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UFPR 2013
MATEMÁTICA — QUESTÃO DISCURSIVA 10
Considere o hexágono indicado na figura ao lado.
a) Qual é a área do hexágono, quando α = 60º ?

b) Sabendo que a expressão que fornece a área em função do ângulo é A( ) = 2sen( ) + sen( ) , e que o ângulo a
2
quefornece a área máxima é uma solução da equação trigonométrica
( )
= 0,
resolva a equação e calcule a área máxima do hexágono.
Comentário
a) A área S do hexágono será a soma das áreas de dois triângulos equiláteros de lado unitário com a área de um
quadrado, também de lado unitário. Assim, tem-se:
S=2.
1² . 3
+ 1²
4
S = (1 +
3
) u . A.
2
b) Como o arquivo disponibilizado pela UFPR em seu site não permitia a visualização da função, acreditamos que a
resolução mais coerente seria a que segue abaixo. Aguardaremos o posicionamento da instituição.
Seja

2
=  . Assim, tem-se:
cos( )  cos(2 )  0  2cos ²( )  cos( )  1  0  cos( ) 
1
ou cos( )  1.
2
Desta forma, segue:
  60º    120º ou   180º    360º (não convém)
Assim, a área máxima do hexágono será:
A(120º) = 2sen(
120º
3 3
)  sen(120º)  A(120º) =
u . A.
2
2
Professores Neusarth, Fred, Marco Antonio, Lúcio, Lucimar, Willian
Curso Dom Bosco
www.dombosco.sebsa.com.br/curso