REVISÃO VEST-UFES 2010 (2ª ETAPA) – AULAS 06/07– PROFESSOR MARCELO RENATO
AULA-06-QUESTÃO-01
1) (UNESP 2006) Seja z = 1 + i um número complexo.
3
a) Escreva z e z na forma trigonométrica.
2
b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de menor grau, que tem z e | z | como raízes e coeficiente
dominante igual a 1.
Resolução:
a) z = 1 + i
| z | = 12 + 12 ⇒ | z | = 2
θ = 45 º
z = 2 ⋅ ( cos 45 º + i ⋅ sen 45 º )
z3 = ( 2 )3 ⋅ ( cos 3 ⋅ 45º + i ⋅ sen 3 ⋅ 45º )
z3 = 2 ⋅ 2 )3 ⋅ ( cos 135 º + i ⋅ sen 135º )
b) Como o polinômio possui coeficientes reais, pelo teorema das raízes complexas não reais, sendo z1 = 1 + i
uma de suas raízes, z2 = 1 – i também o será.
2
Assim, as raízes do polinômio P(x), de menor grau, serão: z1 = 1 + i , z2 = 1 – i e z3 = | z | = 2.
Consequentemente o menor grau de P(x) será 3 e assim sendo, P( x ) = a( x − z1)( x − z 2 )( x − z3 ) , onde a = 1
e ( x − z1)( x − z 2 ) = x 2 − ( z1 + z 2 )x + ( z1.z 2 ) ⇒ ( x − z1)( x − z 2 ) = x 2 − 2x + 2
Assim, P( x ) = ( x − 2)( x 2 − 2x + 2) ou então P( x ) = x 3 − 4 x 2 + 6 x − 4 .
Respostas:
a) z = 2 ⋅ ( cos 45 º + i ⋅ sen 45 º ) e z3 = 2 2 ⋅ ( cos 135 º + i ⋅ sen 135 º )
b) Considerando o polinômio P(x), P( x ) = ( x − 2)( x 2 − 2x + 2) , ou então P( x ) = x 3 − 4 x 2 + 6 x − 4 .
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AULA-06-QUESTÃO-02
2) (FUVEST 2000)
2
a) Determine todas as soluções, no campo complexo, da equação w = iz , onde i é a unidade imaginária, isto é,
I2 = −1 e w é o conjugado de z.
b) Represente essas soluções no plano complexo.
Resolução:
z = a + b ⋅i ⇒ z = a − b ⋅i
z = z2 ⋅ i
z = (a + b ⋅ i)2 ⋅ i ⇒ (a 2 + 2ab ⋅ i + b2 ⋅ i2 ) ⋅ i
z = (a 2 + 2ab ⋅ i − b 2 ) ⋅ i
z = a2 ⋅ i + 2ab ⋅ i2 − b2 ⋅ i
z = ( −2ab ) + (a2 − b 2 ) ⋅ i
− 2ab = a ⇒ a(1 + 2b ) = 0 ............. (1)

a − b ⋅ i = ( −2ab) + (a 2 − b 2 ) ⋅ i ⇒ 
2
 a − b 2 = −b ⇒ b ⋅ (b − 1) = a2 ........... (2)
 a = 0, ou
Em ( 1 ): a ⋅ (1 + 2b) = 0 ⇒ 
 b = − 1/ 2

 z1 = 0 + 0 ⋅ i
 b = 0, ou
⇒ 
a = 0 → (2) : b ⋅ (b − 1) = a2 ⇒ b ⋅ (b − 1) = 0 ⇒ 

b
=
1

 z2 = 0 + 1 ⋅ i



3 1

− ⋅i
 z3 = −
3


2
2
2 1 1
b
=
−
1
/
2
→
(
2
)
:
a
=
+
⇒
a
=
±
⇒


2 4
2
3 1


 z 4 = 2 − 2 ⋅ i


3 1
3 1 
Assim, S =  0 ; i ; −
− ⋅i ;
− ⋅ i
2
2
2
2 

Respostas: Vide resolução;
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AULA-06-QUESTÃO-03
3) (ITA-SP modificada) Determine as raízes complexas da equação z 6 + 64 = 0 na forma a + bi, com a e b reais, e
calcule a área do polígono formado pela representação dessas raízes no Plano Complexo.
Resolução:
z = 6 − 64 , onde w = − 64 ⇒
| w | = 64
6 − 64 = z = 6 64 .cos  180° + 360°.k  + i.sen  180° + 360°.k  , onde 0 ≤ k ≤ 5




k













z0 = 2.(cos 30º + i.sen 30º )
z1 = 2.(cos 90º + i.sen 90º )

6


6

⇒ z0 = 3 + i
⇒ z1 = 2 i
z 2 = 2.(cos 150 º + i.sen 150 º ) ⇒ z 2 = − 3 + i
z3 = 2.(cos 210 º + i.sen 210 º ) ⇒ z3 = − 3 − i
z 4 = 2.(cos 270 º + i.sen 270º ) ⇒ z 4 = −2 i
z5 = 2.(cos 330 º + i.sen 330 º ) ⇒ z5 = 3 − i
 ( 2 )2 ⋅ 3 
A área “S” do polígono formado (hexágono regular) será: S = 6 ⋅ 
 ⇒ S = 6 3 u.a.
4


Resposta:
Raízes:
3 + i ; 3 − i ; 2i ; − 2i ; − 3 + i e − 3 − i ;
Área: 6 3 u.a.
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AULA-06-QUESTÃO-04
4) (UFES 2002) Sejam ω1, ω2, ω3 , ω4 , ω5 as raízes complexas da equação z5 − 1 = 0 .
a) Calcule S = ω1 + ω2 + ω3 + ω4 + ω5
b) Represente geometricamente os números ω1, ω2, ω3 , ω4 , ω5 no plano de Argand-Gauss e, a partir daí, calcule
o cosseno de 36°.
Resolução:
a) z5 − 1 = 0
a ⋅ z5 + b ⋅ z 4 + c ⋅ z3 + d ⋅ z 2 + e ⋅ z + f = 0
1⋅ z5 + 0 ⋅ z 4 + 0 ⋅ z3 + 0 ⋅ z 2 + 0 ⋅ z − 1 = 0
Girard: ω1 + ω2 + ω3 + ω4 + ω5 =
b) z5 − 1 = 0 ⇒
− (0 )
⇒
1
S = ω1 + ω2 + ω3 + ω4 + ω5 ⇒ S = 0
z5 = 1 + 0 ⋅ i ⇒ z = 5 1 + 0 ⋅ i
Utilizando a 2ª fórmula de Moivre:
Fazendo w = 1 + 0 ⋅ i ⇒ z = 5 w , onde para w = 1 + 0 ⋅ i :

 0º + 360 º.k 
 0 º + 360º 
w k +1 = 5 w = 5 | w | . cos 
 + i.sen 
 , k ∈ {0, 1, 2, 3, 4 }
5
5





k = 0 ⇒ w1 = 1⋅ ( cos 0º +i ⋅ sen 0º )
k = 1 ⇒ w 2 = 1⋅ ( cos 72º +i ⋅ sen 72º )
k = 2 ⇒ w 3 = 1⋅ ( cos 144 º +i ⋅ sen 144 º )
k = 3 ⇒ w 4 = 1⋅ ( cos 216 º +i ⋅ sen 216 º )
k = 4 ⇒ w 5 = 1⋅ ( cos 288 º +i ⋅ sen 288 º )
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REVISÃO VEST-UFES 2010 (2ª ETAPA) – AULAS 06/07– PROFESSOR MARCELO RENATO
Determinação do cos 36º:




No item “a” acima vimos que ω1 + ω2 + ω3 + ω4 + ω5 = 0 , onde : 



w1 = cos 72º +i ⋅ sen 72º
w 2 = cos 144 º +i ⋅ sen 144º
w 3 = cos 216 º +i ⋅ sen 216º .
w 4 = cos 288 º +i ⋅ sen 288 º
w 5 = cos 0º +i ⋅ sen 0º
Como se trata de uma soma de números complexos podemos afirmar que:
ω1 + ω2 + ω3 + ω4 + ω5 = 0 + 0 ⋅ i .......... .......... .......... . (1)
Analisando apenas a parte real da soma em questão, teremos:
cos 72º + cos 144º + cos 216 º + cos 288 º + cos 0° = 0 .......... .......... ....... (2)
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Sabendo-se que, arrumando os cossenos em função do cosseno de 36º:
 cos 72º = cos (36º +36º ) = (cos 36º. cos 36º − sen 36º.sen 36º ) = cos2 36º − sen2 36º


2
2
 cos 72º = cos 36º −(1 − sen 36º )

2
 cos 72º = 2 ⋅ cos 36º − 1









cos 0º = 1
cos 72º = 2 ⋅ cos2 36º − 1
cos 144 º = − cos 36º
cos 216 º = − cos 36º
cos 288 º = cos 72º = 2 ⋅ cos2 36º − 1
Substituindo as informações acima na equação ( 2 ):
(2 ⋅ cos2 36º − 1) + ( − cos 36º ) + ( − cos 36º ) + (2 ⋅ cos2 36º − 1) + 1 = 0
2 ⋅ (2 ⋅ cos2 36º − 1) − 2 ⋅ cos 36º + 1 = 0
4 ⋅ cos2 36º − 2 ⋅ cos 36º − 1 = 0, onde cos 36º > 0

1+ 5
, ou
 y=

4
Fazendo-se cos 36º = y ⇒ 4 y 2 − 2y − 1 = 0 ⇒ 
1− 5

 y = 4 (não convém pois y > 0 )
Assim, como y = cos 36º:
cos 36º =
1+ 5
.
4
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Respostas:
a) S = 0.
b) Representação – vide resolução; cos 36º =
1+ 5
.
4
REVISÃO VEST-UFES 2010 (2ª ETAPA) – AULAS 06/07– PROFESSOR MARCELO RENATO
AULA-07-QUESTÃO-01
1) (UFC) Os números a, b, c e d são reais. Determine os coeficientes do polinômio P( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ,
sabendo-se que o polinômio Q( x ) = ax 2 + bx + 1 divide P( x ) e que P(a) = Q(a) = a ≠ 0 .
Resolução:
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
Conclusão: c = 1 e d = 0 .
Sabemos que P( x ) = x ⋅ Q( x ) e sabemos também que P(a) = Q(a) = a ≠ 0 , assim:
 a = 0 (não convém )
Fazendo x = a: P(a) = a ⋅ Q(a) ⇒ a = a 2 ⇒ a 2 − a = 0 ⇒ a ⋅ (a − 1) = 0 
a =1
Conclusão: a
=
1
.
Como Q( x ) = ax 2 + bx + 1 ⇒ Q( x ) = x 2 + bx + 1 , onde Q(a) = a , ou seja, Q (1) = 1, assim:
Q (1) = ( 1)2 + b ⋅ ( 1) + 1 ⇒ 1 = 1 + b + 1 ⇒
Respostas:
b
=
−1
a = 1, b = −1, c = 1 e d = 0 .
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AULA-07-QUESTÃO-02
2) (ITA – SP 2007) Seja Q(z) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo
coeficiente de z5 é igual a 1. Sendo z 3 + z 2 + z + 1 um fator de Q(z), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, então, podemos
afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das raízes de Q(z) é igual a:
Resolução:
Q( z) = ( z3 + z 2 + z + 1) ⋅ ( z 2 + az + b )
Q(0) = 2 ⇒ (0 + 1)(0 + b) = 2 ⇒ b = 2
Q(1) = 8 ⇒ (1 + 1 + 1 + 1)(1 + a + b ) = 8 ⇒ a + b = 1 ⇒ a + 2 = 1 ⇒ a = −1
Assim, Q( z) = (
z 2
+
1)(
z+
1)( z 2 − z + 2)
z 3 + z 2 + z +1
Calculando as raízes de Q( z) :
( z 2 + 1)( z + 1)( z 2 − z + 2) = 0
0
0
0
Encontramos: z1 = −i ; z 2 = i ; z3 = −1 ; z 4 =
1
7
1
7
+
i e z5 = −
i
2
2
2 2
A soma dos quadrados dos módulos das raízes é:
i
2
+ −i
2
+ −1
Resposta: 7.
2
+
1
7
+
i
2
2
2
+
1
7
−
i
2
2
2
= 1+ 1+ 1+ 2 + 2 = 7
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AULA-07-QUESTÃO-03
a−x
0
b
2) (UNICAMP 1996) Seja p(x) =
0
2−x
c , onde a, b, c e d são números reais.
b
0
d− x
a) Mostre que x = 2 é uma raiz do polinômio p(x).
b) Mostre que as outras duas raízes de p(x) também são reais.
c) Quais as condições sobre a, b, c e d para que p(x) tenha uma raiz dupla, x ≠ 2 ?
Resolução:
a−x
0
b a−x 0
p( x ) =
0
2−x
c
0 2−x
b
0
d−x b
0
SARRUS
p( x ) = (a − x ).(2 − x ).(d − x ) − (2 − x ).b2
p ( x ) = ( 2 − x ).[ ( a − x ).( d − x ) − b 2 ] .......... . ( 1 )
a) Fazendo-se x = 2 em ( 1 ): p(2) = (
2
−
2).[ (a − 2).(d − 2) − b2 ]
⇒ p
(2
)
=
0
0
Conclusão: x = 2 é raiz de p(x).
b) As outras duas raízes de p(x), em ( 1 ), vêm de: [ (a − x ).(d − x ) − b2 ] = 0
(a − x ).(d − x ) − b2 = 0
x 2 − (a + d)x + (ad − b2 ) = 0
∆ = [ −(a + d) ]2 − 4.(1).(ad − b 2 )
∆ = (a + d) 2− 4.(ad − b2 )
∆ = a2 + 2ad + d2 − 4ad + 4b2
∆ = (a2 − 2ad + d2 ) + 4b2
∆ = (a − d)2 + 4b2 ..................... ( 2 )
Analisando a expressão ( 2 ) verificamos que ∆ ≥ 0, ∀ a, b, c , d ∈ IR ,
portanto, as outras duas raízes de p(x) são reais.
c) as outras duas raízes de p(x) serão raízes iguais, ou seja, “raiz dupla” e diferente de x = 2 se e somente se:
Em
(a − x ).(d − x ) − b 2 = 0
x 2 − (a + d)x + (ad − b 2 ) = 0
 ∆ = 0 e x ≠ 2

 ∆ = (a − d)2 + 4b 2 ⇒ (a − d)2 + 4b2 = 0
 (a − d) = 0 ⇒ a = d ≠ 2, e

Verificamos que ∆ = 0 , somente se 
4b2 = 0 ⇒ b = 0

∀ c ∈IR

Respostas:
a) vide resolução.
b) vide resolução.
c) a = d ≠ 2, b = 0 e ∀ c ∈IR .
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AULA-07-QUESTÃO-04
4) (UFES/2004) Considere o polinômio P( z) = z5 + (a − 1)z 4 + (2 − a)z3 − 4z 2 + (b + 2)z − b,
sendo a e b números reais.
a) Verifique que 1 é raiz de P(z).
b) Seja Q(z) o quociente da divisão de P(z) por ( z − 1) . O polinômio Q(z) tem uma raiz simples (isto é, com
multiplicidade um), e a soma e o produto das outras raízes de Q(z), consideradas suas multiplicidades, são
( −2 + i) e (2 − 2i), respectivamente, sendo i a unidade imaginária.
Determine os valores de a e b, e a referida raiz simples de Q(z).
c) Determine todas as raízes de P(z) e suas respectivas multiplicidades.
Resolução:
a) Verificando o valor de P( 1) :
P( 1) = 15 + (a − 1) ⋅ 14 + (2 − a) ⋅ 13 − 4 ⋅ 12 + (b + 2) ⋅ 1 − b ⇒
P ( 1) = 0 ... 1 é raiz do polinômio P(z).
b) Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini na divisão de P(z) por (z – 1) encontramos como quociente Q(z):
Q( z) = z 4 + az 3 + 2z 2 − 2z + b
Considerando as raízes:
 P( z) ⇒ z1 = 1 , z 2 , z3 , z 4 e z5

 Q( z) ⇒ z 2 , z3 , z 4 e z5
Onde z5 = ( x + y i) , com x e y reais, é a raiz simples de Q(z) referida no enunciado, teremos que:



Por Girard, em Q(z): 



−2 + i )
x + yi)
(
(
z 2 + z3 + z 4 + z5 = −a
z 2 ⋅ z3 ⋅ z 4 ⋅ z5 = b
( −2 − 2 i )
 ( −2 + i ) + ( x + y i ) = −a
⇒

 (2 − 2 i ) ⋅ ( x + y i ) = b
( x + yi)
 ( x − 2 ) + ( y + 1 ) i = −a

⇒
b

 ( x + y i ) = (2 − 2 i )

(1 A )
 ( x − 2 ) + ( y + 1) i = −a ................. ( 1)

1 b

( x + yi) = ⋅
.. .. ... .. ( 2 )

2 (1 − i )

(1 B )
Em ( 1 ): ( x − 2) + ( y + 1) = − a + 0 i ⇒ x − 2 = − a e y + 1 = 0 ⇒ y = −1 → (2)
 b
 4 = −1 ⇒ b = − 4
×
(
1
+
i
)
1
b
1 b ⋅ (1 + i )
b b
Em ( 2 ): x − i = ⋅
⇒ x − i= ⋅
⇒ x− i = + i ⇒ 
2 (1 − i ) ×(1 + i )
2
2
4 4
 x = b ⇒ x = − 4 ⇒ x = −1

4
4
Substituindo x = −1 em ( 1 A ) : −1 − 2 = − a ⇒ a = 3
Assim, encontramos a = 3 e b = – 4 .
Encontramos também a raiz simples de Q(z), ou seja, z5 = x + y i ⇒
z 5 = −1 − i
REVISÃO VEST-UFES 2010 (2ª ETAPA) – AULAS 06/07– PROFESSOR MARCELO RENATO
 P( z) ⇒ z1 = 1 , z 2 , z3 , z 4 e z5
 Q( z) ⇒ z 2 , z3 , z 4 e z5
c) Conforme adotamos, sendo as raízes de 
Analisando inicialmente o polinômio Q(z), onde a = 3 e b = – 4 :
 z2

 z3
Q( z) = z 4 + 3z3 + 2z 2 − 2z − 4 
 z4
 z5

Já conhecemos z5 = −1 − i ;
Como Q(z) possui coeficientes reais, pelo teorema das raízes complexas não reais, sendo z 5 = −1 − i
uma das raízes de Q(z), z 4 = −1 + i também o será;
Sabemos também que a soma dos coeficientes de Q(z) é igual a zero e, consequentemente, neste
caso, z3 = 1 também é uma das raízes de Q(z);
No enunciado foi informado que z 2 + z3 + z 4 = −2 + i ⇒ z 2 + ( 1) + ( −1 + i ) = −2 + i ⇒
 z2

 z3
Assim, Q( z) = z 4 + 3z3 + 2z 2 − 2z − 4 
 z4
 z5

z 2 = −2
= −2
=1
= −1 + i
= −1 − i
Como z1 = 1 juntamente com z 2 , z 3 , z 4 e z 5 são raízes de P(z), teremos que as raízes de
 a=3
P( z) = z5 + (a − 1)z 4 + (2 − a)z 3 − 4z 2 + (b + 2)z − b 
 b = −4
Respostas:
a) Verifica-se que P(1) = 0 ⇒ z = 1 é raiz de P(z);
b) a = 3 e b = −4 ;
c) − 2 ; − 1 − i ; − 1 + i e 1 (multiplicidade 2).