PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
Mestrado em Modelação Estatística e Análise de Dados
Mestrado em Matemática e Aplicações
Programa de doutoramento em Matemática
Trabalho para casa nº 2
Data de entrega: 12 de Fevereiro de 2010
JUSTIFIQUE (SUCINTAMENTE) as respostas. As notações são as usadas nas aulas.
CADA ALÍNEA VALE 1,5 VALORES
Caso não saiba responder a uma alínea ou parte dela, poderá saber a resposta às restantes partes ou alíneas da
pergunta pois elas são quase sempre independentes.
1) Seja Xt (t≥0) uma cadeia de Markov homogénea em tempo contínuo com espaço de estados S={0,1} e
⎡− 3 3 ⎤
matriz infinitesimal Q= ⎢
⎥ . Determine:
⎣ 2 − 2⎦
a) Determine a matriz de probabilidades de transição P(t) de duração t.
b) O tempo médio de retorno ao estado 0.
c) O desvio-padrão do tempo de retorno ao estado 0.
2) Considere um processo de nascimento simples e emigração Xt (t≥0) em que λi =iλ (i=0,1,2,...) com
λ>0 e em que a taxa de emigração é constante, isto é μi ≡c (i=0,1,2,...) com c>0. Suponha que
X0=N>0. Determine:
a) A equação de Kolmogorov progressiva para o vector p(t)=[p0(t) p1(t) p2(t) ...], onde
pi(t)=P[Xt=i].
b) Uma equação às derivadas parciais para a função geradora de probabilidades (não se pede para
resolver a equação).
3) Considere uma fila de espera M/M/s em situação estacionária com processo de chegadas de Poisson
com parâmetro λ = 10 clientes por hora e com tempo de serviço com distribuição exponencial de
parâmetro μ =12 clientes por hora.
a) Considere o caso particular de um servidor (s=1). Como sabe, o tempo total de espera de um
cliente W tem distribuição exponencial de parâmetro μ−λ. Determine a média e o desviopadrão de W .
b) Seja Y o número de clientes na fila à espera de ser atendidos. Determine o número mínimo de
servidores para que o valor esperado de Y seja inferior a 2.
4) Seja Nt (t≥0) o número de clientes que chegam a um posto de venda até ao instante t e suponha que é
um processo de Poisson. Suponha que, em média, chega um cliente cada 3 minutos. Suponha que o
cliente pode optar por comprar um objecto A que custa 20 Euros ou um objecto B que custa 10 Euros,
ou então ir embora sem comprar nada. Sabe-se que 50% dos clientes compram um objecto A, 40%
compram um objecto B e 10% não compram nada. Seja Xt a receita do posto até ao instante t.
Determine:
a) Determine o valor esperado da receita do posto durante as 8 horas de abertura diária.
b) Determine o desvio padrão da receita do posto durante as 8 horas de abertura diária.
5) O número Xt (t≥0) de encomendas recebidas numa firma desde o instante 0 até ao instante t segue um
processo de Poisson. Sabe-se que há uma média de 500 encomendas por ano e que o ano tem 250 dias
úteis (únicos dias em que a firma está aberta para aceitar encomendas). Não se esqueça que hoje é
Sexta-Feira dia 5 e que é um dia útil. Determine:
a) Qual a probabilidade de haver alguma encomenda na próxima quarta-feira (dia 10)?
b) Qual a probabilidade de haver exactamente uma encomenda em cada dia útil da próxima
semana.?
c) Qual a probabilidade de haver um total de 3 encomendas hoje (dia 5), sabendo que não houve
encomendas nem na quinta-feira passada (dia 4) nem na terça-feira passada (dia 2)?
6) Seja Nt (t≥0) o número de substituições de uma peça de uma máquina desde o instante 0 até ao
instante t. Suponha que é um processo de renovamento com função de renovamento
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por dia, λ=0,3 por dia. Use o dia como unidade de tempo.
M (t ) = αt + (1 − e −λt ) , com α =
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Sejam T0, T1, T2, ... os tempos de vida de cada peça, que, como sabe, são v.a. i.i.d.
a) Determine o número médio de substituições que ocorrem no intervalo de tempo entre os instantes
10 dias e 15 dias.
b) Sem calcular a densidade de probabilidade dos tempos de vida nem a sua transformada de Laplace,
mostre que o tempo médio de vida de uma peça é E[Ti]=1/α.