Fı́sica Quântica
1: O Advento da Fı́sica Quântica
1. A luz proveniente de uma estrela de primeira grandeza foi estudada na Terra tendo sido determinado
um comprimento de onda médio de 560 nm e um fluxo de 1, 6 × 10−10 W/m2 . Quantos fotões passam
através da pupila de um olho por segundo, provenientes dessa estrela? O diâmetro da pupila no escuro
é de cerca de 6 mm.
2. Quantos fotões por segundo emite
(a) um laser de He-Ne (λ = 633 nm) de baixa potência (1 mW)?
(b) um telemóvel que emite com uma potência de 0, 4 W radiação de 850 MHz?
(c) um forno de microondas de 750 W que opera a 2, 45 GHz?
3. Se tiver ondas electromagnéticas emitidas com uma dada potência, em que caso espera que a descrição
clássica de ondas funcione melhor, nas radiofrequências ou nos raios X?
4. O olho de uma pessoa que se adaptou à escuridão durante 1/2 hora consegue ver um flash de luz com
a duração de 1 ms, proveniente de uma fonte de luz de 510 nm, com uma potência de 6 × 10−14 W.
Supondo que 10% da luz emitida atinge a retina, quantos fotões são necessários nos receptores do olho
para gerar o sinal que o cérebro interpreta como um flash de luz? (Na verdade, as células são sensı́veis
a fotões individuais, mas o cérebro humano filtra o sinal).
5. Faz-se incidir luz ultravioleta de comprimento de onda λ = 350 nm sobre uma superfı́cie de potássio,
produzindo fotoelectrões cuja uma energia máxima é de 1,34 eV.
(a) Determine a função trabalho do potássio.
(b) Determine o comprimento de onda máximo da luz incidente acima do qual não há emissão de
electrões pela superfı́cie.
6. A função trabalho no molibdénio é 4,22 eV. Determine o valor máximo de comprimento de onda da
luz incidente acima do qual não se observa efeito fotoeléctrico no molibdénio.
7. Faz-se incidir luz de comprimento de onda λ = 400 nm e intensidade 10−2 W/m2 sobre uma superfı́cie
de potássio, cuja função trabalho é de 2,2 eV. A emissão de electrões ocorre imediatamente. No entanto,
esperar-se-ia classicamente que decorresse um intervalo de tempo t entre o instante em que se liga a
fonte de luz e o instante em que se inicia a emissão de electrões. Estime esse valor de t.
8. Considere a colisão de um fotão com um electrão livre, inicialmente em repouso.
(a) Deduza a expressão do desvio de Compton de um fotão que incide num electrão livre, inicialmente
em repouso:
∆λ = λ0 − λ = λc (1 − cos θ) ,
onde θ é o ângulo de desvio do fotão, λ é o comprimento de onda do fotão incidente, λ0 é o
comprimento de onda do fotão emergente e λc é o comprimento de onda de Compton. Calcule o
valor numérico do comprimento de onda de Compton.
(b) Calcule a variação de energia do fotão ∆E = E 0 − E e diga se o fotão ganha ou perde energia na
colisão. Compare a variação percentual de energia ∆E/E × 100% para um fotão de 10 KeV e
um fotão de 10 MeV, numa colisão com θ = π/2.
(c) Será possı́vel observar o efeito Compton com protões em vez de electrões? Calcule a máxima
variação percentual de comprimento de onda para um fotão de λ = 1Å que colide com um protão
em repouso.
9. Mostre que um electrão livre não pode absorver toda a energia de um único fotão que colida com ele.
Note, no entanto, que isso já é possı́vel para um electrão atómico.
10. Determine quantos desvios de Compton são necessários para que um sinal de rádio de 90 MHz sofra
uma variação de comprimento de onda de 0,01%. Porque se ignora o efeito de Compton na transmissão
de sinais de televisão e ondas de rádio?
11. De acordo com o modelo de Bohr, o átomo de hidrogénio é constituı́do por uma partı́cula de carga
negativa (electrão) descrevendo trajectórias circulares em torno de uma carga positiva (protão).
(a) Obtenha a expressão da energia e do raio da órbita em função do número quântico n e calcule os
seus valores para o átomo de hidrogénio no seu estado fundamental;
(b) Deduza a expressão para o comprimento de onda de uma linha de emissão do hidrogénio.
(c) Obtenha os três maiores comprimentos de onda da série de Balmer para o hidrogénio. Entre que
limites de comprimentos de onda se estende esta série?
12. Um muão negativo (µ− ) tem uma carga igual à de um electrão mas uma massa 207 vezes superior.
Qual seria a energia do nı́vel fundamental e o raio de um ”átomo de hidrogénio”constituı́do por um
protão e um muão (µ− )?
13. Um feixe de electrões de energia 12,2 eV incide num tubo contendo hidrogénio, estando os átomos
no estado fundamental. Mostre que pode haver absorção de energia pelos átomos de hidrogénio e
determine os comprimentos de onda da radiação emitida na reorganização dos átomos.
14. Determine a razão das constantes de Rydberg para o H e para o He+ , a partir dos seguintes dados:
m(átomo He)/m(átomo H)=3,9718 e mH+ /me =1836,2 .
15. Determine a razão de massas do deutério e do hidrogénio se as suas riscas Hα (correspondentes a
transições entre os nı́veis n=3 e n=2) tiverem comprimentos de onda iguais a 6561,01 Å e 6562,8 Å,
respectivamente. (Nota: foi através de medidas deste tipo que foi descoberto o deutério.)
16. Qual é o comprimento de onda de de Broglie de
(a) um carro de 2000 Kg que se desloca a 100 Km/h?
(b) uma partı́cula de pó de 1µm de raio e densidade 200 Kg/m3 rodeada de moléculas de ar à
temperatura ambiente (300K)? (note que a energia cinética média de uma partı́cula à temperatura
T é 3/2kB T ).
(c) Um átomo de
87
Rb que foi arrefecido a uma temperatura de T=100µmK ?
17. Um relógio mecânico normal tem partes móveis de dimensões e massas da ordem de grandeza 10−4 m
e 10−4 Kg, respectivamente, e um tempo tı́pico de 1 s. Diga, justificando, se estas engrenagens devem
ser estudadas em Fı́sica Clássica ou Fı́sica Quântica.
18. Uma antena de rádio de potência 1 KW emite na frequência 1 MHz. Devemos considerar a antena um
sistema quântico?
19. No microscópio a mais pequena distância que pode ser distinguida é da ordem do comprimento de
onda usado. Qual o limite de resolução teórica de um microscópio electrónico que utiliza electrões
acelerados a 150 KeV? Compare com o que se verifica com um microscópio normal, isto é, utilizando
luz visı́vel (4000 Å < λ < 7000 Å).
20. Considere um feixe de neutrões com uma energia cinética de 10 MeV. Determine qual deve ser a ordem
de grandeza da dimensão de um objecto para que seja observada difracção de neutrões.
me = 9, 109 × 10−31 Kg
En = −
e = 1, 602 × 10−19 C
1
e2
13, 6 eV
=−
2 4π²0 a0 n2
n2
a0 =
h = 6, 626 × 10−34 J.s
4π²0 h̄2
= 0.529 × 10−10 m
me2
R∞ =
c = 2, 997 × 108 m/s
e2
= 10973731 m
8π²0 h c a0