MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Sólidos inscritos,
circunscritos e
troncos
2
S1  h 
v h
=  e = 
S2  H 
V H
3
Troncos
Razão entre área e volume
Razões são muito utilizadas em figuras semelhantes para obter o percentual de diferença entre
elas. No dia-a-dia ajudam muito na construção civil e
na arquitetura quando estas montam suas maquetes
ou stands.
Dados dois sólidos semelhantes, podemos
afirmar que existe uma razão entre suas áreas e
volumes.
Os troncos são partes de uma pirâmide ou de
um cone após serem seccionados. Você verá que as
suas fórmulas são derivações das razões entre áreas
e volumes.
•• Se retirarmos a pirâmide menor e o cone menor, formamos dois troncos.
S
S
r
g
H
SB
SB
R
h1
≈
h2
Área total (st):
h 
= 1 
s2  h 2 
s1
2
e
h 
= 1 
v2  h2 
v1
St = Sb + SB +S
3
Razões de semelhança em pirâmides e cones.
SS1
EM_V_MAT_031
SSB2
h
H
V=
H
S b + S B + S b .S B 

3
S = área lateral
No tronco de cone Sl = p (r + R) . g’
Sólidos inscritos e
circunscritos
SS1
h
Volume (V):
SSB2
Esse assunto requer não só um conhecimento
do aluno de toda geometria espacial, como também
um pouco de conhecimento de semelhança, pois na
maioria das vezes é necessário fazer associação entre
o raio de uma esfera com o apótema ou a aresta.
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1
1.º caso:
cubo circunscrito à esfera
a 6
a 36
h
4
h
=
r3
h=
ah 6 4r
=4r
3
a 6
4r
3
a = 2r 6
a
r
4.º caso: tetraedro regular
inscrito na esfera
a
a = 2r
2.º caso:
cubo inscrito na esfera
a
R
D=a 3 ⇒D
R⇒a=
= 2

a 3 =2R
2R 3
3
a 6
3
a3 6
hR== h
43
a 6
3
RhR=== 3h3⋅ a 6
44 3
3
R = 3 ha 6
Ra= 64⋅= 4R
4 3
32Ra 66
aRa =
6= = ⋅4R
4 33
2R 6
aa= 6 = 4R
3
2R 6
a=
3
h=
a
D=a 3 ⇒D
R⇒a=
= 2

a 3 =2R
a
D=a 3 ⇒D
R⇒a=
= 2

a 3 =2R
2R 3
3
2R 3
3
3.º caso: tetraedro regular
circunscrito à esfera
a
5.º caso: cone equilátero
circunscrito à esfera
h
h
r
r
h=
R
a 6
⇒h
=
4r ⇒ a = 2r 6

3
a 6
=4 r
3
h = 3r
2
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EM_V_MAT_031
a
``
h
=
R
3



Solução:
S1 = 6 .32 = 54cm2
R 3 =3 r
S2 = 6 .62 = 216cm2
R=r 3
V1 = 32 = 27cm3
V2 = 62 = 27cm3
6.º caso: cone equilátero
inscrito na esfera
Podemos observar que o centro da esfera coincide com o centro do cone equilátero (baricentro da
secção meridiana). Consequentemente, a distância
do centro da esfera ao vértice é equivalente a 2 da
3
altura, a qual corresponde ao próprio raio.
R
S1  l1 
=
S 2  l 2 
2
3R
2
``
3
Solução:
æ ö÷2
ç
2
S1 æç h1 ö÷
144 çç h ÷÷÷
144 9
= çç ÷÷ ®
=
= çç ÷÷ ®
÷
2
h
ç
ç
÷
S2
S2 è h2 ø
S2 ç ÷
4
çè ÷÷ø
3
9 S2 = 576 ® S2 = 64m 2
2
R= r 3
3
r=
3
2. Uma pirâmide com área da base valendo 144m2, foi
seccionada por um plano distando a terça parte de
sua altura em relação à base. Calcule a área da secção
formada pelo plano na pirâmide.
h=r 3
r 3=
l 
V
e 1 = 1
V2  l 2 
S1  3 
V1  3 
= 
= 
V2  6 
S2  6 
S1 1
V
1
=
e 1 =
S2 4
V2 8
r
2
R= h
3
2
3. Uma chapa de metal de formato circular foi aquecida aumentando em 50% o seu raio. Calcule quanto aumentou
sua área percentualmente.
R 3
2
``
Solução:
2
S1 æç R1 ö÷
S
R12
S
1
® 1 =
= çç ÷÷ ® 1 =
S2 çè R2 ÷ø
S2 2 , 25 R12
S2 2 , 25
S2 = 2 , 25 S1
1. Dados dois cubos de arestas 3cm e 6cm. Ache quantas vezes a área e o volume do cubo 2 é maior que do
cubo 1.
Teve um aumento de 125%.
4. Calcule a área total de um tronco de cone, cujos raios
das bases valem 3cm e 6cm e a altura, 4cm.
4
6cm
3cm
1
2
g
3
``
Solução:
g2 = 42 + 32
EM_V_MAT_031
g = 5cm
St = Sb + S B + Sl
pr2 + pR2 + p(r + R).g
p . 33+ p62 + p(3 + 6).5 = 9 p + 36 p + 45p = 90 p
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3
5. Calcule o volume de um tronco de pirâmide quadrangular regular, de apótema 13cm, cujas arestas da base
medem 4cm e 14cm.
``
8. Ache a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera
circunscrita a um cone equilátero.
``
Solução:
Solução:
h
R
13
r
5
2
2
2
Como h = 3r e R = h
3
2
R = ⋅ 3 r R = 2r
3
h = 12
12  2
4 + 14 2 + 4 2 ⋅ 14 2 
3 

V = 4.[16 + 196 + 56] V = 1 072cm3
V=
6. Maria observou que seu vaso de planta tem o formato de
um tronco de cone e ela queria comprar exatamente um
volume de areia correspondente ao volume do vaso. Para
isso, comprovou que os raios das bases medem 5cm e
10cm, enquanto a altura mede 15cm. Considerando p = 3,
calcule o volume de areia que ela precisa comprar.
``
Solução:
Hp é 2
5p é 2
r + R 2 + rR ùú Þ V =
5 +10 2 + 5.10 ùú
û
û
3 êë
3 êë
3
V = 5 [25 +100 + 50 ] Þ V = 5.175 = 875cm
V=
7.
``
3
Vins .  r 
V
 r 
=   → ins . =  
Vcir .  R 
Vcir .  2r 
Vins . 1
=
Vcirc . 8
9. Pedro pegou uma bola de tênis com 3cm de raio e
observou que ela ficava exatamente inscrita em uma
pirâmide com o formato de um tetraedro regular. Calcule
o valor da aresta desse tetraedro
``
Solução:
Calcule a área total do cubo inscrito numa esfera de
raio R.
h
Solução:
r
a
R
a=
2R 3
3
4R 2 . 3
ST = 6 .
9
a 6
⇒h
=
4r ⇒ a = 2r 6

3
Como já visto anteriormente, a altura do tetraedro em
função da aresta é dada pela fórmula:
a 6
3
E também, como a altura em relação ao raio é dada pela
fórmula h = 4r, chegamos a seguinte igualdade:
ST = 6a2
 2R 3 

ST = 6 . 
 3 


h=
a 6
=4 r
3
h=
4
3
a 6
= 4 ⇒ a = 2r 6
3
2
ST = 8R
2
Substituindo o valor do raio chegaremos à seguinte
conclusão:
a = 6 6 cm
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EM_V_MAT_031
13 = h + 5
2
c) 75%
d) 87,5%
1. A figura abaixo representa uma pirâmide regular de
base quadrangular que foi seccionada por um plano β
paralelo à base.
β
H
d
Sabendo-se que a altura da pirâmide é H e que d é
a distância entre β e a base, determine o valor de d
para que a pirâmide fique dividida em dois sólidos de
volumes iguais.
2. (Unificado) Um projetor de slides, colocado a 4 metros
de distância de uma tela de cinema, projeta sobre ela
um quadrado. Para que a área desse quadrado aumente
20%, a que distância da tela, em metros, deve ser colocado o projetor?
a) 4,20
b) 4,40
c) 4,80
d) 5,60
e) 90%
4. Secciona-se uma pirâmide por dois planos paralelos
à base, que dividem sua altura em três partes iguais.
Determine os números proporcionais aos volumes dos
três sólidos em que fica dividida a pirâmide.
5. Uma pirâmide tem 30cm de altura e cada uma de suas
secções planas paralelas à base é um quadrado. Calcule
a que distância do topo da pirâmide está a seção que
determina um tronco de pirâmide de volume igual a 7/8
do volume total da pirâmide.
6. A que distância da base de um cone de altura H se deve
passar um plano paralelo à sua base, a fim de que a
1
seção determinada seja
da base do cone?
9
1
a) H
2
2
b) H
3
3
c) H
4
4
d) H
5
3
e)
H
2
7. A figura mostra dois cones de revolução iguais, de altura
2 e raio da base 1. O vértice de cada um deles é o centro
da base do outro.
e) 6,00
3. Pelo ponto médio da altura de uma pirâmide, passa-se
um plano paralelo à sua base, que secciona essa pirâmide em duas partes, P1 e P2.
O
2
1
O
P1
P2
O percentual do volume da parte inferior (P2) em relação
ao volume total da pirâmide é:
a) 50%
EM_V_MAT_031
b) 63,5%
O volume da parte comum aos dois cones é:
p
a) 12
p
b)
6
p
c)
4
p
d) 3
p
e)
2
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5
8. Se um cone de centro da base O e de altura H (figura I),
obtém-se um tronco de cone de altura H (figura II).
2
Nesse tronco, faz-se um furo cônico com vértice O,
como indicado na figura III.
11. Calcule o volume do tronco de pirâmide quadrangular
regular de primeira espécie, sabendo que os lados das
bases medem 3cm e 4cm e a altura mede 6cm.
H
H/2
0
o
Fig. I
Fig. II
Fig. III
Se o volume do cone da figura I é V, então o volume do
sólido da figura III é:
3V
a)
4
V
b)
2
5V
c)
8
2V
3
4V
e)
7
9. A figura abaixo é a seção de dois cones retos, cortados
por um plano perpendicular às bases.
d)
a) 37cm3
b) 26cm3
c) 74cm3
d) 148cm3
e) 222cm3
12. Uma pirâmide regular tem base quadrada de área 4. Ela
é seccionada por um plano paralelo à base, de modo
a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base
superior de área 1. Determine o valor da aresta lateral
do tronco de pirâmide.
13. (ITA) A figura representa uma pirâmide hexagonal regular, de altura 10m e lado da base 4m, que foi seccionada
por um plano paralelo à base e distante 5m.
V
2D
D
F
A
2D
4D
O volume da região hachurada é:
b)
c)
5
6
7
pD
12
1
3
a)
3
b)
e) 2pD3
c)
10. A área da superfície de uma esfera cresce 4,04% quando
o raio dessa esfera sofre um aumento de:
d)
a) 3%
c) 2,2%
D
2
3
d) pD3
b) 2,5%
C
Determine o volume do tronco de pirâmide obtido.
14. (UFGO) O volume de um tronco de cone circular reto,
com base de raio R, cuja altura é a quarta parte da altura
h do cone correspondente, é:
pD3
pD
4m
e)
pR h
4
pR 2h
12
55pR 2h
192
37pR 2h
192
3pR 2h
4
d) 2%
6
e) 1,5%
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EM_V_MAT_031
a)
B
5m
E
15. (FCC) Um cone circular tem raio de base 4cm e altura
12cm. Esse cone é cortado por um plano paralelo à sua
base, gerando uma face circular de raio 2cm. O volume
do tronco de cone assim obtido é, em cm2:
a) 37cm3
b) 26cm3
c) 74cm3
a) 64π
d) 148cm3
b) 56π
e) 222cm3
c) 32π
d) 24π
e) 8π
16. (UFC) Um cone reto, de altura 4cm, é seccionado
por um plano paralelo à sua base à distância h de seu
vértice. Para que o cone e o tronco de cone obtidos
dessa secção tenham volumes iguais, a medida de h,
em centímetros, é:
a)
3
32
b)
3
72
c)
3
96
d)
72
e)
32
a) 24π
b) 168π
c) 192π
d) 504π
e) 648π
20. Um cubo de aresta m está inscrito em uma semiesfera
de raio R de tal modo que os vértices de uma das faces pertencem ao plano equatorial da semiesfera e os
demais vértices pertencem à superfície da semiesfera.
Então, m é igual a:
17. O volume do sólido gerado pela rotação completa da
figura a seguir em torno do eixo e é, em cm3:
e
2cm
6cm
3cm
a) 38π
19. Um cone circular reto tem 24cm de altura e raio da
base medindo 9cm. Esse cone é cortado por dois planos paralelos à sua base e que dividem sua altura em
três partes iguais. Em cm3, o volume do tronco de cone
compreendido entre esses dois planos é:
3cm
2
3
2
b) R
3
3
c) R
3
d) R
a) R
3
2
21. O volume do cilindro equilátero inscrito numa esfera de
raio igual a 8cm é:
e) R
a) 128p 2cm3
b) 64p 2cm3
c) p 2cm3
b) 54π
c) 92π
d) 256p 2 cm3
d) 112π
e) 128π
18. Calcule o volume do tronco de pirâmide quadrangular
regular de segunda espécie, sabendo que os lados das
bases medem 3cm e 4cm e a altura, 6cm.
e) 128pcm3
22. Um cone equilátero está inscrito numa esfera de raio R.
O excesso do volume da esfera em relação ao volume
do cone é:
EM_V_MAT_031
a)
2
3
pR
3
b) 2 3 pR 3
c)
3
23
24
pR 3
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7
d) 13 pR 3
26. Considere o tetraedro regular (4 faces iguais) inscritos
em uma esfera de raio R, onde R mede 3cm.
29
D
12
e)
24
pR 3
23. Um tubo cilíndrico de altura 20cm e raio da base 2cm
é o recipiente onde se colocam peças esféricas que
se ajustam perfeitamente ao tubo. Para proteger essas
peças, o espaço vazio entre elas e o tubo é preenchido
com um lubrificante líquido. O volume, em cm3, de
lubrificante necessário ao total preenchimento desse
espaço vazio é:
160p
a)
3
80p
b)
3
c) 80p
C
H
A soma das medidas de todas as arestas do tetraedro
é dada por:
a) 16 3cm
c) 12 6cm
24. Uma esfera E de raio r está inscrita em um cubo e outra
F está circunscrita a esse mesmo cubo.
F
α
α
r1
d) 8 3cm
e) 6 3cm
27. Mostre que a área total do cilindro equilátero, inscrito em
uma esfera, é a média geométrica entre a área da esfera
e a área total do cone equilátero inscrito nessa esfera.
28. Observe a figura abaixo, que representa um cilindro
circular reto inscrito em uma semiesfera, cujo raio OA
forma um ângulo θ com a base do cilindro.
Então, a razão entre os volumes de F e de E é igual a:
r
3
a)
M
B
b) 13 6cm
d) 160p
E r
A
o
θ
b) 2 3
3 3
2
d) 3 3
c)
Se θ varia no intervalo
e) 4 3
3
25. Uma esfera de raio 2R está inscrita em um cone de
revolução. Uma segunda esfera de raio R tangencia
exteriormente a 1.ª esfera e tangencia também todas as
geratrizes do cone. Calcular o volume do cone.
b)
c)
d)
e)
8
2
3
4
3
pR
e o raio da semiesfera
mede r, calcule a área lateral máxima desse cilindro.
29. (PUC) Considere um cilindro circular reto inscrito em um
cone circular reto com 10cm de raio e 24cm de altura.
3
pR 3
16
3
32
3
64
3
pR 3
pR 3
pR 3
Expresse o volume desse cilindro como uma função do
raio da base do cilindro.
30. Três bolas de tênis, idênticas, de diâmetro igual a 6cm,
encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica,
com tampa. As bolas tangenciam a superfície interna
da embalagem nos pontos de contato, como ilustra a
figura a seguir.
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EM_V_MAT_031
a)
p 

 0, 2 


d) 200L
e) 150L
4. (FEI-SP) Um cone circular reto tem 2m de raio e altura
4m. A área da secção transversal feita por um plano
paralelo à base e distante 1m do vértice é:
a)
Calcule:
a) a área total, em cm2, da superfície da embalagem;
b) a fração do volume da embalagem ocupado pelas
bolas.
1. (ITA) A figura representa uma pirâmide hexagonal regular, de altura 10m e lado da base 4m, que foi seccionada
por um plano paralelo à base e distante 5m.
5m
4m
b)
c)
p
2
p
8
p
4
m2
m2
m2
d) p m2
e) n.d.a.
5. (PUC) Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone
circular reto invertido, de eixo vertical, e está cheio até a
boca (nível do solo) com 27 000 litros de água e 37 000
litros de petróleo (o qual é menos denso que a água).
Sabendo que a profundidade total do tanque é de 8
metros e que os dois líquidos não são miscíveis, a altura
da camada de petróleo é:
a) 6m
b) 2m
Determine o volume do tronco de pirâmide obtido.
2. Dada a pirâmide de altura h, a que distância y do vértice
devemos traçar um plano secante paralelo à base, de
11
modo que o volume do tronco seja
do volume da
27
pirâmide?
y
h
c) 3 37 m
p
27
m
d)
16
e)
37
m
16
6. Um copo tem a forma de um cone com altura 8cm e
raio da base 3cm.
3
3. Um tanque cônico, de eixo vertical e vértice para baixo,
tem água até a metade de sua altura. Se a capacidade
do tanque é de 1 200L, então a quantidade de água
nele existente é de:
8
x
EM_V_MAT_031
a) 600L
b) 450L
c) 300L
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9
Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e
de água. Para que isso seja possível a altura x atingida
pelo primeiro líquido colocado deve ser:
8
a) cm
3
b) 6cm
de baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo
de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 35
minutos após, a altura da areia na parte de cima
reduziu-se à metade, como mostra a figura.
c) 4cm
h
2
h
d) 4 3 cm
3
e) 4 4 cm
7.
(Cesgranrio) Uma ampulheta repousa numa mesa,
como mostra a figura I (o cone B completamente cheio
de areia).
A
?
B
B
H
No início
35 minutos depois
Supondo que em cada minuto a quantidade de
areia que passa do cone de cima para o de baixo é
constante, em quanto tempo mais toda a areia terá
passado para a parte de baixo?
a) 5 minutos
b) 10 minutos
A
c) 15 minutos
(I)
(II)
d) 20 minutos
e) 30 minutos
A posição da ampulheta é invertida. A figura II mostra
o instante em que cada cone contém metade da areia.
Nesse instante, a areia do cone B forma um cone de
altura:
a)
b)
H
3
10. (Cesgranrio) Um recipiente cônico, com altura 2 e raio
da base 1, contém água até a metade de sua altura
(figura I). Inverte-se a posição do recipiente, como
mostra a figura II.
V
H
2
-0
c) H
3
d)
2
H
3
V
3
Figura I
e) H
Figura II
4
9. Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo
vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite
a passagem de areia da parte de cima para a parte
10
A distância do nível da água ao vértice, na situação da
figura II, é:
3
a)
2
4
b)
3
c) 3
d)
3
7
e)
3
6
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EM_V_MAT_031
8. (UFRJ) Quantos brigadeiros (bolinhas de chocolate)
de raio 0,5cm podemos fazer a partir de um brigadeiro
de raio 1,0cm?
11. Calcular o volume de um tronco de pirâmide quadrangular regular que tem a área lateral de 1 360cm2, sabendo
3
que a razão dos lados das bases é e que a altura do
7
3
tronco vale
da soma de tais lados.
8
12. Um tronco de pirâmide regular tem 3m de altura, o volume de 133m3 e as bases são dois quadrados tais que
4
o lado de um deles vale
do lado do outro. Calcular
9
os lados das bases e o apótema do tronco.
13. Calcular a área lateral do tronco piramidal regular, cujo
apótema mede 2,5m e cujas bases são hexágonos de
lados 4m e 6m, respectivamente.
14. As bases de um tronco piramidal regular são quadrados,
cujos lados medem 6m e 15m, respectivamente. Achar
a área lateral do tronco, sabendo que o seu volume é
de 702m3.
15. Um tronco de pirâmide regular tem por bases quadrados
de lados a e b; além disso, a área lateral do tronco é
igual a soma das áreas das bases. Determinar a altura
do tronco.
16. A seção meridiana de um tronco de cone é um trapézio
isósceles circunscritível a um círculo de raio 6cm. Calcular o volume do tronco, sabendo que a soma dos raios
das bases é 13cm.
17. As bases de um tronco de cone, com 10m de altura, são
círculos de raios 3m e 8m. Corta-se esse tronco por um
plano paralelo às bases, obtendo-se uma seção cuja
área é o quádruplo daquela da base menor. Calcular a
distância do plano secante à base maior do tronco.
2
18. Num tronco de cone, o raio da base menor vale
do
3
raio da base maior, a soma dos raios das bases e da altura
é 19m, e a soma dos raios das bases supera de 3m o
triplo da altura. Calcular a área total do tronco.
19. Um cone de raio 12cm e cujo apótema mede 36cm foi
cortado por um plano paralelo à base. Determinar a
distância do vértice do cone ao plano secante, sabendo
que o cone parcial e o tronco de cone obtidos têm áreas
totais iguais.
Calcule o volume do sorvete, em ml, contido no
pote, quando ele estiver totalmente cheio, sem
transbordar.
21. Um tronco de cone, cujos raios das bases são a e b,
foi cortado por dois planos paralelos às bases, ficando
decomposto em três partes equivalentes. Determinar
os raios das seções feitas pelos planos secantes no
tronco.
22. Calcular a área total do prisma quadrangular regular
inscrito numa esfera de raio 9cm, sabendo que a aresta
lateral do prisma é o dobro da aresta da base.
23. Uma esfera está inscrita num cubo e este está inscrito
em um cilindro de raio 6cm. Achar a área e o volume
da esfera.
24. Num cone equilátero de raio R está inscrito uma esfera
e nessa esfera está inscrito um cone equilátero. Achar a
razão entre as áreas totais dos dois cones equiláteros.
25. A altura de um cone é o dobro do raio R da base. Calcular, em função de R, o volume da esfera circunscrita
ao cone.
26. Duas esferas iguais, de raio 6cm, são tais que uma passa
pelo centro da outra. Calcular o volume da parte comum
às duas esferas.
27. Calcular a razão entre os volumes das esferas inscrita e
circunscrita a um mesmo octaedro regular.
28. Achar a razão entre os volumes de dois tetraedros
regulares, estando um inscrito e o outro circunscrito a
uma mesma esfera.
29. V é o volume e St a área total de um tronco de cone
circunscrito a uma esfera de raio R. Demonstrar que:
V = RSt/3.
30. Calcular o volume do octaedro regular inscrito numa
esfera de raio R.
EM_V_MAT_031
20. Um pote de sorvete tem o formato de um tronco de
cone com 10cm de altura e raios das bases medindo
4cm e 6cm.
31. Coloca-se uma esfera dentro de um vaso cônico com
24cm de altura, cuja geratriz mede 30cm. Determinar o
raio da esfera, sabendo que ela toca o vaso a 10cm de
distância do vértice.
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32. O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de
natureza geométrica, foi construído a partir dos cinco
poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo:
A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida
do diâmetro da esfera a ele circunscrita é:
a)
3
b)
3
2
c)
3
3
d)
3
4
12
EM_V_MAT_031
33. Calcular o raio da esfera circunscrita a um tetraedro
SABC, sabendo que o triedro de vértice S é trirretângulo,
e que AS = a, SB = b, SC = c.
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15. B
16. A
1

1. d = H  1 – 3 

2
2. B
18. B
19. B
3. D
20. A
4. 1; 7; 19
21. D
5. 15cm
22. C
6. B
23. B
7.
B
24. D
8. A
25. E
9. A
26. C
10. D
27. Demonstração.
11. C
3 2
2
3
13. 70 3m
12.
EM_V_MAT_031
17. E
28.
pr 2
29. V =
12pR 2
(10 − R )cm3
5
14. D
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13
30.
29. Demonstração.
a) 126pcm
b)
2
4R 3
3
31. 7,5cm
30.
2
3
32. C
33. R =
1 2 2 2
a +b +c
2
3
1. 70 3m
2.
y=
3. E
h 3 16
3
4. C
5. B
6. E
7.
C
8. 8
9. A
10. D
11. 6 320cm3
12. 9m ; 4m;
13. 75m2
61
2
14. 315m2
15.
ab
( a + b)
16. 532pcm3
17. 4m
18. 192πm2
19. 16 3cm
20. 796ml
21.
3
b3 + a 3
3
;3
2 b3 − a 3
3
22. 540cm2
23. 72πcm2; 72π;
2 cm3
24. 4
3
25. 125pR
48
26. 90pcm3
3
9
1
28.
27
14
EM_V_MAT_031
27.
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