Assim, independente do preço de compra, a margem de contribuição será de, aproximadamente,
43% do preço de compra.
Questão 1
a) Num triângulo equilátero ABC, unindo-se
os pontos médios de AB e de AC, obtém-se
um segmento de medida igual a 4cm. Qual a
área do triângulo ABC?
b) Num triângulo retângulo ABC, de hipotenusa BC, a altura relativa à hipotenusa é
AH. Se BH = 3cm e HC = 8cm, qual a medida
do cateto AC?
Resposta
a) Unindo-se os pontos médios dos lados AB e
AC, obtemos um triângulo semelhante ao triân gulo eqüilátero ABC, cujos lados medem metade das medidas dos lados do triângulo ABC.
Logo AB = AC = BC = 2 ⋅ 4 = 8 cm e a área do
82 ⋅ 3
triângulo ABC é
= 16 3 cm 2 .
4
b) Sendo AH a altura relativa à hipotenusa BC, temos AC 2 = BC ⋅ HC ⇔ AC 2 = (3 + 8) ⋅ 8 ⇔
⇔ AC = 2 22 cm.
Questão 2
O Sr. Macedo possui uma loja de sapatos.
Cada par é comprado por um certo valor e é
vendido com uma margem de contribuição
(diferença entre o preço de venda e de compra) igual a 30% do preço de venda.
a) Se cada par for vendido por R$60,00, qual
o preço de compra?
b) Se o preço de compra for de R$40,00, qual
a margem de contribuição, expressa como
porcentagem do preço de compra?
Resposta
Seja Pv o preço de venda e Pc o preço de compra
de um par de sapatos. Temos, então, Pv − Pc =
= 0,30 ⋅Pv ⇔ Pc = 0,7 Pv .
a) Para Pv = R$ 60,00 teremos:
Pc = 0,7 ⋅ R$ 60,00 ⇔ Pc = R$ 42,00
P
b) Como Pc = 0,7 Pv ⇔ Pv = c , podemos escre0,7
P
3
ver Pv − Pc = c − Pc = Pc ≅ 0,43Pc .
0,7
7
Questão 3
A administração de uma auto-estrada observou que, quando o preço do pedágio por carro
é R$3,00, passam por dia 1 000 carros. Além
disso, a cada R$0,10 a mais no preço do pedágio, passam 20 carros a menos por dia.
a) Chamando de y o número de carros que
passam por dia e de x o preço do pedágio por
carro, expresse y em função de x.
b) Se a relação fosse y = −180x + 810, qual o
preço que maximizaria a receita diária do pedágio?
Resposta
a) Como a cada R$ 0,10 a mais no preço do pedágio passam 20 carros a menos por dia, com
R$ 1,00 a mais passam 200 carros a menos.
Assim, se o preço do pedágio é R$ 3,00, passam
por dia 1 000 carros e se o preço é R$ 4,00, passam 800 carros. Temos, então,
x
y
1
3 1 000 1 = 0 ⇔ y = −200x + 1 600 .
4
800
1
b) Com y = −180x + 810 , a receita diária do pedágio é (−180x + 810) ⋅ x = −180x 2 + 810x , cujo
−810
valor máximo ocorre para x =
=
2 ⋅ ( −180)
= R$ 2,25 .
Questão 4
Conhecidas as relações trigonométricas
cos( a + b) = cos a ⋅ cos b − sen a ⋅ sen b
e
sen( a + b) = sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a,
a) Obtenha, justificando, a expressão de cos2x
em função de cosx.
b) Obtenha, justificando, a expressão de
tg( a + b) em função de tga e tgb.
matemática 2
Resposta
a) cos(2x) = cos(x + x) =
= cos x ⋅ cos x − sen x ⋅ sen x = cos 2 x − sen 2 x =
= cos 2 x − (1 − cos 2 x) = 2 cos 2 x − 1
sen(a + b)
b) tg(a + b) =
=
cos(a + b)
=
sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a
=
cos a ⋅ cos b − sen a ⋅ sen b
sen a ⋅ cos
cos
=
cos a ⋅ cos
cos
b + sen b ⋅ cos a
a ⋅ cos b
=
b − sen a ⋅ sen b
a ⋅ cos b
sen a
sen b
+
tg a + tg b
cos a
cos b
=
=
sen a sen b 1 − tg a ⋅ tg b
1−
⋅
cos a cos b
Questão 5
a) Uma senha de um banco é constituída de
3 letras escolhidas entre as 26 do alfabeto,
seguidas de 3 algarismos, escolhidos entre os
10 algarismos de 0 a 9. Quantas senhas podem ser formadas usando-se 3 vogais e 3 algarismos pares?
b) Um professor precisa elaborar uma prova
de matemática com 5 questões, sendo uma de
trigonometria, duas de álgebra e duas de geometria. Ele dispõe de 3 questões de trigonometria, 6 de álgebra e 5 de geometria. De
quantas formas a prova pode ser elaborada,
não se levando em conta a ordem das questões?
Resposta
a) Como há 5 vogais e 5 algarismos pares, há
5 possibilidades para cada uma das 3 letras e 3
algarismos que constituem a senha. Assim, podemos formar 5 6 = 15 625 senhas usando 3 vogais
e 3 algarismos pares.
b) O professor pode escolher a questão de trigo3 
nometria de   = 3 maneiras, as duas de álge1 
6 
bra, de   = 15 maneiras, e as duas de geome2 
5 
tria, de   = 10 maneiras. Logo a prova pode ser
2 
elaborada de 3 ⋅ 15 ⋅ 10 = 450 formas.
Questão 6
a) Uma urna contém 1 000 bolinhas numeradas de 1 a 1 000. Uma bolinha é sorteada.
Qual a probabilidade de observarmos um
múltiplo de 7?
b) Se a urna contivesse 10 bolinhas numeradas de 1 a 10, e duas fossem sorteadas simultaneamente sem reposição, qual a probabilidade de que a soma dos números observados
fosse 8?
Resposta
a) Como 1 000 = 142 ⋅ 7 + 6 , os múltiplos de 7
entre 1 e 1 000 são1 ⋅ 7 , 2 ⋅ 7 , ...,142 ⋅ 7 , ou seja,
há 142 múltiplos de 7. Logo a probabilidade de
observarmos uma bolinha numerada com um múl142
tiplo de 7 é
= 14,2%.
1 000
b) Para que a soma dos números observados
seja 8, o par de bolas sorteadas deve ser {1, 7}
10 
ou {2, 6} ou {3, 5}. Como há   = 45 pares de
2
3
1
bolas no total, a probabilidade pedida é
.
=
45 15
Questão 7
a) Resolva a equação
x
x
x
x−
+
−
+ L = 8,
4
16
64
onde o 1º membro é a soma dos termos de
uma progressão geométrica infinita.
b) Numa progressão geométrica infinita, a
soma dos termos de ordem par é 10/3, ao passo que a soma dos termos de ordem ímpar é
20/3. Obtenha o 1º termo e a razão dessa progressão.
Resposta
a) O 1º membro da igualdade é a soma dos ter −x x −x

mos da PG infinita  x;
;
;
; K cujo


4 16 64
x
−
4 = −1 .
primeiro termo é x e a razão é
x
4
x
x
x
Assim, x −
+
−
+ K = 8 ⇔
4
16
64
x
= 8 ⇔ x = 10 .
⇔
 1
1 − − 
 4
matemática 3
b) Seja a1 o primeiro termo e q a razão da PG infinita. Os seus termos de ordem par formam, então, a seqüência (a1 ⋅ q ; a1 ⋅ q 3 ; a1 ⋅ q 5 ; ...),
uma PG infinita de primeiro termo a1 ⋅ q e razão
q 2 . Já os termos de ordem ímpar formam a se qüência (a1 ; a1 ⋅ q 2 ; a1 ⋅ q 4 ; ...), uma PG infinita de primeiro termo a1 e razão q 2 .
Conseqüentemente,
a1 ⋅ q + a1 ⋅ q 3 + a1 ⋅ q 5 + K =
a1 + a1 ⋅ q 2 + a1 ⋅ q 4 + K =
a1 ⋅ q
⇔
1−q
a1
2
1 − q2
⇔
20
3
10
3
⇔
10
10
=
q = 3
20
3
⇔
⇔
3
20
=
a1
20
3
=
3
1 − q2
1
2 .
a1 = 5
q =
Questão 9
a) Sejam r1 , r2 e r3 as raízes da equação
x 3 − 4 x2 + 6 x − 1 = 0. Calcule o valor da expressão:
1
1
1
.
+
+
r1 ⋅ r2
r1 ⋅ r3
r2 ⋅ r3
b) Resolva a equação x 3 − 2 x2 − 5 x + 6 = 0,
sabendo que a soma de duas raízes vale 4.
Resposta
a) Das relações entre raízes e coeficientes de
uma equação algébrica, temos:
( −4)
= 4
1
( −1)
= −
=1
1
r1 + r2 + r3 = −
r1 ⋅ r2 ⋅ r3
Assim,
r + r2 + r1
1
1
1
4
+
+
= 3
=
= 4.
r1r2
r1r3
r2 r3
r1 ⋅ r2 ⋅ r3
1
b) Sejam α1 , α 2 e α3 as raízes de
x 3 − 2x 2 − 5x + 6 = 0 , com
Questão 8
( −2)
= 2,
1
portanto α3 = 2 − (α1 + α 2 ) = −2 é uma raiz. Pelo
dispositivo prático de Briot-Ruffini:
α1 + α 2 = 4. Temos α1 + α 2 + α3 = −
Neste ano (2 002), estima-se que o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja 400 bilhões de dólares. Daqui a t anos, estima-se
que o PIB seja 400(1,05)t bilhões de dólares.
a) Em quantos bilhões de dólares crescerá o
PIB entre 2 009 e 2 010?
b) Para que valores de t, o PIB superará a
marca dos 800 bilhões de dólares?
Observação: não é necessário fazer as contas; deixar o resultado indicado.
Resposta
Estima-se que:
a) O PIB entre 2009 e 2010 crescerá
400 ⋅ (1,05) 2010 − 2002 − 400 ⋅ (1,05) 2009 − 2002 =
= 400 ⋅ [(1,05) 8 − (1,05)7 ] = 400 ⋅ (1,05)7 ⋅
⋅ (1,05 − 1) = 20 ⋅ (1,05)7 ≅ 28,1 bilhões de dólares.
b) O PIB superará a marca dos 800 bilhões de dólares para todo t tal que 400 ⋅ (1,05) t > 800 ⇔
⇔ (1,05) t > 2 ⇔ t > log1,05 2 .
Obs.: como log1,05 2 ≅ 14,2 , em 15 anos o PIB
superará a marca dos 800 bilhões de dólares.
−2
1
−2
−5
6
1
−4
3
0
, ou seja, a equação da-
da é equivalente a (x − ( −2))(x 2 − 4x + 3) = 0 ⇔
⇔ x = −2 ou x = 1 ou x = 3 .
O conjunto verdade da equação é V = {−2 ; 1; 3}.
Questão 10
a) No plano cartesiano, mostre que as retas
de equações
x − y −1 = 0
4 x − y − 10 = 0
2x + y − 8 = 0
concorrem num mesmo ponto e obtenha esse
ponto.
b) Discuta, em função do parâmetro m, a posição relativa das retas de equações
3x − 2y − 5 = 0
mx − y + 2 = 0
matemática 4
Resposta
a) Considerando inicialmente apenas duas das
três equações dadas, temos:
x − y −1 = 0
x − y −1 = 0
⇔
⇔
4x − y − 10 = 0
3x − 9 = 0
⇔
y = 2
x = 3
Como o ponto (3; 2) pertence também à reta de
equação 2x + y − 8 = 0 , as retas concorrem
nesse ponto.
3
5
3x − 2y − 5 = 0
y =
x −
(r)
b)
⇔
2
2
mx − y + 2 = 0
y = mx + 2
(s)
Logo a reta r possui coeficiente angular
3
e coe2
5
e a reta s possui coeficiente
2
angular m e coeficiente linear 2. Portanto:
3
, então r e s são paralelas distintas.
Se m =
2
3
Se m ≠
, então r e s são concorrentes. Neste
2
caso serão perpendiculares se, e somente se,
2
.
m = −
3
ficiente linear −