X )Álgebra Linear
Questões da Anpec :
Questão 3/1998
Uma matriz A, quadrada de dimensão n é dita ortogonal quando
AtA= AA t = In , onde o superescrito t denota transposição e In é a
identidade de dimensão n. Considere uma matriz ortogonal A de
ordem n. Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das
afirmações (sobre A) abaixo:
V (0) O valor absoluto do seu determinante é igual a um.
V (1) A -1 = A t .
V (2) Suas colunas constituem uma base para ℜ n .
F (3) Se x e y são vetores(coluna) de ℜ n tais que y= Ax então
o comprimento de y é maior que o comprimento de x.
F (4) O produto interno de Ax por Ay é igual ao produto interno
de x por y multiplicado pelo determinante de A.
V (5) Sua inversa e sua transposta são também matrizes
ortogonais.
Questão 15/1998
Considere uma matriz de números reais X, nem todos nulos,
F (0) A matriz X tX é sempre simétrica e singular
V (1) O escalar vtXtXv, onde v é vetor não nulo, é nãonegativo
F (2) Os valores característicos de X tX podem ser negativos
F (3) Se X é quadrada então X tX é invertível.
QUESTÃO 1/1999
Com relação ao sistema de equações:
1 13
2x + y − =
z 2
2
x− y+ = 0
z
1
9
2x − 3y + = −
z
2
F(0)Possui infinitas soluções.
F(1)Não possui solução.
V(2)Existe uma solução para a qual z = 2.
QUESTÃO 6/1999
Seja X matriz quadrada de ordem n cujos elementos são
números reais nem todos nulos. Indique se falsas ou verdadeiras as
afirmações:
(0) X é necessariamente não-singular F
(1) Se λ1, λ 2, λ 3, …, λ n forem os seus valores característicos e se X
for singular, o produto deles será necessariamente nulo. V
(2) A matriz inversa de X, se existir, atenderá necessariamente à
equação: X.X -1 = I, onde I representa a matriz identidade de
ordem n. V
(3) Quando qualquer das linhas de X pode ser expressa como
combinação linear de outra(s), pelo menos um dos valores
característicos é nulo. V
QUESTÃO 14/1999
Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das
afirmativas sobre a matriz A:
4
1
1
2
A= 
1
2

0 − 1
2
1
0
1
4
2 
0

2
F (0) Suas colunas são vetores linearmente independentes
V (1) Seu determinante é nulo
F (2) É matriz ortogonal
F (3) Suas colunas constituem uma base para R 4
F (4) Suas linhas constituem uma base para R 4
QUESTÃO 09/2000
Seja T o operador linear cuja matriz na base natural {(1, 0,0 ), (0,1,0), (0, 0,1)}
é dada por
 4

 6

 0

6
3
0
0 
0

1

. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
V(0) T possui dois autovalores distintos;
V(1) T é um operador diagonalisável;
V(2) Existe um autoespaço de dimensão 2 associado ao operador
T;
V(3) Autovetores de T associados à autovalores diferentes são
ortogonais;
V(4) Os vetores t (− 2, 6 , 6 ) , t ∈ ℜ , pertencem ao autoespaço de T
associado a um dos dos seus autovalores .
QUESTÃO 12/2000
Sendo V o espaço vetorial de dimensão 3 sobre o corpo R,
munido
do
produto
interno
Euclidiano
(.) :
x. y ≡ x1 y1 + x 2 y 2 + x3 y 3 ; x, y ∈ V, define-se uma norma . pelo produto
interno: x = x.x , x ∈ V. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
(0)Se {u1 , u 2 } é um conjunto de vetores LI (linearmente
independentes) de V, então {u1 , u 2 ,0} é também LI em V;
F
(1)Se todos os vetores de V são combinações lineares de 2 k + 1
vetores de V (para qualquer k , inteiro positivo) então 2 k vetores
neste espaço são LI; F
(2) Se X , Y , Z são vetores LI do espaço vetorial V, então os vetores
A = X + 3Z ; B = X −
1
Y + Z ; C = − X + Y + Z também serão LI em V;
2
F
(3) 0 ponto C (3, −16,18) não pertence à reta que passa pelos pontos
A(− 5,0,2 ) e B(− 4,−2, 4) ; F
(4) Sejam u1 , u 2 , v vetores em V tais que u1 .v = D1 , u 2 .v = D2 e o vetor
u1 − u 2 é paralelo ao vetor v . Então, u1 − u 2 =
D2 − D1
v
.
V
QUESTÃO 05/2001
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
Um sistema homogêneo de equações lineares sempre tem
solução; V
a regra de Cramer para resolução de um sistema de equações
lineares só pode ser aplicada se a matriz dos coeficientes do
sistema for inversível; V
para que um sistema homogêneo de equações lineares tenha
infinitas soluções basta que o determinante da matriz dos
coeficientes seja diferente de zero; F
um sistema homogêneo de m equações lineares com n
incógnitas tem infinitas soluções se n > m ; V
qualquer sistema de m equações lineares com n incógnitas tem
infinitas soluções se n > m . F
QUESTÃO 07/2001
Seja T o operador linear cuja matriz na base natural {(1,0), (0,1)} é
 3 1
dada por M = 
 . Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
 2 2
V A imagem de T é o R 2 ;
F O núcleo de T é uma reta em R 2 ;
V Os auto valores de T são positivos e distintos;
F Os auto vetores de T são ortogonais;
V O operador T possui um operador inverso T −1 tal que para todo
ponto ( x, y ) ∈ R 2 tem-se T −1 (T ( x , y )) = ( x, y) .
QUESTÃO 05/2002
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
F
V
V
(1,1, 1) (1, 2, 1) e (1, 0, 1) formam uma base de ℜ3 .
Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores (1 , 2, − 1) e (3 , 0 , 1) e T o espaço
vetorial gerado por (1 , 2, 2 ) e (2 , 1, 3) , então todo vetor que passa pela origem na
direção de (− 1 , 1, − 1) pertence à S ∩ T .
Os vetores
Os vetores
(1, 2, 3)
e
(4, 1, −2)
são ortogonais.
Ax = b possui uma infinidade de soluções se, e somente
se, a dimensão do subespaço nulo (núcleo) da matriz A , N A , for diferente de 0
( dim N A ≠ 0 ). ANULADA
O produto AB dos operadores auto-adjuntos A , B é auto-adjunto se, e somente se,
AB = BA .
O sistema de equações lineares
V
QUESTÃO 06/2002
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
A uma matriz não-singular com autovalores r1 , r2 e r3 , com r1 < r2 < r3 . Se r1 = 1
r
e traço ( A) = det ( A) = 6 , então 2 − r3 = −2 .
r1
F
Seja
V
Uma matriz é singular se, e somente se, possui um autovalor igual a 0.
F
Seja
F
Sejam
V
Sejam
I uma matriz identidade n × n e X uma matriz n × k com posto igual a k . Então,
−1
se A = I − X ( X ' X ) X '
então A é simétrica e det ( A' A) > det ( A) .
[
]
A e B matrizes quadradas de mesma dimensão. Se
det ( A + B )2 = det ( A)2 + 2 det ( A) det ( B) + det (B )2 .
[
]
AB = BA então
A e B matrizes triangulares inferiores n × n , cujos elementos da diagonal
principal são dados por (a11 ,..., ann ) e (b11 ,..., bnn ) , respectivamente. Então
det ( A + B ) = Π (aii + bii ) .
n
i =1