P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p. 195-207, 2012
Proposta de uma metodologia para a avaliação do
preço de venda de imóveis residenciais em
Bonito/MS baseado em modelos de regressão
linear múltipla
Proposal of a methodology for rating the selling price of residential properties in
Bonito/MS, based on models of multiple linear regression
Elton Gean Araújo1
Júlio César Pereira2
Felix Ximenes1
Caroline Pauletto Spanhol1
Salomão Garson2
RESUMO: O presente artigo tem por finalidade apresentar uma metodologia, baseado em técnicas
de regressão linear múltipla, para avaliação de imóveis residenciais urbanos no município de
Bonito-MS em função de suas características (variáveis). A metodologia foi aplicada a um conjunto
de 27 casas que estavam à venda nos sites imobiliários do município. Foi empregado o método de
pesquisa quantitativa empírica descritiva. Os métodos de seleção de variáveis Progressiva e
Regressiva foram aplicados, obtendo-se os mesmos resultados, onde todas as variáveis envolvidas
no ajuste do modelo foram selecionadas, mostrando que todas contribuíram de forma significativa
para o modelo. Para avaliar a capacidade de previsão do modelo, quatro observações que não
fizeram parte do processo de ajuste do modelo foram utilizadas para realização de previsões. O
modelo final apresentou um ajuste adequado aos dados e uma capacidade de previsão bastante
satisfatória, tornando-se assim uma ferramenta adicional confiável para avaliação de imóveis
urbanos no município.
Palavras Chave: Modelagem; Imóveis; Previsão.
ABSTRACT: The present paper is intended to show a methodology based on techniques of multiple
linear regression, to assess the urban housing in the city of Bonito – MS, according to its features
(variables). The methodology has been applied to a group of 27 houses which were for sale in
websites of Real State Agencies of the same location. Descriptive empirical research method was
used. The methods of selection of progressive and regressive variables were applied, getting the
same results, in which all variables involved in model adjustment were then selected, showing that
all of them have remarkably contributed to the model. To evaluate the capability of forethought of
the model, four observations that haven’t been considered in the model adjustment process were
so used for the forethought accomplishment. The final model has shown a proper adjustment to the
data and a satisfactory foresight, becoming an additional and reliable implement for reliable
evaluation of urban property in the city.
Keywords: Modeling; Real Estate; Foresight.
1 Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
2 Universidade Federal de São Carlos
[email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected];
[email protected]
197
Araújo et al.
P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p. 196-207, 2012
1. INTRODUÇÃO
O município de Bonito, no interior do estado de Mato Grosso do Sul, é uma das principais cidades turísticas
do País. As principais atividades econômicas do município são a pecuária, o turismo, a agricultura e a
mineração de calcário. O turismo tem seu destaque por vez, pois alça uma grande realeza de beleza do meio
ambiente.
Bonito-MS tem uma altitude média de 315 metros acima do nível do mar, representada pelas coordenadas
geográficas de 21º07’16" Sul e 56º28’55" Oeste. Sua área territorial compreende 4.934 Km²,
correspondente a 1,4 % da área total do Estado (PORTAL BONITO/MS, 2011). A população é de 19.587
habitantes. Desse total, cerca de 17,5% reside na área rural. Na área urbana residem 82,5% da população,
resultando em 16.159 habitantes (IBGE, 2010).
Ainda segundo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), o município apresentou um
crescimento populacional de 15,52% na última década, passando de 16956 habitantes em 2000 para 19587
habitantes em 2010.
O setor imobiliário no município de Bonito-MS destaca-se, principalmente por dois fatores, primeiro pelo
aumento no poder de compra da população. O segundo fator é fortemente influenciado pela atividade
turística na cidade, que é o comprometimento patrimonial gerado na aquisição do imóvel ou o
comprometimento de renda gerado pela locação do mesmo. Ambos os fatores provocaram um
aquecimento no mercado imobiliário.
Face ao exposto, verifica-se a necessidade de se avaliar os preços de vendas de imóveis residenciais
urbanos do município de Bonito-MS, a partir de análises criteriosas, envolvendo elementos de natureza
técnica e científica. A Regressão Linear Múltipla foi escolhida como método para ser aplicado à avaliação
de imóveis por fornecer um modelo de fácil interpretação e de simples aplicabilidade. Tal modelo, explica
de forma satisfatória a variabilidade observada nos preços dos imóveis, com base na variação dos
regressores, no mercado estudado.
Na obtenção do modelo proposto, será utilizada a técnica de seleção de variáveis, para que este modelo
contenha apenas variáveis significativas para explicar o preço dos imóveis, e não por estarem disponíveis.
Além disso, será incorporada no modelo a variável localização, denominada binária, por considerá-la de
extrema importância para tal propósito.
Segundo a Associação Brasileira de Normas Técnicas (2004), a regressão linear múltipla é a técnica mais
utilizada quando se deseja estudar o comportamento de uma variável dependente em relação a outras que
são responsáveis pela variabilidade observada nos preços. Dantas (1998) considera que na Engenharia de
Avaliações normalmente se trabalha com este modelo devido a multiplicidade de fatores que influenciam
os preços de um bem.
Diante do aquecimento do mercado imobiliário de Bonito e pela dificuldade de predição e avaliação dos
preços a venda de imóveis, o presente artigo tem como objetivo propor um modelo de regressão linear
múltipla que auxilie na estimação dos preços de venda de imóveis da cidade de Bonito, por meio de suas
características físicas e de localização. A partir da metodologia desenvolvida, espera-se que seja possível
estimar os preços dos imóveis a partir de suas características. Além disso, o estudo contribui com
informações que podem auxiliar um investidor na tomada de decisão. Caso um investidor que deseja
construir seu imóvel para venda saberá quais características serão importantes para valorizar seu imóvel.
Este artigo está estruturado da seguinte forma: na seção 2 alguns estudos semelhantes ao assunto
abordado são apresentados, de forma a ilustrar a aplicabilidade dos modelos de regressão linear múltipla
desenvolvidos para avaliação do mercado imobiliário; já a seção 3 apresenta os materiais e métodos
utilizados; na seção 4 são apresentados os resultados obtidos e discussões. Nas seções 5 e 6 são
apresentadas a conclusão e as referências bibliográficas respectivamente.
2. TRABALHOS CORRELATOS
Em estudos do mercado imobiliário, é comum utilizar modelos de regressão linear múltipla, a fim de
X
analisar o preço de imóveis ( Y ) em função de diversas outras características ou variáveis ( j ). Por
exemplo, Gazola (2002) coletou dados referentes a apartamentos da cidade de Criciúma, estado de Santa
Catarina, com o intuito de estimar preços de outros apartamentos a partir de suas características por meio
de uma regressão linear múltipla. As variáveis utilizadas foram a área total do imóvel, consumo de energia,
Proposta de uma metodologia para a avaliação...
198
distância à escola, acessibilidade, idade do imóvel, dormitórios, meio ambiente, região homogênea, zona
fiscal, padrão de entrada, classificação, conservação, garagem, suíte, dependência de empregada, elevador
e polos de valorização. Além disso, utilizou-se a técnica de Ridge Regression, que evita a multicolinearidade,
que ocorre quando as variáveis independentes de uma regressão possuem relações lineares exatas ou
aproximadamente exatas.
Cassundé e Cunha (2005) estudaram um modelo de regressão para determinar o valor dos imóveis
localizados na zona sul da cidade de Recife -PE, especificamente o bairro de Boa Viagem. O estudo teve
como principal objetivo identificar as principais variáveis influenciadoras na composição do preço de
empreendimentos de um quarto.
Utilizando uma abordagem estatística mais elaborada, Steiner et al. (2007) realizaram um estudo
imobiliário na cidade de Campo Mourão, no estado do Paraná, utilizando a análise de agrupamento, para
criar grupos de imóveis com características mais homogêneas, para posteriormente utilizar a regressão
linear múltipla, com o intuito de estimar preços de imóveis que seriam colocados à venda.
Recentemente, Alves et al. (2007) utilizaram um modelo de preço hedônico, termo usado para descrever
modelos que se apropriam de análises de regressões clássicas, nas quais os preços de vendas de casas são
regredidos em função de suas características; onde o intuito do trabalho foi avançar no estudo dos fatores
determinantes para a formação dos preços de imóveis, com o objetivo de entender como os indicadores
específicos dos imóveis juntamente com as variáveis macroeconômicas brasileiras impactam o preço de
equilíbrio no mercado de imóveis no município de São Paulo.
3. MATERIAIS E MÉTODOS
3.1. Materiais
O conjunto de dados utilizado neste estudo é composto por uma amostra dos preços de casas do município
de Bonito-MS, que estavam à venda nas imobiliárias da cidade. Outras características relacionadas que
compõem o conjunto de dados são: o número de quartos, área útil (m²), área do terreno (m²), número de
vagas na garagem e localização. Neste caso, a variável resposta Y refere-se aos preços dos imóveis e as outras
variáveis são consideradas independentes. A variável localização foi classificada como qualitativa nominal
dicotômica, onde se atribuiu o código 0 para as casas fora do centro e 1 para as casas situadas no centro. A
amostra constituiu-se de um conjunto de 27 imóveis residenciais urbanos que estavam a venda nos sites
imobiliários do município.
3.2. Métodos
De acordo com as definições de Bertrand e Fransoo (2002) o método de pesquisa utilizado trata-se de
pesquisa quantitativa baseada em modelo, pois se procurou construir, analisar e testar um modelo que
estabelece relações de causa e efeito entre variáveis. Além disso, buscou-se criar um modelo que descreva
adequadamente relações de causa e efeito existentes na realidade, isto é, a relação entre preço de imóveis e
outras variáveis, permitindo assim o entendimento do comportamento da variável preço. Por essas
características, ainda segundo os mesmos autores, a pesquisa ainda pode ser classificada como descritiva
empírica.
Com o objetivo de identificar características que contribuem para explicar o preço, bem como encontrar um
modelo para estimar o preço de imóveis em Bonito, foram utilizadas técnicas de Regressão linear múltipla.
Um modelo de regressão linear que possui mais de um regressor, é chamado de modelo de regressão linear
múltipla. O modelo de regressão linear múltipla com k regressores é expresso pela equação 1, podendo ser
escrito na forma reduzida, como na equação 2.
199
Araújo et al.
P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p. 196-207, 2012
Y   0  1 X 1   2 X 2     k X k  
(1)
k
Y  0    j X j  
(2)
j 1
Em que, y é a variável resposta (ou variável dependente),
variáveis independentes) e
 j j  0,1,  k
,
X j j  0,1,  k
,
são os regressores (ou
são os coeficientes de regressão, sendo parâmetros que
X
j
representam a variação esperada em Y por unidade de variação em
quando todos os outros
regressores são mantidos constantes e  é um termo aleatório que contém toda a variabilidade de Y que
não é explicada pelos regressores.
3.2.1. Estimação dos parâmetros
Uma das formas de se estimar os parâmetros da regressão é por meio do método dos mínimos quadrados
(MONTGOMERY; RUNGER, 2008). Nesse método a soma do quadrado dos erros é minimizada.
3.2.2. Abordagem Matricial
Um modelo de regressão linear múltipla com k regressores e n observações é representado da seguinte
maneira:
Y1   0  1 X 11   2 X 12     k X 1k   1
Y2   0  1 X 21   2 X 22     k X 2k   2

Yn   0  1 X n1   2 X n 2     k X nk   n
Uma maneira mais conveniente de representar o modelo é a forma matricial.
Y1  1 X 11 X 12  X 1k   0   1 
Y  1 X X  X     
2k   1   2 
 2    21 22


    

      
    
  
Yn  1 X n1 X n 2  X nk   k   n 


  
Y
X


Ou seja, Y  X   , em que Y é o vetor das observações da variável resposta, X é uma matriz
n  k  1 com os valores das variáveis independentes, 
é o vetor de coeficientes da regressão e
o vetor dos erros aleatórios (ANDERSON; SWEENEY; WILLIAMS, 2007).
Para encontrar o estimador de mínimos quadrados para o vetor
erros na forma:

é
 , verifica-se a soma dos quadrados dos
Proposta de uma metodologia para a avaliação...
n

i 1
i
²   1  2
200
 1 
 
  n  2    
 
 
 n 
É importante observar que:

Y  X      Y  X     Y  X 
Logo, a soma dos quadrados dos erros é

L     Y  X  Y  X  .
Para minimizar a soma dos quadrados dos erros L é necessário resolver a equação:
L
0

Ou seja,
X  X  X Y .
Para resolver as equações normais multiplicam-se ambos os lados da equação pela inversa de
obtendo-se o estimador de mínimos quadrados para β.
X  X  ,

   X  X 1 X  Y
O modelo inicial, considerado o modelo completo com todas as variáveis envolvidas no estudo do preço de
imóveis residenciais urbanos na cidade de Bonito-MS, foi assim especificado:
Pr eço   0  1 NQ   2VG   3 AT   4 Local  
(3)
Em que:
Preço = Valor do imóvel em Reais.
NQ = Nº de quartos do imóvel;
VG = Nº de vagas na garagem;
AT = Área do terreno onde o imóvel está construído, em m²;
Local = Localização do imóvel, uma variável qualitativa que indica se o imóvel está fora do centro (Local =
0) ou se o imóvel está situado no centro (Local = 1);

= Termo de erro aleatório.
3.2.3. Seleção de Variáveis
Um problema importante na análise de regressão linear múltipla envolve a seleção das variáveis
independentes que serão usadas na modelagem de uma variável de interesse y. Apesar de alguns problemas
possuírem uma grande quantidade de regressores disponíveis, nem todos são importantes para explicar a
variação da variável dependente do modelo.
Segundo Charnet et al. (1999) diferentes procedimentos e critérios podem ser utilizados na seleção de um
subconjunto de variáveis regressoras a serem incorporadas ao modelo, no entanto nem sempre métodos
diferentes chegam ao mesmo resultado, pois pode-se ter modelos de ajustes equivalentes. Os métodos mais
conhecidos são descritos a seguir.
201
Araújo et al.
P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p. 196-207, 2012
3.2.4. Seleção Progressiva
A seleção progressiva é um método de seleção de variáveis, que caracteriza-se por considerar um tipo de
regressão por etapas, baseado no princípio de que os regressores devem ser adicionados ao modelo, um de
cada vez, até que não haja mais regressores que produzam um modelo de melhor desempenho do que o
modelo obtido previamente. O processo se inicia sem nenhuma variável, ocorrendo testes com cada uma
até que o conjunto esteja formado.
No presente estudo, para determinar a ordem das variáveis a serem incluídas no modelo, foram calculados
os coeficientes de correlação entre as candidatas a regressoras e a variável Preço. Sendo assim, as variáveis
mais correlacionadas com a variável Preço foram incluídas primeiras no modelo.
3.2.5. Seleção Regressiva
Esse método é um tipo de regressão por etapas, que se baseia em um algoritmo que se inicia com todos os
K candidatos a regressores. Assim, são realizados testes com cada variável e caso essa não seja importante
para o modelo de regressão, é excluída do conjunto de regressores. A seguir, o modelo com K-1 regressores
é ajustado e o próximo regressor para potencial eliminação é encontrado. Esses testes são realizados até
que o conjunto ideal seja encontrado.
No método de Seleção Regressiva, considerou-se o modelo completo (equação 3) e a partir desse modelo,
as variáveis foram retiradas, uma de cada vez, sendo excluídas do modelo as variáveis pouco significativas.
O critério utilizado para eliminar ou não um regressor do modelo nos métodos de Seleção Regressiva e
Progressiva foi o AIC (Critério de Informação de Akaike), mais indicado para pequenas amostras, como é o
caso. Segundo Martínez & Zamprogno (2003), o melhor modelo é o que apresenta menor AIC.
No método Seleção Regressiva, se o AIC do modelo completo (com as k variáveis) é o menor de todos,
significa que não há variáveis regressoras candidatas a sair, ou seja, o algoritmo termina e o modelo
selecionado é o modelo com as k variáveis regressoras, caso contrário, exclui-se a variável regressora
correspondente ao modelo com menor AIC e repete o processo.
Com relação ao método Seleção Progressiva, se o AIC do modelo inicial é o menor de todos, significa que
não há variáveis regressoras candidatas a incluir e o processo é finalizado, caso contrário, inclui-se a
variável preditora correspondente ao modelo com menor AIC e repete o processo.
3.2.6. Previsão
É frequente o uso de modelos de regressão linear múltipla para prever valores da variável resposta com
base em informações dos valores das variáveis regressoras. Neste trabalho, após o ajuste do modelo foram
feitas quatro previsões para os preços de casas no município de Bonito-MS, baseadas nos dados coletados
das variáveis regressoras.
O grande intuito de realizar as previsões foi de avaliar a capacidade de previsão do modelo ajustado. Vale
ressaltar que as observações utilizadas para realização das previsões não foram incluídas no processo de
ajuste do modelo.
Para o ajuste do modelo de regressão linear múltipla, bem como a análise de resíduo para a verificação dos
pressupostos do modelo ajustado e realização de previsões, foi utilizado o software estatístico R, versão
2.12.1.
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Foi realizado um levantamento de 27 casas a venda no município de Bonito-MS. O quantitativo amostral
baseou-se no número de casas a venda nas imobiliárias. Em virtude de informações incompletas sobre as
residências, a variável área útil da casa, por exemplo, foi retirada da tabulação dos dados por apresentar
valores faltantes, a constar, mais de 20%.
Na primeira parte do estudo, procurou-se efetuar uma análise descritiva dos dados, para se ter uma ideia
do comportamento de cada variável envolvida no estudo.
A Tabela 1 apresenta algumas medidas descritivas das variáveis: números de quartos (NQ), vagas na
garagem (VG), área do terreno (AT) e preço da casa (Preço).
Proposta de uma metodologia para a avaliação...
202
Tabela 1 - Medidas descritivas das variáveis envolvidas no estudo
Variáveis
Mínimo
Mediana
Média
Máximo
Desvio P.
NQ
1,00
3,00
3,00
6,00
1,09
VG
0,00
0,00
0,69
4,00
1,14
AT
117,00
360,00
447,30
1.250,00
253,27
Preço
55.000,00
120.000,00
148.500,00
450.000,00
95.791,38
Fonte: Dados da pesquisa
Pela Tabela 1 observa-se que, em média, as casas pesquisadas possuem 3 quartos, o mesmo valor
encontrado para mediana, o que mostra que os dados dessa variável tem distribuição, pelo menos,
aproximadamente simétrica, com desvio padrão 1,09. Pode-se notar ainda que grande parte das casas não
possuem vagas de garagem, pois o valor da mediana dessa variável é zero. No que tange a área do terreno
observa-se que, em média, possui uma área de 447,30 m². O preço apresentou grande desvio padrão, fato
explicado pela grande diferença nos preços das casas, variando de R$ 55.000,00, casa pequena fora do
centro, até R$ 450.000,00, casa grande no centro da cidade.
Além das variáveis NQ, VG, AT e Preço foi considerada, também, a variável localização (Local). Assim, a
Figura 1 mostra os percentuais referentes a essa variável.
Figura 1 - Gráfico de setores para variável Local
Fonte: Dados da pesquisa
Pela Figura 1, nota-se que grande parte das casas pesquisadas estão fora do centro (74%), isso porque a
região central da cidade é predominantemente comercial, com inúmeros restaurantes, hotéis, pousadas e
lojas de artesanato, diminuindo as possibilidades de encontrar residências a venda nesse local.
4.1. Ajuste do modelo de regressão
Na segunda parte desse estudo, procurou-se ajustar um modelo de regressão linear múltipla que fosse
adequado para produzir estimativas confiáveis dos preços das casas a venda no município de Bonito-MS,
por meio dos valores obtidos das variáveis regressoras: número de quartos, vagas na garagem, área do
terreno e localização.
Para o ajuste do modelo, utilizou-se 23 observações, sendo retiradas quatro observações para realização de
previsão, após o ajuste do modelo. Isso foi feito com intuito de avaliar a capacidade de previsão do modelo.
Os métodos utilizados para selecionar as variáveis a serem incluídas no modelo foram: Seleção Progressiva
e Seleção Regressiva, conforme apresentado na subseção material e métodos. A Tabela 2 apresenta as
203
Araújo et al.
P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p. 196-207, 2012
etapas do método de Seleção Regressiva, iniciando-se com todos os candidatos à regressores; caso o
regressor testado não seja importante, esse é retirado e assim é feito até que se tenha o melhor modelo.
Tabela 2 - Resultado da seleção de variáveis (Seleção Regressiva)
Variáveis
Graus de L.
Nenhuma
AIC
497,20
- NQ
1
499,46
- VG
1
505,85
- AT
1
506,23
- Local
1
509,37
Fonte: Dados da pesquisa
Conforme apresentado na subseção Métodos, foi utilizado o AIC para verificar a retirada ou não das
variáveis regressoras candidatas. Baseado na Tabela 2 nota-se que o menor valor de AIC foi 497,20,
correspondente ao modelo completo, sem retirar nenhuma variável, sinalizando que todas as variáveis
devem ser mantidas no modelo. Na Tabela 3 é apresentado o valor dos coeficientes das variáveis
regressoras, selecionadas segundo o método anterior.
Tabela 3 - Coeficientes de regressão das variáveis selecionadas
Intercepto
NQ
VG
AT
Local (1)
-28.603,1
21.764,5
32.469,9
147,7
88.600,9
Fonte: Dados da pesquisa
O coeficiente estimado para a variável Local foi 88.600,9, sendo o maior valor comparado aos coeficientes
das demais variáveis, conforme Tabela 3. Isso mostra que se uma casa estiver localizada no centro, seu valor
é 88.600,9 maior do que uma casa nas mesmas condições, localizada fora do centro, sendo a variável que
mais contribui para a variação no preço do imóvel.
Para a confirmação das variáveis regressoras que fariam parte do modelo, o método de Seleção Progressiva
também foi aplicado, e os resultados do processo são mostrados na Tabela 4.
Tabela 4 - Resultado da seleção de variáveis (Seleção Progressiva)
Variáveis
Graus de L.
Nenhuma
AIC
528,59
+ NQ
1
516,39
+ VG
1
507,84
+ AT
1
505,85
+ Local
1
497,20
Fonte: Dados da pesquisa
Ressalta-se que o modelo selecionado pelos métodos Seleção Progressiva foi exatamente o proposto
inicialmente, com todas as variáveis regressoras envolvidas no estudo, como mostra a tabela 4. Tal fato se
justifica porque o menor valor de AIC foi 497,20, correspondente ao modelo com todas as variáveis
adicionadas. Os valores dos coeficientes das variáveis selecionadas por esse método foram exatamente
iguais aos coeficientes obtidos pelo método anterior, apresentados na Tabela 3.
A Tabela 5 apresenta um resumo do resultado do ajuste, trazendo informações dos coeficientes de
regressão, como visto na Tabela 3, bem como o erro padrão dos coeficientes, o valor da estatística utilizada
para testar a significância de cada regressor e o P – Valor.
Proposta de uma metodologia para a avaliação...
204
Tabela 5 - Resumo do resultado do ajuste do modelo
Variáveis
Estimativa
Erro P.
Valor t
P – Valor
Intercepto
-28603.1
29542.58
-0.968
0.34578
NQ
21764.5
11377.83
1.913
0.07181
VG
32469.9
9971.38
3.256
0.00438
AT
147.7
44.38
3.329
0.00373
Loca(1)
88600.9
22629.40
3.915
0.00101
Fonte: Dados da pesquisa
Observando o teste de significância para os coeficientes, na Tabela 5, nota-se que apenas a variável número
de quartos não foi significativa ao nível de 5%. Porém, pelos métodos utilizados anteriormente, essa
variável se mostrou importante para o modelo, e, como possui bastante relevância sobre o preço das casas,
a variável foi incluída no modelo.
Outra medida bastante utilizada para avaliar a qualidade do ajuste de modelos de regressão linear múltipla
é o coeficiente de determinação, cujo valor foi de 0,82. Isso quer dizer que 82% das variações de preços de
casas são explicadas pelo modelo de regressão.
4.2. Análise de Resíduo
A análise dos resíduos de um modelo é uma ferramenta de grande relevância utilizada para verificar a
plausividade das pressuposições envolvidas, tais como normalidade e independência dos erros e
homogeneidade da variância, ou seja, se a variância dos erros aleatórios da função de regressão são iguais.
Com o objetivo de checar a suposição de Distribuição Normal e homogeneidade de variância dos erros,
foram construídos os gráficos de diagnóstico (Figura 2).
(a)
(b)
Figura 2 - Gráficos de diagnóstico para o modelo proposto
Fonte: Dados da pesquisa
O gráfico da Figura 2 (a) representa o quantil de probabilidade esperado se a distribuição fosse normal em
função dos resíduos. Como quase todos os pontos estão posicionados sobre a reta, há evidências de que a
distribuição dos erros seja normal.
Ainda na Figura 2 (b), tem-se o gráfico para checar a homogeneidade de variância dos erros, o qual
representa os erros do modelo em função dos valores ajustados. Os pontos do gráfico se distribuem de
forma aleatória; dessa forma há de se esperar que os erros sejam independentes e de variância constante.
205
Araújo et al.
P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p. 196-207, 2012
Para confirmação da não violação dos pressupostos do modelo, foram realizados o teste de normalidade
dos erros de Shapiro Wilk, além do teste de homogeneidade dos erros de Goldfeld-Quandt, mostrados na
Tabela 6.
Tabela 6 - Testes de Shapiro Wilk e Goldfeld-Quandt
Teste de Shapiro Wilk
Teste de Goldfeld-Quandt
Estatística W
P - Valor
Estatística GQ
P - Valor
0.9445
0.2241
0.8095
0.61
Fonte: Dados da pesquisa
Como verificado na Tabela 6, o teste de Shapiro Wilk e de Goldfeld-Quandt não foram significativos, ou seja,
as suposições de distribuição normal e homogeneidade não foram rejeitadas, respectivamente, o que vai ao
encontro do que se verificou graficamente.
Face aos resultados obtidos no ajuste do modelo, no resumo do ajuste, bem como na análise de diagnóstico
pode-se afirmar que o modelo é adequado para realizar previsões de preços de casas do município de
Bonito-MS, baseando-se em características como: área total, número de quartos, número de vagas na
garagem e localização.
Tem-se assim o seguinte modelo:
Preço = - 28603.1 + 21764,5 NQ + 32469.9 VG + 147.7 AT + 88600.9 Local  
(4)
4.3. Realizando Algumas Previsões
A fim de avaliar o poder de previsão do modelo, foi feita a previsão de quatro observações do conjunto de
dados. Os valores observados e previstos, bem como o erro percentual dos valores previstos em relação aos
valores observados são apresentados na Tabela 7.
Tabela 7. Preço observado, preço previsto e o erro percentual para as quatro observações
Preço Observado (R$)
Preço Previsto
Erro percentual (%)
250.000,00
241.522,60
3,39
150.000,00
146.350,70
2,43
200.000,00
192.173,50
3,91
145.000,00
149.697,00
3,24
Fonte: Dados da pesquisa
O modelo de regressão linear múltipla ajustado para estimar os preços de casas no município de Bonito-MS
apresentou boa performance, com erros percentuais baixos, variando de 2,43 a 3,91%, como mostra a
Tabela 7.
No trabalho de Dutra (2009), cujo objetivo foi confeccionar um modelo de regressão linear múltipla
confiável para avaliação de imóveis com fim habitacional no município S. Domingos de Benfica, em Portugal;
o modelo ajustado produziu erros percentuais variando de 0,0 a 18%.
Silva et al. (2009) realizaram um estudo com a finalidade de obter um modelo matemático capaz de estimar
o valor de imóveis rurais irrigáveis, localizados na Microrregião de Petrolina-PE. No modelo final, observouse que em 19% dos casos, os erros dos valores preditos ficaram faixa de 0,0 a 5,0% para mais ou para menos
do valor observado e 60% dos casos ficaram entre 5 e 20% do valor observado e em apenas 3% dos casos
o erro foi superior a 30%.
Diante disso, pode-se afirmar que o modelo proposto neste trabalho para avaliar os preços de casas em
Bonito-MS é confiável, se tornando uma ferramenta adicional para tal procedimento.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho foi proposta uma metodologia baseada em modelos de regressão linear múltipla para a
previsão de preço de casas na cidade de Bonito-MS. Os critérios utilizados para seleção das variáveis do
Proposta de uma metodologia para a avaliação...
206
modelo foram Seleção Progressiva e Seleção Regressiva. Ambos os métodos produziram os mesmos
resultados, e mostraram que todas as características observadas foram importantes para o modelo, fato já
esperado.
A metodologia apresentada para realização de previsões de preços de casas se mostrou viável e adequada,
atingindo-se resultados com níveis de precisão satisfatórios, como mostrado na tabela 6, onde os erros
percentuais para os valores previstos em relação aos valores observados foram bem pequenos.
Assim, o modelo proposto pode servir de apoio tanto a gerentes imobiliários na definição de preços de casas,
como para as pessoas físicas e/ou jurídicas que desejam avaliar seu patrimônio de forma genuína.
Deve-se atentar que os modelos de regressão linear múltipla definidos, deverão sofrer reajustes periódicos,
ou seja, deverão ser atualizados, devido a alta dinamicidade da economia do país.
REFERÊNCIAS
ALVES, D. C. O. et al. Modelagem dos preços de imóveis residenciais paulistanos. Rev. Bras. Finanças, Rio
de Janeiro, v. 9, n. 2, p.167-187, jun. 2011.
ANDERSON, D. R. et al. Estatística Aplicada à Administração e Economia. 2.ed. São Paulo: Cengave
Learning, 2007. 597 p.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14.653-2: Avaliação de bens parte 2: imóveis
urbanos. Rio de Janeiro, 2004.
BERTRAND, J.W.M.; FRANSOO, J.C. Modelling and simulation: Operations management research
methodologies using quantitative modeling. International Journal of Operations & Production
Management, v. 22, n. 2, p. 241-264, 2002.
CASSUNDÉ, N. F.; CUNHA, M. Um estudo sobre a composição de preços dos apartamentos de um quarto:
uma análise sobre o bairro de Boa Viagem- Recife/PE. In: SEMINÁRIO EM ADMINISTRAÇÃO, 8., 2005. São
Paulo. Anais... São Paulo: FEA – USP, 2005.
CHARNET, R. et al. Análise de Modelos de Regressão Linear com Aplicações. Campinas: Unicamp, 1999.
356p.
DANTAS, R.A. Engenharia de avaliações: uma introdução a metodologia científica. São Paulo: Pini,
1998.
DUTRA, R. F. M. Análise e determinação dos factores formadores do valor de mercado de fracções
habitacionais: desenvolvimento de modelos de estimação. 2009. 78 p. Dissertação (Mestrado em
Engenharia Civil) – Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa, 2009.
GAZOLA, S. Construção de um modelo de regressão para avaliação de imóveis. 2002. 110p. Dissertação
(Mestrado em Engenharia de Produção) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção, UFSC,
Florianópolis, 2002.
IBGE.
Censo
demográfico
2010.
Disponível
em:
<http://www.censo2010.ibge.gov.br/sinopse/webservice/frm_urb_rur.php?codigo=500220>. Acesso em:
03 jun. 2011.
MARTÍNEZ, R. O.; ZAMPROGNO, B. Comparação de algumas técnicas de previsão em análises de séries
temporais. Revista Colombiana de Estadística, v. 26, n. 2, p. 129-157, 2003.
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 2 ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2008. 463 p.
PORTAL BONITO. Histórico da cidade de Bonito/ Mato Grosso do
<http://www.portalbonito.com.br/a-cidade/historico>. Acesso em: 02 jun. 2011.
Sul.
Disponível
em:
R DEVELOPMENT CORE TEAM. A language and environment for statistical computing. Version 2.11.0:R
Foundation for Statistical Computing, Vienna, Áustria, 2010.
SILVA, J. A. et al. Modelagem de dados por regressão linear múltipla para avaliação de imóveis rurais do
submédio São Francisco. In: Congresso Brasileiro de Engenharia de Avaliações e Perícias, 15., 2009. São
Paulo. Anais... São Paulo: IBAPE/SP, 2009.
207
Araújo et al.
P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p. 196-207, 2012
STEINER, M.T.A.; NETO, A.C.; BRAULIO, S.N.; ALVES, V. Métodos Estatísticos Multivariados Aplicados à
Engenharia de Avaliações. Gest. Prod., São Carlos, v. 15, n. 1, p. 23-32, jan.-abr. 2008.