Comportamento natural das plantas
Solução homogênea
Polinômio característico
Raízes do polinômio característico
Sistemas de primeira ordem
Sistemas de segunda ordem
Solução da Equação Diferencial
D ( p) y (t ) = N ( p)u(t )
Solução da equação homogênea
● Solução da equação particular
● Solução completa
●
Solução da Equação Homogênea
D ( p) y (t ) = N ( p)u(t )
●
Excitação nula
Polinômio
característico
●
●
Resposta natural
E.D.G.
D ( p) y (t ) = 0
p n + a n − 1 p n − 1 + ... + a 1 p + a 0 = 0
yh (t ) depende das raízes do
polinômio característico ri
Solução do Polinômio Característico
A solução complementar é uma soma de funções
que satisfazem a equação homogênea e
dependem das raízes do PC. Podem existir
● Raízes reais simples
yh (t ) = ∑ f i (t )
● Raízes reais múltiplas
i
● Raízes complexas simples
● Raízes complexas múltiplas
Solução do Polinômio Característico
●
Raízes reais simples
●
Raízes reais múltiplas
●
Raízes complexas simples
●
Raízes complexas múltiplas
n funções do
tipo Aert
Solução do Polinômio Característico
●
Raízes reais simples
Funções do tipo
Raízes reais
de multiplicidade m
●
Aert
Atert
●
Raízes complexas simples
At2ert
...
●
Raízes complexas múltiplas
Atm-1ert
Solução do Polinômio Característico
●
●
Raízes reais simples
Raízes reais múltiplas
●
Raízes complexas simples
●
Raízes complexas múltiplas
Raízes a±bj
Funções do tipo
Ae at sen( bt ) + Be at cos( bt )
ou
Ae at sen(bt + φ )
Solução do Polinômio Característico
●
●
●
Raízes reais simples
Raízes reais múltiplas
Raízes complexas simples
Raízes complexas
de multiplicidade m
●
Raízes a±bj
Funções do tipo
A1e at sen(bt + φ1 )
A2te at sen(bt + φ2 )
L
Amt m−1e at sen(bt + φm )
Exemplo 1.1 Solução Homogênea
a)
d3y
d2y
dy
+4
+ 21
+ 34 y = 0
3
2
dt
dt
dt
P.C.
p 3 + 4 p 2 + 21 p + 34 = 0
raízes
S.H.
r1 = − 2
r2 = − 1 ± 4 j
y (t ) = A1e
−2 t
−t
−t
+ A2 e cos 4t + A3 e sen 4t
Solução usando Matlab
Para encontrar a resposta natural do problema anterior
usando Matlab adote a seguinte seqüência (admitindo
constantes unitárias):
– Definir o polinômio
– Encontrar as raízes
– Determinar o vetor do tempo
– Encontrar a solução no tempo acima
– Plotar a resposta natural no tempo
Solução do exemplo
Definir o polinômio: p = [1 4 21 34];
● Encontrar as raízes:
●
r = roots(p); r1 = r(3); a = real(r(1)); b =abs(imag(r(1)));
Determinando o tempo: t = 0:0.05:4;
● Encontrando a resposta para C.Is. y0=2 ; y’0=2
●
y=exp(r1*t)+exp(a*t).*sin(b*t) +exp(a*t).*cos(b*t)
●
Fazendo o gráfico: plot(t,y), grid
Solução do exemplo usando MatLab
%
%
Primeiro exemplo usando Matlab
%
Solução da equação homogênea
%
p^3 + 4p^2 + 21p + 34 = 0
%
com condições iniciais y_0=2; dy/dt_0=1; d2y/dt2_0=-19;
%
p=[1 4 21 34];
r=roots(p)
r1=r(3)
a=real(r(1))
b=imag(r(1))
t=0:0.05:4;
y=exp(r1*t)+exp(a*t).*sin(b*t)+exp(a*t).*cos(b*t);
plot(t,y), grid
title('Resposta natural da planta')
xlabel('Tempo (s)')
ylabel('Saída y')
Exemplo 1.1
Solução da equação homogênea
Re s pos ta na tura l da pla nta
2.5
2
S aída y
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Te m po (s )
2.5
3
3.5
4
Exemplo de solução homogênea
b)
d 3y
d2y
dy
+7
+ 16
+ 12 y = 0
3
2
dt
dt
dt
P.C.
p 3 + 7 p 2 + 16 p + 12 = 0
raízes
S.H.
r1 , 2 = − 2
r3 = − 3
y (t ) = A1e
−2 t
+ A2te
−2 t
+ A3e
−3t
Sistemas de primeira ordem
Solução da equação homogênea
d n −1 y ( t )
d m u (t )
d n y (t )
+ a n −1
+ ... + a 0 y ( t ) = b m
+ ... + b 0 u ( t )
n
n −1
m
dt
dt
dt
primeira ordem
du ( t )
dy ( t )
+ a 0 y ( t ) = b1
+ b0u (t )
dt
dt
Equação
Homogênea
dy (t )
+ a0 y (t ) = 0
dt
Sistemas de primeira ordem
Solução da equação homogênea
●
O polinômio característico será portanto:
r = −a0
p + a0 = 0
●
A solução da equação diferencial é:
y(t ) = y(0)e
− a0t
Exercício 1.1
Obter a resposta natural de um sistema de primeira
ordem cujo polinômio característico
p+a =0
fazendo a assumir os valores -5, 0 e 5,
para condição inicial unitária positiva e negativa.
Sistemas de primeira ordem
Solução da equação homogênea
rλ >> 00
r λ== 00
rλ << 00
Sistemas de segunda ordem
Solução da equação homogênea
●
A equação diferencial geral é:
dy ( t )
d 2 y (t )
+ a1
+ a0 y (t ) = 0
2
dt
dt
●
O polinômio característico é:
p
2
+ a1 p + a
0
= 0
Sistemas de segunda ordem
Solução da equação homogênea
●
O polinômio característico pode ser escrito:
p 2 + 2 ζω n p + ω n = 0
2
●
onde
●
cujas raízes
são
ζ = fator de amortecimento
ωn = frequência natural
r1, 2 = −ζω n ± jω n 1 − ζ
2
Sistemas de segunda ordem
Variação do fator de amortecimento
●
ζ > 1: as raízes são reais simples
r1,2 = −ωn (ζ ± ζ 2 −1)
●
+ Be
r2 t
ζ = 1: raízes reais duplas
r1 , 2 = − ω
●
y ( t ) = Ae
r1t
n
y ( t ) = Ae
r1 t
+ Bte
r2 t
ζ < 1: raízes complexas conjugadas
r1, 2 = ω n ( −ζ ± j 1 − ζ 2 )
ω d = ω n 1− ζ2
y ( t ) = Ae −ζω n t sin( ω d t ) + Be −ζω n t cos( ω d t )
Sistemas de segunda ordem
Relações geométricas das raízes
ℑ
ζ = const.
λ = σ + iω
ω n 1 − ζ2
•
ωn
ω n = const .
α
θ
cos α = ζ
− ζω n
λ = σ − iω
ℜ
− ωn 1− ζ 2
Exemplo 1.2 Sistema de segunda ordem
Encontrar a freqüência natural e o fator de
amortecimento de uma planta cujo polinômio
característico é
p2 + 2 p + 2 = 0
Achar a resposta natural e apresentar o seu gráfico
usando Matlab. Varie o fator de amortecimento e
obtenha novas respostas.
Solução
Determine o polinômio
● Calcule as raízes
● Encontre a freq. natural (módulo da raiz): wn=abs(r(1))
● Encontre o fator de amortecimento: zeta=real(r(1))/wn
● Encontre a resposta natural no tempo
● Mantenha a freq. natural e faça o fator de
amortecimento 1.0, 0.4 e 0.1, plotando a nova resposta
natural p/ cada caso.
●
Solução do exemplo usando MatLab
%
Segundo exemplo usando Matlab
%
Solução da equação homogênea
%
de um sistema de segunda ordem
%
p^2 + 2p + 2 = 0
%
variando o fator de amortecimento
%
C.I.: y_0=1; dy/dt_0=0
yo=2; dyo=0;
p=[1 2 2];
r=roots(p)
a=real(r(1))
b=imag(r(1))
wn=abs(r(1))
zeta=a/wn
t=0:0.01:10;
y=(dyo-a*yo)/b*exp(a*t).*sin(b*t)+...
yo*exp(a*t).*cos(b*t);
plot(t,y,'r'), grid
title('Resposta natural')
xlabel('Tempo (s)')
ylabel('Saída y')
%Variando zeta com C.I.: y_0=1;dy/dt_0=0
yo=2; dyo=0;
t=0:0.01:10;
zeta=0.4;
p=[1 2*zeta*wn wn^2];
r=roots(p);a=real(r(1));b=imag(r(1))
y1=(dyo-a*yo)/b*exp(a*t).*sin(b*t)+yo*exp(a*t).*cos(b*t);
zeta=0.1;
p=[1 2*zeta*wn wn^2];
r=roots(p);a=real(r(1));b=imag(r(1))
y2=(dyo-a*yo)/b*exp(a*t).*sin(b*t)+yo*exp(a*t).*cos(b*t);
zeta=0.99999999;
p=[1 2*zeta*wn wn^2];
r=roots(p);a=real(r(1));b=imag(r(1))
y3=(dyo-a*yo)/b*exp(a*t).*sin(b*t)+yo*exp(a*t).*cos(b*t);
plot(t,y1,t,y2,t,y3)
title('Resposta natural variando o amortecimento')
xlabel('Tempo (s)')
ylabel('Saída y')
Gráfico das respostas naturais
Variando o fator de
amortecimento obtém-se: