Demonstrando o Teorema de Laplace e as Propriedades dos
Determinantes
Raíssa Peres de OLIVEIRA(1); Cláudio ROCHA Junior(2); Ruy PIEHOWIAK(3)
(1) Aluna do Ensino Médio, da 3ª série, do Colégio Dom Bosco, Rio do Sul, SC, [email protected]
(apresentadora); (2) Aluno do Ensino Médio, da 3ª série, do Colégio Dom Bosco, Rio do Sul, SC,
[email protected] (apresentador); (3) Professor Orientador, Colégio Dom Bosco/Instituto Federal
Catarinense, Rio do Sul, SC, [email protected]
RESUMO: O presente trabalho foi desenvolvido por um grupo de alunos da 2ª série do ensino médio do
Colégio Dom Bosco da cidade de Rio do Sul, sob a orientação do professor de matemática. O interesse
pelo trabalho surgiu pelo fato de pretender aprofundar o conhecimento de matemática pura através de
demonstrações, neste caso o teorema de Laplace e as propriedades dos determinantes. Para o seu
desenvolvimento foram realizadas pesquisas de cunho bibliográfico que possibilitaram as demonstrações
pretendidas. Entende-se que esse trabalho tem valor social relevante no que tange o entendimento
histórico e de origem abrindo perspectivas para modelagem matemática, já que determinantes e matrizes
são fundamentais para muitas delas em situações que envolvem o cotidiano.
Palavras-chaves: matrizes, determinantes, teorema de Laplace.
INTRODUÇÃO
A teoria dos determinantes não foi desenvolvida por um único estudioso. O
estudo foi feito simultaneamente pelo matemático alemão, Gottfried Leibniz (16461716) e pelo matemático japonês Seki Shinsuke Kowa (1642-1708) solucionando
problemas de eliminações (escalonamento) necessárias à resolução de um sistema de m
equações lineares e n incógnitas No século XVII outros matemáticos contribuíram para
o aprimoramento desse estudo, dentre eles Vandermonde e Pierre Laplace e no século
XIX temos Cauchy e Jacobi. (BOYER, 1988).
O estudo das matrizes, juntamente com os determinantes é de extrema
importância para a matemática, pois é utilizado entre outras aplicações para a realização
de modelagens matemáticas.
Do estudo realizado em sala de aula, vimos como calcular o determinantes de
matrizes de ordem 2 e 3 pela regra de Sarrus. Assim, sabendo da existência de um
método mais simplificado, o teorema de Laplace, para calcular determinantes de
matrizes de ordem maior ou igual a 2 decidimos por fazer uma pesquisa a fim de
aprofundar o conhecimento deste teorema.
Os objetivos do trabalho foram entender o cálculo de determinantes, saber
utilizar suas propriedades e instigar nossas habilidades algébricas possibilitando maior
compreensão matemática.
Optamos por fazer um estudo bibliográfico do teorema de Laplace focando na
sua demonstração. É necessário ressaltar que tendo o teorema pronto teve-se a
necessidade de provar que este estava certo, por isso realizamos a demonstração do
teorema, utilizando o método de indução.
MATERIAL E MÉTODOS
1
Ao longo da pesquisa que norteou esse artigo, encontramos a definição de
determinante para uma matriz de ordem 2. “Se A é uma matriz quadrada de ordem 2,
calculamos seu determinante fazendo o produto dos elementos da diagonal principal
menos o produto dos elementos da diagonal secundária.” (DANTE, 2007, p. 148).
Apresentamos a demonstração do teorema de Laplace fazendo indução sobre n.
1ª PARTE:
Provemos que o teorema é válido para matrizes de ordem 2:
det M = a11A11+ a12A12
= a11D22+ a12(-1)D11
= a11a22 - a12a21
2ª PARTE:
Admitamos que a propriedade seja válida para determinantes de ordem (n – 1) e
provemos que ela também é válida apara determinantes de ordem n.
Seja M uma matriz de ordem n > 2. Os menores complementares das entradas de
M são determinantes de ordem (n – 1). Denotaremos por 𝐷 𝑗𝑙 𝑖𝑘 o determinante da
matriz que se obtém suprimindo de M das linhas i e j e as colunas k e l. (SÁ, 2004)
Fixemos a k-ésima coluna da matriz M (1 < k ≤ n) e calculemos o número.
C = a1kA1k + a2kA2k + a3kA3k + ... + ankAnk
Temos:
C  a1k A1k  a2 k A2 k  ...  ank Ank
C  a1k (1)1 k D1k  a2 k (1) 2 k D2 k  ...  ank (1) n  k Dnk
Os determinantes D1k, D2k, ..., Dnk são de ordem (n – 1). Assim, por método de
indução podemos calcular esses determinantes por teorema de Laplace.

 
31
D 1k  a 21 (1) 2  1 D 121
D 131k  ...  a n1 (1) n  1 D 1nk1 
k  a 31 ( 1)
i 2
D 2 k  a 11 (1) 1  1 D 211k  a 31 (1) 3  1 D 231k  ...  a n1 (1) n  1 D 2nk1
i 3
n
n
a i1 (1) i  1 D 1ik1
a i1 (1) i  1 D 2i1k
Assim, temos:
i1
Dnk  a11D121k  a21Dnk21  ...  an1 (1) n1 D1nk1  i 1 a i1 (1)i 1 Dnk
.
n 1
A substituição de D1k, D2k, ..., Dnk na expressão C acarreta em:
2
n
n
i 2
i 2
C  a1k (1)1 k { ai1 (1)i 1 D1ik1 } a2 k (1) 2 k { ai1 (1)i 1 D1Ki1 } 
n 1
... ank (1) n  k { ai1 (1)i 1 D nki1 }
i 1
Se tomarmos em C todas as parcelas onde a11 aparece teremos:
11
a11{a2 k (1) 2 k D211k  a3k (1) 3 k D311k  ...  ank (1) n  k Dnk
}
11
{a2 k (1) k D211k  a3k (1) k 1 D311k  ank (1) n  k  2 Dnk
}
a11D11
Assim, se tomarmos somente as parcelas onde an1 aparece teremos:
 an1{a1k (1) n  k 1 D1nk1  a2 k (1) 2 k  n D2nk1  ...  ank 1k (1) 2 n  k 1 Dnn11k } 
 {a1k (1) k 1 D1nk1  a2 k (1) 2 k D2nk1  ...  ank 1k (1) n  k 1 Dnn11k } 
 an1 Dn1
Sendo assim, concluímos que:
C  a11D11  a21D21  ...  an1 Dn1
C  a11 A11  a21 A21  ...  an1 An1
Provando o teorema de Laplace.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Provamos, com a realização deste trabalho, que o teorema de Laplace é valido
para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem n > 2, sendo a melhor maneira
para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem n > 3, já que para o cálculo de
determinantes de matrizes de ordem n = 4, podemos utilizar a Regra de Sarrus.
Podemos concluir com a realização desse trabalho que:
 Laplace estabelece que se pode obter o determinante de uma matriz
efetuando a soma do produto dos elementos de uma linha ou coluna pelos
respectivos cofatores e reduz o cálculo de um determinante de ordem n
ao calculo de determinante de ordem n – 1.
 Para aplicação do teorema de Laplace convém escolher uma linha ou
coluna da matriz com o maior número possível de zeros.
 Muitas vezes, para calcular o determinante de uma matriz, usam-se
simultaneamente o método de eliminação e o teorema de Laplace.
Começa-se com o método de eliminação para obter, por exemplo, na 1ª
coluna, apenas um elemento não nulo e aplica-se em seguida o
desenvolvimento de Laplace ao longo dessa coluna.
CONCLUSÕES
3
Com o desenvolvimento do trabalho nos possibilitou entender o que significa
matrizes e determinantes da ótica estritamente matemática, saber utilizar as
propriedades dos determinantes, entender e compreender melhor o teorema de Laplace
para calculá-lo.
Assim, pelo método de indução provamos a existência do teorema de Laplace. Os
determinantes possuem papéis fundamentais para matemática, principalmente na
execução de modelagens matemáticas. Outra possibilidade atingida com o estudo foi a
de desenvolver a habilidade algébrica de trabalhar matematicamente.
Caso esse trabalho tenha continuidade iremos desenvolver mais a questão de
matrizes inversas e procurar entender mais sobre a demonstração do teorema de
Laplace.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOYER, Carl. História da Matemática. São Paulo: Edward Blünchen, 1988.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 4. ed. São Paulo: Ática,
2007. v. 2.
SÁ, Fernanda Lúcia. Estudo dos determinantes. Caderno Dá Licença. Rio de Janeiro,
v. 5, Ano 6, p. 70 – 84, Dez. 2004.
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