Sumário
Apresentação......................................................................................................................02
Introdução...........................................................................................................................03
Sucessão ou seqüência
Aula1...................................................................................................................................04
Progressão aritmética.
Aula2...................................................................................................................................06
Aula3...................................................................................................................................10
Aula4...................................................................................................................................12
Aula5...................................................................................................................................15
Progressão geométrica
Aula6...................................................................................................................................17
Aula7...................................................................................................................................20
Aula8...................................................................................................................................21
Aula9...................................................................................................................................24
Aula10.................................................................................................................................26
Aula11.................................................................................................................................28
Juros simples
Aula12.................................................................................................................................30
Aula13.................................................................................................................................33
Aula14.................................................................................................................................35
Aula15.................................................................................................................................38
Juros composto
Aula16.................................................................................................................................40
Aula17.................................................................................................................................45
Aula18.................................................................................................................................47
Aula19.................................................................................................................................49
Análise da relação de conteúdos
Aula20.................................................................................................................................51
Aula21.................................................................................................................................54
Aula22.................................................................................................................................56
Aula23.................................................................................................................................59
Respostas............................................................................................................................61
Referências.........................................................................................................................67
1
Apresentação
O presente trabalho faz parte integrante do curso do Programa de
Desenvolvimento Educacional PDE promovido pela Secretaria de Estado da
Educação do Paraná, supervisionado pela Superintendência da Educação e
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais. Foi orientado pela Professora
Msc Simone Crocetti vinculada
a Instituição de Ensino Superior (IES)
Universidade Tecnológica Federal do Paraná.
A motivação para o tema que apresentaremos aqui se deve a uma
constatação da realidade em que a maioria das pessoas não tem uma noção
clara e significativa das taxas de juros aplicadas pelas empresas e lojas em suas
operações. Também faz parte do desejo dos alunos do curso de Administração do
Colégio Leôncio Correia um maior entendimento e contextualização de
conteúdos que são estudados e nem sempre relacionados a sua realidade. As
taxas de juros no mercado são em muitas situações abusivas e sufocantes, pois,
estão em geral muito acima do razoável.
Recentemente foi publicado em uma revista de grande circulação a
etimologia da palavra juros que vem do tempo medieval. A igreja medieval
condenava os juros como “roubo do tempo”. Podia até soar poético, mas era
brutal. Da família da palavra justiça, o juros tinha o sentido original de direito de
propriedade. A acepção moderna de renda gerada pelo próprio dinheiro só surgiu
mais tarde. A etimologia, como a economia, não são ciências exatas. Certos
filósofos antigos iam buscar a origem de juros no latim usura, que tem história
bem diferente, ligada a usus, uso, nesse caso usufruto do dinheiro alheio. Já para
Buarque (2003) juros é definido como importância cobrada pelo empréstimo do
dinheiro, rendimento interesse.
No meu entendimento os juros quando cobrados com taxas razoáveis
são justos e honestos. O problema é que em nosso País as taxas são abusivas e
podem trazer grandes dificuldades as pessoas menos favorecidas
economicamente e com desejos de consumo elevados. Por isso, entendo que
com este trabalho poderemos contribuir para um maior entendimento de
situações financeiras presentes em nosso cotidiano. É um trabalho singelo que
permeia os conteúdos programáticos do ensino médio dando enfase a
Matemática Financeira. Para Albert Einstein “A Matemática não mente. Mente
quem faz mau uso dela.” Portanto, neste trabalho tentamos fazer uma
contextualização de conteúdos e que as pessoas desenvolvam noções de como
aplicar da melhor forma possível seus recursos para atingir seus objetivos.
“ Procure ser um homem de valor em vez de ser um homem de sucesso.”
Albert Einstein
2
Introdução
Caderno Pedagógico
Caderno pedagógico é um material composto por várias unidades de
temáticas, com abordagem centralizada em tema de área/disciplina específica,
contendo textos de fundamentação teórica com as respectivas sugestões de
atividades a serem desenvolvidas. Assim este trabalho será composto de cinco
temas assim descritos:
1.
2.
3.
4.
5.
Sucessão ou Seqüência;
Progressão Aritmética;
Progressão Geométrica;
Juros Simples e Composto;
Análise da relação de conteúdos.
Cada tema será apresentado de maneira que o professor tenha material
norteador (planos de aula) para trabalhar com o conteúdo específico de cada
assunto. Assim temos um planejamento de aulas distribuídos da seguinte forma:
uma aula para Sucessão, quatro aulas para Progressão Aritmética, seis aulas
para Progressão Geométrica, quatro aulas para juros simples, quatro aulas para
Juros Composto e quatro aulas para Análise da relação dos conteúdos.
A riqueza da humanidade reside também em sua diversidade
Ela deve ser protegida em todos os seus aspectos: cultural, biológico,
filosófico,espiritual.
Para isso a tolerância, a opinião do outro, a recusa das verdades definitivas
ser sempre lembradas.
Texto de uma das medidas aprovadas na Conferência dos Prêmios
Nobel, reunida
no Palácio do Eliseu-Paris.
3
Sucessão ou Seqüência
Plano de aula 1.
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Conteúdo:Sucessão ou Seqüência.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Introduzir o conteúdo de seqüência de maneira clara e objetiva
fazendo com que o aluno observe que este tema está presente em seu
cotidiano mesmo que ele não perceba.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Inicie o assunto apresentando aos alunos este texto:
O extraordinário filme de ficção científica Contatos imediatos do terceiro
grau, escrito e dirigido por Steven Spielberg, mostra o contato entre seres
humanos e extraterrestres. A comunicação entre eles é feita através de
seqüências de notas musicais. A comunicação por meio de seqüências é
utilizada pelo homem desde que pronunciou suas primeiras palavras ou, quem
sabe, até antes disso. Na fala dos humanos, ocorrem seqüências de palavras; e
na formação de palavras há seqüências de fonemas. A música é um modo de
comunicação que também apresenta seqüências: seqüências de notas musicais.
De modo geral, qualquer sistema de códigos é formado por seqüências: de
símbolos, sons, cores, números, etc.
2) Definições.
Após esta breve apresentação devemos conceituar Sucessão ou Seqüência,
finita e infinita, representação de uma Sucessão e darmos alguns exemplos.
a) Conceituação:
Sucessão ou Seqüência é todo conjunto em que consideramos os
4
elementos dispostos em certa ordem.
Exemplos; O conjunto ordenado dos meses do ano: Janeiro, Fevereiro,...
O conjunto da lista de freqüência de uma turma.
O conjunto dos Planetas em ordem de distância da Terra.
O conjunto dos carros de Fórmula 1 dispostos na pista.
O conjunto dos times dispostos na classificação do campeonato
de futebol.
O conjunto dos números múltiplos de 2.
b) Seqüência Finita e Infinita:
Seqüências finitas são aquelas em que conhecemos o primeiro até o último
termo de seqüências. Exemplo: O conjunto dos meses do ano. Em contrapartida
temos seqüências em que não temos definido seu último termo como por
exemplo o conjunto dos números múltiplos de 2.
c) Representação de uma Sucessão:
A representação matemática de uma sucessão é: a1,a2,a3,... em que:
a1 é o primeiro termo (lê-se: a índice 1);
a2 é o segundo termo (lê-se: a índice 2);
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an é o enésimo termo (lê-se: a índice n).
3) Sugestões de atividades:
Tão logo tivermos apresentado a teoria do assunto aos aluno deveremos
propor e resolver atividades práticas de maneira a fixar os conceitos e definições
apresentados:
Questão 1:
➢
Verifique se a tabuada do 3 é uma seqüência. Caso positivo, justifique sua
resposta.
Questão 2:
➢
Na seqüência ( 0,2,4,6,8,...) infinita, obter:
a) a7- a3;
b) 2a6+ 3a2.
Questão 3:
➢
Dada a seqüência definida por an= 4n-1, com n Є N*, calcule:
5
a) a6.
b) a10.
c) a 33.
d) a 52.
➢
Encerre sua aula deixando como atividade domiciliar uma pesquisa de
caráter opcional para os alunos.
➢
Qual é a famosa série de FIBONACCI? (Desafio)
Progressão Aritmética
Plano de aula 2.
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Conteúdo: Progressão Aritmética-Introdução/ Fórmula do Termo Geral.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar a fórmula do termo geral da P.A.. Propor problemas
para fixação dos conceitos.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Inicie a aula com um exemplo bastante simples de ser entendido:
Um aluno esqueceu-se de pagar a parcela da compra de seu aparelho de
celular. Verificou então que haveria uma pequena multa pelo atraso, a qual
deveria ser paga da seguinte forma: no primeiro dia após o vencimento, a multa
seria de 5% sobre o valor da parcela e a cada dia, a partir do segundo dia seriam
acrescidos o mesmo valor fixo. Qual será o valor pago por nosso colega ao pagar
sua dívida com 15 dias de atraso sabendo que ele adquiriu seu celular 3G em
uma promoção de apenas dez parcelas de R$ 70,00?
A seguir inicie a resolução do problema montando uma tabela:
Número de dias em atraso
Multa cobrada
1
R$70,00 +
5%
= R$73,5
2
R$ 73,50 +
R$ 3,5 = R$ 77,00
6
3
R$ 77,00 +
R$ 3,5 = R$ 80,50
4
R$ 80,50 +
R$ 3,5 = R$ 84,00
5
...
...
15
R$ 119,00+ R$ 3,5= R$ 122,50
Fazer com que os alunos observem que a partir do segundo termo teremos
um acréscimo constante de R$ 3,5 referente a 5% do valor da parcela que será a
razão da nossa progressão. Assim poderemos abordar o assunto apresentado a
tabela de outra forma:
Número de dias em atraso
Multa cobrada
1
R$ 70,00+ 5%
= R$ 73,00
2
R$ 70,00 + 2xR$ 3,5 = R$ 77,00
3
R$ 70,00 +3xR$ 3,5 = R$ 80,50
4
R$ 70,00+ 4xR$ 3,5 = R$ 84,00
5
...
...
15
R$ 70,00+ 15xR$ 3,5 = R$ 122,50
Assim podemos mostrar que o segundo termo será o primeiro mais duas
vezes o valor da multa e assim por diante. Com esta breve introdução podemos
partir para a definição:
2) Definições:
Progressão Aritmética é toda seqüência numérica em que cada termo, a
partir do segundo, é igual a soma do termo precedente (anterior) com uma
constante r. O número r é chamado de “razão da progressão aritmética”.
Fórmula do termo geral:
Descrevendo alguns termos de uma P.A., podemos obter a fórmula do termo
geral:
Primeiro termo
a1
a1 = a1 + 0r
Segundo termo
a2
a2 = a1 + 1r
Terceiro termo
a3
a3 = a1 + 2r
Quarto termo
a4
a4 = a1 + 3r
7
.
.
.
.
.
.
Enésimo termo
an
an= a1+ (n-1)r
Observando que o coeficiente r em cada igualdade é uma unidade inferior ao
índice do termo considerado, obtivemos a fórmula do termo geral:
an= a1+ (n-1).r
Restrição: n Є N*
onde: an= termo geral
a1= primeiro termo
n= número de termos
r= razão
Também salientar aos alunos que :
a2-a1= a3-a2=an- an-1= r
3) Classificação das Progressões Aritméticas:
P.A. Crescente: Uma P.A. é crescente, se, e somente se, cada termo, a
partir do segundo, é maior que o termo precedente. Uma condição necessária e
suficiente para que uma P.A. seja crescente é que sua razão r seja positiva r > 0.
Exemplo: (2,4,6,8,...) é uma P.A. crescente de razão 2.
P.A. Decrescente: Uma P.A. é decrescente se, e somente se, cada termo,
a partir do segundo, é menor que o termo precedente. Uma condição necessária
e suficiente para que uma P.A. seja decrescente é que sua razão r seja negativa r
< 0.
Exemplo: (12,8,4,0,...) é uma P.A. Decrescente de razão -4.
P.A. Constante: Uma P.A. é constante se,e somente se, todos os seus
termos são iguais entre si. Uma condição necessária e suficiente para que a P.A.
Seja constante é que sua razão r seja zero (r = 0).
3) Sugestão de atividades:
Tão logo tivermos apresentado a teoria do assunto aos aluno deveremos
propor e resolver atividades práticas de maneira a fixar os conceitos e definições
apresentados:
Questão 1:
➢
Verifique quais seqüências abaixo formam uma P.A.; determine a razão r
dessas seqüências e classifique-as em crescente, decrescente ou
constante:
a) (5,7,9,...)
8
b) (3,11,2,1)
c) (12,8,4,...)
d) (2,2,2,...)
e) (-35,-30,-25...)
Questão 2:
➢
Determine o décimo segundo termo da P.A. (3,5,7,...).
Questão 3:
➢
Obter o sexagésimo terceiro número ímpar.
Questão 4:
➢
Durante quinze dias observou-se o crescimento do caule de uma semente
germinada. No primeiro dia sua altura era de 10mm e no último, de
80mm. Qual foi o crescimento diário, sabendo-se que esse valor foi
constante?
Questão 5: ( Desafio )
➢
Sabendo que numa P.A. a3= 13 e a12= 49, escreva a P.A.
9
Progressão Aritmética
Plano de aula 3.
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Conteúdo: Progressão Aritmética-Interpolação.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Conceituar meios aritméticos e interpolação aritméticas.
Propor problemas para fixação dos conceitos.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Vamos iniciar a aula com o conceito de Meio Aritmético.
Meio Aritmético: Numa P.A. Finita (a1, a2, a3,...,an-1, an) os termos
a2,a3,...,an-1 são chamados de “meios aritméticos da P.A.”.
Exemplo:
Na P.A. (2,5,8,11,14,17) temos que 5,8,11,14 são meios aritméticos da
P.A..
Os extremos são 2 e 17.
Interpolação Aritmética: Interpolar ou inserir meios aritméticos entre
dois números dados (extremos) é obter uma P.A. na qual os números dados
sejam o primeiro e o último termo. Para isso, é necessário determinar a razão r
da P.A.. Para obtermos a solução destes problemas será necessário o uso da
fórmula do termo geral da P.A..
2) Propriedade de uma P.A.
A soma de dois termos eqüidistante dos extremos de uma P.A. finita é igual a
soma dos extremos.
Exemplo: Na P.A. (3,7,11,15,19,23,27,31) temos:
7 e 27, 11 e 23, 15 e 19, são os termos eqüidistantes dos
termos 3 e 31.
Note que: 3+31=34
7+27=34
11+23=34
15+19=34
3) Sugestão de atividades:
10
Neste momento da aula, explicada esta teoria para os alunos, o professor
deverá propor aos alunos os problemas a seguir e resolver as questões 1 e 2. Em
outra aula deverá tirar as eventuais dúvidas das questões relativas a esta aula 3
bem como das aulas 1 e 2.
Questão 1:
➢
Interpolar 5 meios aritméticos entre 6 e 30.
Questão 2:
➢
Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a
razão seja 4?
Questão 3:
➢
Interpole 4 meios aritméticos entre os números 11 e 26.
Questão 4:
➢
Interpole 8 meios aritméticos entre os números -2 e 43.
Questão 5:
➢
Insira doze meios aritméticos entre os números 60 e -5.
Questão 6:
➢
Insira 7 meios aritméticos entre os números -2 e 22.
Questão 7:
➢
Interpole 8 meios aritméticos entre -5 e 40.
Questão 8: (Desafio)
➢
Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual o sexto termo da
P.A..
11
Progressão Aritmética
Plano de aula 4.
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Conteúdo: Progressão Aritmética- Fórmula da Soma dos n termos de uma
P.A. finita.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar a Fórmula da Soma da Progressão Aritmética.
Mostrar a fórmula da Soma dos termos da P.A.. Propor exemplos e
problemas para fixação dos conceitos.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
Desenvolvimento:
1. Introdução:
Inicie a aula com esta pequena história:
Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em
1785, o professor Büttner propôs aos alunos que somassem os números naturais
de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um garoto de apenas oito anos de idade
aproximou-se do professor mostrando-lhe em sua prancheta o resultado. O
professor, assombrado, constatou que o resultado estava certo. Aquele garoto
viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss
(1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino
percebeu que a soma do primeiro número, 1 com o último, 100 é igual a 101; a
soma do segundo número, 2 com o penúltimo 99, é igual a 101; a soma do
terceiro número, 3 com o antepenúltipo, 98, é igual a 101; e assim por diante, a
soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.
Como são possíveis 50 somas iguais a 101, Gauss concluiu que:
1+2+3+4+...+97= 98+99+100= 50.101= 5050.
Esse raciocínio, que já foi apresentado na aula 3, pode ser estendido para
o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão. A demonstração
completa da fórmula da Soma de um P.A. encontramos facilmente em qualquer
livro. Portanto vamos apresentar a Fórmula da Soma de uma Progressão
Aritmética finita:
Sn= (a1+an)
2
Onde: Sn = Soma do n primeiros termos da P.A.
12
a1 = primeiro termo.
an = último termo.
Com esta teoria inicial podemos partir para alguns exemplos que vamos
propor e solucionar na própria aula:
●
Exemplo 1:
Achar a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (2,5,...).
Solução:
Dados:
a1= 2
n= 30
r=3
a30=?
Logo, percebemos que precisamos encontrar a30.
Pela fórmula do termo geral:
a30= a1 + (n-1)r Assim:
a30= 89
Portanto, pela fórmula da Soma da P.A. temos que:
Sn= (a1+an) .n = (2+89).30 = 1365
2
2
●
Exemplo 2:
Calcule a soma dos termos da P.A. Finita (5,8,11, ..., 122).
Solução:
Dados:
a1= 5
an= 122
r=3
n=?
Logo, percebemos que precisamos encontrar n.
Pela fórmula do termo geral:
an= a1+ (n-1)r
122= 5 +(n-1).3 Logo n=40.
Portanto, pela fórmula da Soma da P.A. Temos que:
Sn= (a1+an) .n
2
13
S40= (5+122).40
2
S40= 2540
2)Sugestão de atividades:
Neste momento da aula devemos propor algumas questões para os
alunos exercitarem um pouco e verificaremos as atividades na próxima
aula.
Questão 1:
➢
Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.A.(4,7,10,...).
Questão 2:
➢
Calcular a soma dos termos da P.A.( -16, -14, -12, ..., 84).
Questão 3:
➢
Qual a soma dos cinqüenta primeiros números ímpares.
Questão 4:
➢
Determine a soma de todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 1 e
100.
Questão 5: (Desafio)
➢
Um atleta corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior.
Sabendo-se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67500 metros,
qual o número de metros percorridos no terceiro dia?
14
Progressão Aritmética
Plano de aula 5.
Conteúdo: Progressão Aritmética-Problemas envolvendo P.A..
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Propor problemas para fixação dos conceitos trabalhados.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Entregar todos os exercícios resolvidos em uma data
agendada pelo professor.
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•
•
•
•
•
Desenvolvimento:
1) Sugestão de atividades:
Devemos propor uma lista de 10 exercícios para que os alunos exercitarem o
conteúdo dado ao longo das quatro aulas anteriores. Deveremos resolver 4 ou 5
exercícios, com graus de dificuldade variada, conforme o andamento das
explicações. No final, solicitar que individualmente cada aluno entregue a lista
toda em uma data agendada pelo professor, e, atribuir nota a esta atividade.
Também devemos verificar se existem dúvidas com relação aos exercícios
deixados nas aulas anteriores. Caso persistam dúvidas em muitos alunos, propor
mais uma aula para novas explicações.
Questão 1:
➢
Escreva a sucessão: an = 1 e n Є N*.
n
Questão 2:
➢
Escreva a seqüência definida por an= n2+4.
Questão 3:
➢
Numa P.A., o primeiro termo é igual a razão e a14 = 84. Calcule a1 e a razão.
Questão 4:
➢
Obter uma P.A. de três termos cuja soma seja igual a 12 e cujo produto seja
igual a 60.
Questão 5:
15
➢
Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da
P.A..
Questão 6:
➢
Numa P.A. a2+ a6= 20 e a4+ a9= 35. Escreva a P.A..
Questão 7:
➢
Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2,6,...).
Questão 8:
➢
Numa P.A. de dez termos, o último termo é igual a 22 e a razão é igual a 2.
Determine o primeiro termo e a soma.
Questão 9:
➢
Calcule o trigésimo termo da P.A. (-50,-46,...).
Questão 10: ( Desafio )
➢
Calcule o número de termos da P.A.(7,9,11,13,...), sabendo que a soma deles
é 160.
16
Progressão Geométrica
Plano de aula 6.
•
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Conteúdo:Progressão Geométrica-Introdução/ Definição e Classificação.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Conceituar Progressão Geométrica. Mostrar as classificações
da P.G.. Propor problemas para fixação dos conceitos.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
•
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Inicie a aula com um exemplo bastante simples de ser entendido:
Um estagiário do curso de Administração do Colégio Estadual Leôncio Correia,
querendo formar uma poupança, prometeu a si mesmo guardar, durante um
ano, R$ 1,00 no primeiro mês, R$ 2,00 no segundo mês, R$ 4,00 no terceiro mês
e ir dobrando o valor até o último mês.
Os valores que representam as quantias guardadas formam a seqüência
(1,2,4,8,16,...,2048). Observe que cada termo a partir do segundo, é o dobro do
anterior. Esse é o exemplo da seqüência chamada de Progressão Geométrica.
2) Definição:
Progressão Geométrica é toda seqüência de números não nulos em que
cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por
um número fixo q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica.
A representação matemática de uma P.G. é:
(a1, a2, a3, a4... an-1, an)
Logo: an+1 = an.q
ou a2 = a3 = ... = an+1 =q
a1
a2
an
●
Para todo n Є N* e q Є R.
Exemplos:
a) (2,4,8)
P.G. finita; razão 2.
b) (5,15,45,...)
P.G. infinita; razão 3.
c)(-1,-4, -16,...) P.G. infinita; razão 4.
17
d) (-7,14,-28,56) P.G. finita; razão -2.
Para achar a razão de uma P.G. de números não nulos dada, basta dividirmos
qualquer termo,a partir do segundo, por seu antecessor.
3) Classificação das Progressões Geométricas:
P.G. Crescente: uma P.G. é crescente se, e somente se, cada termo, a partir
do segundo, é maior do que o termo precedente. Condições: a1>0 e q>1 ou
a1<0 e 0<q<1.
Exemplos:
●
a) (3,6,12,24,...)
é uma P.G. crescente de razão q= 2.
b) (-4,-2,-1,-1,...) é uma P.G. crescente de razão q= 1 .
2
2
P.G. Decrescente: uma P.G. é decrescente se, e somente se, cada termo, a
partir do segundo, é menor do que o termo precedente. Condições: a1>0 e
0<q<1 ou a1<0 e q>1.
Exemplos:
a) (8,4,2,1,...)
é uma P.G. decrescente de razão 1 .
2
b) (-1,-2,-4,-8,...) é uma P.G. decrescente de razão 2.
P.G. Constante: uma P.G. é constante se, e somente se, todos os seus
termos forem iguais entre si. Condição: sua razão é igual a zero ou se todos os
termos são nulos.
●
Exemplos;
a) ( 6,6,6,6,...) é uma P.G. constante de razão 1.
b) (0,0,0,0,...) é uma P.G. constante de razão indeterminada.
4) Sugestão de atividades:
Assim que tivermos apresentado aos alunos toda esta teoria, devemos
propor e resolver alguns exercícios para maior compreensão e fixação dos
conteúdos.
Questão 1:
➢
Determine a razão de cada uma das seqüências:
a) (3,12,48,...)
18
b) (10,5,...)
c) (5,-15,...)
d) (10,50,...)
Questão 2:
➢
Escreva uma P.G. de quatro termos em que a1= 5 e q = 3.
Questão 3:
➢
Escreva uma P.G. de seis termos em que a1=-2 e q = 2.
Questão 4:
➢
Escreva uma P.G. de cinco termos em que a1= 540 e q = 1 .
3
Questão 5: (Desafio)
➢
Determine o valor de x, de modo que os números x+1, x+4, x+10 formem,
nesta ordem, uma P.G.
19
Progressão Geométrica
Plano de aula 7.
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Conteúdo:Progressão Geométrica/ Fórmula do Termo Geral.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar a fórmula do termo geral da P.G.. Propor problemas
para fixação dos conceitos.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Vamos iniciar nossa aula apresentando a Fórmula do Termo Geral da
Progressão Geométrica, de forma muito simples de ser entendida. Basta lembrar
aos alunos alguns conceitos simples de potenciação que nos levarão a fórmula:
Vimos que a P.G. (a1, a2, a3, a4,...,an), cada termo, a partir do segundo, é
igual ao produto do termo anterior pela razão q, ou seja:
1°
2°
3°
4°
termo
termo
termo
termo
.
.
.
n° termo
a1= a1.q0
a2= a1.q1
a3= a1.q2
a4= a1.q3
.
.
.
.
.
.
an= a1.qn-1
Observando que, em cada igualdade, o expoente da razão é uma unidade
inferior ao índice do termo considerado, obtivemos a fórmula do termo geral:
an= a1.qn-1
Onde an= termo geral
a1= primeiro termo
q= razão
n= números de termos
Explicada a fórmula aos alunos partiremos para a dois exemplos triviais e
a seguir vamos propor exercícios de fixação:
Exemplos:
20
●
Exemplo 1:
Determinar o décimo termo da P.G.(1,2,4,...).
Resposta: 512.
●
Exemplo 2:
Determinar o primeiro termo da P.G. em que a7 = 32 e q = 2.
Resposta: 1 .
2
3) Sugestão de atividades:
Questão 1:
➢
Determinar o nono termo da P.G.(81,27,9,...).
Questão 2:
➢
Determinar o primeiro termo da P.G. em que a6 = 96 e q = 2.
Questão 3:
➢
Qual a razão de uma P.G., em que a1 = 5 e a4 = 135 ?
Questão 4:
➢
Determine quantos termos tem a P.G. (6,18,...,1458).
Questão 5: (Desafio)
➢
Numa P.G. o segundo termo é 8 e o quinto termo é 512. Escrever essa P.G.
21
Progressão Geométrica
Plano de aula 8.
Conteúdo:Progressão Geométrica/ Interpolação Geométrica.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Conceituar meios geométricos e interpolação geométrica.
Propor exemplos e exercícios de fixação.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
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Desenvolvimento:
1) Introdução:
Devemos iniciar a aula lembrando aos alunos o conceito de interpolação
geométrica é semelhante a tratado na aula 3 (interpolação aritmética). Sendo
assim devemos conceituar:
Interpolação Geométrica: Interpolar (ou inserir) k meios geométricos
entre dois números a e b, nessa ordem, significa determinar a P.G. de k + 2
termos, com o primeiro termo igual a a e o último igual a b.
●
Exemplo:
Na P.G. (2,6,18,54,162), temos que 6,18,e 54 são meios geométricos da
P.G.
Observar que este modelo de exercício é uma aplicação direta da fórmula
do termo geral da P.G.
2) Sugestão de Atividades;
Nesse momento da aula, explicada esta pequena teoria, o professor deve
propor aos alunos os problemas a seguir e resolver as questões 1 e 2. Em outra
aula deverá tirar as eventuais dúvidas das questões relativas a esta aula 8 bem
como das aulas 6 e 7.
Questão 1:
➢
Interpolar quatro meios geométricos entre 1 e 243, nessa ordem.
Questão 2:
➢
Interpolar dois meios geométricos entre -3 e 24, nessa ordem.
Questão 3:
22
➢
Interpolar três meios geométricos entre 3 e 48, nessa ordem.
Questão 4:
➢
Interpolar quatro meios geométricos entre 3 e 96, nessa ordem.
Questão 5: (Desafio)
➢
Interpolar três meios geométricos entre -2 e -162, nessa ordem.
Questão 6:
➢
Interpolar cinco meios geométricos entre 4 e 2916, nessa ordem.
23
Progressão Geométrica
Plano de aula 9.
Conteúdo:Progressão Geométrica/ Fórmula dos termos de uma P.G. finita.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos:Apresentar a Fórmula da Soma da Progressão Geométrica.
Propor alguns problemas para fixação dos conceitos.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
Desenvolvimento:
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•
1) Introdução:
Inicie a aula com uma pequena história:
Um aluno resolveu fazer uma caminhada 5 dias por semana. No primeiro
dia caminhou 400 metros, e foi aumentando a distância percorrida em 50% cada
dia. Assim, nosso aluno durante os cinco dias caminhou um total em metros
igual a soma dos termos representados na P.G. de razão 1,5 que é: (400, 600,
900, 1350, 2025) e que esta soma é igual a 5275 m.
Esta história ilustra a necessidade de conhecermos a Fórmula do Termo
Geral.
Temos duas possibilidades para somar os termos de uma P.G.. Vejamos:
Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da P.G. (a1, a2, a3,...,an,...) de
razão q, temos:
* Se q=1, então Sn= n.a1
* Se q# 1, então Sn= a1.(1-qn)
1-q
Apresentada estas fórmulas, cuja a demonstração não é pertinente neste
momento (está disponível em alguns livros de matemática) devemos resolver
dois exemplos:
●
Exemplo 1:
Calcule a soma dos cinqüenta primeiros termos da P.G. (3,3,3,...).
É um exemplo evidente da primeira fórmula apresentada.
Resposta S50= 150.
●
Exemplo 2:
Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G. (3,6,12,...).
24
É um exemplo evidente da segunda fórmula apresentada.
Resposta S10 = 3069.
Com estes dois exemplos triviais devidamente explicados devemos propor
atividades
de fixação.
2) Sugestão de atividades:
Questão 1:
➢
Calcule a soma dos trinta primeiros termos da P.G. (-4, -4, -4, ...).
Questão 2:
➢
Calcule a soma dos doze primeiros termos da P.G. (1,3,...).
Questão 3:
➢
Calcule a soma dos quinze primeiros termos da P.G.(-3,6,...).
Questão 4:
➢
Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G. (7,14,...).
Questão 5: (Desafio)
➢
Qual o número de termos da P.G. em que a3 = 9, q = 3, e Sn = 1093?
Questão 6: (Desafio)
➢
Ao final de 7 meses uma pessoa conseguiu poupar R$ 5080,00. Sabendo-se
que poupava a cada mês o dobro da quantia anterior, quanto ela poupou
no primeiro mês?
25
Progressão Geométrica
Plano de aula 10.
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•
•
Conteúdo:Progressão Geométrica/ Fórmula dos termos de uma P.G.
infinita.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar o conceito da famosa dízima periódica. A seguir
apresentamos a fórmula e propomos exemplos e problemas para fixação
dos conceitos.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
•
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Nesta aula vamos apresentar um conceito com certo grau de abstração.
Assim daremos início propondo aos alunos um calculo simples: dividir 8 por 3.
Certamente os alunos chegarão a resposta 2,666... Após os alunos apresentarem
o resultado vamos mostrar que todas as dízimas periódicas são compostas de
uma soma de termos de uma P.G. infinita que calculamos com a fórmula:
Sn=
a1
1-q
Nesse momento da aula vamos propor dois exemplos de aplicação:
●
Exemplo 1:
Encontrar a fração geratriz da dízima 0,5212121...
Solução:
0,5212121...= 0,5+ 0,021+ 0,00021+ 0,0000021+... ou seja:
5 +
10
21 +
1000
Assim temos que a1 =
21
100 000
21
1000
e
+
21
10 000 000
+ .....
q= 1
100
Substituindo na fórmula temos que Sn = 21
26
990
E a fração geratriz será : 5 + 21 = 86
10 990
165
●
Exemplo 2:
Calcular a soma dos termos da P.G. (1, 1 , 1 ,...).
4 16
Este é um exemplo evidente da fórmula com a1= 1 e q = 1 .
4
Resposta : 4 .
3
Com estes dois exemplos devemos propor os exercícios de fixação:
2) Sugestão de atividades:
Questão 1:
➢
Obter a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas:
a) 0,999...
b) 0,25151...
c) 0,42333...
d) 1,3555...
Questão 2:
➢
Calcule a soma dos termos de cada uma das P.G.:
a) ( 1 , 1 , 1 ,...)
2
6
18
b) ( 3, 1 , 1 ,....)
3
c) ( 1, 1 , 1 , ...)
10 100
d) ( 100, 50, 25,...)
27
Progressão Geométrica
Plano de aula 11.
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Conteúdo: Progressão Geométrica- Problemas envolvendo P.G..
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Propor problemas para fixação dos conceitos trabalhados.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Entregar todos os exercícios resolvidos em uma data agendada
pelo professor .
Desenvolvimento:
1) Sugestão de atividades:
Devemos propor uma lista de 10 exercícios para que os alunos exercitarem o
conteúdo dado ao longo das cinco aulas anteriores. Deveremos resolver 4 ou 5
exercícios, com graus de dificuldade variada, conforme o andamento das
explicações. No final, solicitar que individualmente cada aluno entregue a lista
toda em uma data agendada pelo professor, e, atribuir nota a esta atividade.
Também devemos verificar se existem dúvidas com relação aos exercícios
deixados nas aulas anteriores. Caso persistam dúvidas em muitos alunos, propor
mais uma aula para novas explicações.
Questão 1:
➢
Quantos termos tem uma P.G. de razão 2, cujo primeiro termo é 6 e o último
é 3072?
Questão 2:
➢
Numa P.G. de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. Calcular o
primeiro termo desta P.G..
Questão 3:
➢
A soma de três números em P.G. é 39 e o produto entre eles é 729. Calcular
os três números?
Questão 4:
➢
Três números estão em P.G. crescente de tal forma que a sua soma é 130 e
o produto e 27000. Calcule os três números.
Questão 5:
28
➢
Numa P.G. a5 = 32 e a8 = 256. Calcule q e a1.
Questão 6:
➢
Inserindo-se cinco meios geométricos entre 8 e 5832 obtém-se uma
seqüência. Determine o quinto termo dessa seqüência.
Questão 7:
➢
Numa P.G. a soma dos termos é 728. Sabendo-se que an = 486 e q = 3,
calcule o primeiro termo desta P.G..
Questão 8: (Desafio)
➢
Determine a soma dos sete primeiros termos de uma P.G. em que o sétimo
termo e igual a 320 e a razão e igual a 2.
Questão 9:
➢
Quantos termos devemos considerar na P.G. (3,6, ...) para se obter uma
soma de 765?
Questão 10:
➢
Obter as frações geratriz das dízimas periódicas abaixo:
a) 0,555...
b) 0,121212...
c) 3,444...
d) -2,666...
29
Juros Simples
Plano de aula 12.
Conteúdo: Porcentagens- Problematização.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar o conceito partindo da apresentação de uma
contextualização da Matemática Financeira. Fazer uma revisão de
porcentagem. A seguir propor exercícios para fixação.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
Observação: A partir desta aula o uso de calculadora está liberado.
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•
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Desenvolvimento:
1) Introdução:
Inicie o assunto com uma breve explicação do assunto.
O estudo e o desenvolvimento da Matemática financeira estão vinculados
ao sistema econômico. O mundo, hoje, está de alguma forma ligado a economia
de mercado, de modo que é importante termos noções sobre esse estudo
matemático para melhor compreender os mercados das operações financeiras.
Problemas do dia-dia como de prestações, pagamentos de contas de luz, água,
telefone, saber se é vantajoso pagar uma dívida à vista, resgatando a aplicação
da poupança ou continuar pagando as prestações e deixar o dinheiro aplicado
são dúvidas que a Matemática Financeira nos ajuda a resolver.
Vamos conceituar porcentagem pelo exemplos a seguir:
●
Exemplo 1:
Uma loja está promovendo uma liquidação, oferecendo 10% de desconto
em todas as mercadoria. Qual o valor do desconto em reais de uma mercadoria
que custa R$ 150,00?
Resposta: R$ 15,00
●
Exemplo 2:
Um carro esta sendo vendido por R$ 8500,00. Se o pagamento for à vista
o vendedor concede um desconto de 5%. Qual o valor pago no veículo com o
pagamento à vista?
Resposta: R$ 8075,00
30
●
Exemplo 3:
Escreva sob forma decimal as seguintes porcentagens:
a) 5%
b) 64%
c) 7,9 %
d) 0,8%
e) 10%
●
Resposta: 0,05
Resposta : 0,64
Resposta : 0,0079
Resposta : 0.008
Resposta : 0,1
Exemplo 4:
Calcular as porcentagens pedidas:
a) 22% de R$ 70,00
b) 5% de R$ 30,00
c) 9,1% de R$ 50,00
Resposta : R$ 15,4
Resposta : R$ 1,5
Resposta : R$ 4,55
2) Sugestão de atividades:
Neste momento da aula devemos propor algumas questões para os alunos
que envolvam este conceito vistos até então:
Questão 1
➢
Em um colégio estudam 750 alunos. Desses, 52% estudam no período da
tarde. Quantos alunos estudam no período da tarde?
Questão 2:
➢
No fim de uma temporada, uma equipe de futebol havia ganho 26 jogos
dos 40 disputados. Qual foi a porcentagem de partidas ganhas pela
equipe no final da temporada?
Questão 3 :
➢
Um comerciante comprou um aparelho de celular por R$ 200,00 e o
vendeu por R$ 250,00.
Qual foi a porcentagem do seu lucro em relação ao preço da compra?
Questão 4: (Desafio)
➢
Um investidor aplicou R$ 20 000,00 em poupança, que rendeu 23% , e R$
50 000,00 em CDB, que rendeu 29%. Após o crédito desses rendimentos,
qual a quantia que o investidor vai possuir?
31
Questão 5:
Calcular as porcentagens pedidas:
a) 15%
de R$ 1500,00
b) 25%
de R$ 5800,00
c) 150% de R$ 500,00
d) 300% de R$ 3500,00
e) 15,5% de R$ 4000,00
32
Juros Simples
Plano de aula 13.
•
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•
•
Conteúdo: Fórmula do Juros Simples- Problematização.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar o conceitos de Juros Simples. Apresentaremos a
fórmula de capitalização simples com exemplos.
A seguir propor
exercícios para fixação.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
•
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Iniciaremos o assunto com uma definição de juros simples:
Juros: importância cobrada pelo empréstimo de dinheiro. Antecipação de
capital por determinado tempo previamente combinado entre as partes
envolvidas na operação. Também podemos conceituar juros como qualquer
remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma mais
simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Quem possui
recursos pode utilizá-lo na compra de bens de consumo, ou de serviços, na
compra de imóveis para uso próprio ou venda futura, pode deixá-lo depositado
para atender a uma eventualidade qualquer ou apenas guardá-lo na expectativa
de uma oportunidade melhor para sua utilização e pode, se assim o desejar,
emprestá-lo com objetivo de aumentar seu capital.
Vamos propor agora exemplos para introduzirmos a terminologia co
assunto:
Exemplo 1:
Qual será nosso capital ao emprestarmos R$ 1000,00, durante 3 meses, à
taxa de 2% ao mês, a juros simples?
Juros = j
Capital = C
Tempo = t
Taxa
=i
Assim teremos:
Primeiro mês: C x i = 1000 x 2% = R$ 20,00
33
Segundo mês: C x i = 1000 x 2% = R$ 20,00
Terceiro mês : C x i = 1000 x 2% = R$ 20,00
Podemos perceber que ao longo dos meses teremos: C x i durante três
meses ou seja Cix3.
Generalizando vamos concluir que teremos:
J= Cit O capital final também conhecido por Montante representado
por M será de :
Capital inicial mais três meses de juros. Assim obtemos a fórmula do
Montante:
M = C(1 + it)
E a resposta de nosso exemplo é de R$ 1060,00.
●
Exemplo 2:
Um cliente recebeu R$ 240,00 de juros, calculado no regime de juros
simples após ter aplicado uma quantia por 12 meses, a taxa de 2% ao mês. Qual
o valor aplicado?
Resposta: R$ 1000,00
2) Sugestão de atividades:
Neste momento da aula devemos propor algumas questões para os alunos
que envolvam este conceito vistos até então:
Questão 1:
➢
Um estagiário aplicou R$ 300,00 a juros simples, tendo recebido um
montante de R$ 372,00, à taxa de 3% ao mês. Calcule o tempo de
aplicação.
Questão 2:
➢
Calcule os juros simples produzido por um capital de R$ 120,00 a uma taxa
de 4% ao mês, durante 8 meses.
Questão 3:
➢
Calcule o montante de um capital de R$ 1500,00 aplicado a juros simples,
a uma taxa mensal de 1,2%, durante 6 meses.
Questão 4: (Desafio)
➢
Determine o tempo necessário para que o capital de R$ 100,00 aplicado a
34
juros simples produza, à taxa de 2% ao mês, juros de R$ 14,00.
Questão 5: (Desafio)
➢
Calcule a taxa anual para que um capital de R$ 400,00, aplicado a juros
simples durante 5 anos, produza R$ 80,00 de juros.
Juros Simples
Plano de aula 14.
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•
•
•
Conteúdo: Taxas equivalentes.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar as diferentes modalidades de tempo: anual,
bimestral, trimestral, diário e suas conversões. A seguir propor exercícios
para fixação.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Devemos iniciar a aula apresentando aos alunos que no comércio, em geral,
podemos encontrar diversas formas de financiamentos, com diferentes situações
de taxas de juros. Assim vamos propor um exemplo para cada situação mais
comum de ser encontrada no mercado para ilustrarmos cada caso:
●
Exemplo 1:
Calcule o montante produzido por um capital inicial de R$ 1500,00, a uma
taxa de 15% ao ano, durante 10 meses, aplicado a juros simples.
O único detalhe é que:
i = 15/12 = 1,25% a.m.
Logo verificando este detalhe, temos que: M = C(1 + it)
Resposta: R$ 1687,50
●
Exemplo 2:
Calcule o montante produzido por um capital inicial de R$ 2 000,00, a uma
taxa de 2,5% ao bimestre, durante um ano, aplicado a juros simples.
O único detalhe é que:
i = 2,5/ 2 = 1,25% a.m.
Logo temos que: M = C(1 + it)
35
Resposta: R$ 2300,00
Fazer os alunos perceberem que podemos ter taxas equivalentes, ou
seja: São iguais, porém capitalizadas em tempos diferentes. 15% a.a. é
equivalente a 2,5% ao bimestre.
●
Exemplo 3:
Calcule o montante produzido por um capital inicial de R$ 3 000,00, a uma
taxa de 2,7% ao trimestre, durante um ano e meio, aplicado a juros simples.
Nosso detalhe é:
i = 2,7 /3 = 0,9% a.m.
Logo temos que: M = C(1 + it)
Resposta: R$ 3486,00
●
Exemplo 4:
Calcule o montante obtido a juros simples, um capital inicial de R$
1250,00, aplicado durante 6 meses à taxa de 0,02% ao dia.
Nosso detalhe agora é:
Transformamos 6 meses em 180 dias. Assim teremos:
M = C(1 + it)
M = 1250(1 + 0,02x180)
100
Resposta: R$ 1295,00
Neste caso devemos salientar que estamos em um exemplo teórico. Na
prática o banco verifica a existência de mês com 28 dias e conta efetivamente
todos os dias a serem capitalizados. Em 2009 fevereiro teve 29 dias (ano
bissexto)
2) Sugestão de atividades:
Neste momento da aula devemos propor algumas questões para que os
alunos possam exercitar as diferentes situações de taxas existentes:
Questão 1:
Calcule o montante produzido por um capital inicial de R$ 2 000,00, a uma
taxa de 9% ao ano, durante 10 meses, aplicado a juros simples.
Questão 2:
36
Calcule o montante produzido por um capital inicial de R$ 10 000,00, a uma
taxa de 1,6% ao bimestre, durante um ano, aplicado a juros simples.
Questão 3:
Calcule o montante produzido por um capital inicial de R$ 5 000,00, a uma
taxa de 2,25% ao trimestre, durante um ano e meio, aplicado a juros simples.
Questão 4:
Calcule o montante obtido a juros simples, um capital inicial de R$ 4
500,00, aplicado durante 10 meses à taxa de 0,025% ao dia.
Questão 5: (Desafio)
Calcule o montante obtido a juros simples, por um capital inicial de R$ 10
000,00, aplicado durante 3 anos à taxa bimestral de 1,3%.
37
Juros Simples
Plano de aula 15.
Conteúdo: Juros Simples – Problemas de fixação.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Propor problemas para fixação dos conceitos trabalhados.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Entregar todos os exercícios resolvidos em uma data
agendada pelo professor.
•
•
•
•
•
•
•
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Devemos propor uma lista de 10 exercícios para que os alunos exercitarem
o conteúdo dado ao longo das cinco aulas anteriores. Deveremos resolver 4 ou 5
exercícios, com graus de dificuldade variada, conforme o andamento das
explicações. No final, solicitar que individualmente cada aluno entregue a lista
toda em uma data agendada pelo professor, e, atribuir nota a esta atividade.
Também devemos verificar se existem dúvidas com relação aos exercícios
deixados nas aulas anteriores. Caso persistam dúvidas em muitos alunos, propor
mais uma aula para novas explicações.
2) sugestões de atividades
Questão 1:
➢
Um estudante comprou um computador por R$ 1150,00 e o vendeu por R$
1380,00. Qual foi a porcentagem do seu lucro em relação ao preço da
compra?
Questão 2:
➢
Um investidor aplicou R$ 15 000,00 em poupança, que rendeu 9% ao mês,
e R$ 20 000,00 em um Fundo de Renda Fixa, que rendeu 10,2% ao mês.
Após passados 6 meses de aplicação, qual a quantia que o investidor vai
possuir?
Questão 3:
➢
Um estagiário aplicou R$ 800,00 a juros simples, tendo recebido um
montante de R$ 968,00 à taxa de 3% ao mês. Calcule o tempo de
aplicação.
Questão 4:
38
➢
Calcule o montante de um capital de R$ 1500,00 aplicado a juros simples, a
uma taxa mensal de 1,2%, durante 6 meses.
Questão 5:
➢
Determine o tempo necessário para que o capital de R$ 1800,00 aplicado a
juros simples produza, à taxa de 1,5% ao mês, juros de R$ 216,00.
Questão 6:
➢
Calcule a taxa anual para que um capital de R$ 5 000,00, aplicado a juros
simples durante 3 anos, produza R$ 1 800,00 de juros.
Questão 7:
➢
Calcule o montante obtido a juros simples, um capital inicial de R$
8000,00, aplicado durante 8 meses à taxa de 0,025% ao dia.
Questão 8:
➢
Calcule o montante obtido a juros simples, por um capital inicial de R$ 25
000,00, aplicado durante 4 anos à taxa bimestral de 1,5%.
Questão 9: (Concurso TCDF) (Desafio)
➢
O capital de R$ 9 000,00 foi aplicado a taxa de juros de 36% ao ano. Após
quatro meses, qual o valor do montante?
Questão 10: (Concurso AFTN) (Desafio)
➢
Um capital no valor de R$ 500,00, aplicado a juros simples a taxa de 3,6%
ao mês atinge um montante de quanto em 20 dias?
39
Juros Compostos
Plano de aula 16.
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Conteúdo: Juros Compostos.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar teoricamente noções de Juros Compostos e
algumas definições importantes sobre o assunto.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
•
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Iniciamos este assunto com noções mais específicas e teóricas sobre Juros
Compostos.
Cabe a partir de agora apresentar algumas noções sobre Juros Compostos.
Para Vieira Sobrinho (2000) juros é qualquer remuneração do capital
emprestado, podendo ser entendido, de forma mais simplificada, como sendo o
aluguel pago pelo uso do dinheiro. Quem possui recursos pode utilizá-lo na
compra de bens de consumo, ou de serviços, na compra de imóveis para uso
próprio ou venda futura, pode também deixá-lo depositado para atender a uma
eventualidade qualquer ou apenas guardá-lo na expectativa de uma
oportunidade melhor para sua utilização e pode, se assim o desejar, emprestá-lo
com objetivo de aumentar seu capital. Ao se dispor a emprestar, o possuidor de
dinheiro, para avaliar a taxa de remuneração para seus recursos, deve atentar
para os seguintes fatores:
Risco: possibilidade real de o tomador do empréstimo não resgatar o
dinheiro;
Despesas: toda despesa operacional, contratual, imposto para a
formalização do empréstimo e a efetivação da cobrança;
Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto
para o prazo do empréstimo;
Ganho: lucro fixado em função das demais oportunidades de
investimento, justifica-se pela privação por parte do seu dono, da utilidade do
capital.
Desta forma pode-se perceber que a receita de juros deve ser suficiente
para cobrir o risco, as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital
emprestado, além de proporcionar certo lucro ao seu aplicador. Do ponto de
40
vista do tomador do empréstimo, a taxa de juros é influenciada pelo uso que fará
dos recursos emprestados. A taxa de juros poderá ser tanto maior, quanto for
maior o grau de necessidade desses recursos. Se o tomador pretende utilizar o
empréstimo em um negócio qualquer, com objetivo de lucro, sua despesa de
juros deverá ser menor do que a receita prevista.
Apresenta-se a algumas definições pertinentes ao assunto:
Capital: Entende-se por capital, sob o ponto de vista da matemática
financeira, qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada
época.
Taxa de Juros: É a razão entre o juros recebidos ou pagos no fim de um
período de tempo e o capital inicialmente empregado. A taxa está sempre
relacionada com a unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano, entre
outros).
Capitalização Simples: É aquela em que a taxa de juros incide somente
sobre o capital; não incide, pois sobre o juros acumulado.
Capitalização Composta: É aquela em que a taxa de juros incide
sempre sobre o capital inicial, acrescido de juros acumulados até o período
anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em
função do tempo.
Montante: Também chamado de valor futuro é igual a soma do capital
mais o juros referentes ao período de aplicação.
A capitação simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre
o capital inicial, não incide pois, sobre os juros acumulados. Neste regime de
capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se precisase converter a taxa diária em mensal, basta multiplicar a taxa diária por 30; e se
deseja-se uma taxa anual, tendo a mensal, basta multiplicar esta por 12, e assim
por diante. Já a capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide
sempre sobre o capital inicial, acrescida dos juros acumulados até o período
anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em
função do tempo. A simbologia é: M para montante, C para capital, n para o
prazo, i para taxa. Acrescenta-se neste estudo conceitos importantes a saber:
Desconto: deve ser entendido como a diferença entre o valor futuro de um
título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e o seu valor atual na
41
data da operação, ou seja , D= S-P, em que D representa o valor monetário do
desconto, S é o valor futuro (valor assumido pelo título na data do vencimento) e
P, o valor atual. Dentro desta conceituação, o valor do desconto está sempre
associado a uma taxa e a determinado período de tempo.
O conceito de juros pode ser introduzido através das expressões: dinheiro
pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros
colocado à nossa disposição; remuneração de capital empregado em atividades
produtivas ou, ainda, remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o
capital nelas aplicado. A juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente ao
longo do tempo, podendo ser percebido seu crescimento em uma progressão
geométrica. Temos de ressaltar que o mercado financeiro segue integralmente a
lei dos juros compostos. Assim, as Letras de Câmbio, o Sistema Financeiro da
Habitação, as prestações de crediário, os descontos de duplicatas, e outros
intermináveis exemplos do mercado financeiro seguem a lei do juros composto e
não dos juros simples. Entretanto, os juros simples são muito utilizados pela
facilidade de cálculo, e também como grande argumento de vendas.
Normalmente as contas são feitas a juros simples quando na realidade o
fenômeno se comporta a juros compostos.
Temos que nos tempos antigos o ouro e a prata se rivalizaram com o ferro e
o cobre na cunhagem de moedas. Com o passar do tempo, os metais menos
nobres foram cedendo lugar aos metais mais raros (ouro e prata).
Essa invenção facilitou sobremaneira a vida do homem, mas no início
apresentou graves problemas de confiabilidade, porque não havia nenhuma
regulamentação e era fácil o abuso, através de cunhagem de moedas com
metais não preciosos. Esses abusos fizeram com que a moeda perdesse
credibilidade e por conseqüência limitava a troca de produtos. Em 1609 foi
criado em Amsterdã o Banco Municipal, que tinha como finalidade dar
credibilidade e apresentar garantias de qualidade das moedas em circulação.
Esse procedimento era o seguinte: o comerciante trazia suas moedas boas e
adulteradas, que eram pesadas e seu valor creditado em conta corrente. Com o
desenvolvimento do comércio, em função da regulamentação e padronização
das moedas, surge a idéia de emprestar os depósitos que eram feitos porque
não era lógico deixar inativo esse dinheiro. Assim, acabava de ser criado o
dinheiro para gastar. “Como não poderia deixar de ser, os abusos começaram a
42
acontecer e os governantes começaram a sentir a necessidade de intervir para
manter a tranqüilidade econômica. Surge a figura do Banco Central com o
objetivo de ordenar a circulação do dinheiro.
Existem outras maneiras interessantes de ilustrar a necessidade de se
aprender sobre juros.
Sabemos que a cobrança de juros não é prática exclusivamente da era moderna.
Há indícios históricos de que ocorria desde tempos remotos, na era pré-urbana,
quando a atividade econômica era fundamentalmente agrícola. Exemplo:
alguém, que por algum motivo tinha um cavalo disponível, podia emprestá-lo a
outro que precisava de um cavalo para ajudá-lo em sua colheita. Entretanto,
quem emprestou não estava apenas interessado em receber o cavalo de volta
após algum tempo. Desejava uma parte dos grãos que o cavalo contribuiu para
produzir, ou seja, era a cobrança de juros sobre o empréstimo do cavalo. Com o
advento da moeda e, mais tarde, dos intermediários financeiros (bancos) as
coisas se sofisticaram. Mas o conceito fundamental continua tão simples quanto
essa história do cavalo. Deve-se apresentar outros conceitos importantes sobre
juros.
Juros Exato: usa-se a proporção correspondente aos dias do ano. Juros
Comercial: considera-se o ano com 360 dias e o período deve ser dado em
múltiplo de 30 dias.
Juros Ordinário: mesmo critério do comercial mas o período deve ser dado
em qualquer número de dias.
Também deve-se atentar para o seguinte: no mercado financeiro brasileiro,
mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos
conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere as taxas nominal,
efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado
o fechamento de negócios pela conseqüente falta de entendimento entre as
partes. Dentro dos programas dos cursos de Matemática Financeira existe uma
verdadeira poluição de taxas de juros. Não importando se a capitalização é
simples ou composta, existem três tipos principais de taxas a saber:
Taxa Nominal: a taxa nominal é quando o período de formação e
incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está
referida. Exemplo: 1200% ao ano com capitalização mensal.
43
Taxa Efetiva: a taxa efetiva é quando o período de formação e
incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.
Exemplo: 120% ao mês com capitalização mensal.
Taxa Real: taxa real é a taxa corrigida pela taxa inflacionária do período
da operação.
Existe uma conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real
não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe
uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por: 1 + i efetiva = ( 1 + i real)
( 1 + i inflação ).
Aplicação em Caderneta de Poupança: Se o governo anuncia que a
Caderneta de Poupança proporciona um rendimento real de 0,6 % ao mês igual a
0,006 significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflação i
inflação , isto é, deve ser multiplicado por 1+ i inflação e depois multiplicado por
1+0,6% = 1,006
Exemplo: Se uma pessoa possuía numa caderneta de poupança o valor de
R$ 10 000,00 no dia 30/04/09 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/09
foi de 0,7%, o rendimento da poupança foi de 0.65% ao mês, então, teremos em
sua conta no dia 30/05/09, o valor de:
C = 10 000 x 1,0065 x 1.007 = 10 135,45
Devemos lembrar que em nosso país a taxa de inflação varia muito conforme
as economias locais e mundiais.
44
Juros Compostos
Plano de aula 17.
Conteúdo: Juros Compostos.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar a Fórmula do Juros Composto e propor exercícios de
fixação.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
•
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•
•
•
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Vamos apresentar a fórmula do juros a partir de um exemplo simples de
juros simples que nos levará facilmente a Fórmula do Juros Composto.
●
Exemplo 1:
Aplicando R$ 100 000,00 durante três meses à taxa de juros de 10% ao
mês, qual o juros produzido?
Solução: Vamos apresentar através de uma tabela simples a evolução do
juros.
Mês
Capital
Juros
Montante
Primeiro
R$ 100 000,00
R$ 10 000,00
R$ 110 000,00
Segundo
R$ 100 000,00
R$ 11 000,00
R$ 121 000,00
Terceiro
R$ 121 000,00
R$ 12 100,00
R$ 133 100,00
Portanto o juros composto produzido foi de R$ 33 100,00. Percebemos
então que, em cada mês, a partir do segundo, a taxa de juros incide sobre o
montante acumulado no mês anterior. Por isso, esse tipo de rendimento é
chamado de juros composto.
Devemos salientar bem aos alunos que o juros composto é derivado do
simples acrescentado deste acúmulo de rendimento mês a mês.
Com este exemplo simples vamos apresentar a fórmula mais importante
do nosso estudo.
Um capital C aplicado durante n unidades de tempo à taxa i por unidade
de tempo. Calcule o montante acumulado ao final da aplicação.
45
A tabela a seguir mostra o montante acumulado ao final de cada mês.
Unidades
tempo
de
Capital
Juros
1
C
iC
2
C(1 + i)
iC(1 + i)
C(1+i) + iC(1+i)
3
C(1 + i)2
iC(1 + i)2
C(1+i)2+ iC(1+i)2
4
C(1 + i)3
iC(1 + i)3
C(1+i)3+iC(1+i)3
...
...
Montante
C + iC = C(1 + i)
...
...
Na coluna dos montantes chegaremos ao seguinte:
Montante = C(1 + i)3 + iC (1 + i)3 = C(1 + i)
4
e por analogia podemos generalizar da seguinte forma:
M = C( 1 + i)n
●
Exemplo 2:
Calcular o montante acumulado por um capital inicial de R$ 10 000,00
aplicado durante 4 meses a juros composto de 2% ao mês.
Solução: Basta aplicarmos a fórmula. Devemos ressaltar aos alunos a
questão da potenciação que é o grande problema para o calculo do juros
composto.
Resposta R$ 10 824,32
2) Sugestão de atividades:
Neste momento da aula devemos propor algumas questões para que os
alunos possam exercitar os conteúdos apresentados:
Questão 1:
➢
Calcular o montante acumulado por um capital inicial de R$ 5 000,00
aplicado durante 3 meses a juros composto de 1,5% ao mês.
Questão 2:
➢
Um capital de R$ 200,00 foi aplicado em regime de juros composto a uma
taxa de 20% ao mês. Calcule o montante desta aplicação após três meses.
Questão 3:
46
➢
Qual o capital que, aplicado em caderneta de poupança, produz um
montante de R$ 41 674,5 em 3 meses, capitalizado a juros composto à
taxa de 5% ao mês?
Questão 4: (Desafio)
Que capital produzirá um montante de R$ 106,12 a juros composto,
durante 3 meses, a 2% ao mês?
Juros Compostos
Plano de aula 18.
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•
•
•
Conteúdo: Juros Compostos.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar aos alunos definições de Valor Presente, Valor
Futuro,e Fluxo de Caixa bem como calculo do valor de parcelas em
pequenas operações de financiamento.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Na fórmula M = C (1 + i)n o C é também conhecido como Valor Presente
PV (Present Value), pois é o valor que a mercadoria em questão realmente
vale para pagamento a vista. Aqui cabe uma discussão se realmente aquele
produto que se deseja tanto realmente vale o esforço para sua aquisição. O
montante é também conhecido como Valor Futuro FV (Future Value). Nas
empresas em geral são utilizadas estas duas terminologias. Assim a nossa
conhecida fórmula se “transforma” em:
FV = PV(1 + i)n
Fluxo de Caixa: O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as
transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na
horizontal dividido pelo número de períodos para a análise. As entradas ou
recebimentos são representados por setas verticais apontados para cima e as
saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para
baixo. Observe o gráfico abaixo:
150
450
2
3
VF=100
VP=100
0
1
4
5
47
250
350
Somando-se as entradas e o VP e subtraindo-se as saídas percebemos
que para este exemplo não houve ganho de capital. Ficamos com o mesmo valor
inicial. Nosso exemplo foi expresso em dias. Porém o tempo pode ser expresso
em dias, semanas, meses, trimestres, anos. O zero representa a data inicial.
●
Exemplo 1:
Um pai de aluno ficou muito feliz com as notas de seu filho e decidiu
presenteá-lo com um Play Station III que custa R$ 1999,00. Como este pai vai
financiar o aparelho em 12 meses, com taxa de juros de 0,99% ao mês qual o
valor da parcela que deverá ser paga? Qual o valor total pago pelo aparelho após
a quitação total?
Resposta: Valor da parcela R$ 187,49; valor total pago R$ 2249,85
●
Exemplo 2:
Qual o valor futuro (FV) de uma televisão de LCD 42” que custa à vista R$
2998,00 e será financiada em 18 parcelas fixas com juros pré fixados de 1,47%
ao mês. Qual o valor da parcela?
Resposta: Valor Futuro e de R$ 3898,62 e o valor da parcela é de R$
216,59.
2) Sugestão de atividades:
Neste momento da aula devemos propor algumas questões para que os
alunos possam exercitar os conteúdos apresentados:
Questão 1:
➢
Qual o valor futuro (FV) de uma câmera digital que custa à vista R$ 398,00
e será financiada em 12 parcelas fixas com juros pré fixados de 1,47% ao
mês. Qual o valor da parcela?
Questão 2:
➢
Um banco empresta aos seus correntistas a taxa de juros de 1,82% ao
mês. Necessito de R$ 5000,00. Pretendo pagar ao banco em 36 meses.
Qual o valor da parcela e o valor total devolvido ao banco ao término da
operação?
Questão 3: (Desafio)
48
➢
Construa um Fluxo de Caixa com os seguintes dados:
Mês inicial R$ 1000, aplicado a 1% ao mês durante 5 meses;
Primeiro mês: prejuízo de R$ 345,75;
Segundo mês: lucro de R$ 573,20;
Terceiro mês: lucro de R$ 248,10;
Quarto mês: lucro de R$ 462,00
Quinto mês: prejuízo de R$ 846,30.
Durante estes meses, a empresa obteve lucro ou prejuízo?
Quanto dispõe após os cinco meses de operação? Analise esta situação.
Juros Compostos
Plano de aula 19.
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•
•
Conteúdo: Juros Compostos – Problemas de fixação.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Propor problemas para fixação dos conceitos.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Entregar todos os exercícios resolvidos em uma data
agendada pelo professor.
•
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Devemos propor uma lista de 10 exercícios para que os alunos exercitarem
o conteúdo dado ao longo das três aulas anteriores. Deveremos resolver 4 ou 5
exercícios, com graus de dificuldade variada, conforme o andamento das
explicações. No final, solicitar que individualmente cada aluno entregue a lista
toda em uma data agendada pelo professor, e, atribuir nota a esta atividade.
Também devemos verificar se existem dúvidas com relação aos exercícios
deixados nas aulas anteriores. Caso persistam dúvidas em muitos alunos, propor
mais uma aula para novas explicações.
2) sugestões de atividades
Questão 1:
➢
Um investidor aplicou seu capital de R$ 10 000,00, durante 2 meses,
obtendo taxas de 1,2% no primeiro mês e 1,4% no segundo mês. Ao final
dos dois meses, aplicou o capital obtido à taxa fixa de 2% ao mês durante 4
49
meses. Qual o montante final?
Questão 2:
➢
Um cliente, ao procurar uma aplicação, encontrou duas opções:
a) i = 3%, t = 12meses, R$ 17 109,13
b) i = 3,5% t = 6 meses, R$ 15 365,69
Qual delas exige menor capital?
Questão 3:
➢
Qual montante produzido por um capital inicial de R$ 1300,00, durante 5
meses, à taxa de 2% ao mês, aplicados a juros compostos?
Questão 4:
➢
Aplicamos um capital de R$ 10 000,00 durante 3 anos, a juros composto ,
tal que a taxa de juros no primeiro ano foi de 10%, no segundo foi de 12% e
no terceiro mês foi de 8%. Qual o montante acumulado nesses 3 anos?
Questão 5:
➢
Um aluno tem três opções de pagamento na compra de um tênis no valor
de R$ 250,00:
a) Á vista com 4,5% de desconto;
b) Em duas parcelas iguais, sem desconto, com a primeira parcela
vencendo em 30
dias;
c) Em três parcela iguais, sem desconto, com a primeira parcela vencendo
no ato da
compra.
Qual a melhor opção para este aluno se ele consegue uma taxa de 2,5% ao
mês para seu dinheiro?
Questão 6:
➢
Qual o valor presente ou capital de uma aplicação de R$ 98 562,25
efetuada pelo prazo de 6 meses, a uma taxa de 1,85% ao mês?
Questão 7: (Desafio)
➢
Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital de R$ 2500,00
produzir um montante de R$ 4 489,64 durante um ano?
Questão 8: (Desafio)
50
➢
Um professor pretende comprar um imóvel que custa R$ 120 000,00. Tal
imóvel tem uma depreciação anual de 5% até se estabilizar após 5 anos. O
professor possui R$ 80 000,00 que está aplicado a uma taxa de juros de
2,5% ao mês. Em quanto tempo este professor possuirá recursos para a
compra do imóvel à vista? (Este problema é uma análise aproximada de
situação real).
Questão 9:
➢
Determine o capital que, aplicado a juros compostos produz um montante
de R$ 224 972,80 em três meses, a 4% ao mês.
Questão 10:
➢
Determine quanto tempo ficou aplicado um capital de R$ 200 000,00 a
juros compostos para se obter um montante de R$ 292 820,00 a taxa de
10% ao mês.
Análise da Relação de Conteúdos
Plano de aula 20.
•
•
•
•
•
•
Conteúdo: Consórcio no Brasil.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar aos alunos o conceito de Consórcio.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Fazer uma pequena pesquisa sobre consórcios que operam em
sua cidade. Tal pesquisa deve conter: Nome da empresa, taxa de
administração, quanto tempo atua no mercado, endereço, foco principal
de atuação, entre outras informações pertinentes.
Desenvolvimento:
1) Introdução:
O professor deve iniciar sua aula com um breve histórico de como surgiu o
consórcio no Brasil.
No início da década de 60, com a instalação da indústria automobilística no
Brasil, e em decorrência da falta de crédito direto ao consumidor (CDC) que
também vamos estudar, funcionários do Banco do Brasil tiveram a idéia de
formar um grupo de amigos, com objetivo de constituir um fundo suficiente para
51
aquisição de automóveis para todos aqueles que dele participassem. Surgiu,
assim, no Brasil, o Consórcio, mecanismo de concessão de crédito isenta de
juros, que tem por finalidade a aquisição de bens de consumo.
O consórcio constituiu-se como importante ferramenta para essa indústria
instalada no País. Em 1967, a Willys Overland do Brasil (montadora de veículos)
já possuía, em sua carteira de clientes, cerca de cinqüenta e cinco mil
consorciados. Portanto, o consórcio teve sua origem ligado à indústria
automobilística, e durante muito tempo o automóvel foi seu único produto.
Hoje, inteiramente consolidado, o Sistema de Consórcios, viabiliza aquisição
de diversos produtos que vão desde bens de produção, a caminhões,
implementos agrícolas e rodoviários, ônibus, tratores, colheitadeiras,
embarcações, aeronaves, computadores, motos, eletrodomésticos, imóveis, etc.
Atualmente o Sistema de Consórcios representa os interesses de mais de 3
milhões de consorciados e é responsável pela movimentação de cerca de 14
bilhões de reais que corresponde a aproximadamente 1% do Produto Interno
Bruto (PIB) do Brasil, tendo entregue aproximadamente 10 milhões de bens nos
últimos dez anos.
2) Definições e conceitos:
Consórcio: Consórcio é a modalidade de acesso ao mercado de consumo
baseado na união de pessoas físicas e/ou jurídicas, com a finalidade de constituir
recursos destinados para aquisição de bens de consumo, sendo a Administradora
de Consórcio, responsável por reunir os consumidores interessados.
A Administradora de Consórcio é empresa especializada na organização e
administração dos grupos de consórcio para a aquisição do bem. Muito
importante é que para atuar no mercado a empresa deverá ter obrigatoriamente
autorização do Banco Central do Brasil. Este é a autoridade competente para
assuntos relativos ao Sistema de Consórcios, atuando como órgão normatizador
e fiscalizador do sistema.
Prestações Mensais: Cabe a Administradora de Consórcio cobrar de seus
consorciados as parcelas mensais que é o valor que todo consorciado paga para
formar o fundo para a aquisição do bem denominado Fundo Comum (FC), bem
como outra taxas que se encontram embutidas no título de cobrança que são:
Taxa de administração(TA): não se confunde com os juros cobrados em
outras operações financeiras. Esta taxa é indicada no contrato e representa a
remuneração da empresa pelos serviços prestados na formação, organização e a
administração do grupo até o encerramento. Esta taxa varia de empresa para
empresa.
Fundo de Reserva (FR): Trata-se de um fundo de proteção destinado a
garantir o funcionamento do grupo em situações adversas e que é devolvido no
término do grupo.
Seguro: O consorciado estará sujeito, ainda ao pagamento de prêmios de
seguro de vida, nos termos do contrato.
Vamos neste momento da aula apresentar o que as pessoas mais se
interessam:
A Contemplação. É na assembléia mensal que ocorre a contemplação a
quem é atribuído o crédito para aquisição do bem. São duas modalidades de
contemplação: O Sorteio que reflete a própria essência do consórcio, de vez
que todos os participantes do grupo que estão com suas parcelas em dia
52
concorrem em absoluta igualdade de condições. O Lance que será realizado
após a realização do sorteio e será admitido mediante oferecimento de lance
pelos interessados. Este lance funciona como um adiantamento de parcelas a
vencer que são oferecidas antecipadamente.
Exemplo: Um estagiário acadêmico do curso de Direito (5 anos de curso),
pretende comprar a moto de seus sonhos através de um consócio com duração
de 50 meses, com taxa de administração de 10%, fundo de reserva mensal de
0,1% e sem seguro, pois não é obrigatório. Qual o valor da sua parcela mensal
sabendo que a moto custa R$ 16000,00? Quanto pagará pela moto ao final do
consórcio? Quando este estagiário será contemplado sabendo-se que não dispõe
de recursos para dar um lance?
Solução: Fundo Comum
FC = R$ 16000: 50 meses = R$ 320,00
Taxa de Administração TA = 10% : 50 meses = 0,2% ao mês de
R$16000,00= R$ 32,00
Fundo de reserva
FV = 0,1% de R$ 16000,00 = R$16,00
Logo o valor da parcela será de: FC + TA + FV = 368,00
O valor total da operação para a aquisição da moto será de 50 X R$
368,00=
R$ 18400,00
E para finalizar devemos salientar aos alunos que o problema do
Consórcio é:
NÃO EXISTE A DATA CERTA PARA A SUA CONTEMPLAÇÃO.
O estagiário do exemplo poderá levar 4 anos e 2 meses para realizar seu
sonho. Quase o mesmo tempo do seu curso de Direito. Poderá ser sorteado no
primeiro mês ou no último. Depende da sua SORTE.
3) Sugestão de atividades:
Questão 1: (Desafio)
➢
Um empresário pretende aumentar sua frota de caminhões e para tal
pretende investir em consórcio para adquirir 10 caminhões que custam R$
150 000,00 cada. Qual o valor total de todas as parcelas que vai pagar
sabendo-se que participará de grupos de 100 meses, taxa de administração
de 12% , fundo de reserva de 0,15% e sem seguro obrigatório?
Questão 2:
➢
Pedir aos alunos para fazerem uma pesquisa sobre consórcios em sua
cidade com os seguintes dados: Nome da empresa, tempo de mercado,
taxa de administração, endereço, foco principal de atuação e outras
53
informações que julgar importante. Poderá ser em dupla.
Análise da Relação de Conteúdos
Plano de aula 21.
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Conteúdo: Leasing no Brasil.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar aos alunos o conceito de Leasing.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Participação e envolvimento na aula (avaliação diagnóstica).
Desenvolvimento:
1) Introdução:
O professor deverá iniciar sua aula apresentando aos alunos o que vem a
ser uma operação de Leasing no Brasil.
Conceito: Leasing é uma opção na qual é cedido um determinado bem em
troca de remuneração. A diferença de Leasing e aluguel é sutil. Enquanto no
aluguel o cedente tem intenção de conservar a propriedade do bem, findo
contrato, no Leasing existe a intenção da transferência do
bem. É possível definir melhor Leasing como uma operação de empréstimo
vinculada à aquisição de um determinado bem, na qual o bem permanece de
propriedade do cedente até o final do contrato, quando então é transferido para
o “tomador do empréstimo” mediante o pagamento de um valor residual ou não,
estimado no contrato.
Na prática muitos veículos são vendidos nesta modalidade de operação. As
taxas nesta modalidade de financiamento são, em geral, menores que as de
Crédito Direto ao Consumidor. A diferença existe no documento do veículo, pois
neste o nome do proprietário é o da financeira e o nome do comprador
efetivamente fica apenas no campo das observações do documento. Caso o
arrendatário tenha dificuldades para honrar seu compromisso com a financeira
poderá perder o bem em pouco tempo, além de perder todas as parcelas pagas
e a entrada que se deu na compra.
O prazo mínimo de arrendamento é de dois anos para bens com vida útil de
até cinco anos e de três anos para os demais. Por exemplo: para veículos, o
prazo mínimo é de 24 meses e para outros equipamentos e imóveis, o prazo
mínimo é de 36 meses (bens com vida útil superior a cinco anos). Existe,
também, modalidade de operação, denominada leasing operacional, em que o
prazo mínimo é de 90 dias.
Para que nossos exemplos sejam os mais próximos da realidade possível
temos que salientar aos alunos a existência dos impostos e taxas de abertura de
crédito. Veremos todos esses itens através do exemplo.
2) Exemplos:
●
Exemplo 1
54
Uma professora deseja adquirir um veículo no valor de R$ 24 999,00
pretendendo financia-lo em 48 meses através de um contrato de leasing que na
época da compra oferecia taxas de juros menores que o CDC. No negócio a
professora oferecerá R$ 8 000,00 de entrada. Calcule o valor da parcela sabendo
que a taxa de abertura de crédito (TAC) é de R$ 600,00 iof 0,38% e a taxa de
0,79% ao mês.
Solução: Valor do veículo – Entrada = 16 999,00
Valor financiado + TAC = 17599,00
Valor total + imposto = 17599,00 x 0,38% = 66,88
Valor total = 17599,00 + 66,88 = 17 665,88
Fórmula do juros composto:
M = C(1 + i)n
Assim temos: M = 17 665,88( 1 + 0,79%)48
M = 25 773,46
Valor da parcela sera de R$ 536,95
3) Sugestão de atividades:
Questão 1:
➢
Um comerciário deseja adquirir um veículo no valor de R$ 24 990,00
pretendendo financiá-lo em 48 meses através de um contrato de leasing
que na época da compra oferecia taxas de juros menores que o CDC. No
negócio o comerciário oferecerá R$ 5 000,00 de entrada. Calcule o valor
da parcela sabendo que a taxa de abertura de crédito (TAC) é de R$
500,00 iof 0,38% e a taxa de 0,99% ao mês.
Questão 2:
➢
Um office boy deseja adquirir uma moto no valor de R$ 5 990,00
pretendendo financiá-lo em 60 meses através de um contrato de leasing
que na época da compra oferecia taxas de juros menores que o CDC. A
moto será 100% financiada. Calcule o valor da parcela sabendo que a taxa
de abertura de crédito (TAC) é de R$ 500,00 iof 0,38% e a taxa de 1,09%
ao mês
Questão 3: (Desafio)
➢
Um metalúrgico deseja adquirir um automóvel no valor de R$ 15000,00
100% financiado. Qual das situações será mais vantajosa:
a) Contratar um Leasing em 48 meses, taxa de 0,99% ao mês, iof de
0,38%, TAC de R$ 600,00;
b) Entrar em um grupo de Consórcio de 60 meses, taxa de administração de
55
12%, fundo de reserva de 0,15% ao mês.
Análise da Relação de Conteúdos
Plano de aula 22.
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Conteúdo: Simulações de CDC.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Apresentar aos alunos 4 exemplos que estão no mercado.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Fazer uma pesquisa sobre os conceitos básicos de Tabela
PRICE e SAC e resolver a questão 5 em equipe.
Desenvolvimento:
1) Introdução:
Nesta aula vamos apresentar aos alunos situações problemas que estão
presentes no mercado nas situações mais corriqueiras e que todos nós nos
deparamos cotidianamente. São exemplos de Crédito Direto ao Consumidor.
Vamos tratar o assunto com exemplos distintos.
●
Exemplo 1:
Um determinado Banco manda uma carta a seu cliente oferecendo um bom
negócio. Está disponível a este cliente R$ 9 400,00 com forma de pagamento em
24 parcelas fixas de R$ 666,69. Apresenta ao cliente também que as taxas de
empréstimo do cheque especial são 12% ao mês e do cartão de crédito é de 13%
ao mês. Calcule quanto será este empréstimo no cheque especial e no cartão de
crédito apenas para 2 meses. Quanto será nas 24 parcelas oferecidas pelo
banco? Lembre-se da iof=0,38%.
Solução: iof = R$ 9 400,00 + 0,38% = R$ 9435,72
Para o cheque especial temos: M = C (1 + i)2
Logo temos que M = R$ 10 568,01
Para o cartão de crédito temos: M = C (1 + i)2
Logo temos que M = R$ 10 662,36
Para o empréstimo oferecido será de 24 x R$ 666,69 = R$ 16
000,56
●
Exemplo 2:
Uma famosa administradora de cartão de crédito (Hipercard) favoreceu seu
cliente com um limite de R$ 1000,00. Seu cliente no primeiro mês consumiu seu
limite integralmente, mas no momento de pagar sua fatura optou pelo
56
pagamento mínimo de apenas R$ 100,00. De quanto foi o valor total da fatura
no segundo mês, sabendo que esta administradora cobra 15,99% ao mês, iof de
0,38%.
Solução: Saldo devedor = R$ 1000,00 – R$ 100,00 = R$ 900,00
iof = R$ 900,00 + 0,38% = R$ 903,42
M = C (1 + i)1 = R$ 1047,88
Podemos concluir que se fizermos o pagamento mínimo da fatura iremos
apenas postergar a dívida e todo o pagamento de R$ 100,00 será praticamente
perdido.
●
Exemplo 3:
Uma loja de rede nacional apresenta um Televisor de 42” LCD no valor de
R$ 2998,00. Também vende sem entrada em 18 parcelas fixas com taxa de 1,4%
ao mês. Qual será o valor total a prazo e o valor da parcela? Lembre-se da iof
0,38%.
Solução: iof = R$ 2998,00 + 0,38% = R$ 3009,39
M = C (1 + i)18 = 3865,11 ( Valor total do Televisor parcelado).
Parcela = R$ 214,73
●
Exemplo 4:
Um veículo é vendido 100% financiado por R$ 22 990,00. Calcule o valor da
prestação sabendo-se que o comprador vai parcelar em 48 meses a uma taxa de
0,89% ao mês em CDC, com iof de 0,38, taxa de abertura de crédito de R$
600,00 e as despesas de Imposto e emplacamento são as seguintes: IPVA 2,5%
do valor do veículo e emplacamento R$ 550,00 direto com o despachante da
concessionária.
Solução: Vamos calcular todos os agregados para a compra do veículo:
iof =
R$ 22 990,00 x 0,38% = R$ 87,36
IPVA = R$ 22 990,00 x 2,5% = R$ 574,75
Soma de todas as despesas e do veículo:
R$ 87,36 + R$ 574,75 + R$ 600,00 + R$ 550,00 + R$ 22 990,00 = R$ 24
802,11
M = C (1 + i)48 = 37 948,84 (Valor total do veículo)
Valor da parcela R$ 790,60.
2) Sugestão de atividades:
Questão 1: (Desafio)
57
O professor deverá comentar esta situação o mais detalhado possível.
➢
Um professor deseja realizar o sonho da compra da casa própria. Para tal
vai financiar o imóvel em 10 anos junto a um Banco que pratica este tipo
de financiamento. As taxas para este tipo de financiamento são muito
variadas e estão na base de 1,1% ao mês. Para este tipo de operação a
burocracia é muito maior existindo necessidade de certidões negativas
das partes (vendedor e comprador). Além disso temos a comissão de
venda da imobiliária que gira em torno de 6%, o imposto da prefeitura, a
escritura pública, o registro do imóvel e as taxas de abertura de crédito
exigidas pelo banco. Também nesta modalidade de operação o
comprador vai ser integrado a uma modalidade de financiamento que
requer o uso de uma tabela de operação. São duas as mais usuais. Tabela
PRICE e SAC. Com todas estas informações, simule a compra de um
imóvel, apresente todos os custos da operação, o valor total do imóvel e
o valor da parcela. (Montar equipes de 4 alunos para tal atividade).
58
Análise da Relação de Conteúdos
Plano de aula 23.
Conteúdo: Análise de situações reais.
Metodologia: Aula expositiva.
Objetivos: Propor problemas para fixação dos conceitos.
Série: Segunda Série do ensino médio.
Material: Caderno, caneta, lápis e borracha.
Avaliação: Entregar todos os exercícios resolvidos em uma data
agendada pelo professor.
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Desenvolvimento:
1) Introdução:
Devemos propor uma lista de 6 exercícios para que os alunos exercitarem o
conteúdo dado ao longo das três aulas anteriores. Deveremos resolver 3
exercícios, com graus de dificuldade variada. No final, solicitar que
individualmente cada aluno entregue a lista toda em uma data agendada pelo
professor, e, atribuir nota a esta atividade. Também devemos verificar se
existem dúvidas com relação aos exercícios deixados nas aulas anteriores. Caso
persistam dúvidas em muitos alunos, propor mais uma aula para novas
explicações. Devemos dar especial atenção a questão 5 da aula anterior.
2) sugestões de atividades
Questão 1:
Um empresário pretende aumentar sua frota de veículos e para tal
pretende investir em consórcio para adquirir 5 veículos que custam R$ 35
000,00 cada. Qual o valor total de todas as parcelas que vai pagar sabendose que participará de grupos de oito anos, taxa de administração de 10% ,
fundo de reserva de 0,15% e sem seguro obrigatório?
➢
Questão 2:
➢
Um professor deseja adquirir um veículo no valor de R$ 20 990,00
pretendendo financia-lo em 36 meses através de um contrato de leasing
que na época da compra oferecia taxas de juros menores que o CDC. No
negócio a professora oferecerá R$ 5 000,00 de entrada. Calcule o valor da
parcela sabendo que a taxa de abertura de crédito (TAC) é de R$ 550,00
iof 0,38% e a taxa de 0,99% ao mês.
Questão 3:
➢
Uma famosa administradora de cartão de crédito (Mastercard) favoreceu
59
seu cliente com um limite de R$ 2500,00. Seu cliente no primeiro mês
consumiu seu limite integralmente, mas no momento de pagar sua fatura
optou pelo pagamento mínimo de apenas R$ 450,00. De quanto foi o
valor total da fatura no segundo mês, sabendo que esta administradora
cobra 11,99% ao mês, iof de 0,38%
Questão 4:
➢
Vou adquirir um veículo 100% financiado no valor de R$ 32 000,00 a uma
taxa de 0,99% ao mês em 48 meses, com uma taxa de abertura de crédito
de R$ 600,00, iof de 0,38% e financiarei também o IPVA (2,5%) e o
emplacamento que o despachante da concessionária cobra R$ 380,00.
Qual o valor total do veículo e qual o valor da parcela?
Questão 5: (Desafio)
➢
Um bancário pretende comprar um terreno na praia no valor de R$
15000,00 100% financiado em apenas 4 anos sem saldo devedor ao final
do financiamento. Quanto custará sua propriedade sabendo que a taxa de
juros da financeira é de 1,2% ao mês, iof de 0,38%, taxa de abertura de
crédito de R$ 550,00, IPTU anual de 1.0% , valor da escritura pública R$
350,00, valor do registro de imóvel de R$ 600,00, e a comissão da
imobiliária de 6%? Qual o valor da parcela mensal?
Questão 6:
➢
Elabore uma análise crítica sobre os conteúdos estudados correlacionando
as diferentes modalidades de crédito (Consórcio, Leasing, CDC)
apresentando suas principais diferenças. Apresente sua opinião sobre as
taxas de juros cobradas em nosso País, se estão muito altas ou acessíveis a
população. Comente a situação: Você prefere ir direto as compras
realizando seus desejos rapidamente, pagando juros ou prefere esperar
para guardar os recursos pagando à vista e recebendo algum desconto.
60
Respostas
Apresentamos as respostas das questões propostas em cada aula.
Aula 1:
➢
Questão 1: A tabuada do 3 é uma seqüência assim como todas as demais.
➢
Questão 2:
a) Resposta = 8.
b) Resposta = 26.
➢
Questão 3:
a) 23.
c) 131.
b) 39.
d) 207.
Série de FIBONACCI:
Aula 2:
➢
Questão 1:
a) r = 2 Crescente.
b) Não é P.A.
c) r = -4 Decrescente.
d) r = 0 Constante.
e) r = 5 Crescente.
➢
Questão 2: a12 = 25.
➢
Questão 3: a63 = 125.
➢
Questão 4: 5 mm.
➢
Questão 5: (5,9,13,17,...).
Aula 3:
➢
Questão 1: (6,10,14,18,22,26,30).
➢
Questão 2: 5 meios.
➢
Questão 3: (11,14,17,20,23,26).
➢
Questão 4: (-2,3,8,13,18,23,28,33,38,43).
61
➢
Questão 5: (60,55,50,45,35,30,25,20,15,10,5,0,-5).
➢
Questão 6: (-2,1,4,7,10,13,16,19,22).
➢
Questão 7: (-5,0,5,10,15,20,25,30,35,40).
➢
Questão 8: a6 = 30.
Aula 4:
➢
Questão 1: S10 = 175.
➢
Questão 2: S = 1734.
➢
Questão 3: S50 = 2500.
➢
Questão 4: S = 1683.
➢
Questão 5: Resposta 2000 m.
Aula 5:
➢
Questão 1: (1, 1 ,1 ,...).
2 3
➢
Questão 2: ( 5,8,13,20,...).
➢
Questão 3: a1 = r = 6.
➢
Questão 4: Duas soluções possíveis: r =1 P.A. 3,4,5 ou r = -1 P.A. 5,4,3.
➢
Questão 5: a6 = 30.
➢
Questão 6: (1,4,7,...)
➢
Questão 7: 5000.
➢
Questão 8: a1 = 4, S10 = 130.
➢
Questão 9: 66.
➢
Questão 10: 10 Termos.
Aula 6:
➢
Questão 1: a) 4 b) ½ c) -3 d) 5.
➢
Questão 2: (5, 15, 45, 135).
62
➢
Questão 3: (-2,-4,-8,-16,-32,-64).
➢
Questão 4: (540, 180, 60, 20, 20/3).
➢
Questão 5: x=2.
Aula 7:
➢
Questão 1: a9 = 1/81.
➢
Questão 2: a1 = 3.
➢
Questão 3: q = 3.
➢
Questão 4: 6 termos.
➢
Questão 5: (2, 8, 32, 128, 512).
Aula 8:
➢
Questão 1: (1, 3, 9, 27, 81, 243).
➢
Questão 2: (-3, 6, -12, 24).
➢
Questão 3: (3, 6, 12, 24, 48) ou (3,-6,12,-24,48).
➢
Questão 4: (3, 6, 12, 24, 48, 96).
➢
Questão 5: (-2,-6,-18,-54,-162).
➢
Questão 6: (4, 12, 36, 108, 324, 972, 2916) ou (4,-12, 36,-108, 324, -972,
2916).
Aula 9:
➢
Questão 1: -120.
➢
Questão 2:
➢
312 --1 .
2
15
Questão 3: - 2 – 1.
➢
Questão 4: 441.
➢
Questão 5: 7 termos.
➢
Questão 6: Poupou R$ 40,00 no primeiro mês.
Aula 10:
63
Questão 1:
➢
➢
a) 1 b) 83/330 c) 127/300 d) 61/45.
Questão 2:
a) S = 3/4 b) S = 9/2 c) 10/9 d) 200.
Aula 11:
➢
Questão 1: 10 termos.
➢
Questão 2: a1 = 3.
➢
Questão 3: 3, 9, 27.
➢
Questão 4: 10, 30, 90.
➢
Questão 5: a1 = 2, q = 2.
➢
Questão 6: 648.
➢
Questão 7: a1 = 2.
➢
Questão 8: S7 = 635.
➢
Questão 9: 8 termos.
➢
Questão 10: a) 5/9 b) 4/33 c) 31/9 d) -8/3.
Aula 12 :
➢
Questão 1 :390 alunos.
➢
Questão 2 : 65% dos jogos disputados.
➢
Questão 3 : 25% sobre o preço de compra.
➢
Questão 4 : R$ 89 100,00
➢
Questão 5: a) 225,00 b) 1450,00 c) 750,00 d) 10500,00 e) 620,00
Aula 13:
➢
Questão 1: 8 meses.
➢
Questão 2: R$ 38,40
➢
Questão 3: R$ 1608,00
➢
Questão 4: 7 meses.
64
➢
Questão 5: 4% ao ano.
Aula 14:
➢
Questão 1: R$ 2150,00.
➢
Questão 2: R$ 10960,00.
➢
Questão 3: R$ 5675,00.
➢
Questão 4: R$ 4837,50.
➢
Questão 5: R$ 12340,00.
Aula 15:
➢
Questão 1: 20 %.
➢
Questão 2: R$ 55340,00.
➢
Questão 3: 7 meses.
➢
Questão 4: R$ 1608,00
➢
Questão 5: 8 meses.
➢
Questão 6: 12% ao ano.
➢
Questão 7: R$ 8480,00.
➢
Questão 8: R$ 34000,00.
➢
Questão 9: R$ 10080,00.
➢
Questão 10: R$ 512,00.
Aula 17:
➢
Questão 1: R$ 5 228,39.
➢
Questão 2: R$ 345,60.
➢
Questão 3: R$ 35 999,84.
➢
Questão 4: R$ 100,00.
Aula 18:
➢
Questão 1: R$ 39,51.
65
Questão 2: Parcela de R$ 265,86; Valor total R$ 9571,09.
➢
Aula 19:
➢
Questão 1: R$ 11 107,57.
➢
Questão 2: R$ 12 000,00 Primeira opção.
➢
Questão 3: R$ 1 435,31.
➢
Questão 4: R$ 13 305,60.
➢
Questão 5: Melhor opção é à vista.
➢
Questão 6: R$ 88 296,69.
➢
Questão 7: 5% ao mês.
➢
Questão 8: Aproximadamente 4,5 anos.
➢
Questão 9: R$ 200 000,00.
➢
Questão 10: 4 meses.
Aula 20:
Questão 1: A parcela de todas as cotas será de R$ 19 050,00.
➢
Aula 21:
➢
Questão 1: R$ 687,56.
➢
Questão 2: R$ 208,08.
➢
Questão 3: Leasing R$ 25126,60; Consórcio R$ 18312,00.
Aula 23:
➢
Questão 1: R$ 2267,71.
➢
Questão 2: R$ 657,51.
➢
Questão 3: R$ 2304,52.
➢
Questão 4: Valor da parcela R$ 1133,29; Valor total pago R$ 54397,89.
➢
Questão 5: Valor da parcela R$ 650,29; Valor total R$ 31214,04.
66
REFERÊNCIAS
MARCONDES, Carlos Alberto e GENTIL, Nelson.
Matemática Volume Único, Editora Ática, São Paulo, 2003.
BARRETO FILHO, Benigno e SILVA, Claudio Xavier.
Matemática Volume Único, Editora FTD, São Paulo, 2000.
GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto.
Matemática Completa Volume Único, Editora FTD, São Paulo,
2002.
BARRETO, Benigno Filho e SILVA, Claudio Xavier.
Matemática Aula por Aula, segunda e terceira Série, Editora
FTD, São Paulo, 2005.
PAIVA, Manoel. Matemática 2, Editora Moderna, São
Paulo, 1995.
GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto.
Matemática Segundo Grau, Editora FTD, São Paulo, 1988.
GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto.
Matemática 1 Segundo Grau, Editora FTD, São Paulo, 1992.
PUCCINI, Aberlardo de Lima. Matemática Financeira
Objetiva e Aplicada, Livros Técnicos e Científicos, Editora S.A.
Rio de Janeiro, 1995.
ABAC- Associação Brasileira de Administração de
Consórcios.
www.abac.org.br
BUARQUE, Aurélio de Holanda Ferreira. Dicionário da língua
Portuguesa, FNDE/PNLD, Rio de Janeiro, 2004.
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