Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Sistema de Partículas e
Conservação da Quantidade
de Movimento Linear
Nota
Alguns slides, figuras e exercícios pertencem às seguintes referências:
 HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos da Física. V 1. 4a.Edição. Ed. Livro Técnico Científico S.A. 2002;
 TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física. Volume 1, 5a Ed, Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2006;
 da Silva, E. Z, et al., “Curso de Física Geral F-128”;
1
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Segunda Lei de Newton para sistemas:
→ centro de massa: ponto do sistema que se
move como se toda a massa do sistema e
todas as forças externas atuantes sobre o
sistema estivessem concentradas nele.
Teorema do impulso-quantidade de movimento:
→ conservação da quantidade de movimento linear
- lei universal da física!
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Quantidade_de_movimento_linear
2
Centro de Massa
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
• Considere duas partículas de massas m1 e m2 em uma dimensão:
Definimos o centro de massa, xcm, por
xCM
m1 x1 m2 x2
m1 m2
m1 x1 m2 x2
M
onde M=m1+m2 é a massa total do sistema.
Exemplos:
(a)
(b)
m1
m1
m2
m2
xCM
xCM
x1
x2
2
xCM
x1
x
x
xCM
Generalizando, para sistemas com duas partículas, o centro de massa é um
ponto intermediário entre x1 e x2:
x1
xCM
x2
3
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Exemplo
Considere que duas partículas, cujas massas são m1 e m2, estejam a uma
distância d uma da outra, conforme figura abaixo. Calcule o centro de
massa do sistema formado pelas duas partículas. Considere que a partícula
de massa m1 esteja localizada na origem dos eixos cartesianos.
xCM
m1 x1 m2 x2
m1 m2
xCM
xCM
m2
d
m1 m2
xCM
m2
d
m1 m2
xCM
m2
d
m1 m2
m2
d
m1 m2
m2
m1
xCM
d
m2
m1
xCM
0
xCM
d
2
m2 m1
m1 (0) m2 d
m1 m2
m2
d
M
4
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Centro de Massa
O centro de massa é um ponto no espaço que
movimenta-se como se fosse uma única partícula
com massa igual à soma das massas das partículas
do sistema e que estivesse sob a força externa
resultante que atua sobre o sistema (soma das
forças
externas
que
atuam
sobre
todas
as
partículas do sistema).
5
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
 Generalização para N partículas:
xCM
m1 x1 m2 x2  mN x N
m1 m2  mN
1
M
N
mi xi
i 1
 Generalização para 3 dimensões:
xCM
yCM
zCM
m1 x1 m2 x2  mN x N
m1 m2  mN
1
M
m1 y1 m2 y2  mN y N
m1 m2  mN
1
M
m1 z1 m2 z 2  mN z N
m1 m2  mN
1
M
N
mi xi
i 1
r CM
xCM iˆ yCM ˆj zCM kˆ
N
mi yi
i 1
N
mi zi
r CM
1
M
N
mi r i
i 1
i 1
6
Exemplo
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Seja um sistema composto de 2 corpos contínuos uniforme, com massas
mA = 2kg e mB = 3kg. Suponha que a posição do centro de massa de cada
corpo seja conhecido, sendo

rcm A

ˆ
ˆ
2mi 8mj; rcmB
9miˆ 7mˆj.
Encontre o centro de massa do sistema.
 Podemos substituir o corpo A pela sua massa concentrada no seu CM, e o
corpo B pela sua massa concentrada no seu CM e então calcular o centro de
massa dessas duas “partículas equivalentes”. Ou seja,

rcm

rcm
1
2 3

rcm


mArcm A mB rcm B
mA mB
2 2iˆ 8 ˆj
3 9iˆ 7 ˆj
6,2miˆ 7,4mˆj
7
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Energia Potencial Gravitacional de um Sistema
 A energia potencial gravitacional de um sistema de partícula é igual à
energia potencial gravitacional do centro de massa considerando que toda
a massa do sistema esteja concentrada neste ponto.
 Considerando que a i-ésima partícula esteja posicionada a uma altura hi
em relação a um nível qualquer de referência, a altura do centro de massa
do sistema, por definição, será
hCM
1
M
mi hi
i
A energia potencial gravitacional do sistema será
U
mi ghi
i
g
mi hi
i
U
Mghcm
8
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Energia Potencial Gravitacional de um Sistema
U
Mghcm
Este resultado pode ser utilizado para se encontrar a posição do
centro de massa de um corpo sólido experimentalmente: a não ser
que apoiemos o corpo exatamente no centro de massa, este corpo
irá girar para atingir a menor energia potencial possível. Isto ocorre
quando o centro de massa estiver na posição mais baixa possível
daquela configuração.
9
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Centro de massa de corpos contínuos uniformes
Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa,
podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma
transforma-se numa integral:
xCM
yCM
1
M
r cm
r cm
1
M
N
1
M
mi xi
i 1
ydm
zCM
xdm
1
M
zdm
xcmiˆ ycm ˆj ycmkˆ
ˆi 1 xdm ˆj 1 ydm kˆ 1 zdm
M
M
M
1
r cm
(xiˆ yˆj zkˆ)dm
M
r CM
1
rdm
M
10
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Centro de massa de corpos contínuos uniformes
NOTA
r CM
1
rdm
M
Para corpos cujas
massas são
distribuídas
uniformemente:
dl em 1D
dm
dA em 2D
dV em 3D
M
L
M
A
M
V
constante
constante
constante
11
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Obtenção do centro de massa por integração
Barra Esbelta Uniforme
r CM
1
rdm
M
r CM
1
L2
î
M
2
L
1
( xî)( dx)
M 0
L
1
î xdx
M 0
constante
( )
Como, neste caso, λ é constante, teremos λ = M/L, assim
r CM
1 M L2
î
M L
2
( )
1
Lî
2
cm
12
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Obtenção do centro de massa por integração
x = R cos θ
y = R sen θ
Aro semicircular
r CM
r CM
1
1
rdm
( xiˆ yˆj )dm
M
M
1
R(cos iˆ sen ˆj ) Rd
M 0
constantes
1
R 2 (cos
M
0
iˆ sen ˆj )d
Como λ é constante, teremos λ = M/πR. Assim
r CM
1 M 2
R ( sen iˆ cos
M R
ˆj )
|
0
2R ˆ
j
13
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Exercício
14
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
r CM
Exercício
4R ˆ 4R ˆ
i
j
3
3
4R ˆ
i
3
ˆj
15
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Movimento do centro de massa
O movimento dos sistemas acima é
muito complicado, mas o centro de
massa descreve uma parábola como
uma partícula.
O cm segue a mesma trajetória parabólica que seria seguida por uma partícula
que tivesse a massa total do sistema. Assim, vamos tratar o cm como sendo uma
partícula de massa M (massa total do sistema ou do corpo sólido).
16
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Movimento do centro de massa
Cálculo da aceleração do centro de massa:
d 2 r CM
M
dt 2
d 2 r1
m1 2
dt
d2r2
d2rN
m2
 mN
2
dt
dt 2
M a CM
d 2 ri
mi 2
dt
1
N
i
mi a i
i
Mas, sabemos da 2ª Lei de Newton que
F i ,res
mi a i
onde Fi,res é a somatória de todas as forças atuantes sobre a partícula (externas e
internas ao sistema). Assim,
M a CM
F i ,res
i
F i ,int
i
F i ,ext
i
17
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Movimento do centro de massa
Mas,
F i ,int
0
i
pois, para cada força interna que atua sobre uma partícula, haverá um par açãoreação atuando em outra partícula do sistema, de forma que a soma de todas as
forças internas será nula. Desta forma,
F i ,ext
ou
M a CM
i
F res,ext
M a CM
O centro de massa de um sistema se move como uma partícula de massa M
(soma das massas das partículas do sistema), sob a influência da força
externa resultante atuando sobre o sistema.
18
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear

vhB

vh
Exemplos
vˆj

vhB

vB
onde vhS é a velocidade do homen em relação ao solo
e vBS é a velocidade do balão em relação ao solo.
19
Exemplos
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Como o conjunto homem + balão estava inicialmente
em repouso e a resultante das forças externas é nula,
então:

vcm
(M h

M B )vcm

M h (vhB

vB
0

M h vh

M B vB


vB ) M B vB

Mh
vhB
Mh MB
de (a)

vB
0
0
Mh
v ˆj
Mh MB
E vh?
20
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Exemplos
depois
antes
21
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Exemplos
22
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Conservação da Quantidade de Movimento Linear
A quantidade de movimento linear, p, de uma partícula é uma quantidade vetorial
definida como:
p mv
A 2a lei de Newton pode ser escrita como:
F res
dv
m
dt
dp
dt
 Para objetos com massas diferentes, sabemos que, dentro de um dado
intervalo de tempo, é mais fácil modificar o movimento do objeto com menor massa.
 Da mesma forma, para objetos com mesma massa, mas com velocidades
diferentes, para um certo intervalo de tempo, será mais fácil modificar o movimento
do objeto com menor velocidade.
Assim, a quantidade de movimento linear é uma grandeza
relacionada com o esforço necessário para se modificar o
movimento de uma partícula.
23
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Conservação da Quantidade de Movimento Linear
A quantidade de movimento linear de um sistema de partículas é a soma vetorial
dos quantidades de movimentos lineares individuais:
P sist

p1


p2  pN


m1v1  mN vN
N
P sist
mi v i
M v CM
i 1
Diferenciando em relação ao tempo, teremos
d P sist
dt
d v CM
M
dt
M a CM
F res,ext
Como foi visto anteriormente,
F res,ext
d P sist
dt
M a CM
24
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Conservação da Quantidade de Movimento Linear
F res,ext
d P sist
dt
Quando a resultante das forças externas que atuam sobre um sistema for nula,
não haverá variação da quantidade de movimento linear total do sistema ao
longo do tempo, ou
P sist
mi vi
M v cm
constante se F res,ext
0
i
Esta é a Lei da Conservação da Quantidade de Movimento.
 A aplicação desta lei vai além da aplicação da lei da conservação da energia
mecânica, uma vez que esta segunda depende das forças internas serem
conservativas.
 Observe que a relação acima é vetorial, assim, deve-se tratar o problema
levando-se em conta as componentes dos vetores envolvidos.
25
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Exemplos
26
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Exemplos
27
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Exemplos
Exercício 39 – Cap. 9, Halliday, et al., 6ª. edição
Uma caldeira explode, partindo-se em três pedaços. Dois pedaços, de massas
iguais, são arremessados em trajetórias perpendiculares entre si, com a mesma
velocidade de 30 m/s. O terceiro pedaço tem uma massa três vezes a de um dos
outros pedaços. Qual o módulo, direção e sentido de sua velocidade logo após a
explosão?
m
y
p1 = mv
Note que
 Se não há força externa atuando, a
quantidade de movimento linear do
sistema de três pedaços irá se conservar;
3m
 Os vetores velocidade dos três
pedaços estão todos num mesmo plano.
p3 = 3mV
θ3
θ1
x
θ2
p2 = mv
m
Pegaremos o 1º pedaço como referência
para o cálculo da direção e sentido da
velocidade do 3º pedaço (ou seja,
deveremos encontrar o valor de θ3).
θ1 + θ2 = 90o
28
Exemplos
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
pcaldeira
antes:
mcaldeira vcaldeira
0
(caldeira em repouso)
p1
depois:
p2
p3
pcaldeira
0
(conservação da quant. de movimento)
Em y:
mvsen
1
2
1
Em x:
mv cos
V
mvsen
1
2
1
2
90
o
1
v cos 45
45
2
o
3
mv cos
o
2
2
180
o
45
o
3
135
o
3mV
14m / s
3
29
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Energia Cinética de um Sistema
K sist
mi vi2
1
2
Ki
1
2
mi (vi vi )
i
i
i
A velocidade de cada partícula pode ser representada na forma
vi
v cm u i
onde vcm é velocidade do centro de massa e ui é a velocidade da partícula em
relação ao centro de massa. Assim,
K
1
2
mi (vi vi )
i
1
2
mi v
i
K
1
2
mi (v cm u i ) (v cm u i )
i
2
cm
2
cm
( m )v
i
i
1
2
2
i
2v cm u i u
v cm
i
m ui
i
1
2
2
i i
mu
i
30
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Energia Cinética de um Sistema
K
1
2
2
cm
( m )v
i
i
v cm
i
m ui
i
1
2
2
i i
mu
i
Mas, da definição de centro de massa, teremos
M u cm
m ui
i
i
0
Pois ucm representa a velocidade do centro de massa em relação ao próprio centro
de massa, ou seja, ucm = 0. Assim,
K
1
2
2
cm
Mv
Krel
onde Krel = ∑½miui2 é a energia cinética das partículas em relação ao centro de
massa.
Em um sistema isolado, Fres,ext = 0, de forma que vcm
não varia. Nesta caso, apenas Krel pode variar.
31
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Colisões
O que é uma colisão?
Processo em que duas partículas são lançadas uma contra a
outra e há troca de momentum linear e energia. Queremos
estudar as possíveis situações finais depois que as partículas se
afastam da região de interação.
Partículas
carregadas
aceleradas
pelas linhas de campo magnético
terrestre criam a Aurora (Boreal ou
Austral). A emissão é causada pela
desexcitação
de
moléculas
da
atmosfera (tipicamente oxigênio –
verde e vermelho - e nitrogênio vermelho) que foram ionizadas por
colisões com as partículas aceleradas
que se originam no vento solar.
32
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Colisões
• Pode-se estudar os produtos das colisões e suas configurações finais com
o intuito de investigar a natureza das forças.
• Entretanto, existem características gerais que regem todas as colisões, que
são consequências das leis de conservação de energia e quantidade de
movimento linear. Vamos nos concentrar nessas características gerais.
• Tipos de colisões:
 elásticas (Ki = Kf);
 inelástica (Ki ≠ Kf);
 perfeitamente inelástica (vf = vcm) → as partículas permanecem unidas após a colisão.
• Se Fres,ext = 0, então, independente do tipo de colisão, deverá haver
conservação da quantidade de movimento linear.
33
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Impulso e Força Média
Exemplo das colisões de bolas de bilhar: as forças de
contato são muito grandes e agem por curtíssimos
intervalos de tempo.
O impulso I da força é um vetor definido como
tf
I
Fdt
Impulso = área
debaixo da curva
ti
Mas, para a resultante de forças sobre uma partícula, teremos,
tf
tf
F res dt
ti
ti
dp
dt
dt
pf
dp p f
pi
p
pi
34
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Impulso
Assim,
I res
p
Teorema do Impulso – Quantidade de
Movimento para uma Partícula
Para um sistema de partículas, a resultante das forças externas é igual à derivada
temporal da quantidade de movimento total do sistema e assim,
tf
I res,ext
F res,ext dt
P sis
ti
Teorema do Impulso – Quantidade de
Movimento para um Sistema
35
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Força Média
A força média é definida como
tf
1
Fdt
t ti
F méd
I
t
Fméd,x
ou seja,
I
F méd t
Impulso = área
do retângulo
O impulso fornecido pela força
força média no intervalo ∆t.
F
∆t
é equivalente ao impulso fornecido pela
Muitas vezes, o cálculo de F é complicado, mas é fácil se estimar o valor de
Fmed através da variação temporal da quantidade de movimento linear
quando se conhece o intervalo de tempo da colisão.
36
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Exemplo
37
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Exemplo
38
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Colisões em 1D
Colisões, quando envolvem apenas forças internas, conservam o momentum
linear. E a energia?
Embora a energia TOTAL seja sempre conservada, pode haver transformação da
energia cinética inicial (consideraremos que inicialmente só há energia cinética)
em outras formas de energia (potencial, interna na forma de vibrações, calor,
perdas por geração de ondas sonoras, etc.).
 Se a energia cinética inicial é totalmente recuperada após a colisão,
a colisão é chamada de COLISÃO ELÁSTICA.
 Se não, a colisão é chamada de COLISÃO INELÁSTICA.
39
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Colisões Perfeitamente Inelásticas em 1D
Depois
Antes
A partícula incidente “gruda” na partícula-alvo. Pode-se provar que essa
situação representa a perda máxima de energia cinética numa colisão
inelástica em uma dimensão.
Da conservação do momentum linear, teremos:
m1v1i
m2 v2i
m1 m2 v f
vf
m1v1i m2 v2i
m1 m2
vCM
Como o centro de massa coincide com as duas partículas “grudadas”, elas tem
que se mover com a velocidade do centro de massa. A energia cinética final é a
energia cinética associada ao movimento do CM.
40
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Exemplo: Pêndulo Balístico
Exemplo 8-14 – Cap. 8 - Tipler, 5ª. Edição
Em uma competição pública de tiro ao alvo, você atira um projétil (massa m1),
contra um bloco de madeira pendurado (massa m2), conforme figura abaixo. O
bloco, com o projétil cravado, oscila subindo até a posição mostrada com linhas
tracejadas. Qual a velocidade com que o projétil foi lançado? Considere que
bloco+projétil atinge altura h em relação à posição inicial.
Durante a colisão:
(1)
(conservação do momentum,
colisão perfeitamente inelástica)
Após colisão:
Subst. (2) em (1)
(2)
(conservação da energia mecânica)
41
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Colisões Elásticas em 1D
Depois
Antes
m1v1i
1
2
m2 v2i
m1v12i
1
2
m1v1 f
m2 v22i
1
2
m2 v2 f
m1v12f
1
2
Conservação do momentum linear
m2 v22 f
Das duas equações acima teremos
v2 f
v1 f
v2 f
(v2 i
Conservação de energia cinética
v2 i
v1i
v1 f
ou
v1i )
O lado direito da equação acima é a velocidade de aproximação dos corpos,
enquanto o lado esquerdo equivale à velocidade de recessão. Assim,
Em uma colisão elástica, a velocidade de aproximação deve ser
igual à velocidade de recessão.
42
Exemplo
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Exercício 71 – Cap.8 - Tipler, 5ª. Edição
(b) Colisões elásticas: v2 f
P
vp,i = 300m/s
v2 i
v1i
v1 f
NUC
vnuc,i = 0
x
Usando a eq. acima na eq. de conserv. de
momentum:
(a) Da definição de centro de massa:
43
Sist. Part e Cons. Quant. Mov. Linear
Coeficiente de Restituição
Normalmente uma colisão não será nem elástica nem totalmente
inelástica. Para se medir a elasticidade de uma colisão, compara-se a
velocidade de recessão com a velocidade de aproximação, através do
coeficiente de restituição, definido como
e
v2 f
v1 f
v2i v1i
Para colisões elásticas: e = 1
Para colisões perfeitamente inelásticas: e = 0
44
Exemplo
Exercício 57 – Cap.8 - Tipler, 5ª. Edição: Um bloco de 3 kg se movimenta
para a direita a 5 m/s e um segundo bloco de 3 kg se movimenta para a
esquerda a 2 m/s. Considere um sistema formado pelos dois blocos. (a)
Determine a energia cinética total do sistema. (b) Determine a velocidade do
centro de massa do sistema. (c) Determine a velocidade de cada bloco em
relação ao centro de massa do sistema. (d) Calcule a energia cinética do
movimento dos blocos em relação ao centro de massa. (e) Mostre que a
resposta para o item (a) é maior do que a do item (d) por uma diferença igual
à energia associada ao movimento do centro de massa. Ou seja, mostre que
(a)
2
v2 = 2 m/s
1
v1 = 5 m/s
x
45
Exercício 57 – Cap.8 - Tipler, 5ª. Edição
(b)
(c)
vi
v cm u i
ui
vi
v cm
u1 5iˆ 1.5iˆ 3,5m / s iˆ
u2
2iˆ 1.5iˆ
3,5m / s iˆ
(d)
(e)
1
2
K rel
2
i i
mu
1
2
2
1 1
mu
1
2
2
2 2
mu
i
2
v2 = 2 m/s
1
v1 = 5 m/s
x
46