Capı́tulo 20
Acréscimos, Diferenciais e Aproximação
pela Reta Tangente
20.1
Introdução
Como já vimos, a derivada f ′ (x) de uma função y = f (x) pode ser definida como
f ′ (x) = lim
∆ x→0
∆y
,
∆x
onde ∆ x é uma variação não-nula na variável independente x e ∆ y = f(x + ∆ x) − f(x) é a variação correspondente
dy
em y. No Cap. 9 , introduzimos a notação de Liebniz dx
para a derivada da função y = f (x) e enfatizamos que esta
dy
notação era apenas um sı́mbolo e não uma fração. No entanto, é verdade que dx
parece uma fração, e, em alguns
contextos funciona como tal.
O exemplo mais importante disto se dá na regra da cadeia, que, usando-se a notação de Leibniz, pode ser enunciada
da seguinte maneira:
dy
dy dx
=
dt
dx dt
Neste caso, a fórmula correta para a derivada de uma função composta y(x(t)) parece ser obtida cancelando-se dx
dy
como se as derivadas dx
e dx
dt fossem de fato frações.
O objetivo deste capı́tulo é dar significado aos termos dy e dx, de tal modo que o seu quociente seja a derivada
f ′ (x). Para isso é preciso estabelecer a relação entre o acréscimo ou incremento ∆ y e a derivada (taxa de variação) da
função f . Neste capı́tulo, daremos uma resposta aproximada para esta questão. A resposta exata para esta pergunta
é dada pelo teorema do valor médio.
20.2
Aproximação pela reta tangente
Seja f uma função derivável definida num intervalo fechado [a, b]. O problema que se coloca é como estimar, de
maneira rápida e simples, a variação ocorrida em y = f (x), quando x varia de um certo valor original x0 para um
novo valor x0 + ∆ x. O valor exato desta variação, como sabemos, é o incremento correspondente em y, dado por
∆ y = f (x0 + ∆ x) − f (x0 ), como mostra a figura abaixo.
∆ y
xo
∆ x
x
√
Nem sempre é possı́vel calcular exatamente este valor. Por exemplo, seja f (x) = 1 + x. Para calcular
√ a variação
ocorrida em y = f (x), quando x varia de zero a 0,05, seria necessário conhecermos o valor exato de 1.05. Como
é sempre fácil calcular valores de funções cujos gráficos são retas (para isto basta saber somar e multiplicar), a idéia
é comparar a variação efetiva ∆ y com a alteração que ocorreria no valor de y se a função f continuasse a variar à
taxa fixa f ′ (x0 ), enquanto a variável independente passasse de x0 para x0 + ∆ x, isto é, aproximar a variação ocorrida
260
Cap. 20. Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente
nos valores de y pela variação correspondente ocorrida sobre a reta tangente à curva y = f(x ). Esta variação, que
notaremos por dy, é chamada de diferencial de y. (Veja a figura abaixo.)
y+ ∆ y
∆ y
y+dy
dy
y
xo
∆ x
x
A diferencial de y é, portanto, a variação ocorrida na altura de um ponto que se move ao longo da reta tangente à
curva y = f (x), quando x varia de x0 a x0 + ∆ x, e é dada por dy = f ′ (x)∆ x. Quando ∆ x é pequeno, a diferencial
dy é uma “boa” aproximação para o incremento ∆ y. Na figura acima, o erro que cometemos ao aproximarmos ∆ y
por dy é a diferença entre ∆ y e dy. Observe, no diagrama abaixo, como este erro diminui à medida que ∆ x tende a
zero.
Assim, quando ∆ x é pequeno, temos que ∆ y ≈ dy . Lembrando que ∆ y = f (x0 + ∆ x) − f (x0 ) e dy = f ′ (x0 ) ∆ x,
tem-se que f (x0 + ∆ x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 ) ∆ x. Como ∆ x = x − x0 , tem-se ainda que
f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) ,
(20.1)
e esta aproximação será tanto melhor quanto mais perto x estiver de x0 . Repare que o lado direito da expressão acima
representa a equação da reta tangente à curva y = f (x) no ponto (x0 , f (x0 )). Por isso, dizemos que a reta tangente é
uma boa aproximação da função f para valores próximos ao ponto de tangência, ou que esta é a aproximação linear
da função f na vizinhança do ponto x = x0 .
√
Vamos
√ usar o resultado obtido acima para calcular um valor aproximado para 25, 4. Para isso consideraremos
f (x) = x e x0 = 25 (porque 25 é o ponto mais próximo de 25,4 no qual sabemos calcular o valor exato de f (x)).
Neste caso, ∆ x = 0, 4, f ′ (x0 ) = 2 √125 e a fórmula acima fornece
√
√
0, 4
25, 4 = f (x0 + ∆ x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 ) ∆ x = 25 + √ = 5, 04.
2 25
√
O valor de 25, 4 com 9 casas decimais, fornecido pelo Maple é
>
sqrt(25.4);
5.039841267
Conseqüentemente, o erro E da nossa aproximação é dado por
>
E=abs(sqrt(25.4)-5.04);
E = .000158733
que não é de todo mal. Lembre-se que a aproximação acima só deve
√ ser “boa” quando ∆ x for muito pequeno e
∆ x = 0, 4 não é muito pequeno. Se usarmos ∆ x = 0, 1, obteremos 25, 1 ≈ 5, 01, e o erro neste caso será dado por
>
E=abs(sqrt(25.1)-5.01);
E = .9980 10−5
Define-se o erro absoluto em um valor medido ou aproximado como a diferença entre o valor aproximado e o valor
verdadeiro. O erro relativo ou médio é a razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro. Assim, nos dois exemplos
W.Bianchini, A.R.Santos
261
anteriores, os respectivos erros relativos de
∆x
0, 4
=
= 0, 08 = 8%
x
5
e de
∆x
0, 1
=
= 0, 02 = 2%
x
5
em x, conduzem a um erro relativo no valor estimado de
>
E[r]=abs(sqrt(25.4)-5.04)/sqrt(25.4);
Er = .00003149563480
e de
>
E[r]=abs(sqrt(25.1)-5.01)/sqrt(25.1);
Er = .1992019936 10−5
isto é, 0,003 % e 0,0001 %, respectivamente.
É natural perguntar por que a aproximação
dy = f ′ (x0 ) ∆ x
é tão boa, como ficou mostrado nos exemplos acima.
Como vimos no diagrama anterior, quanto menor for ∆ x, mais próximos da reta tangente estarão os pontos
correspondentes na curva y = f (x). A diferença entre as alturas de dois desses pontos para uma determinada escolha
de ∆ x é dada por ∆ y − dy e concluı́mos que ∆ y − dy tende para zero quando ∆ x é pequeno. Na realidade, a
diferença ∆ y − dy é pequena, mesmo em comparação com ∆ x. Para mostrar esta afirmação, basta observar que
∆ y − dy
f (x + ∆ x) − f (x)
=
− f ′ (x) = E(∆ x) ,
∆x
∆x
portanto, lembrando a definição de derivada, podemos concluir que o erro relativo é uma função de ∆ x que se aproxima
de zero quando ∆ x tende a zero. Assim, quando ∆ x tende a zero, o erro na aproximação ∆ y ≈ dy não é simplesmente
pequeno, mas duplamente pequeno, pois ∆ y − dy = E(∆ x) ∆ x é um múltiplo pequeno de um número pequeno, isto
é, muito, muito pequeno.
20.3
Diferenciais e funções diferenciáveis
Costuma-se definir dx = ∆ x escrevendo-se, então, a fórmula 20.1 como:
f (x0 + dx) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 ) dx .
Neste caso, dx é uma variável independente, chamada diferencial de x. Definem-se, assim, as diferenciais de x e de y
como
dx = ∆ x
e
dy = f ′ (x) ∆ x = f ′ (x) dx
Além disso, dizemos que uma função é diferenciável em x0 quando existe uma função linear K e uma função E,
definida na vizinhança de x0 , tais que
∆ f = K(∆ x) + ∆ x E(∆ x)
onde
lim
∆ x→0
E(∆ x)
= 0.
∆x
Como neste contexto as funções lineares K são da forma K(∆ x) = m ∆ x, onde m é uma constante, pelo que vimos
neste capı́tulo, m = f ′ (x0 ) e a igualdade acima significa dizer que a função f pode ser aproximada, localmente, pela
reta tangente. Por causa desta propriedade, estas funções são ditas localmente lineares. No caso em estudo, dizer que
uma função é diferenciável é equivalente a dizer que a função é derivável.
262
Cap. 20. Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente
Da definição de diferenciais, decorre, imediatamente, que
dy
dx
= f ′ (x)
= f ′ (x).
dx
dx
Note que a expressão acima mostra que a derivada de uma função, de acordo com a notação de Leibniz que
utilizamos até agora, é realmente a razão entre duas quantidades: as diferenciais dy e dx.
Na realidade, Leibniz concebeu a notação diferencial visualizando incrementos “infinitesimais” dx e dy, cuja razão
dy
seria
o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f (x), como mostra a figura à esquerda.
dx
A chave da descoberta de Leibniz na década de 1670 foi o seu entendimento de que, se dy e dx forem suficientemente
pequenos (infinitesimais), então o segmento da curva y = f (x) e o segmento de reta que une os pontos (x, y) e
(x + dx, y + dy) serão virtualmente indistinguı́veis, como mostra a ampliação à direita.
1.4
1.3
1.2
dy
dx
1.1
1
0.9
0.92
0.96
11.02
1.06
x
1.1
1.14
1.18
A notação diferencial nos fornece uma forma conveniente de escrever fórmulas para derivadas. Por exemplo, as
regras da soma, do produto e do quociente de duas funções u e v podem ser escritas, respectivamente, como:
d(u + v) = du + dv
d(uv) = u dv + v du
u
v du − u dv
d( ) =
v
v2
Além disso, se u = f (x) e v = g(u), como dv = g ′ (u) du e du = f ′ (x) dx, obtém-se
dv = g ′ (u)f ′ (x)dx = g ′ (f (x))f ′ (x)dx.
Assim, a regra da cadeia pode ser obtida como se fosse o resultado de manipulações puramente algébricas da notação
para diferenciais.
O método das diferenciais é útil, em particular, na derivação implı́cita. Suponha, por exemplo, que y seja uma
função
derivável
de
x,
que
satisfaça
a
relação
dy
. Assim, calculando a diferenx2 y 3 − 2 x y + 5 = 0. Podemos usar diferenciais para achar uma expressão para dx
cial de cada termo da equação e usando as regras de derivação, temos:
2 x y 3 dx + x2 3 y 2 dy − 2 ydx − 2 xdy = 0 ,
e daı́
(3 x2 y 2 − 2 x) dy = (2 y − 2 x y 3 ) dx ,
o que conduz ao resultado:
dy
2 y − 2 xy 3
=
.
dx
3 x2 y 2 − 2 x
20.4
Exercı́cios
1. Nos ı́tens abaixo, determine a aproximação linear para a função dada na vizinhança de um ponto x0 = 0:
√
1
(a) f(x) = 1 + x
(c) f(x) =
(e) f(x) = (1 − x)3
(g) f(x) = cos(x)
1
+
x
(f)
(b) f(x) = (1 + x)2
f(x)
=
sen(x)
1
(d) f(x) = √
1+x
2. Uma fórmula de aproximação padrão usada em fı́sica é dada por sen(x) ≈ x. Esta aproximação vale quando
x ≈ 0. Explique como esta fórmula está relacionada com as idéias discutidas nesta seção.
W.Bianchini, A.R.Santos
263
3. Uma outra fórmula padrão de aproximação é dada por (1 + n x)n ≈ 1 + n x e vale para pequenos valores de x.
Explique a validade desta fórmula tendo em vista a teoria que desenvolvemos acima.
4. Usando uma aproximação linear, estime o valor dos seguintes números:
√
√
(c) 103
(e) sen(0, 5432)
(a) 36, 7
1
(d) cos(430 )
(f) sen(880 )
(b) 15( 4 )
20.5
Problemas
1
1. Mede-se o raio de uma bola esférica, obtendo-se 10 cm, com erro máximo de 10
cm. Qual é o erro máximo
resultante no cálculo do volume desta bola? Com que precisão se deve medir o raio da bola para assegurar um
erro máximo de 1 cm3 no cálculo do volume?
2. A lei da gravitação de Newton afirma que a força F de atração entre duas partı́culas de massas m1 e m2 é dada
por F = g ms12m2 , onde g é uma constante e s é a distância entre as partı́culas. Se s = 20 cm, use diferenciais
para obter uma aproximação da variação em s que aumente F em 10%.
3. A Lei de Boyle afirma que, entre a pressão p e o volume v de um gás confinado, existe a relação p v = c, onde c
é uma constante. Mostre que entre dp e dv existe a relação pdv + vdp= 0.
4. O raio equatorial da Terra é de aproximadamente 6378 km. Imagine um fio firmemente enrolado ao longo do
equador terrestre. De quanto se deve aumentar o fio para que ele possa dar a volta à Terra, fixado no topo de
postes de 10 metros de altura acima do solo?
20.6
Um pouco de história: Os mitos leibnizianos e o começo do cálculo
infinitesimal
O conceito moderno de limite só apareceu no começo do século XIX, e assim, nenhuma definição de derivada parecida
com a equação
dy
∆y
= lim
∆ x→0 ∆ x
dx
era possı́vel para Leibniz e seus sucessores.
A maior parte do pensamento matemático produtivo desse perı́odo estava baseada numa outra forma da noção
de “infinitamente pequeno”. Leibniz entendia a equação acima como o quociente de duas quantidades infinitesimais,
denotadas por dy e dx e chamadas de diferenciais. Na imaginação de Leibniz um infinitésimo era uma espécie particular
de número que não era nulo e ainda assim era menor do que qualquer outro número. Uma versão geométrica dessas
idéias era aquela em que uma curva era pensada como um conjunto infinito de segmentos de reta infinitamente
pequenos. A reta tangente a uma curva era, portanto, uma reta que continha um desses minúsculos segmentos. Talvez
Leibniz tenha introduzido as diferenciais dx e dy para denotar correspondentes variações infinitesimais nas variáveis
x e y. Para se ter uma idéia de como essas diferenciais eram usadas, suponha que essas variáveis estejam ligadas pela
equação y = x2 . Leibniz substituiria x e y por x + dx e y + dy para obter
y + dy = (x + dx )2 = x2 + 2 xdx + dx 2 ,
Como y = x2 , obteria
dy = 2 xdx + dx 2
Neste estágio Leibniz descartava o termo dx 2 , e justificava este passo argumentando que o quadrado de um número
infinitamente pequeno é “infinitamente infinitamente pequeno” ou um “infinitésimo de ordem superior” e portanto,
inteiramente desprezı́vel. Assim, chegava a fórmula que conhecemos hoje
dy = 2 xdx ,
que, após divisão por dx, toma a forma fracionária
dy
= 2x.
dx
Para Leibniz, a derivada era um quociente genuı́no, um quociente de infinitésimos, e sua forma de cálculo veio a
ser largamente conhecida como “cálculo infinitesimal”.
264
Cap. 20. Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente
As idéias de Leibniz funcionaram efetivamente, quase como por milagre, e dominaram o desenvolvimento do Cálculo
e das Ciências Fı́sicas por quase 150 anos. No entanto, essas idéias eram falhas, já que os infinitésimos, no sentido
descrito acima, claramente não existem, pois não existe um número positivo que seja menor que todos os outros
números positivos. Por todo esse perı́odo de tempo, o enorme sucesso do Cálculo como instrumento de resolução de
problemas era óbvio para todos, embora ninguém fosse capaz de dar uma explicação logicamente aceitável do que era o
Cálculo. Essa explicação só foi dada no começo do século XX, pela teoria clássica dos limites. Embora os argumentos
usados por matemáticos como Leibniz, os Bernoulli, Euler, Lagrange e outros não fossem rigorosos do ponto de vista
moderno, esses pioneiros tiveram profundos sentimentos intuitivos sobre o que era razoável e correto nos problemas
que estudavam e raramente se perdiam nas suas conclusões. As diferenciais de Leibniz foram eliminadas do Cálculo
pela teoria dos limites; contudo, elas permanecem como uma parte da história do desenvolvimento da matemática.
20.7
20.7.1
Projetos
O método de Euler e o pára-quedista
Como sabemos, a derivada de uma função f num ponto x0 determina a declividade da reta tangente à curva y = f(x)
no ponto (x0 , y0 ). Nesta seção usamos a reta tangente para estimar valores de f em pontos próximos ao ponto de
tangência: para pontos próximos de x0 , a diferencial dy é uma boa aproximação para o valor exato ∆ y e para estimar
f (a + ∆ x) por f (a) + f ′ (a) ∆ x. Esta técnica é especialmente útil quando os valores de f são difı́ceis de calcular.
A linearidade local das funções diferenciáveis tem outra importante aplicação na resolução dos problemas de valor
inicial. Resolver um problema de valor inicial é encontrar a função f ou “reconstruir” o seu gráfico conhecendo-se a
sua derivada f ′ (x) e um ponto, o valor inicial, do seu gráfico.
O objetivo deste projeto é usar a reta tangente e a linearidade local das funções diferenciáveis para resolver
problemas deste tipo.
Vamos primeiro esclarecer o que entendemos por reconstruir f . Em vez de procurarmos uma expressão analı́tica
(fórmula) para f , construiremos uma tabela, que fará corresponder a cada valor de x escolhido o respectivo valor de
f (x). Estas tabelas podem conter quantos pontos quisermos. A escolha do número de pontos dependerá da precisão
exigida para o resultado, do equipamento e tempo disponı́veis e da natureza matemática do problema.
Assim, antes de começar nossos cálculos, devemos decidir qual será o tamanho da tabela a ser construı́da. Usualmente consideramos os valores de x, que vão constituir o total de entradas da tabela, igualmente espaçados. Neste
caso, o domı́nio da função (intervalo onde o problema será resolvido) e o número de entradas escolhido determinam o
valor de ∆ x (distância entre dois valores consecutivos de x na tabela). A tabela é construı́da da maneira descrita a
seguir.
A partir do ponto inicial (x0 , y0 ) e conhecendo-se o valor f ′ (x0 ), é possı́vel usar a reta tangente para calcular um
valor aproximado de y1 = f (x1 ), onde x1 = x0 + ∆ x é o próximo valor de x para o qual se quer calcular o valor da
função, isto é, a próxima entrada da tabela. Como a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x0 , yo ) é
dada por
f (x) − f (x0 ) = f ′ (x0 ) (x − x0 ),
uma valor aproximado para y1 = f (x1 ) será dado por
y1 = f ′ (x0 ) (x1 − x0 ) + f (x0 ) = f ′ (x0 ) ∆ x + y0 ,
Tendo-se calculado o valor de f (x1 ) = y1 , o par (x1 , f (x1 )) será o próximo valor da tabela. Repete-se, então, o mesmo
processo tomando-se agora o ponto (x1 , f (x1 )) como o valor inicial. A partir deste ponto e conhecendo-se o valor de
f ′ (x1 ) é possı́vel usar a reta tangente, como anteriormente, para calcular um novo par (x2 , f (x2 )), ou seja,
f (x2 ) = y2 = f ′ (x1 ) ∆ x + f (x1 )
que será acrescentado a nossa tabela. Usamos este novo par (x2 , f (x2 )) como o novo valor inicial e repetimos todo o
processo até preenchermos toda a tabela.
Este método de gerar novos valores de f numa tabela seguindo a direção da reta tangente é conhecido como o
método de Euler. A figura a seguir ilustra a construção dos primeiros três pontos de uma tabela gerada pelo método
de Euler.
W.Bianchini, A.R.Santos
265
(x3,y3)
m2=Df(x2)
(x2,y2)
(x1,y1)
(xo,yo)
m1=Df(x1)
mo=Df(xo)
No gráfico a seguir, traçamos a função y = x +
sen(2 x)
solução do problema de valor inicial
2
f ′ (x) = 1 + cos(2 x)
f (0) = 0
e a solução aproximada obtida pelo método de Euler com o tamanho da tabela determinado pelas seguintes condições:
(i) Intervalo onde vai ser determinada a solução do problema: de x = 0 até x = 3.
(ii) Número de entradas na tabela: 51 (50 valores calculados + o ponto inicial).
(iii) Tamanho do passo: ∆ x =
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
3−0
50
= 0,06
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
Vamos resolver o problema de valor inicial f ′ (x) = x2 − f (x)2 , f (0) = 1 no intervalo [0, 5; 1], passo a passo. Para isso,
arbitramos o valor do passo: ∆ x = 0, 1. A tabela a ser construı́da terá, portanto, 6 entradas: 1 valor inicial + 5
valores a serem estimados.
Temos então que:
>
Df:=x->x^2-(f(x))^2;
Df := x → x2 − f(x)2
>
x[0]:=0.5;
x0 := .5
>
f(x[0]):=1.0;
f(.5) := 1.0
>
dx:=0.1;
dx := .1
Vamos agora calcular as próximas entradas da tabela:
>
x[1]:=x[0]+dx;
x1 := .6
>
f(x[1]):=f(x[0])+Df(x[0])*dx;
>
x[2]:=x[1]+dx;
>
f(x[2]):=f(x[1])+Df(x[1])*dx;
>
x[3]:=x[2]+dx;
f(.6) := .925
x2 := .7
f(.7) := .8754375
266
Cap. 20. Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente
x3 := .8
>
f(x[3]):=f(x[2])+Df(x[2])*dx;
f(.8) := .8477984184
>
x[4]:=x[3]+dx;
x4 := .9
>
f(x[4]):=f(x[3])+Df(x[3])*dx;
f(.9) := .8399222026
>
x[5]:=x[4]+dx;
x5 := 1.0
>
f(x[5]):=f(x[4])+Df(x[4])*dx;
f(1.0) := .8503752720
A nossa tabela está pronta. Basta imprimir os seus valores desta forma:
>
tabela:=[seq([x[i],f(x[i])],i=0..5)];
tabela := [[.5, 1.0], [.6, .925], [.7, .8754375], [.8, .8477984184], [.9, .8399222026],
[1.0, .8503752720]]
ou desta outra:
>
array(1..6,1..2,tabela);








Podemos inclusive traçar o “gráfico” da solução
calculados:
>

.5
1.0

.6
.925

.7
.8754375 

.8 .8477984184 

.9 .8399222026 
1.0 .8503752720
aproximada assim obtida ligando por segmentos de reta os pontos
plot(tabela);
1
0.98
0.96
0.94
0.92
0.9
0.88
0.86
0.84
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Para “suavizar” esta curva basta aumentarmos o número de pontos usados na construção da tabela. Evidentemente,
da maneira como calculamos os pontos da tabela acima, um aumento no número de pontos ou no tamanho do
intervalo considerado acarretará um aumento considerável de trabalho (pelo menos de digitação de comandos!).
Por isto é recomendável que automatizemos o procedimento, usando a estrutura for .. from .. to .. do
..od: Por exemplo, para estender a solução do problema acima ao intervalo [0, 5; 2, 5], o que, com o passo fixado
em 0,1, gerará uma tabela com 21 entradas, basta calcularmos os valores (xi , f (xi ) da seguinte maneira:
>
for i from 0 to 19 do
>
x[i+1]:=x[i]+dx;
>
f(x[i+1]):=f(x[i])+dx*Df(x[i]);
>
od:
>
Novatabela:=[seq([x[i],f(x[i])],i=0..20)]:
>
array(1..21,1..2,Novatabela);
W.Bianchini, A.R.Santos

>
267
.5
1.0
 .6
.925

 .7
.8754375

 .8 .8477984184

 .9 .8399222026

 1.0 .8503752720

 1.1 .8780614617

 1.2 .9219622687

 1.3 .9809608262

 1.4 1.053732412
1.5 1.138697212
plot(Novatabela);


































1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
1.234034078
1.337750067
1.447792543
1.562182218
1.679140890
1.797189477
1.915200475
2.032401189
2.148335730
2.262801089
















2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
2.2 2.4
Ao dar entrada nos valores iniciais não esqueça de escrevê-los na forma decimal (ponto flutuante). O Maple calcula
de formas diferentes f (1) e f (1.0).
Use o Método de Euler para resolver os problemas abaixo:
1. Uma cultura de Paramecium Caudatum cresce de acordo com a lei P ′ (t) = (1, 2875 − 0, 0061P )P , onde P (t) é
o número de bactérias presentes na colônia em cada instante de tempo t(horas). Sabendo que inicialmente a
colônia era composta de 8 bactérias, construa uma tabela com valores estimados de t e P no intervalo [0, 8] e
faça um gráfico correspondente aos pontos calculados.
2. Um pára-quedista pula de um avião voando a 500 m de altitude, e cai livremente durante 5 s (durante este
tempo supõe-se desprezı́vel a resistência do ar. Quando seu pára-quedas abre, a resistência do ar é proporcional
à velocidade da queda. A partir deste momento, a velocidade da queda é governada pela lei v ′ (t) = g − 2, 1v(t),
onde g é a aceleração da gravidade. Estime a velocidade de queda do pára-quedista quando ele atinge o solo.
20.7.2
Aproximando funções por polinômios - O polinômio de Taylor
No Exercı́cio 1 deste capı́tulo, vimos que a função y = x é uma aproximação linear para a função y = sen(x) e que
esta é uma boa aproximação para valores de x próximos de zero. Este fato pode ser visualizado traçando-se na mesma
janela os gráficos destas duas funções:
>
plot([sin(x),x],x=-2*Pi..2*Pi,y=-1..1,color=[red,blue]);
1
0.8
0.6
y
0.4
0.2
–6
–4
–2
0
–0.2
2
x
4
6
–0.4
–0.6
–0.8
–1
Na realidade, podemos provar que sen(x) ≤ x , para x ≥ 0. Para isso observe que a função f (x) = x − sen(x) se
anula para x = 0 e é não decrescente para x ≥ 0, pois a sua derivada f ′ (x) = 1 − cos(x) é sempre maior ou igual a
zero.
268
Cap. 20. Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente
1. Usando um raciocı́nio análogo, mostre que, para x ≥ 0 valem as seguintes desigualdades:
(a) sen(x) +
x3
6
−x≥0
(b) −sen(x) +
x5
120
−
1
2
x
x3
6
+x≥0
Veja estas desigualdades ilustradas no gráfico:
4
3
y2
1
–4
–3
–2
–1
0
–1
3
4
–2
–3
–4
2. Combine as partes (a) e (b) do item anterior para mostrar que, para x ≥ 0,
x−
x3
x3
x5
≤ sen(x) ≤ x −
+
6
6
120
3. Use a estimativa obtida para mostrar que sen(1) =
201
240
com um erro máximo de
1
240 .
4. Observando os gráficos traçados, tente determinar para que valores de x o polinômio x −
3
x5
aproximação para sen(x )? Idem para o polinômio x − x3 + 120
.
x3
3
fornece uma “boa”
Estimativas destes tipo, envolvendo polinômios, permitem que se calcule valores aproximados para funções trigonométricas
ou exponenciais utilizando-se apenas as quatro operações básicas – adição, subtração, multiplicação e divisão. Como,
na verdade, estas são as únicas operações que sabemos efetuar, qualquer cálculo algébrico deve, em última análise, se
reduzir a estas operações, por isso, estimativas obtidas via polinômios são freqüentemente utilizadas em calculadoras,
computadores e rotinas computacionais para obter valores aproximados de várias funções. Por exemplo, quando apertamos a tecla sen na calculadora ou quando utilizamos o comando sin(x) do Maple para calcular o valor da função
seno no ponto x = 1, o cálculo é feito utilizando
aproximações por polinômios. Note também que aproximações são
√
necessárias, pois números da forma π ou 10 não√nos dizem nada, a menos que saibamos calcular uma estimativa para
eles. Por exemplo, não é claro, a priori, que π < 10, mas esta desigualdade se torna óbvia calculando-se aproximações
decimais para estes números, como é feito a seguir com a ajuda do Maple.
>
evalf(Pi);
3.141592654
>
sqrt(10.);
3.162277660
O objetivo deste projeto é construir polinômios que forneçam aproximações para uma dada função. Além disso, o
método empregado permitirá obter estas aproximações com uma precisão prefixada.
Como foi visto neste capı́tulo, a reta tangente à curva y = f (x), cuja equação é dada por T (x) = f ′ (x0 ) (x −
x0 ) + f (x0 ), se aproxima da curva na vizinhança do ponto de tangência (x0 , f (x0 )). Além disso, da equação da reta
tangente, podemos concluir imediatamente que T (x0 ) = f (x0 ) e que T ′ (x0 ) = f ′ (x0 ), isto é, a reta tangente coincide
com a função no ponto de tangência e a inclinação (derivada) desta reta coincide com a inclinação (derivada) da curva
naquele ponto. Assim, existe um polinômio de grau um, a saber T1 (x ) = C0 − C1 (x − x0 ) tal que T1 (x0 ) = C0 =
f (x0 ) e T1′ (x0 ) = C1 = f ′ (x0 ), que aproxima a curva para valores de x, próximos ao ponto de tangência. Veja esta
afirmação ilustrada no gráfico:
12
10
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
1
2
x
3
4
Será possı́vel construir polinômios de grau maior do que um que, de alguma maneira, generalize as propriedades
da reta tangente e, portanto, forneça aproximações melhores para a função y = f(x )? O exemplo estudado no inı́cio
deste projeto indica que a resposta a esta pergunta é afirmativa. Considere, portanto, um polinômio de grau n,
W.Bianchini, A.R.Santos
269
Tn (x) = C0 + C1 (x − x0 ) + C2 (x − xo )2 + . . . + Cn (x − x0 )n
A questão que se coloca é como escolher os coeficientes desse polinômio de forma a garantir que Tn (x) esteja próximo
de f (x). Sabemos responder a esta pergunta quando n = 1. Neste caso, o polinômio T1 (x) deve coincidir com a reta
tangente à curva y = f (x) e, então, Co0 = f (x0 ) e C1 = f ′ (x0 ). Como queremos estender as propriedades da reta
tangente a polinômios de grau maior que um, é razoável supor que, para aproximar a curva na vizinhança de um
ponto x0 , o polinômio que buscamos deve coincidir com a função y = f (x) no ponto x0 , e todas as suas derivadas, até
a ordem n, calculadas no ponto x = x0 , devem coincidir com as derivadas de f , até a ordem n, respectivamente, neste
ponto.
1. Determine as constantes Co , C1 , C2 de tal modo que o polinômio de grau dois
T2 (x) = Co + C1 (x − x0 ) + C2 (x − x0 )2 ,
verifique as seguintes propriedades:
(a) T2 (x0 ) = f(x0 )
(b) T2 ′ (x0 ) = f ′ (x0 )
(c) T2 ′′ (x0 ) = f ′′ (x0 )
2. Aplique o resultado obtido para calcular o polinômio de grau dois associado à função cosseno e use o Maple para
traçar na mesma janela os gráficos de cos(x ) e de T2 (x), no caso em que x0 = 0.
3. Para que valores de x você acha que este polinômio fornece boas aproximações da função cosseno?
k
k
4. Seguindo o raciocı́nio anterior construa Tn (x) impondo que ddxTkn (x0 ) = ddx kf (x0 ), para k = 0, 1, 2, . . . n. Os
polinômios desta forma são chamados de polinômios de Taylor de grau n para f em torno de x0 .
5. Determine os polinômios de Taylor de grau 3, 4 e 5, em torno do zero, para as funções y = sen(x) e y = cos(x).
6. Use o Maple para traçar, em cada caso, os gráficos das funções dadas e de seus polinômios de Taylor na mesma
janela. O que você pode observar?
7. Se f (x) = a0 + a1 x + a2 + x2 + . . . + an xn , qual o seu polinômio de Taylor em torno de x0 = 0? E em torno de
x0 = 1?
A questão agora é saber quão bons são estes polinômios para aproximar funções. Para responder a esta pergunta é
necessário calcular o erro que cometemos ao aproximarmos o valor de uma função usando o seu polinômio de Taylor,
isto é, precisamos calcular ou pelo menos estimar o valor de Rn (x) = f (x) − Tn (x). No caso mais simples (n = 0),
é fácil estimar este valor. O polinômio de Taylor de grau zero, T0 (x) é dado por T0 (x) = f (x0 ). Assim, temos que
R0 (x) = f (x) − f (x0 ), e daı́, aplicando-se o teorema do valor médio à função f (x), obtemos R0 (x) = (x − x0 ) f ′ (c),
para c entre x e x0 .
Mesmo não conhecendo o valor de c, sabemos que | R0 | ≤ | x − xo | M , onde M é tal que |f ′ (x)| ≤ M no intervalo (x,
x0 ). Repare que, se f fosse constante, sua derivada seria zero e a aproximação, perfeita. A derivada da função f mede,
de uma certa maneira, quanto f se afasta da horizontal, por isso é razoável esperar que a exatidão da aproximação
seja controlada pelo máximo de f ′ no intervalo considerado. Neste caso,
f (x) = Tn (x) + Rn (x) = f (x0 ) + f ′ (c)(x − x0 )
para algum c entre x e x0 .
Consideremos agora o caso em que n = 1. Temos que T1 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) e, portanto,
R1 (x) = f (x) − f (x0 ) − f ′ (x0 ) (x − x0 ).
Esta última expressão para R1 (x) permite concluir que R1 (x0 ) = 0, R1′ (x) = f ′ (x) − f ′ (x0 ). Daı́, temos que R1′′ (x) =
f ′′ (x). Pelo teorema do valor médio, aplicado à função f ′′ no intervalo (x, x0 ), sabemos que existe c entre x e x0 tal
′
′
2
(x0 )
0)
que f ′′ (c) = f (x)−f
. Assim R1′ (x) = f ′′ (c) (x − x0 ). Daı́, podemos concluir que R1 (x) = f ′′ (c) (x−x
+ C. Como,
x−x0
2
2
0)
R1 (x0 ) = 0, temos que C = 0, e finalmente obtemos R1 (x) = f ′′ (c) (x−x
.
2
Como no caso anterior,
(x − x0 )2
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) + f ′′ (c)
2
para algum c entre x e x0 .
Repare, também, que o erro cometido ao aproximarmos os valores da função f pela sua reta tangente depende
do máximo de f ′′ no intervalo considerado.(Explique!) Se f ′ fosse constante, o gráfico de f seria uma linha reta e a
aproximação pela reta tangente seria ótima. Quando f ′ varia, f ′′ mede o quanto f se desvia de sua reta tangente,
portanto, é razoável esperar que a precisão da aproximação seja controlada pelo máximo de f ′′ .
270
Cap. 20. Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente
1. Generalize este resultado, isto é, mostre que f (x) = Tn (x) + Rn (x) onde
Rn (x) = f n+1 (c)
(x − x0 )(n+1)
(n + 1)!
para algum c entre x e x0 . Rn (x) é chamado resto de Lagrange do polinômio de Taylor de grau n. Determine,
também, condições sobre f que garantam a validade dos cálculos feitos.
2. Use o resultado acima para provar que, para f (x) = sen(x), o polinômio de Taylor de grau 5 difere do valor
exato de sen(x ) por no máximo 0,00002, para todo x no intervalo [−0.5, 0.5].
3. Como você justificaria a fórmula
1
1+x
≈ 1 + x + x2 . . . xn para | x | < 1?
4. O comando do Maple taylor(f(x),x,n+1) calcula o polinômio de Taylor de grau n da função f :
> taylor(sin(x),x,6);
1
1 5
x − x3 +
x + O(x6 )
6
120
O termo ”O( x6 )”representa o resto. Para remover este termo e converter o resultado anterior em um polinômio
use o comando convert:
> convert(%,polynom);
1
1 5
x − x3 +
x
6
120
Para visualizar a convergência do método de aproximação, descrito neste projeto, trace um gráfico na janela
[−8, 8] × [−3, 3], que mostre, em conjunto, as funções sen(x ), T3 (x), T5 (x) e T17 (x).
5. Observando o gráfico traçado no item anterior, indique um intervalo no qual o gráfico de T5 (x) pareça coincidir
com o gráfico de sen(x ) e um intervalo onde o gráfico de T17 (x) pareça coincidir com o gráfico de sen(x ). Use
a fórmula do erro de Lagrange para estimar o erro cometido ao aproximarmos os valores de sen(x ) por T5 (x) e
T17 (x), respectivamente, em cada um dos intervalos que você achou.
6. Como Tn (x) é um polinômio e −1 ≤ sen(x) ≤ 1, Tn (x) pode ser uma boa aproximação para sen(x ) para todos
os valores de x ?
7. Por
que
não
se
pode
usar
o
f (x) = arcsen(sen(x)) no intervalo [−π, π]?
polinômio
de
Taylor
para
aproximar
a
função
x)
8. Ache o polinômio de Taylor que aproxima a função f (x) = sen(x) + sen(4
no intervalo [−3, 3] com erro máximo
4
não superior a 0,5. Trace na mesma janela o gráfico desta função e do polinômio de Taylor que você calculou
para visualizar a aproximação obtida.
20.7.3
Polinômios de Taylor - Aplicações à fı́sica
Polinômios de Taylor (veja o projeto Aproximando funções por polinômios) são usados com freqüência em Fı́sica.
Com o objetivo de compreender melhor o fenômeno descrito por uma dada função, os fı́sicos em geral simplificam esta
função considerando apenas os dois ou três primeiros termos de sua fórmula de Taylor. Em outras palavras, os fı́sicos
usam o polinômio de Taylor para aproximar a função que modela o fenômeno e, em alguns casos, podem ainda estimar
a precisão desta aproximação. O objetivo deste projeto é estudar alguns modelos fı́sicos que exemplificam como este
tipo de aproximação ajuda a compreender o fenômeno estudado.
Radiação de um corpo escuro
Todo objeto emite radiação quando aquecido. Um corpo escuro é um sistema que absorve toda a radiação que incide
sobre ele. A lei de Rayleigh-Jeans, do final do século XIX, expressa a densidade de energia de radiação de um corpo
escuro, de comprimento de onda λ, por f(λ) = 8 πλk4 T , onde λ é medido em metros, T é a temperatura dada em
graus Kelvins e k é a constante de Boltzmann. A lei de Rayleigh-Jeans concorda com medidas experimentais para
comprimentos de onda longos, mas discorda drasticamente para comprimentos de onda curtos. Neste caso, a lei prevê
que f (λ) → ∞ quando λ → 0+ . No entanto, experimentalmente, verifica-se que f (λ) → 0. Este fato é conhecido como
catástrofe ultravioleta. Em 1900, Max Planck formulou um modelo mais fiel para a radiação de um corpo escuro,
8πhc
conhecido hoje como lei de Planck. Por esta lei temos que f(λ) =
, onde h é a constante de Planck e c é
hc
λ5 e( λ k T ) − 1
a velocidade da luz.
W.Bianchini, A.R.Santos
271
1. Trace, na mesma janela, os gráficos das funções f dadas pelas duas Leis e comente as semelhanças e diferenças.
Para isso, use T = 5700 K (temperatura do sol), h = 6.6262×10−34 Js, c = 2.99792×108 m/s e k = 1.3807×10−23
J/K
2. Usando o polinômio de Taylor, mostre que para comprimentos de onda longos, a lei de Planck fornece, aproximadamente, os mesmos valores obtidos pela lei de Rayleigh-Jeans.
Resistividade
A resistividade r de um fio condutor é o recı́proco da sua condutividade e é medida em ohm por metros (Ω.m). A
resistividade de um determinado metal depende de sua temperatura de acordo com a lei r(t) = r20 e(α (t−20)) , onde
t é a temperatura em graus Celsius e r20 a resistividade do material a 20o C. Existem tabelas que listam os valores
de α, denominado coeficiente de temperatura, e de r20 , para diversos metais. Exceto em temperaturas muito baixas,
a resistividade varia quase linearmente com a temperatura, sendo comum aproximar-se a expressão para r(t) por
polinômios de grau um ou dois em torno de r = 20.
1. Encontre expressões para estas aproximações linear e quadrática.
2. Para o cobre, as tabelas fornecem α = .0039o C e r20 = 1.7 10(−8) Ωm. Faça os gráficos da resistividade do cobre
e de suas aproximações linear e quadrática para temperaturas entre −250 e 1000 graus Celsius.
3. Para que valores de t a aproximação linear concorda com a expressão exponencial com erro inferior a 1%?
Velocidade de propagação de ondas
Se uma onda, de comprimento L, se propaga na água com velocidade v ao longo de uma região com profundidade d,
2πd
ex −e−x
então v 2 = g2 L
π tgh( L ), onde tgh(x) = ex +e−x e g é a aceleração da gravidade.
1. Se a região é profunda, mostre que v ≈
√
gL
2π .
2. Se a região
√ é rasa, use o polinômio de Taylor em torno do zero para aproximar a função tanh(x) e mostre
que v ≈ g d, ou seja, em águas rasas a velocidade de propagação da onda tende a ser independente do seu
comprimento.
√
3. Mostre que, se L > 10 d, então g d aproxima a velocidade de propagação da onda com erro de 0, 014 g L.
20.7.4
Polinômios de Taylor - Um algoritmo para calcular o seno
A expansão da função f (x) = sen(x) pela fórmula de Taylor permite calcular o valor do seno de um número real
qualquer utilizando-se apenas as quatro operações básicas. No entanto, a fórmula de Taylor em torno de x0 , só é uma
boa aproximação para a função f numa vizinhança desse ponto. Por outro lado, sabemos que esta aproximação será
cada vez melhor, à medida em que considerarmos mais e mais termos na expansão.
1. Comprove, numericamente, a afirmação acima construindo os polinômios de Taylor de graus 1, 3, 5, 7 e 9 da
função seno em torno de x0 = 0.
π
2. Calcule sen( 12
) usando o Maple e usando as aproximações polinomiais que você construiu. O que você pode
observar?
3. Faça o mesmo para calcular sen( 4912π ). O que aconteceu?
Embora exista a alternativa de trocarmos o ponto x0 em torno do qual a fórmula esteja sendo calculada, no caso do
seno, em termos computacionais, é mais conveniente fazer a expansão em torno de x0 = 0 e explorar a periodicidade
desta função.
Siga o roteiro dado a seguir para reproduzir a seqüência de procedimentos efetuados quando o comando sin (.) do
Maple é utilizado.
Suponha que queremos calcular sen(x ):
1. Ache x * em [0, 2 π], tal que sen(x ) = sen(x *), caso isto não se verifique inicialmente.
2. Determine y* em [0, π2 ], tal que | sen(x∗) | = sen(y∗). Crie um marcador m para guardar a informação do sinal
de sen(x *) do seguinte modo: m = 1 se x ∈ [0, π] e m = −1 se x ∈ [π, 2 π].
272
Cap. 20. Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente
3. Se y ∈ [0, π4 ], considere a fórmula de Taylor para a função seno em torno de x0 = 0. Se y∗ ∈ ( π4 , π2 ], considere a
fórmula de Taylor para a função cosseno em torno de x0 = 0 e utilize a identidade cos(z ) = sen(y*) se z = π2 -y*
(Repare que, neste caso, z ∈ [0, π4 )). Qual a vantagem de trabalhar com valores entre 0 e π4 ?
4. Use a fórmula do resto de Lagrange para determinar o grau do polinômio necessário para calcular sen(x ) com
erro menor do que 10−8 , isto é, com oito dı́gitos corretos.
5. Observe que as fórmulas de Taylor para as funções seno e cosseno envolvem termos da forma
xn
n!
=
x(n−2)
x2
(n−2)! (n−1) n
xn
n! .
Use a relação
para calcular os termos dos polinômios de maneira eficiente. Por exemplo:
0, 83
0, 85
0, 87
+
−
3!
5!
7!
cada
termo
para
calcular
o
0,82
,
e
assim
por
diante.
(4) (5)
sen 0, 8 ≈
e
0,83
3!
podemos
aproveitar
2
0,85
0,83
= 0, 8 ( 0,8
);
2
5! = 3!
termo
seguinte.
Assim,
6. Organize as idéias acima na forma de uma seqüencia de procedimentos encadeados também chamada de algoritmo
para o cálculo eficiente de sen(x ), onde x é um número real qualquer, com precisão de p dı́gitos corretos.
7. Faça alguns testes com diferentes valores de x, comparando os valores obtidos pelo seu algoritmo com aqueles
fornecidos usando-se a função sin(.) do Maple.
20.7.5
Tangentes, órbitas e caos
Escolha um número x0 qualquer e calcule o seu cosseno. Calcule o cosseno do resultado obtido. Repita esse procedimento um grande número de vezes. Para isso utilize, em seqüência, os comandos abaixo repetindo o último um grande
número de vezes:
>
xo:=2.;
>
cos(xo);
>
cos(%);
O procedimento descrito acima é ilustrado na animação (veja versão eletrônica) e no gráfico:
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
1.2
1. O que você pode concluir? Que equação você resolveu?
2. Teste o método descrito no item anterior para calcular as raı́zes reais de x2 = x, tomando como valor inicial
x0 = 21 e x0 = 2.
Observe as animações (versão eletrônica) e os gráficos a seguir para ajudá-lo a tirar conclusões.
20
1.4
18
1.2
16
1
14
12
0.8
y10
0.6
8
6
0.4
4
0.2
0
2
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
1.2
0
1
2
x
3
4
Dizemos que um número p é um ponto fixo da função y = f (x), quando f (p) = p.
W.Bianchini, A.R.Santos
273
1. Qual o ponto fixo da função y = cos(x).
2. Que equação você resolveu para achar este valor? Como é possı́vel encontrar, geometricamente ou graficamente,
este valor?
3. Sabemos que zero é um ponto fixo da função sen(x ). Use o método descrito acima para tentar resolver a equação
sen(x) = x, tomando como valor inicial x0 = 0, 5.
4. Qual o ponto fixo da função f (x) = ecos(x) ?
5. Escolha vários valores iniciais x0 e estude o comportamento da seqüência de valores f (x0 ), f (f (x0 )), f (f (f (x0 ))),...
onde f (x) = ecos(x) .
6. O método descrito acima funciona para calcular pontos fixos de qualquer função?
Entender o comportamento e predizer o que acontece com repetidas iterações de uma função é o objetivo deste
projeto.
Seja f uma função contı́nua e x0 um número real qualquer, tomado como valor inicial. A órbita de x0 é uma
seqüencia sn definida, a partir da função f , da seguinte maneira:
s0 = x0 , s1 = f (x0 ), s2 = f (x1 ) = f (f (x0 )) = f 2 (x0 )
s3 = (x2 ) = f (f (f (x0 ))) = f 3 (x0 ), . . ., sn = f (xn−1 ) = f n (x0 ).
1. Prove que se lim sn = l então l é um ponto fixo de f .
n→∞
O nosso objetivo agora é determinar condições sobre f que garantam a convergência da seqüencia sn . Deste modo
poderemos saber que equações podem ou não ser resolvidas usando-se o método do ponto fixo, descrito acima.
1. O gráfico abaixo mostra que a equação e−x = x tem uma única raiz. Use a técnica de zooms sucessivos para
encontrar um valor aproximado para esta raiz. Observe que, usando esta técnica (zooms sucessivos) é possı́vel
observar como a função f (x) = e−x se comporta localmente.
6
4
2
–2
–1
0
1
x
2
–2
2. Use zooms sucessivos para determinar o comportamento local das funções dos exemplos dados neste projeto.
3. Que tipo de funções se comportam localmente como uma reta?
4. Levando em conta o comportamento local dessas funções, uma boa pista para determinar as condições de convergência da seqüência sn deve ser obtida a partir do estudo do que acontece com esta seqüência quando
f (x) = mx + b. (Por quê?) Assim, vamos tentar começar a tirar conclusões estudando os pontos fixos e a
convergência das órbitas para funções deste tipo. Quais os pontos fixos da função f (x) = mx + b?
5. Use as animações acima para conjecturar em que casos a seqüência sn converge para o ponto fixo de f . Estude
os casos em que m > 1, m < 1 e m ̸= 0, m = 1, m = −1. O que você pode concluir? O que acontece quando m
= 0?
6. Suponha que p seja o ponto fixo da função f (x) = mx + b, isto é, f (p) = mp + b = p . Se sn é a n-ésima iteração
na órbita do valor inicial x0 , prove que sn − p = mn (x0 − p).
Sugestão: Use indução sobre n (veja Projeto O Maple e o Princı́pio da Indução Matemática).
7. Use o resultado do item anterior para provar a conjectura feita para a convergência da seqüência sn , quando
f (x) = mx + b.
8. Generalize suas conclusões para o caso de funções localmente lineares e aplique essas conclusões para explicar o
que acontece quando aplicamos este método à função y = ecos(x) .
274
Cap. 20. Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente
9. Explique por que é possı́vel usar a função f (x) =
quadrada de um número positivo R.
x+ R
x
2
para calcular uma aproximação numérica para a raiz
10. Use a função anterior para calcular uma aproximação numérica para
√
2 com seis casas decimais exatas.
11. Que critério você usou para garantir a precisão do resultado?
a
x + x(k−1)
12. Mostre que o ponto fixo da função f(x) =
é a raiz k-ésima do número positivo a. Explore o que
2
acontece com as órbitas desta função para valores de k = 3, 4, 5 e 6.
13. Tente explicar por que o método do ponto fixo aplicado à função f = sen(x), converge muito lentamente e por
√
x+ R
que este mesmo método, quando aplicado à função f = 2 x , converge muito rapidamente para R.
R
(k − 1) (k + k(k−1)
)
14. Explore os pontos fixos da função f (x) =
. Por que as iterações dessa função funcionam tão
k
bem para estimar o valor da k-ésima raiz do número positivo R?
2
15. Quais são os pontos fixos da função f (x) = x2 − 1? Tente obter aproximações para estes pontos fixos como
limite das órbitas tomando diferentes valores para x0 . O que você pode observar? Mude a expressão da função
2
de iteração para tentar achar todos os pontos fixos de f (x) = x2 − 1.
16. Descubra que funções devem ser iteradas para obtermos, por esse método, as raı́zes da equação x2 = 2x .
17. Encontre aproximações para as três raı́zes reais da equação x10 = 2x .
18. Considere a função f(x) = 2 x2 − 1. As soluções da equação f (x) = x são x = 1 e x = −0, 5. Como f (0, 5) = −0, 5,
a órbita cujo valor inicial é x0 = 0, 5 conduz diretamente (após a primeira iteração) ao ponto fixo x = −0, 5.
Considere valores bem próximo de x0 = 0, 5, por exemplo x0 = 0, 51, e examine o que acontece com a órbita de
f para este valor inicial. Examine também o comportamento das órbitas desta função para valores iniciais muito
próximos do outro ponto fixo de f .
O comportamento das órbitas desta função nos fornece um exemplo do que, em matemática, é chamado um
comportamento caótico. A sensibilidade dos sistemas caóticos aos dados iniciais foi descrita por James Gleick no
seu livro Chaos: Making a New Science (1987) como o “efeito borboleta”, que serve para ilustrar a idéia do quão
sensı́vel é o tempo do nosso planeta às condições iniciais que “o simples bater de asas de uma borboleta, hoje,
em Pequim, pode se transformar numa tempestade nos próximos meses em Nova York”. É muito difı́cil para
nós sequer imaginarmos um sistema que tenha um comportamento tão frágil e tão sensı́vel aos dados iniciais.
Felizmente, ou infelizmente, estamos nos conscientizando cada vez mais de que o comportamento caótico é uma
descrição melhor do nosso mundo do que os sistemas bem comportados aos quais estamos acostumados.
19. Considere a função f (x) = a x2 − 1. Você é capaz de determinar quais valores de a determinam funções que
geram seqüências convergentes, quais geram ciclos e quais geram seqüências caóticas?
a
x + x(k−1)
é a raiz k-ésima do número positivo a. Apesar disto,
20. Mostramos que o ponto fixo da função f (x) =
2
vimos que para k > 3 não é possı́vel usar esta função para obter aproximações para esta raiz. Estude o
comportamento das órbitas desta função para k = 4 e k = 6.
20.7.6
Crescimento de populações - Gerenciando um pesque e pague
A proposta de utilizar a matemática para descrever o crescimento de uma população começou com o economista inglês
T.R.Malthus (1798). Malthus, em seu modelo, considerava que o crescimento de uma população era proporcional à
população presente em cada instante; desta forma, a população humana cresceria sem limite (por quê?).
Este modelo propunha um crescimento de vida ótimo, sem fome, sem guerra, epidemias ou qualquer outra
catástrofe, onde todos os indivı́duos seriam idênticos, com o mesmo comportamento. O objetivo principal de Malthus
ao formular este modelo foi o de chocar a opinião pública da época, uma vez que estabelecia um crescimento em
progressão geométrica para a população, enquanto que a alimentação crescia em progressão aritmética.
Os modelos matemáticos para descrever o crescimento de uma população passaram por várias modificações após
Malthus. Um dos modelos mais importantes e conhecidos é o do sociólogo belga P. F. Vehulst (1838), que supõe que
qualquer população é predisposta a sofrer inibições naturais em seu crescimento, devendo tender a um valor limite
constante com o transcorrer do tempo.
Este modelo é mais significativo e realista do ponto de vista biológico. Sabemos que nenhuma população cresce
indefinidamente. Existem limitações estabelecidas pela disponibilidade de alimentos, por falta de espaço, por condições
W.Bianchini, A.R.Santos
275
fı́sicas intoleráveis ou por uma série de fatores que agem como mecanismos de controle. Todos estes elementos inibidores
fazem com que uma população tenda a um máximo sustentável (ponto de equilı́brio) quando o tempo aumenta.
O objetivo deste projeto é aplicar o método do ponto fixo, introduzido no projeto Tangentes, Órbitas e Caos, para
determinar pontos de equilı́brio para populações cujo crescimento é regido pelo modelo de Verhulst, também conhecido
como lei logı́stica para o crescimento populacional.
O modelo de Verhulst propõe que a taxa de crescimento relativo da população em cada instante seja uma função
da população, decrescendo linearmente quando a população aumenta. Seja P (t) o número de indivı́duos presentes na
população em cada instante de tempo t. A hipótese acima pode ser expressa, matematicamente, pela equação
[ dP
dt ]
=α−βP ,
P
ou, equivalentemente,
dP
= (α − β P ) P ,
dt
com α e β, positivos.
Considerando a população inicial, P (0) = P0 , conhecida, o objetivo é prever o que acontece com P (t) quando
t cresce. A função f (P ) = dP
dt é uma parábola cuja concavidade é voltada para baixo, que é zero quando P = 0 e
α
P =α
β .Portanto, intuitivamente, é fácil prever que a partir de uma população inicial P0 ̸= 0 e P0 < β , a população
α
P cresce até estabilizar, quando a sua taxa de crescimento dp
dt for zero, em algum valor próximo de P = β , que é a
capacidade limite do meio ambiente.
Os parâmetros α e β devem refletir o fato de que, para populações pequenas, o crescimento é quase ilimitado,
enquanto que a competição entre os membros de uma população grande forçará uma diminuição gradual da taxa de
crescimento até que a capacidade limite do meio ambiente seja atingida e o crescimento da população se estabilize.
r P2
Vamos modificar um pouco o nosso modelo e considerar dP
dt = F(P ) = r P − L , onde r é uma constante positiva,
que reflete a taxa ótima (sem restrições ambientais) de crescimento para a população P, e L é a capacidade limite
de um determinado meio ambiente. A variável P, restrita ao intervalo [0, L], representa a fração da população limite
atingida a cada perı́odo de tempo t. Assim, temos que P1 = P0 + F(P0 ), P2 = P1 + F(P1 ) e, de uma maneira geral,
Pn+1 = Pn + F(Pn ). Raciocinando como anteriormente, a população estará estabilizada quando a taxa de crescimento,
F (Pn ), for igual a zero. Isto implica que Pn+1 = Pn . Mas, então, teremos que Pn = Pn + F (Pn ) e calcular o limite
atingido por uma determinada população se reduz a encontrar os pontos fixos da função G(P ) = P + F (P ).
Vamos, por exemplo, examinar o crescimento de uma população de coelhos com uma taxa de crescimento irrestrita
de 80% ao ano, em uma reserva florestal com capacidade limite de 10000. Para simplificar os cálculos, faremos 10000
coelhos igual a 1 unidade. Como vimos, o problema de determinar o comportamento da população de coelhos ao
longo do tempo se reduz a calcular os pontos fixos da equação G(P ) = 1, 8 P − 0, 8 P 2 , isto é, resolver a equação
P = 1, 8 P − 0, 8 P 2 . Este processo pode ser visualizado na animação (versão eletrônica) e no gráfico a seguir, onde
cada passo representa a fração da capacidade limite atingida pela população em cada perı́odo de tempo fixado, neste
exemplo, um ano.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
1.2
Vemos claramente neste exemplo que não importa qual seja a população inicial de coelhos: com o passar do
tempo esta população crescerá até atingir a capacidade limite do meio ambiente (aqui 1 = 10000), estabilizando neste
patamar. (Nos gráficos, este é o ponto de interseção da parábola G(P ) = 1, 8 P − 0, 8 P 2 com a reta y = P ).
Suponhamos agora que queiramos liberar a caça de coelhos nesta reserva florestal. Precisamos estudar como a caça
afetará o crescimento desta população, isto é, o que acontecerá a longo prazo com a população levando-se em conta
vários nı́veis possı́veis de caça.
1. Pense um pouco e explique por que, se permitirmos que K coelhos sejam caçados por ano, a função G(P ), que permite determinar o comportamento da população com o passar do tempo será dada por G(P ) = 1, 8 P − 0, 8 P 2 − K.
Observe o diagrama e repare o que acontece com o número limite de coelhos à medida que o valor de K aumenta.
276
Cap. 20. Acréscimos, Diferenciais e Aproximação pela Reta Tangente
2. O que acontecerá, a longo prazo, com a população de coelhos, se for permitida a caça de 2500 coelhos por ano?
3. Se você fosse definir a polı́tica a ser seguida, qual o número máximo de coelhos que permitiria fossem caçados por
ano? Se esse nı́vel for mantido ao longo do tempo, qual será a população limite de coelhos na reserva? Justifique
a sua resposta.
4. Você pretende construir na sua fazenda serrana um lago com capacidade de sustento para 20000 trutas e permitir
a pesca no sistema pesque e pague. Para iniciar a sua criação você coloca no lago 5 000 trutas. Antes que se
permita a pesca, é necessário que a população de trutas do lago esteja próxima à população limite. Supondo que,
inicialmente, nenhuma pesca seja permitida, e que a população de trutas, em ambiente favorável (sem limitações),
cresça a uma taxa de 70% a cada ano, desenvolva um sistema que modele o crescimento da população de trutas
ao longo do tempo. Quanto tempo levará para que a população do lago atinja o limite de 20000 trutas?
5. Um dos seus sócios está impaciente e não quer esperar até que a população de trutas atinja o limite ambiental e
então sugere que se dê uma mãozinha à mãe natureza, colocando-se no lago, por algum tempo, uma população
adicional de
5000 trutas por ano. Se isto for feito, quanto tempo passará até que a população de trutas atinja o seu valor
limite? Se a pesca nunca for permitida e se este número adicional de trutas continuar a ser colocado no lago a
cada ano, o que acontecerá, a longo prazo, com a população de trutas do lago? Faz sentido que este limite seja
diferente da capacidade original do lago?
6. Após muitas discussões, vocês colocaram no lago 10 000 trutas e abriram o pesque e pague imediatamente. Vocês
esperam que os visitantes pesquem 2500 trutas por ano. Qual será o efeito deste nı́vel de pesca na população do
lago a longo prazo? Mantidas estas condições, poderá a população de trutas sobreviver a um desastre ecológico
que mate 50% dos peixes existentes no lago?
7. As condições se mostram favoráveis por dois anos e o seu pesque e pague se torna um sucesso. Como resultado
do aumento de visitantes, são pescadas agora 4000 trutas por ano. Se a pesca for mantida a esta taxa e nenhuma
reposição for feita, quanto tempo a população de trutas do lago poderá sobreviver?
8. Seu sócio percebe que as trutas correm o perigo de se extinguir e decide estabelecer um número máximo de trutas
a serem pescadas por ano. Qual o número máximo de trutas que podem ser pescadas por ano a fim de garantir
a sobrevivência da população do lago? Neste caso, qual será a população de equilı́brio para este sistema?
9. Se nenhuma catástrofe ambiental ocorrer nos próximos anos, para que possa ser permitida a pesca de 4500 trutas
por ano, quantas trutas vocês precisarão colocar no lago, por ano, para manter a estabilidade da população?