CÁLCULO DE RAÍZES DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Introdução
Em diversos campos da Engenharia é comum a necessidade da
determinação de raízes de equações não lineares.
Em alguns casos particulares, como no caso de polinômio, que são
funções algébricas não lineares com propriedades particulares, é possível a
solução analítica para o caso de polinômios do 2° grau e certas classes de
polinômios de 3º e 4º graus.
No caso de funções transcendentais que são funções não lineares e
não algébricas a determinação só é possível de forma numérica.
x
Ex.: f (x ) = e - x
( )
f ( x ) = ln x 2 + sen( x )
Serão apresentados a seguir os principais métodos numéricos para
determinação de raízes de equações não lineares. Tais métodos que podem
ser divididos em:
{
{
Método da Bisseção;
Métodos Fechados Método das cordas;
dentre outros ...
Método de Newton;
Métodos Abertos
Método da Secante;
e outros ...
Seja f(x) uma função não-linear com f(x0) = 0. Encontrar os valore de
xo que satisfaçam tal igualdade constitui um problema de determinação das
raízes de f(x). Para tanto, são necessárias os seguintes passos:
a) Isolar uma raiz, i. e., encontrar um intervalo [a, b],
contendo uma única raiz de f(x0) = 0;
b) Partindo de uma estimativa inicial da raiz, refiná-la até
alcançar a precisão desejada.
Isolamento de raízes
Teorema 1: Seja f contínua em [a, b].
Se
f (a ) ⋅ f (b ) < 0 , então ∃ ε ∈ (a, b) tal que f (ε ) = 0 .
Além disso, se f ′( x ) > 0 ou f ′(x ) < 0 ∀ x∈ (a ,b ) , então a raiz é única.
Equações Algébricas – Propriedades
n −1
n
a) Seja p (x ) = a0 + a1 x + L + a n −1 x + a n x uma equação algébrica de
grau n (an ≠ 0 ) . Então p( x ) possui n raízes.
b) Se os coeficientes são reais, então, as raízes complexas são pares
complexos conjugados, de mesma multiplicidade.
Limites das raízes
n −1
n
Consideremos o polinômio p (x ) = a0 + a 1 x + L + a n −1 x + a n x ,
com an ≠ 0 e ai ∈ R .
†Seja ε
p
a maior das raízes positivas de p(x), temos que ε p ≤ L ,
com:
L = 1 + n−k
{
B
onde: K
an
ÆMaior índice dos coeficientes negativos
ÆMáximo módulo dentre os coeficientes negativos
B
n
ainda a seguinte equação auxiliar: p1 ( x ) = x p (1 x ) = 0 ,
†Seja
com L1 sendo: 1 ε 1 ,1 ε 2 , L ,1 ε n suas raízes e L1 o limite superior de
suas raízes positivas (1 ε p ≤ L1 ∴ ε p ≥ 1 L1 ) . Logo, 1/L1 é o limite inferior
das raízes positivas de p(x) (1 L1 ≤ ε p ≤ L ).
†Seja agora p (x ) = p(− x ) = 0 . Suas raízes são: − ε
Sendo − ε (ε < 0 ) a maior das raízes positivas, tem-se:
2
q
1
,L ,−ε n .
q
− ε q ≤ L2 ou ε q ≥
−
L2
{
limite inferior
das raízes negativas
†Por fim, considerando o polinômio: p (x ) = x p(− 1 x ) , tem-se:
n
3
−
1
εq
≤ L3 ∴ ε q ≤
− 1 L3
123
limite superior
das raízes negativas
Exemplo:
p(x ) = x 4 − 5 x 3 − 7 x 2 + 29 x + 30 = 0
p1 ( x ) = x 4 p(1 x ) = 1 − 5 x − 7 x 2 + 29 x 3 + 30 x 4 = 0
p 2 ( x ) = p(− x ) = x 4 + 5 x 3 − 7 x 2 − 29 x + 30 = 0
p 3 (x ) = x 4 p (− 1 x ) = 1 + 5 x − 7 x 2 − 29 x 3 + 30 x 4 = 0
para p(x ) : k = 3 , B = 7 ⇒
L = 1 + 4 −3
7
=2
1

7
= 1,483
 L1 = 1 + 4 − 2
30

1 L = 0 ,674
 1
⇒
para p1 (x ) : k = 2 , B = 7
29
= 6 ,385
1
para p 2 ( x ) : k = 2 , B = 29 ⇒
L2 = 1 + 4 − 2
⇒
para p 3 ( x ) : k = 3 , B = 29

29
= 1,967
 L3 = 1 + 4 − 3
30

 − 1 L = −0 ,508
3

Portanto:
4000
3500
0 ,674 ≤ ε p ≤ 8

− 6 ,385 ≤ ε n ≤ −0 ,508
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
-500
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Número de raízes
Teorema de Bolzano
p( x ) = 0 ; x ∈ (a ,b )
p (a ) ⋅ p (b ) < 0 ⇒
se p (a ) ⋅ p (b ) > 0 ⇒
nº ímpar de raízes
nº par de raízes
Relações entre raízes e coeficientes (Relações de Girard)
n
n −1
Seja p (x ) = a n x + a n −1 x + L + a1 x + a0 = 0 na forma fatorada:
p( x ) = a n ( x − ε 1 )( x − ε 2 )L ( x − ε n ) = 0 .
Efetuando algumas operações algébricas (somas e multiplicações) e
igualando os coeficientes dos termos de mesmo expoente, obtemos as
seguintes relações:
ε 1 + ε 2 + L + ε n = − a n −1 a n
(ε 1ε 2 + ε 1ε 3 + L + ε 1ε n ) + (ε 2 ε 3 + L + ε 2 ε n ) + L + ε n −1ε n = a n −2 a n
ε 1ε 2 ε 3 + L
L
L + ε n − 2 ε n −1 ε n = − a n − 3 a n
M
ε 1ε 2ε 3 L L ε n = (−1) n a0 an
Equações Transcedentes: Funções de Naturezas Distintas
Isolamento de raízes – Método gráfico
Exemplo:
f ( x ) = e x − sen( x ) − 2
Outra forma:
f ( x ) = g (x ) − h( x ) = 0
 g (x ) = e x

h( x ) = sen( x) + 2
Exatidão da Raiz
Teorema: Seja ε uma raiz exata de f ( x ) = 0 e x n uma aproximação
sua. Seja ainda:
m = mín f ′( x )
a ≤ x ≤b
i.e.:
f ′(x ) ≥ m > 0 , ∀ b ≤ x ≤ a .
Então: x n − ε ≤
f (x n )
m
Prova: De acordo com o teorema do valor médio, tem-se:
f ( x n ) − f (ε ) = ( x n − ε ) ⋅ f ′(c ) , sendo ε < c < x n
f ( x n ) − f (ε ) = x n − ε ⋅ f ′(c ) ; f (ε ) = 0
f ′(c ) =
f (x n )
xn − ε
Logo: x n − ε ≤
≥m
f (x n )
m
Como o cálculo da derivada, para determinação de m nem sempre é
possível, costuma-se usar um dos critérios abaixo, para teste de
convergência:
∈
{
1º) f ( x n ) ≤ tolerância
prefixada
2º) x n − x n −1 ≤ ∈
xn − xn−1
≤∈
3º)
xn
Método da Bisseção
Seja
f ( x ) contínua no intervalo
[a ,b] ,
com
f (a ) ⋅ f (b ) < 0 ,
conforme mostra o gráfico a seguir:
Divide-se o intervalo ao meio, definindo o ponto x0 e calcula-se o
valor de
f ( x0 ) , comparando o seu sinal com f (a ) e com f (b ) .
Concentra-se a atenção naquele subintervalo com f ( xi ) ⋅ f (x f ) < 0 . O
processo é repetido até se alcançar a convergência.
• O método possui uma taxa de convergência linear;
• Sempre converge para uma solução, e;
• Possui fácil implementação computacional.
Algoritmo:
1 - Encontrar xi e x f , tal que f ( xi ) f (x f ) < 0 ;
2 - Determinar xm =
xi + x s
;
2
3- Comparar o sinal da função em x m
3.1 - Se f ( x m ) = 0 então x m é a raiz da função, pare os cálculos
3.2 - Se f ( xi ) f ( x m ) < 0 a raiz está no subintervalo [xi , x m ] ;
assim o x f = x m e xi permanece
[
]
Caso contrário a raiz está no subintervalo x m , x f ; assim
xi = x m e x f permanece;
4 - Retornar para o passo 2 e calcular o novo x m ;
5 - Verificar se o tamanho do intervalo é inferior à precisão desejada.
Caso isso não aconteça, retornar ao passo 3.
6 - Apresentar o resultado do cálculo.
−x
-2
Ex.: Determine a raiz de f ( x ) = e − x com tol = 10 , xi = 0 e x f = 1 .
Já que: xi − x f = 1 − 0 > tol , ,calcular:
xm =
xi + x f
2
= 0 ,5
Como f ( xi ). f ( x m ) = f (0 ). f (0 ,5 ) = 0 ,10653 > 0 ,
então descartar xi = 0.
Como f ( x m ). f (x f ) = f (0 ,5 ). f (1) < 0 e 1 − 0 ,5 > tol
xi =← x m e calcular novamente
xm =
0 ,5 + 1
= 0 ,75
2
Como f ( xi ). f ( x m ) = f (0 ,5 ). f (0 ,75 ) < 0 e 0 ,75 − 0 ,5 > tol
então x f =← x m e calcular novamente:
xm =
0 ,5 + 0 ,75
= 0 ,625
2
Como f ( xi ). f ( x m ) = f (0 ,5 ). f (0 ,625 ) = −0 ,01 < 0 e 0 ,625 − 0 ,5 > tol
então x f =← x m e calcular novamente:
xm =
0 ,5 + 0 ,625
= 0 ,5625
2
Como f (0 ,5625). f (0 ,625) < 0 e 0 ,625 − 0 ,5625 < tol
Então x m = raiz = 0 ,5625
Convergência
Na n-ésima iteração, o comprimento do intervalo a considerar é:
b−a
2n
Para o 1º subintervalo: x0 − a =
b−a
21
Para o 2º subintervalo: x1 − x0 =
Generalizando: x n − x n −1 =
b−a
2 n +1
Como x n − x n −1 ≤ ∈ tem-se:
ou: n ≥
b−a
22
b−a
≤∈
2 n +1
ln[(b − a ) ∈]
−1
ln( 2 )
Como
b−a
lim x n − x n −1 = lim  n +1  = 0 , tem-se que o processo
n →∞
n →∞ 2


converge, i. e., x n = x n −1 = ε , pois f ( x n ) ⋅ f ( x n −1 ) ≤ 0
Método das Cordas
Aplica-se a uma função contínua f ( x ) com raiz única ε ∈ [a ,b] ,
com f ′′(x ) com sinal constante.
(1)
(2)
Realiza-se uma interpolação linear entre os pontos extremos do
intervalo e calcula-se a raiz ( x1 ) da reta interpoladora.
(x1 , f (x1 ))
substituirá o ponto com ordenada de mesmo sinal que
f (x1 ) , a fim de repetir o processo, até que haja convergência.
x1 − a
b−a
=
− f (a ) f (b ) − f (a )
ou:
b − x1
b−a
b−a
x
=
b
−
⋅ f (b )
=
1
f (b )
f (b ) − f (a ) ⇔
f (b ) − f (a )
(1)
(2)
Para a figura (1), tem-se:
x1 = a −
f (a )
⋅ (a − b )
f (a ) − f (b )
→ xn+1 = xn −
f ( xn )
⋅ ( xn − b )
f ( xn ) − f (b )
Para a figura (2), tem-se:
x1 = b +
f (b )
⋅ (b − a )
f (a ) − f (b )
→ xn+1 = xn −
f ( xn )
⋅ ( xn − a )
f (xn ) − f (a )
f (x n )
x
=
x
−
⋅ (x n − c )
n
Generalizando: n +1
f ( x n ) − f (c )
onde c é um ponto da função onde esta tem o mesmo sinal de sua derivada
segunda, i.e., f (c ) ⋅ f ′′(c ) > 0 .
Resumindo:
• O ponto fixado (a ou b) é aquele onde o sinal da função ( f ( x ) )
coincide com o sinal de sua derivada segunda ( f ′′( x ) ) .
• A aproximação xn se faz do lado da raiz ε, onde o sinal da
função ( f ( x ) )
segunda ( f ′′( x ) ) .
é
oposto
ao
sinal
de
sua
derivada
Convergência
A aproximação xn+1 estará sempre mais próxima que a anterior xn.
Considerando:
lim( xn ) = ε ;
n→∞
(a < ε
< b)
tem-se:


f ( xn )
lim(xn+1 ) = lim( xn ) − lim
⋅ (a − xn )
n →∞
n →∞
n→∞ f (a ) − f ( x )
n


↓
ε
↓
=
ε
−
f (ε )
⋅ (a − ε )
f (a ) − f (ε )
⇒
f (ε ) = 0
Portanto, como a raiz é única, ε = ε e o processo converge.
Método de Newton
Interpretação Gráfica
Dedução pela geometria:
f ′( xi ) =
f ( xi ) − 0
x i − x i +1
x i +1 = x i −
f ( xi )
f ′( xi )
Dedução pela série de Taylor:
2
(
xi +1 − xi )
f (xi +1 ) = f (xi ) + f ′( xi )(xi +1 − xi )+ f ′′( xi )
+K
2!
truncando a série e considerando f ( xi +1 ) ≈ 0 então
0 ≈ f ( xi ) + f ′( xi )(xi +1 − xi ) obtendo-se:
x i +1 = x i −
f ( xi )
f ′( xi )
Observações:
• O método pode divergir caso existam pontos de máximo ou mínimo
da função no intervalo de busca.
• Se a função possuir múltiplos zeros, a convergência tornar-se-á lenta.
−x
Ex.: Determine a raiz da equação: e − x = 0 , pelo método de Newton.
f ′( x ) = −e
−x
− 1 , xi +1
e − xi − xi
= xi −
; considere i = 0 , x0 = 0
− e − xi − 1
Iterações
xi
|ε| %
0
0
100
1
0.50000000
11.8
2
0.56631103
0.147
3
0.56714316
0.000022
4
0.56714329
< 10-8
Ex.: (Exemplo de convergência lenta do método de Newton), cálculo da
10
raiz real positiva da equação: x - 1 = 0 , (Considere x0 = 0.5 ).
Iterações
xi
0
0.5
1
51.65
2
46.485
3
41.8365
4
37.65285
5
33.887565
Método da Secante
É uma modificação do método de Newton.
A derivada é substituída por uma estimada de forma numérica.
f ′(xi ) ≈
f ( x i −1 ) − f ( x i )
x i −1 − x i
Interpretação Gráfica do Método:
Substituindo a estimativa numérica da derivada na expressão iterativa
do método de Newton, tem-se:
x i +1 = x i −
f ( xi )( xi −1 − xi )
f ( x i −1 ) − f ( x i )
-x
Ex.: Determine a raiz da equação f ( x ) = e - x ; xr = 0.56714329 .
1a iteração, x-1 = 0 , x0 = 1 , f (x-1 ) = 1.0 , f ( x0 ) = - 0.63212
x1 = 1 −
− 0.63212(0 − 1)
= 0.61270
1 − (− 0.63212 )
2a iteração, x0 = 1 , x1 = 0.61270 , f ( x0 ) = - 0.63212 , f ( x1 ) = - 0.07081
x 2 = 0.61270 −
− 0.63212(1 − 0.61270 )
= 0.5684
− 0.63212 − (− 0.07081)
O método converge um pouco mais lentamente que o método de
Newton e com mais esforço computacional.