1
I-projeto do campus
Programa Sobre Mecânica dos Fluidos
Módulos Sobre Ondas em Fluidos
T. R. Akylas & C. C. Mei
CAPÍTULO SETE
ONDAS INTERNAS EM UM FLUIDO ESTRATIFICADO
1
Introdução.
A atmosfera e o oceano são continuamente estratificados devido à mudança de temperatura,
composição e pressão. Essas mudanças no oceano e na atmosfera podem levar a variações
significativas da densidade do fluido em direção vertical. Como exemplo, a água doce dos rios pode
repousar por cima da água do mar, e devido a uma pequena difusividade, o contraste da densidade
permanece por um longo período. A estratificação da densidade permite que a oscilação do fluido
ocorra. A força restauradora que produz a oscilação é a força de empuxo. O fenômeno de onda
associado a estas oscilações é chamado de ondas internas e será discutido neste capítulo.
2
Equações Governantes
Densidade Estratificada
Para
Fluido
Incompressível
de
Iremos extrair o sistema de equações que governam o movimento de onda de um fluido
incompressível com estratificação de densidade contínua. As coordenadas cartesianas x, y e z serão
utilizadas, com z medida verticalmente em sentido ascendente. Os componentes de velocidade nas
direções crescentes x, y e z serão estipuladas como u, v e w. A partícula de fluido precisa satisfazer a
equação de continuidade
(2.1)
e as equações de momentum
(2.2)
(2.3)
(2.4)
onde ρ e p são, respectivamente, a densidade de fluido e de pressão. O fluido é adotado de tal forma
que a densidade só depende da entropia e da composição, ou seja, ρ depende apenas da temperatura
potencial θ e das concentrações dos componentes (ex.: a salinidade s ou humidade q). Então, para θ
fixo e q (ou s), ρ é independente de pressão:
2
(2.5)
O movimento que ocorre é para ser isentrópico e sem mudança de fase, de forma que θ e q sejam
constantes de um elemento material. Portanto
(2.6)
Em outras palavras, ρ é constante de um elemento material, porque θ e q são, e ρ depende apenas de
θ e q. Tal fluido é conhecido como incompressível, e por causa de (2.6) a equação de continuidade
(2.1) se torna
(2.7)
Para um fluido incompressível, a densidade ρ satisfaz a equação de densidade
(2.8)
Supondo que as velocidades sejam pequenas, podemos linearizar as equações de momentum para
obter
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Em seguida, consideramos que o movimento de onda resulta da perturbação de um estado de
equilíbrio, que é o estado de repouso. Portanto, a distribuição de densidade e de pressão é a
distribuição do equilíbrio hidrostático dada por
(2.12)
Quando o movimento ocorre, a pressão e a densidade mudam para
(2.13)
(2.14)
onde p′ e ρ′ são, respectivamente as perturbações de pressão e densidade do estado de “fundo” no
qual a densidade
fórmula
e
estão em equilíbrio hidrostático. A equação de densidade agora assume a
3
(2.15)
Os termos não-lineares
são insignificantes para um pequeno
movimento de amplitude, então a equação (2.15) é simplificada para
(2.16)
a qual afirma que a perturbação de densidade em um ponto é gerada pela advecção vertical da
distribuição de densidade de fundo. A equação de continuidade (2.7) para o fluido incompressível
permanece a mesma, mas as equações de momentum (2.9) a (2.11) assumem a fórmula
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Gostaríamos de reduzir os sistemas de equações (2.7), (2.16) e (2.17) a (2.19) a uma equação
diferencial parcial simples. Isto pode ser conseguido da seguinte forma: primeiro, tomamos o
derivativo de tempo da equação de continuidade para obter
(2.20)
Segundo, tomamos os derivativos x, y e t, respectivamente, das equações (2.17) a (2.19) e obtemos
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Se substituirmos as equações (2.21) e 2.22) pela equação (2.20), obtemos
(2.24)
4
Podemos eliminar ρ′ de (2.23) usando a equação (2.16) para obter
(2.25)
Terceiro, aplicamos o operador
à equação (2.25) para obter
(2.26)
Em seguida, usamos a equação (2.24) para eliminar ρ′ da equação (2.26), que proporciona a
seguinte equação diferencial parcial para w:
(2.27)
onde definimos
(2.28)
que possui as unidades de freqüência (rad/seg) e é chamado de freqüência Brunt-Väisälä ou
freqüência de empuxo. Se supormos que w altera com z muito mais rápido do que
, então
(2.29)
e (2.27) pode ser aproximada pela equação
(2.30)
A premissa acima é equivalente a aproximação de Boussinesq, que se aplica quando o movimento
possui escala vertical comparada à escala da densidade de fundo. Ela consiste em tomar a densidade
para ser constante no cálculo da velocidade de mudança de momentum a partir das acelerações,
porém levando totalmente em consideração as variações de densidade quando elas se originam das
forças de flutuação, ou seja, quando houver um fator de multiplicação g no componente vertical das
equações de momentum. A aproximação de Boussinesq leva à equação (2.30) para a velocidade
vertical w.
5
3
Freqüência de Empuxo (Freqüência Brunt-Väisälä).
Considere um fluido parado, estratificado, com uma distribuição de densidade estática
diminui com a altura z. Se uma parcela de fluido é movida do nível z acima de
por um fluido mais leve de densidade
volume é
que
, ela é cercada
. A força de flutuação que ascende por unidade de
(3.31)
e é negativa. Aplicando a lei de Newton à parcela de fluido da unidade de volume, temos
(3.32)
ou
(3.33)
onde
(3.34)
a qual é chamada de freqüência de empuxo ou freqüência Brunt-Väisälä. Esta consideração básica
mostra que, sempre que um fluido é deslocado da sua posição de equilíbrio, o gradiente de
gravidade e de densidade fornece força restauradora para permitir as oscilações.
4
Ondas Internas de Gravidade no Fluido Estratificado Infinito.
Considere o caso em que a freqüência (Brunt-Väisälä) de empuxo N é constante por todo o fluido.
As soluções de ondas em propagação de (2.30) podem ser encontradas na fórmula
(4.35)
onde w0 é a amplitude de velocidade vertical e
é o número de ondas do distúrbio
e ω é a freqüência. A fim de que (4.35) satisfaça a equação governante (2.30) para a velocidade
vertical de perturbação, ω e
devem estar relacionados pela relação de dispersão
6
(4.36)
Desta forma, as ondas internas podem ter qualquer freqüência entre zero e um valor máximo de N.
A relação de dispersão para as ondas internas possui uma característica bastante diferente,
comparada às das ondas de superfície. Em particular, a freqüência das ondas de superfície depende
somente da magnitude
do número de ondas, ao passo que a freqüência das ondas internas é
independente da magnitude do número de ondas e depende somente do ângulo ø que o vetor do
número de ondas faz com a horizontal. Para ilustrar, consideramos o sistema esférico de
coordenadas no espaço do número de ondas, ou seja,
(4.37)
(4.38)
(4.39)
O sistema de coordenadas no espaço de número de ondas é determinado na figura 1.
A relação de dispersão dada pela equação (4.36) reduz para
(4.40)
Agora, podemos escrever as expressões para as quantidades p′, ρ′, u e v. A partir da equação (2.20),
podemos escrever
que indica que a pressão de perturbação p′ é dada por
(4.41)
A partir da equação (2.16), temos a densidade de perturbação ρ′ dada por
7
Figura 1: Sistema de coordenadas no espaço do número de ondas
8
(4.42)
Os componentes de velocidade horizontal podem ser encontrados a partir das equações (2.17) e
(2.18), as quais proporcionam
(4.43)
(4.44)
As relações acima entre pressão e flutuação de velocidade podem ser úteis para reduzir as
propriedades da onda, a partir das observações de um ponto fixo. Por exemplo, se os componentes
de velocidade horizontal e a pressão de perturbação de uma onda progressiva forem medidos,
poderemos deduzir o componente horizontal do vetor do número de ondas com base em (4.44).
A figura 2 mostra o esboço das propriedades de uma onda interna progressiva plana no
plano vertical que contém o vetor do número de ondas. O movimento da partícula se dá ao longo
das cristas das ondas e não há nenhum gradiente de pressão nesta direção. A força restauradora
sobre uma partícula é então devida somente ao componente de gravidade g cos ø na direção do
movimento. A força restauradora é também proporcional ao componente de mudança de densidade
nesta direção, que é
por unidade de deslocamento.
Considere agora a sucessão de soluções, à medida que ø aumenta progressivamente de zero
para π/2. Quando ø = 0, uma linha vertical de partículas se move ao mesmo tempo como uma haste
rígida submetendo-se a vibrações longitudinais. Quando a linha de partículas é deslocada de seu
equilíbrio, as forças restauradoras de empuxo entram em movimento como se as linhas de partículas
estivessem em uma mola, resultando em oscilações de freqüência N. A solução para o aumento dos
valores de ø corresponde às linhas de partículas que se movem ao mesmo tempo do ângulo ø para a
vertical. A força restauradora por unidade de deslocamento (cos ødρ′ / dz) é menor que o caso onde
ø = 0, então a freqüência de vibração é menor. Como ø tende a π/2, a freqüência de vibração tende
a zero. O caso ø = π/2 não é uma onda interna, mas ela representa uma forma importante de
movimento que é freqüentemente observada. Por exemplo, é bastante comum em viagens de avião
visualizar camadas finas de nuvens que são consideravelmente planas e extensas. Cada camada de
nuvem se move em seu próprio plano horizontal, mas diferentes camadas se movem entre si.
9
Figura 2: Distribuição instantânea de velocidade, pressão e perturbações de
flutuação em uma onda interna de gravidade. Esta é uma visualização do plano x, y.
A fase da onda é constante ao longo das linhas oblíquas, tracejadas e contínuas. As
perturbações de velocidade e pressão têm ápice ao longo das linhas contínuas; as
perturbações de flutuação são zero ao longo das linhas contínuas. Ao longo das
linhas tracejadas, as perturbações de flutuação têm ápice e as perturbações de
velocidade e pressão são zero. Pequenas setas indicam as velocidades de
perturbações, que são sempre paralelas às linhas de fase constante. As setas mais
grossas indicam a direção da fase de propagação e a velocidade de grupo.
10
4.1
Efeitos de Dispersão.
Na prática, as ondas internas de gravidade nunca têm a forma da onda plana exata dada pela
equação (4.35), então é necessário considerar a sobreposição dessas ondas. Como conseqüência, os
efeitos de dispersão se tornam evidentes, já que as ondas com freqüências diferentes possuem fase e
velocidades de grupo diferentes, como iremos mostrar ainda nesta seção. Para ondas internas, as
superfícies de freqüência constante no espaço do número de ondas são cones ø = constante. A
velocidade de fase é paralela ao vetor do número de ondas e encontra-se situada em um cone de fase
constante. Sua magnitude é
(4.45)
A velocidade de grupo Cg é o gradiente da freqüência ω no espaço do número de ondas e, portanto,
é normal para a superfície de freqüência constante ω. Conclui-se que a velocidade de grupo está nas
perpendiculares do vetor do número de ondas. Quando a velocidade de grupo possui um
componente ascendente, por conseguinte, a velocidade de fase possui um componente descendente
e vice-versa. O vetor de velocidade de grupo é
(4.46)
sen ø e sua direção no ângulo ø vertical,
Portanto, a magnitude da velocidade de grupo é
como ilustrado na figura 3.
Para ilustrar os efeitos da dispersão, considere o caso de dois movimentos dimensionais.
Consideramos apenas as coordenadas x e y. Neste caso, o número de ondas é o vetor (k, m).
Consideramos um pacote de ondas localizado inicialmente. Devido aos efeitos de dispersão, o
pacote de ondas se espalha e se move de acordo com o vetor de velocidade de grupo Cg, que agora
se reduz a
(4.47)
A velocidade de fase é perpendicular ao vetor de velocidade de grupo, então as cristas das ondas
(linhas de fase constante) se movem perpendicularmente na direção da propagação do pacote de
ondas. A velocidade de fase é dada pela equação (4.45), onde o vetor de número de ondas faz um
ângulo ø com direção horizontal (veja a figura 1, mas agora defina θ = 0).
11
Figura 3: Vetor de número de ondas e vetor de velocidade de grupo.
12
Para ilustrar os efeitos de dispersão, consideramos três animações diferentes de um pacote
de ondas localizado para a perturbação de densidade ρ′. A densidade de perturbação ρ′ varia em
função da velocidade vertical w pela equação
(4.48)
e a equação governante para a velocidade vertical w é dada pela equação (2.30). Para obter a
evolução do tempo de um pacote de ondas localizado inicialmente pela densidade de perturbação,
aplicamos uma transformação de Fourier bidimensional às equações (2.30) e (4.48). O par de
transformações de Fourier bidimensionais considerado é
(4.49)
e
(4.50)
A transformação de Fourier da equação (2.30) é dada pela equação
(4.51)
a qual tem a solução da fórmula
(4.52)
onde ω é dada pela relação de dispersão
(4.53)
A transformação de Fourier da equação (4.48) é dada pela equação
(4.54)
13
Com base nas equações (4.51) e (4.54), temos
(4.55)
onde as constantes A e B são determinadas a partir da transformação de Fourier das condições
iniciais de ρ′, dada pelas equações
(4.56)
(4.57)
as quais indicam que as constantes A(k, m) e B(k, m) são dadas pelas equações
(4.58)
(4.59)
A perturbação da densidade ρ′(x, z, t) é finalmente dada pela equação
(4.60)
A função f(x, z) e sua transformação de Fourier
é dada pelas equações
(4.61)
(4.62)
Na animação que segue, mostramos os resultados da evolução numérica da transformação inversa
de Fourier na equação (4.60) para uma seqüência de valores da variável t com
dada pela equação
(4.62).
A primeira animação tem como condição inicial um pacote de ondas Gaussian com σ = ¼,
e
. Este pacote de ondas inicial possui uma forma circular e se divide em
duas partes, à medida que o tempo aumenta. Estas duas partes se propagam em direções opostas
uma da outra. Já que os componentes x e z do número de ondas principal são iguais e positivos e o
pacote de ondas possui a mesma modulação ao longo das direções x e z
, as duas partes do
pacote de ondas inicial percorre em direção ao meio do segundo e quarto quadrantes, como
14
podemos observar na animação. Para o pacote de ondas no segundo (quarto) quadrante, o vetor de
velocidade de grupo aponta a partir da origem em direção ao meio do segundo (quarto) quadrante.
Então a velocidade de fase, a qual é perpendicular à velocidade de grupo, é orientada em sentido
anti-horário (sentido horário), como podemos observar a partir do movimento das cristas na
animação. Quando as duas partes divididas do pacote de ondas inicial ainda estão próximas,
observamos alguma interferência construtiva e destrutiva. Para visualizar esta animação, clique
aqui.
A segunda animação tem como condição inicial um pacote de ondas Gaussian com σ = ½,
. Este pacote de ondas inicial possui a forma de uma elipse alongada na
direção x. No fotograma, este pacote de ondas inicial aparece quase sem variação na direção x. O
pacote de ondas se divide em duas partes, conforme o tempo aumenta. Estas duas partes se
propagam em direções opostas uma da outra, de uma forma semelhante ao exemplo anterior. O
efeito de interferência entre os dois pacotes de ondas divididos em relação às primeiras horas é mais
intenso do que o observado no exemplo anterior, como podemos ver na animação. Para visualizá-lo,
clique aqui.
A terceira animação possui como condição inicial um pacote de ondas de Gaussian com σ =
½,
. Este pacote de ondas inicial tem a forma de uma elipse alongada na
direção x. O fotograma mostra o pacote de ondas inteiro, o qual se divide em duas partes conforme
o tempo aumenta. Estas duas partes se propagam em direções opostas uma da outra, mas o vetor de
velocidade de grupo possui um componente um pouco menor na direção x. Isto se deve à diferença
da modulação do pacote de ondas nas direções x e z, como podemos observar na animação. Para
visualizar esta animação, clique aqui.
4.2
A Cruz de Saint Andrew.
Discutiremos sobre o padrão de ondas das ondas internas produzidas por uma fonte localizada sobre
a oscilação senoidal, como por exemplo um cilindro oscilante, em um fluido com gradiente de
densidade constante (a freqüência de empuxo é constante). Para as ondas internas senoidais, o fluxo
médio de energia de onda
(a pressão de perturbação ρ′ é dada pela equação (4.41) e os
componentes do vetor de velocidade são dados pelas equações (4.44) e (4.35)) no decorrer de um
período é dado pela equação
(4.63)
a qual é paralela à velocidade de grupo, de acordo com a equação (4.46). Dessa forma, para as
ondas internas a energia se propaga na direção da velocidade de grupo que é paralela às superfícies
de fase constante. Este fato significa que as ondas internas geradas por uma fonte localizada não
poderiam nunca ter a aparência conhecida das cristas circulares concêntricas centralizadas sobre a
fonte, como vemos, por exemplo, em relação à gravidade das ondas de superfície. Ao contrário, as
cristas e outras superfícies de fase constante se esticam de forma radial para fora da fonte, porque a
energia da onda viaja com a velocidade de grupo, que é paralela às superfícies de fase constante.
Para uma fonte de freqüência definida ω ≤ N (menor que a freqüência de empuxo), tais
superfícies encontram-se todas em um ângulo definido
15
(4.64)
na vertical; então, todas as energias de onda geradas na região da fonte percorrem aquele ângulo na
vertical. Conseqüentemente, elas são confinadas a um cone duplo com semi-ângulo ø. A direção do
vetor de velocidade de grupo ao longo do cone duplo é especificada pelo fato de que essa energia
precisa irradiar-se para fora da fonte. A direção de propagação das linhas de fase constante também
é especificada em termos de direção da velocidade de grupo, e pelo fato de que essa velocidade de
fase
(4.65)
é perpendicular à velocidade de grupo, e que
(4.66)
Assim, dada a direção da velocidade de grupo – a perpendicularidade da fase e a velocidade de
grupo aliada à condição (4.66) – a direção da velocidade de fase é especificada. Se a velocidade de
grupo possuir um componente vertical positivo, a velocidade de fase possui um componente vertical
negativo e vice-versa. A figura 4 ilustra dois casos bidimensionais de um cilindro oscilante.
Esta propriedade singular de anisotropia tem sido verificada em substanciais experiências
científicas por Mowbray e Stevenson. Através da oscilação de um cilindro longo em várias
freqüências de forma vertical em um fluido estratificado, as linhas de fase idênticas são encontradas
apenas ao longo de quatro feixes formando a “Cruz de Saint Andrew”, observe na figura 5 ω ≤ N =
0,7 e ω ≤ N = 0,9. Pode-se confirmar que os ângulos são ø = 45 graus de ω ≤ N = 0,7 e ø = 26 graus
de ω ≤ N = 0,9, em exata concordância com a condição (4.64).
5
Comportamento do Guia de Ondas.
Nesta seção, estudaremos a propagação de ondas livres em um fluido estratificado de forma
contínua na presença de limites, como o oceano ou a atmosfera. A atenção é restrita ao caso em que
o fundo é plano, mas nem a aproximação hidrostática nem a aproximação de ondas longas serão
criadas. O estado de equilíbrio que está sendo perturbado é o único que repousa, então a densidade
e, por conseguinte, a freqüência de empuxo, é uma função apenas da coordenada vertical z.
Começaremos com o oceano que possui um limite. A atmosfera é um pouco diferente do oceano, já
que ela não possui um limite superior definido. Portanto, estudaremos as ondas desta situação mais
tarde nesta seção.
5.1
O Guia de Ondas Oceânico
Já que assumimos o estado não-perturbado enquanto o estado repousa, as propriedades de fluido são
constantes sobre as superfícies horizontais e, além disso, os limites são horizontais. As soluções da
equação de perturbação (2.27) podem ser encontradas na fórmula
16
Figura 4: Velocidades de fase e de grupo
17
Figura 5: A Cruz de Saint Andrew em um fluido estratificado. A parte superior simboliza ω ≤ N =
0,9 e na parte inferior esquerda, ω ≤ N = 0,7.
18
(5.67)
A equação para
pode ser encontrada através da substituição da equação (5.67) pela equação
governante (2.27). Obtemos
(5.68)
As condições-limite para esta equação são a condição de fundo sem fluxo, dada pela equação
(5.69)
e na superfície livre temos a condição linear
(5.70)
onde ρ′ é a pressão de perturbação. Desta equação, podemos obter uma condição-limite de
superfície livre para
. Aplicamos o operador
à equação (2.24) e, em seguida, substituímos
a equação (5.70) pela equação resultante. Como resultado, obtemos a equação
(5.71)
Agora, se substituirmos a equação (5.67) pela equação (5.71), obtemos a condição-limite da
superfície livre para
, como a seguir
(5.72)
Para simplificar a equação governante de
, criamos a aproximação de Boussinesq, de forma
que a equação (5.68) simplifique de acordo com
(5.73)
com as condições-limite dadas pelas equações (5.72) e (5.69). Os dois limites (de fundo e de
superfície livre) possuem o efeito de delimitar a energia de onda em uma região de extensão finita.
19
Então, o oceano pode ser considerado como um guia de ondas que induz energia para se propagar
horizontalmente.
Uma utilidade imaginária é descrever as ondas internas se propagando obliquamente através
do oceano, reflexos nos limites superiores e inferiores decorrentes sem perda de energia a partir do
guia de ondas, enquanto que a propagação horizontal não possui limite.
Em seguida, obtemos a solução geral da equação (5.73) sob as condições-limite (5.72) e
(5.69). Primeiro, consideramos o caso onde ω2 > N2. Para este caso, a solução geral possui a
fórmula
(5.74)
que já satisfaz a condição-limite de fundo. A condição-limite de superfície livre (5.72) proporciona
a relação de dispersão
(5.75)
que é semelhante à relação de dispersão de ondas de superfície. Na verdade, a solução (5.74) não é
uma onda interna, mas uma onda de gravidade superficial. Para obter ondas internas, precisamos
que ω2 ≤ N2. Este é o próximo caso a considerar. Consideramos a solução geral da equação (5.73), a
qual é dada pela equação
(5.76)
que já satisfaz a condição-limite de fundo. Se substituirmos a equação (5.76) pela condição-limite
de superfície livre (5.72), obtemos a relação de dispersão
(5.77)
Para um dado valor de freqüência ω, esta relação de dispersão oferece um conjunto de valores para
o módulo do componente horizontal (k2 + l2) do número de ondas ou para um dado valor do módulo
do componente horizontal do número de ondas, temos um conjunto de valores possíveis para a
freqüência ω. Para ω menor ou a mesma ordem de freqüência de empuxo N, pode-se fazer uma
aproximação do ponto de inversão de temperatura, ou seja, o lado esquerdo da equação (5.72) é
pequena comparada ao lado direito. Então, a equação (5.72) se reduz a
(5.78)
Esta condição-limite proporciona uma relação de dispersão da fórmula
(5.79)
ou
20
(5.80)
que se aproxima do resultado dado pela relação de dispersão dada pela condição-limite da superfície
livre (5.77). O valor de m para o caso da superfície livre é um pouco maior que o caso da
aproximação do ponto de inversão de temperatura.
Se o oceano é perturbado pela estrutura espacial de um dos modos (um valor específico de
m para um dado ω), então o comportamento subseqüente no devido tempo é descrito pela equação
(5.67), ou seja, existe a oscilação de uma determinada freqüência. Tal situação, entretanto, é
improvável, e se faz necessário representar a estrutura inicial no espaço com uma sobreposição de
modos (para um dado ω, temos um conjunto de valores para k2 + l2). Então, cada um deles se
comportará no devido tempo, conforme considerado acima, e por isso a solução pode ser construída
a qualquer hora adotando a devida sobreposição de modos.
5.2
Ondas Livres em uma região semi-infinita.
A atmosfera não possui um limite superior como o oceano, portanto as soluções da equação (5.73)
agora serão consideradas para o caso de um âmbito semi-infinito z > 0. Neste caso, existem dois
tipos de soluções, a primeira sendo tipificada pelo caso N = constante. As únicas soluções da
equação (5.73) que satisfazem a condição no solo z = 0 e permanecem vinculadas ao infinito são
senoidais, ou seja,
(5.81)
onde m possui a mesma expressão da oferecida na equação (5.76). Agora, não há restrição sobre m,
e de acordo com a relação funcional entre m e ω dada na equação (5.76), a freqüência ω pode ter
algum valor na variação 0 ≤ ω < N, ou seja, existe um espectro contínuo de soluções. A
sobreposição de tais soluções pode ser utilizada para resolver problemas do valor inicial e ter a
fórmula das integrais de Fourier.
Quando N altera com z, existe um outro tipo de solução possível, ou seja, uma que satisfaça
a condição no solo que ainda decai como z → ∞. Estes são os modos de guia de ondas e geralmente
existe apenas um número finito possível. Um exemplo simples é oferecido através do caso onde
uma região de profundidade H de freqüência de empuxo grande e uniforme N1 sustenta uma região
semi-infinita de freqüência de empuxo pequena e uniforme N2. A camada de freqüência de empuxo
N1 possui profundidade H e encontra-se em 0 < z < H, e a camada semi-infinita de freqüência de
empuxo N2 encontra-se em z > H. Para 0 < ω < N2, a solução em ambas as camadas possui a
fórmula dada pela equação (5.81) com m = m1 na primeira camada e m = m2 na segunda. A
freqüência de onda é constante em toda a interface das duas camadas, a qual proporciona a relação
(5.82)
entre os números de ondas verticais m1 e m2. Para este caso, o espectro é contínuo e ω pode assumir
qualquer valor entre 0 e N2. Isto não é verdadeiro para o caso quando N2 < ω < N1, quando a
freqüência ω pode assumir apenas um conjunto finito de valores na variação N2 < ω < N1. Neste
caso, a solução da equação (5.73) para a primeira camada é dada pela equação
21
(5.83)
e na segunda camada temos a solução dada pela equação
(5.84)
Na interseção z = H entre as duas camadas, a pressão de perturbação p′ e a velocidade vertical ω
deverão ser contínuas. Por outro lado, esta condição pode ser expressa em termos de proporção
(5.85)
a qual precisa ser a mesma em ambos os lados do limite. É conveniente se referir a Z como
“impedância”. A condição para que a impedância em ambos os lados das camadas seja a mesma dá
os valores possíveis para ω (eigenvalores). Esta condição é expressa pela equação
(5.86)
O espectro, em termos de freqüência de ondas, possui uma parte contínua e uma parte
descontínua, solução da equação (5.86). Os modos
para 0 < ω < N2 possuem forma senoidal em
ambas as camadas, e para N2 < ω < N1 os modos
são senoidais na primeira camada e decaem
exponencialmente na segunda camada. Assim, para chegarmos a conclusão de como a perturbação
se modificará com o tempo, a partir de algum estado inicial, é necessário representar este estado
como uma sobreposição tanto dos modos de guia de ondas descontínuo como o espectro contínuo
de modos senoidais. A amplitude relativa dos diferentes modos depende do estado inicial.