EXERCÍCIOS EXTRA: DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
1) Num exame de tipo americano, um estudante tem de responder a 8 perguntas.
Suponha que o estudante não estuda a matéria abrangida pelo teste e que, para cada
pergunta, são-lhe dadas 3 respostas alternativas. Seja X a v.a. que nos dá o número de
respostas certas.
(a)
(b)
(c)
(d)
Caracterize a v.a. X.
Determine a probabilidade de o estudante errar todas as perguntas. (0.039)
Determine o número esperado de respostas certas. (2.67)
Supondo que o estudante só passará se responder certo a pelo menos 6 das
perguntas, determine a probabilidade de o estudante passar. (0.01966)
2) A probabilidade de um fragmento de rocha ser sedimentar é 0.2.
(a) Se um geólogo dispuser de 10 fragmentos de rocha, qual a probabilidade de pelo
menos 4 pertencerem a esse tipo? (0.12097)
(b) Determine a probabilidade de o geólogo ter de analisar 8 fragmentos até
conseguir um fragmento de rocha sedimentar. (0.04194)
(c) Prove que a probabilidade de o geólogo ter de observar mais 3 fragmentos até
conseguir um do tipo desejado, sabendo que já analisou 2 fragmentos, é igual à
probabilidade de ter de observar 3 fragmentos.
(d) Determine a probabilidade de o geólogo ter de observar 20 fragmentos até
conseguir obter 9 do tipo desejado. (0.00332)
3) Num quartel de bombeiros, o número médio de chamadas de alarme, por hora, é 2.4.
Suponha que o número de chamadas de alarme por hora segue uma distribuição de
Poisson.
(a) Qual a probabilidade de não haver chamadas num período de 1h? (0.09072)
(b) Qual a probabilidade de não haver chamadas num período de 2h? (0.0082297)
(c) Se o quartel tiver 3 camiões, qual a probabilidade de, num período de 1h, uma
chamada não ser satisfeita por os camiões estarem ocupados (suponha que em
cada chamada é utilizado um camião)? (0.22128)
(d) Em quanto é que a probabilidade calculada em (d) é reduzida se se utilizar um
camião suplementar? (0.12541)
4) O número de nascimentos verificado por dia numa certa maternidade é uma v.a. com
distribuição de Poisson. Sabendo que a probabilidade de não haver nascimentos num
dia é 0.368 e que o número de nascimentos é independente de dia para dia, determine
um valor aproximado da probabilidade de se registarem mais de 28 e menos de 32
nascimentos no mês de Junho. (0.21556)
5) Numa fábrica de têxteis existem numerosos teares de um certo tipo. O número de
teares que se avariam em cada mês é uma v.a. com distribuição de Poisson com valor
médio 3.
(a) Qual a probabilidade que durante 1 mês se avariem 3 ou mais teares? (0.5768)
(b) Sabendo que num determinado mês já avariaram 3 teares, qual a probabilidade de
nesse mês não avariar mais nenhum? (0.38842)
(c) Em 10 meses, qual a probabilidade de que em, quanto muito, 4 desses meses
avariarem 3 ou mais teares? (0.20762)
(d) Qual a capacidade mínima que deve ter a oficina de reparação de modo a ser pelo
menos de 0.8 a probabilidade de não haver teares a aguardar reparação? (4)
6) Num lote de 500 peças existem 50 defeituosas. Para efeitos de aceitação do lote é
efetuada uma inspeção sobre uma amostra de 10 peças escolhidas ao acaso com
reposição.
(a) Qual o número esperado de peças defeituosas na amostra? (1)
(b) Qual a probabilidade de que a inspeção rejeite o lote, quando só é admitida no
máximo uma peça deteriorada na amostra? (0.2639)
(c) Determine a dimensão máxima da amostra de forma que a probabilidade de
rejeitar o lote seja inferior a 0.05. (3)
(d) Repita as alíneas anteriores para o caso da amostra ter sido escolhida sem
reposição. (1; 0.263497; 3)
7) Considere que a probabilidade de um aluno responder corretamente a uma pergunta
num teste é 0.4. Qual a probabilidade de a décima questão respondida ser a quinta
resposta certa? (0.10033)
8) Uma fábrica produz azulejos que são embalados em caixas de 20 unidades. Sabe-se
que o número de defeitos por azulejo segue um processo de poisson com taxa média
igual a 0.1.
(a) Qual a percentagem de azulejos com defeitos? (9.5%)
(b) Calcule a probabilidade de numa caixa existirem mais de dois azulejos com
defeitos. (0.295)
(c) Calcule a probabilidade de existirem entre 3 a 5 azulejos com defeitos. (0.2858)
9) O número de vezes em que uma aula (duas horas) é subitamente assaltada pelo toque
irritante e tenebroso de um telemóvel segue um processo de poisson com taxa média
de 1 por aula.
(a) Qual a proporção de aulas sem os tais sons “melodiosos”? E se a duração da aula
for uma hora? (0.36788; 0.60653)
(b) Acabou de tocar pela segunda vez, na mesma aula, um telemóvel. O professor
afirma que abandonará a sala se se voltar a ouvir tal coisa. Qual a probabilidade de
a aula ser interrompida por essa razão? (0.303897)
(c) Nas aulas do semestre (em número de 20), qual a probabilidade de haver duas
aulas com mais que duas chamadas? (0.27153)
10) Estatísticas realizadas no campo da saúde revelam que uma doença de tratamento
dispendioso afeta anualmente 1 em cada 5000 pessoas. Baseada nestas estatísticas,
uma seguradora decidiu criar um seguro para cobrir as despesas desse tratamento.
Num ano a seguradora tem em carteira 3000 apólices deste tipo.
(a) Determine a probabilidade de nenhuma pessoa segurada contrair a doença nesse
ano. (0.54878)
(b) Qual o número esperado de pessoas seguradas que irão ter a doença nesse ano?
(0.6)
(c) Sabendo que nesse ano já foi registada pelo menos uma participação à
seguradora, calcule a probabilidade de não se verificarem mais de 3 participações
até ao final do ano. (0.992568)