i2.
4$ & $ &[ 7e&5
Exercício
Encontrar v, para t > 0, onde v(0) = 6 V e i(0) = 2 A.
$ & 4 cos 2 3)$\ 2
10
Exercício
Encontrar v, para t > 0, onde v(0) = 6 V e i(0) = 2 A.
$ & 2 cos 2 5)$\ 2
4cos t 2sent
Exercício
Dado o circuito a baixo:
Em t = 0, existe:
• uma corrente inicial i(0) = I0 no indutor,
• uma tensão inicial v(0) = V0 no capacitor.
E sabendo que:
R = 5 W, L = 1 H, C = 1/10 F, V0 = 0 V, I0 = -3/2 A.
Exercício
Dado o circuito a baixo:
Em t = 0, existe:
• uma corrente inicial i(0) = I0 no indutor,
• uma tensão inicial v(0) = V0 no capacitor.
E sabendo que:
R = 1 W, L = 4/3 H, C = 1/4 F, V0 = 2 V, I0 = -3 A.