UNIVERSIDADE
CATÓLICA DE
BRASÍLIA
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Curso de Física
A CONSTRUÇÃO DA RELATIVIDADE ESPECIAL
E DA RELATIVIDADE GERAL E SUAS
VALIDAÇÕES EXPERIMENTAIS
Autor: Guilherme Bastos Pinheiro
Orientador: Prof. Dr. Paulo Eduardo de Brito
BRASÍLIA
2008
1
GUILHERME BASTOS PINHEIRO
A CONSTRUÇÃO DA RELATIVIDADE ESPECIAL E DA RELATIVIDADE
GERAL E SUAS VALIDAÇÕES EXPERIMENTAIS
Trabalho de Conclusão de Curso
submetido à Universidade Católica
de Brasília para obtenção do Grau
de Licenciado em Física.
Orientador: Dr. Paulo Eduardo de
Brito
Brasília
Junho de 2008
A CONSTRUÇÃO DA RELATIVIDADE ESPECIAL E GERAL E SUAS
COMPROVAÇÕES EXPERIMENTAIS
RESUMO
O desenvolvimento da teoria da relatividade teve início no final do século XIX,
quando a experiência de Michelson e Morley obteve resultados conflitantes com a mecânica
clássica. A partir de então as idéias newtonianas de propagação instantânea da luz, de espaço
e de tempo absolutos, deram lugar a novas hipóteses que visaram explicar o motivo pelo qual a
natureza não se comporta conforme a previsão da mecânica clássica. Com isso serão,
apresentadas neste trabalho a evolução história da teoria relativística, iniciando com as idéias
fundamentais de Isaac Newton contidas em sua obra: Principia (Princípios Matemáticos de
Filosofia Natural) de 1686 e aperfeiçoadas por diversos físicos ao longo de 200 anos. Por fim
serão expostas as novas hipóteses físicas propostas por Jules Henri Poincaré e aperfeiçoada
por Albert Einstein que levaram a quebra do paradigma newtoniano. Em seguida as
comprovações experimentais da relatividade especial e geral desde a primeira publicação em
1905, no famoso annus mirabilis.
Palavras-chave: Espaço, Tempo, Simultaneidade, Conservação do Momento linear,
Conservação da energia.
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ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO.......................................................................................................... 1
2. A HERANÇA DE NEWTON....................................................................................... 4
2.1 Espaço Absoluto................................................................................................. 5
2.2 Tempo Absoluto.................................................................................................. 6
2.3 A Conservação da Energia e do Momento Linear............................................... 6
2.4 O Éter................................................................................................................. 7
2.5 A Gravitação....................................................................................................... 8
2.6 O Sistema solar por Emanuel Kant..................................................................... 9
2.7 O Sistema solar segundo Simon Pierre Laplace............................................... 10
3. O ESPAÇO E A GEOMETRIA................................................................................. 10
3.1 O Espaço Geométrico e o Espaço Representativo ........................................... 11
3.2 Espaço Visual, Tátil e Motor. ............................................................................ 11
3.3 O Mundo Não-Euclidiano ................................................................................. 12
3.4 O Espaço, o Tempo e a Força .......................................................................... 13
4. EXPERIÊNCIA DE MICHELSON E MORLEY......................................................... 15
5. O ANNUS MIRABILIS ............................................................................................. 18
5.1 Os Postulados.................................................................................................. 18
5.2 A Simultaneidade.............................................................................................. 19
5.3 A Dilatação do Tempo....................................................................................... 21
5.4 A Contração das Distâncias.............................................................................. 23
5.5 As Transformações de Lorentz ......................................................................... 24
5.6 Efeito Doppler Relativístico .............................................................................. 26
5.7 O Momento Relativístico e sua Conservação ................................................... 26
5.8 A nova interpretação para massa e energia...................................................... 29
6. O UNIVERSO DE MINKOWSKI.............................................................................. 30
7. O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE GENERALIZADO ............................................. 33
7.1 A propagação da luz em um campo gravitacional ............................................. 34
7.2 A Ponderabilidade da Energia .......................................................................... 34
7.3 Encurvamento dos raios de luz no campo de gravidade................................... 37
7.4 Avanço do periélio de mercúrio ........................................................................ 38
8. AS VALIDAÇÕES EXPERIMENTAIS DA TEORIA RELATIVISTA............................ 40
8.1 O efeito Doppler-Fizeau ................................................................................... 41
8.2 A massa variável dos elétrons .......................................................................... 42
8.3 A relatividade e a mecânica quântica................................................................ 42
8.4 As validações da relatividade geral .................................................................. 43
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9. CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 45
9. BIBLIOGRAFIA....................................................................................................... 47
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1. INTRODUÇÃO
Por que estudar mecânica clássica se atualmente existe a física moderna? Esta
deve ser uma questão levantada por muitos estudantes quando iniciam o aprendizado
de física moderna. Contudo nada pode ser construído sem que primeiro se forme uma
base pela qual todo o entendimento possa ser analisado de maneira satisfatória e
conseqüentemente construtiva. Nesse estudo serão discutidas as principais idéias
sobre as obras de Isaac Newton (1643-1727), que perduraram por mais de duzentos
anos, desde 1687.
A física na época de Newton era conhecida como filosofia natural. Diversos
temas eram reunidos em artigos científicos, para a divulgação no meio acadêmico da
época. Com isso muitos dos conceitos sobre espaço, tempo, força, inércia, e
cinemática, já estavam bastante familiarizados no século XVII. Portanto estas idéias
foram bastante reforçadas, o que não deixou dúvidas sobre seus fundamentos ate o
século XIX.
Desta forma todas as observações foram colocadas de maneira que qualquer
filósofo ou geômetra da época não discordasse sobre estes fundamentos. Porém os
melhores experimentos do século XVIII não eram tão precisos como os realizados a
partir do século XIX. Por esse motivo quando os conceitos de espaço e tempo são
postos em discussão, muitos estudantes acreditam compreendê-los corretamente.
Mas isso não é verdadeiro. Tendo em vista que tais conceitos tornam-se de certa
maneira abstratos, quando levados aos demais referenciais: como o espaço vazio ou
corpos em movimento em altas velocidades. Uma análise cuidadosa deve ser feita
para compreender o sentido destas teorias.
As idéias propostas por Newton foram tão aceitas que se tornaram paradigmas
até o século XIX, embora algumas de suas propostas não concordaram com os
experimentos mais minuciosos, como por exemplo, os de Thomas Young (1773-1829)
em 1805. Young usando a dupla fenda observou um comportamento ondulatório da
luz; as propostas de Fresnell para o éter luminífero questionaram as idéias
newtonianas contidas em Óptica de 1704. Com isso à evolução dos experimentos
começaram a colocar em questionamento conceitos fortemente aceitos, e abrindo
novas possibilidades cujas hipóteses e as experiências poderiam revelar.
Idéias como a formação da matéria e suas diferenças, eram questionadas e
tratadas de diversas formas pelos físicos teóricos antes do século XX. Newton em
pleno século XVII comenta sobre a matéria de maneira filosófica “... entretanto, para
que não parecessem áridas, ilustrei-as com alguns escólios filosóficos, e versei sobre
generalidades, em parece fundar-se principalmente a filosofia, como sejam, a
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densidade e resistência dos corpos, os espaços vazios de corpos, bem como o
movimento da luz e dos sons”.
Newton usou a sua teoria dinâmica para exemplificar o conceito de inércia e
sistemas acelerados. Ele exemplificou o movimento com comparações cotidianas, que
poderiam ser feitas e comprovadas facilmente. Estas observações foram limitadas
devido a construção teórica de sua época, pois existiam hipóteses, mas faltavam às
experimentações adequadas para uma visão mais realista das características
peculiares dos corpos. Como pode ser visto no comentário em (1983, Os Pensadores,
p.21) principia, “Nos corpos vemos somente suas figuras e cores, ouvimos somente os
sons, tocamos somente suas superfícies exteriores, cheiramos somente os cheiros e
provamos os sabores; mas suas substâncias interiores não deverão ser conhecidas
nem por nossos sentidos, nem por qualquer ato reflexo de nossas mentes”.
A Óptica em pleno século XVII era vista de duas formas distintas: a corpuscular
e a ondulatória. Robert Hook (1635-1703), René Descartes (1596-1650) e Christian
Huygnes (1629-1695) eram defensores da ondulatória e buscavam explicações para o
comportamento da luz entre os copos e também no espaço interplanetário. Robert
Hook escreve sobre suas observações, onde afirma “A luz é produzida por vibrações
de um meio sutil e homogêneo e este movimento se propaga por impulso ou ondas
simples e de forma perpendicular à linha de propagação”.
Este meio de propagação da luz, baseado no éter aristotélico-cartesiano seria
posteriormente analisado por Poincaré, e mantid até a publicação dos trabalhos de
Albert Einstein, que descartou completamente o conceito de um espaço etéreo e
propôs a existência de um espaço vazio entre os planetas e os demais corpos
celestes.
Jules Henri Poincaré (1854-1912), já no final do século XIX, publica uma série de
artigos destinados às mais diversas áreas da física. Tratam primeiramente dos
conceitos mecânicos e geométricos antecessores a ele, os quais poderiam ser
substituídos de maneira tal que muitos fenômenos físicos passassem a ser vistos de
forma diferente, contudo não menos reais e possíveis.
Assim as idéias sobre a natureza do espaço são levantadas de forma que a
física poderia ser reformulada e aperfeiçoada; diferentemente da física clássica com
idéias muitas vezes baseadas em conceitos antropomórficos. Estes artigos foram
estudados por Albert Einstein (1879-1955) antes de 1905, e foram de suma
importância para a criação da relatividade especial. Einstein posteriormente chegou às
mesmas conclusões das hipóteses de Poincaré, porém indo além dessas quebrando
com o domínio newtoniano e com as idéias do éter aristotélico-cartesiano de mais de
200 anos.
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Esse novo conceito de relatividade não se tratava somente de uma teoria
inovadora baseada em uma série de hipóteses bem formuladas, antes de tudo deveria
explicava o universo de maneira mais clara e sucinta que as anteriores, e confirmadas
experimentalmente.
As mudanças de idéias seguiram uma disputa entre o velho e o novo de tal forma
que surgiram conflitos, vivenciados pelo próprio Newton em 1687, “Mas aqueles que
não compreendem suficientemente os princípios estabelecidos não perceberão de
modo algum a força das conseqüências, nem se desfarão dos preconceitos adquiridos
já muito antes”, e novamente por Poincaré no final do século XIX, “Mudar os conceitos
da ciência chega a ser mais difícil do que mudar os dogmas de uma religião”.
Por fim após as publicações de 1905 no famoso ano miraculoso, até 1916 na
publicação da relatividade geral, houve uma demora de mais de 15 anos até sua
aceitação no meio cientifico, ocorrendo em 1919 com as observações do eclipse solar.
Chamando a atenção do mundo todo para a nova teoria relativística e finalmente
abrindo as portas para um longo e produtivo século de confirmações, de conquistas
teórico-experimentais dos mais diversos campos da ciência.
2. A HERANÇA DE NEWTON
As leis de Newton foram bem fundamentadas pela contribuição de seus
antecessores; Galileu Galilei com a cinemática e o método científico, junto com René
Descartes, com sua filosofia baseada na matemática e experimentação. Segundo a
visão de Galileu, todo corpo em movimento possui uma velocidade relativa que pode
ser acrescentada ou diminuída conforme o referencial. Galileu percebeu que os corpos
se movimentam de maneira constante desde que estejam livres de forças resistivas,
assim propõe o principio da inércia junto com Descartes. A matemática e a observação
não deixaram dúvidas sobre esses princípios, tanto que Isaac Newton construiu uma
teoria que explicava o mundo mecânico de maneira simples e coesa.
Para isso Newton propõe três axiomas básicos que explicam as interações entre
os corpos. Em suas próprias palavras NEWTON (1983, Os Pensadores, p.14) afirma:
“Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha
reta, a menos que seja obrigado a mudar sue estado por forças impressas nele, (...) A
mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa, e se faz segundo a linha
reta pela qual se imprime essa força, (...), a uma ação sempre se opõe uma reação igual,
ou seja, as ações de dois corpos um sobre o outro são iguais e se dirigem as partes
contrárias”.
Com essas palavras Isaac Newton deduz todos os movimentos e fenômenos
mecânicos no planeta e consegue expandir esse conceito para a lua e os demais
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planetas do sistema solar, que anteriormente eram tidos como o mundo “supralunar”
regidos por leis perfeitas que não eram as mesmas do mundo sublunar. Newton chega
à conclusão que o movimento é devido à inércia e a interação entre os corpos, seja
diretamente ou não, como é o caso da gravitação. Isso permite aos corpos
conservarem seus movimentos em torno do sol e manterem o equilíbrio de todo o
sistema solar.
2.1 Espaço absoluto
Para Newton, existe uma série de espaços distintos quando se observa o
movimento do próprio sistema, mas esse espaço relativo faz parte de um espaço
imutável e estável, onde, NEWTON (1983, Os Pensadores, p.8), afirma:
“O espaço é absoluto, por sua própria natureza sem nenhuma relação com algo externo,
permanece sempre semelhante e imóvel; o relativo é certa medida ou dimensão móvel deste
espaço, a qual nossos sentidos definem por sua situação relativamente aos corpos, e que a plebe
emprega em vez do espaço imóvel, como é a dimensão do espaço subterrâneo, aéreo ou celeste
definida por sua situação relativamente a terra...”.
Percebe-se com isso que a relatividade estava presente nos conceitos de Newton,
porém sua idéia principal sobre o espaço era, “O centro do sistema do mundo esta em
repouso”, logo tudo se move em torno desse espaço sem alterá-lo de nenhuma
maneira.
2.2 Tempo absoluto
Segue-se o raciocínio de Newton para o que era observável em sua época,
usando instrumentos que com pouca precisão de medida, como os usados por Galileu
na cinemática. NEWTON (1983 Os Pensadores, p.8), define o tempo como:
“O tempo, verdadeiro e matemático flui sempre igual por si mesmo e por sua natureza,
sem relação com qualquer coisa externa, chamando-se como outro nome duração; o
tempo relativo, aparente e vulgar é certa medida sensível e externa de duração por meio
do movimento (seja exata, seja desigual), a qual vulgarmente se usa em vez do tempo
verdadeiro, como é a hora, o dia, o mês, o ano”.
Assim afirma que apesar de conceitos astronômicos sobre o tempo e o movimento dos
corpos, esses jamais interferirão no fluxo do tempo, pois a duração e a permanência
das coisas são sempre as mesmas, quer os movimentos sejam rápidos ou lentos, ou
até mesmo nulos como Newton acreditava.
2.3 A conservação da energia e do momento linear
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Christian Huygens em 1669 observou que quando dois objetos em movimento
colidem como é o caso de duas bolas de aço, a soma das vis viva (força viva ou
energia cinética) de cada uma das bolas é a mesma antes e depois da colisão.
Um corpo após a colisão poderia ter sua velocidade diminuída enquanto que o
outro corpo teria sua velocidade aumentada. Como conseqüência, a soma das duas
vis viva seria sempre a mesma.
Segundo Christian Huygens (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.97) “A soma dos
produtos da massa de cada corpo duro pelo quadrado da sua velocidade é sempre a
mesma antes e depois do encontro”.
Para Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716) a verdadeira quantidade de
movimento deveria ter uma relação com o quadrado da velocidade e não como os
seguidores de René Descartes acreditavam.
Os choques para Descartes eram devidos uma quantidade de movimento criado
por Deus no início e se conservava. A idéia de momento para Descartes era tal que
(apud Ponczek e Rocha, 2002, p.93) “Se um corpo que se move encontra outro mais
forte que ele, não perde nada de seu movimento, e se encontra outro mais fraco, a
quem possa mover, perde de seu movimento aquilo que transmite ao outro”.
Estas observações de momento linear e energia foram definidas ao longo de 200 anos
e finalmente consolidadas no século XIX como leis fundamentais da natureza. A lei da
conservação da energia afirma que a energia não pode ser criada e nem destruída,
mas ela se transforma de um tipo em outra. Pode-se inferir que estavam estabelecidas
duas grandezas físicas de suma importância, a conservação da energia e a
conservação do momento linear.
2.4 O Éter
Uma grande questão perdurava na física clássica, o que seria a luz e quais suas
características? Muitos teóricos propuseram diversas hipóteses para a luz, mas devido
a diferentes linhas de pensamento algumas dessas propostas permaneceram
ignoradas por um longo período da história, A principal teoria da Óptica no século XVII
se preocupava mais com a geometria do que com as causas que produziam a luz;
escolha feita por Newton e seus seguidores, contudo existiam teóricos que
discordavam do ponto de vista Newtoniano.
Newton acreditava que a luz era composta de partículas rígidas e se
propagavam em um meio sutil chamado Éter, que possuía densidades relativas; Sua
densidade crescia conforme as distâncias entre os astros. Essa matéria sutil estava
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presente em todo universo e ajudava inclusive no equilíbrio gravitacional entre os
planetas.
Mas este conceito era visto de maneira diferente por Robert Hook, René
Descarte, Christian Huygens, onde a luz se caracterizava como uma propagação em
um meio através de oscilações transversais. Tais teorias deveriam condizer com a
velocidade da luz 230.000km/s, medida por Roemer.
Estas hipóteses apresentaram conflitos, quando baseadas unicamente no éter,
como aconteceu com Fresnel e Thomas Young que propuseram a idéia de o éter ser
uma substancia sólida e elástica, (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.232):
“Este modelo é pelo menos bastante engenhoso e pode dar origens a alguns cálculos
satisfatórios; no entanto, dele faz parte uma circunstancia que tem conseqüências
desastrosas (...) a resistência lateral tem sido apenas atribuída a sólidos; de modo que (...)
se pode inferi que o éter luminífero que enche todo o espaço e penetra quase todas as
substancias é não só altamente elástico como também totalmente sólido!”.
Somente James Clark Maxwell (1831-1879) em 1861 através de cálculos em
eletrodinâmica chega a um resultado de suma importância para a óptica e o
eletromagnetismo, onde a equivalência entre a velocidade da luz e das ondas
eletromagnéticas era visível (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.264):
“A velocidade das ondulações transversais no nosso meio hipotético, calculada a
partir das experiências de eletromagnetismo efetuadas pelos Srs. Kolhraush e Weber
(311.000km/s), tem um valor tão próximo do valor da velocidade da luz calculado a partir de
experiências de óptica realizadas pelo Sr. Fizeau que é difícil evitar a inferência de que a luz
consistirá em ondulações transversais do mesmo meio que é a causa dos fenômenos
elétricos e magnéticos.”
As confirmações da teoria de Maxwell se deram em 1887 por Heinrich Rudolf
Hertz (1857-1894), que defendia de maneira unicamente didática que a luz era uma
onda auto-sustentável, composta por campos eletromagnéticos que se propagavam
sem a necessidade de um meio etéreo.
2.5 A gravitação
O modelo de gravitação criado por Newton, teve o objetivo de explicar os
movimentos da lua e dos corpos celestes. Newton conseguiu introduzir suas leis da
mecânica nas leis de Kepler com extraordinária intuição. Pode concluir que as
mesmas leis que regeriam o movimento na superfície da Terra poderiam também ser
consideradas para os corpos celestes.
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A única questão que diferenciava essas manifestações da natureza era o
conceito de ação a distancia. Para Newton uma força motriz gera uma aceleração em
um dado corpo e é proporcional a esta mesma força. Mas, e no caso desta interação
indireta entre os corpos cuja força age a distância, poderia seguir os mesmos
princípios que ocorrem na interação direta de dois corpos? Newton conclui que sim.
Newton tentou criar um modelo de gravitação onde o éter agiria nos corpos e
devido à variação de sua densidade em relação ao sol, poderia explicar o movimento
das órbitas dos planetas.
Contudo a melhor hipótese para a gravitação foi à ação a distância entre os
corpos, que era diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente
proporcional ao quadrado das distancias que separam os centros dos corpos. Ou seja,
nas próprias palavras de Isaac Newton (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.105):
“É certo que ela (a gravidade) deve provir de uma causa que penetra nos centros exatos
do sol e dos planetas (...) e que opera de acordo com a quantidade de matéria que eles
contêm, e propaga a sua virtude em todos os lados a imensas distancias, decrescendo
sempre no quadrado inverso das distancias. A gravitação com relação ao sol é composta
a partir das gravitações em relação às varias partículas da qual o corpo do sol é
composto; e ao afastar-se do sol, diminui com exatidão na proporção do quadrado inverso
das distancias até a órbita de saturno”.
O principia de Isaac Newton sintetizou toda a ciência da mecânica e da
astronomia de maneira tão consolidada que até o advento das equações do
eletromagnetismo de James Clark Maxwell, no século XIX, foi dominante o
pensamento da mecânica. Posteriormente um grande aprimoramento se deu através
da unificação do conceito da energia e do trabalho nas leis de Newton.
2.6 O sistema solar por Emanuel Kant
Emanuel Kant (1724-1804), (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.121) filósofo
alemão, tinha sofrido forte influência do pensamento newtoniano, tanto que propôs em
sua obra: História Geral da Natureza e Teoria do Céu (1755), um modelo para a
evolução do sistema solar, onde (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.121) afirma:
“Eu suponho que, no começo de todas as coisas, todas as matérias de que são
compostos os globos que pertencem ao nosso mundo solar – todos os planetas e
cometas – decompostos em sua matéria primordial elementar – incham todo o espaço do
universo no qual eles atualmente giram. Este estado da natureza parece ser, o mais
simples que possa existir, depois do nada (...) a composição dos corpos celestes,
distantes um dos outros, seus afastamentos e sua forma, são uma conseqüência mais
tardia. A natureza, imediatamente saída da criação, era tão grosseira e tão sem forma
quanto possível. No entanto nas propriedades essenciais dos elementos que formam o
caos, já se pode encontrar o sinal dessa perfeição que eles adquirem de sua origem, pois
sua essência é uma conseqüência da idéia eterna da razão divina. As propriedades mais
simples, as mais gerais, que parecem ter sido esboçadas sem nenhuma intenção (...) tem
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desde seu estado mais simples, uma tendência a se transformar em uma constituição
perfeita, por um desenvolvimento natural”.
Para Kant havia duas forças opostas responsáveis pela ordenação do universo:
a atração gravitacional e uma força que gerava a expansão dos gases. A força
gravitacional seria a responsável pela aproximação da matéria entorno de pontos de
maior densidade, e obedeceria à lei do inverso do quadrado das distancias proposta
por Newton, enquanto que a força de repulsão provocaria colisões entre as partículas
em difusão, fazendo com que estas adquirissem um movimento rotação em torno dos
pontos de maior densidade.
2.7 O sistema solar segundo Simon Pierre Laplace
Em 1786 Simon Laplace (1749-1827) demonstrou a estabilidade do sistema
solar, mostrando que os planetas do sistema solar possuem excentricidades
praticamente constantes e inclinações, umas e relação às outras, sempre muito
pequenas.
Laplace aprimorou a hipótese nebular1 na obra Exoisution du systeme du
monde de 1796 e concluindo esta abordagem no famoso Traité du mecanique cleste,
publicada entre 1799 e 1825.
Com as teorias de Emanuel Kant e Simon Laplace tanto a astronomia quando
a mecânica Newtoniana estava de sobremodo sedimentadas e tornou-se o paradigma
do pensamento científico até o final do século XIX e início do século XX.
3. O ESPAÇO E A GEOMETRIA
No final do século XIX a ciência estava passando por reformulações da qual a
geometria ganhava novas fronteiras. A descrição dos sólidos pela geometria
Euclidiana era insuficiente devido às convenções idealizadas. Os sólidos reais não
condiziam com esta geometria e necessitava de algo mais abrangente para descrevêlos.
Toda a criação da geometria baseava-se em uma aproximação entre as
experiências cotidianas e uma transfiguração para a geometria idealizada.
Jules Henri Poincaré (1854-1912) em 1902 publicou uma série de artigos
científicos reunidos no livro à ciência e a hipótese, que avaliavam as questões
1
Segundo essa hipótese o Sistema Solar teria se originado há cerca de 4.600 milhões de anos a partir de
uma vasta nuvem de gás e poeira - a nebulosa solar
12
epistemológicas da física vigente, e discutiam novas hipóteses para os fenômenos da
natureza e para a geometria.
O conceito do espaço para Poincaré necessitava de uma análise cuidadosa
porque em princípio a geometria utilizada na física ate então era a geometria
Euclidiana. Mas o que aconteceria se as descrições do espaço, e dos corpos
estivessem sujeitas às impressões sensórias errôneas?
Foi partindo desta hipótese que Poincaré propôs alguns exemplos que
mostravam as limitações dos sentidos e as implicações que acarretariam na visão da
física.
3.1 O espaço geométrico e o espaço representativo
O espaço geométrico possui propriedades singulares. Ele é contínuo, infinito,
tem três dimensões, é homogêneo e isotrópico na geometria Euclidiana. Mas como
seria a descrição deste espaço se fossem usadas às representações e sensações do
ser humano?
Poincaré buscou classificar o espaço de duas maneiras distintas: o espaço
geométrico idealizado pelos geômetras e o espaço representativo, resultado da
percepção sensorial humana, POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.55) afirma:
“Diz-se, frequentemente, que as imagens dos objetos exteriores estão localizadas no
espaço, que mesmo elas só podem ser formadas com essa condição. Diz-se também, que
esse espaço, serve, assim, de quadro as nossas sensações e representações é idêntico
ao espaço dos geômetras. Possuindo todas as suas propriedades.
Todos os que pensam assim, a frase acima deve ter parecido bem extraordinária. Mas
convém examinar se não estão sendo vítimas de alguma ilusão que uma análise
cuidadosa poderia dissipar”.
3.2 Espaço visual, tátil e motor.
Quando se enxerga um objeto, a imagem deste é formada dentro dos olhos, na
parte que corresponde à retina. Esta imagem é contínua, mas com duas dimensões
apenas.
Poincaré observa que esse espaço percebido pelos olhos se diferencia do
espaço de três dimensões dito pelos geômetras. Esse espaço pode ser chamado de
puro espaço visual, a luz que chega a retina será interpretada de uma forma
diferenciada, dependendo do local onde a informação se situa na retina.
A visualização da terceira dimensão de um objeto ocorrerá quando a posição
entre os olhos e o objeto sofrerem uma acomodação.
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Nesse caso alem da visão propriamente dita uma outra variável teve que ser
acrescentada para a percepção do espaço visual completo.Se uma impressão tátil
pode contrapor-se a uma impressão puramente visual, então qual das duas
impressões seria a correta? Somente a junção das duas impressões daria uma
descrição mais realista, qualquer uma dessas impressões sensoriais isoladas seria
contraditória quando conflitadas uma com a outra.
Sendo assim a percepção completa de um corpo necessita da relação entre
visão e posição dos olhos. Um objeto retangular somente seria identificado se um
observador pudesse variar sua posição relativa a este objeto.
Em outras palavras, POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.57) diz que “a
terceira dimensão nos é revelada de duas maneiras diferentes: pelo esforço de
acomodação e pela convergência dos olhos”. O espaço Motor corresponde aos
movimentos musculares, esses nos informam a direção pela qual estamos nos
orientando.
A conclusão de Poincaré acarreta numa distinção clara entre o espaço ideal
dos geômetras e o espaço representativo. O que ocorre é uma tentativa de levar as
percepções do espaço representativo para o espaço geométrico, POINCARÉ (1984, A
ciência e a Hipótese, p.59) afirma:
“Nenhuma de nossas sensações isoladas, teriam podido nos levar à idéia do espaço. Só
pudemos chegar a ela pelo estudo das leis segundo as quais essas sensações se
sucedem (...) Quer um objeto mude de estado ou de posição, isso se traduz para nos
sempre da mesma maneira? Por uma modificação num conjunto de impressões”.
3.3 O mundo não-euclidiano
Poincaré expõe as representações de espaço como sendo uma aproximação
de nossas percepções, dessa forma, ele propõe uma conjectura exótica, de um mundo
cujas leis da natureza são diferentes das que regem nosso universo real.
Nesse universo imaginário, haveria um centro aquecido, cuja temperatura
decairia até chegar ao zero absoluto em seus limites espaciais.
Seres que habitassem esse mundo teriam uma geometria diferenciada da
euclidiana, pois se baseariam a partir de suas percepções sensoriais.
Caso um objeto fosse deslocado da parte central desse mundo em direção às
bordas, ele sofreria contrações que dependeriam da temperatura em cada ponto; com
isso as descrições de corpos rígidos em mundo hipotético não seriam como as do
mundo real,pois um corpo que se deslocasse em tais situações teria um deslocamento
não-euclidiano.
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Nesse mundo cujas leis diferenciam-se das do mundo real, Poincaré propõe
um possível comportamento da luz. POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.64)
afirma:
“Apresentaria ainda, uma outra hipótese, suporei que a luz atravesse meios diversamente
refringentes, de tal modo que o índice de refração seja inversamente proporcional a R²-r².
É fácil ver que, nessas condições os raios luminosos não mais serão retilíneos, mas
circulares.”
Essas hipóteses fantasiosas segundo Poincaré, descreveram fenômenos que
não são cotidianos, mas que são possíveis do ponto de vista geométrico.
Poincaré apresentou uma idéia de universo quadridimensional, que em
determinadas situações poderia ser perceptível a seres que se baseassem em leis
naturais próprias.
Um exemplo de geometria não-euclidiana, comentada por Poincaré é a
geometria de Riemann (1826-1866), cuja forma é curva. Propunha um novo axioma a
priori incompatível com o 3° axioma de Euclides. Por um ponto, só podemos fazer
passar uma paralela a uma reta dada.
Riemann encontrou uma forma de representar um espaço curvo que em certas
circunstâncias; em um ponto podem passar infinitas retas.
A conclusão de Poincaré é que POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese,
p.54): “nenhuma geometria é mais verdadeira do que a outra; o que ela pode ser é
mais cômoda.”
3.4 O espaço, o tempo e a força.
A crítica de Poincaré às ciências unicamente experimentais teve grande
importância no processo da criação da relatividade,ele percebeu que por mais
desenvolvidos que foram os experimentos de sua época, existiu ainda sim um grande
limite no desenvolvimento da ciência que acarretou em informações incompletas,
POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.81) afirma:
“Por outro lado, se os princípios da mecânica, só têm a experiência como fonte, não serão
eles, unicamente, aproximativas e provisórias? Novas experiências não poderão nos
levar, um dia, a modificá-las ou ate mesmo a abandoná-los? Essas são questões que se
colocam naturalmente e a dificuldade da solução deriva, antes de mais nada, do fato de
que os tratados de Mecânica não definem com clareza o que é experiência, o que é
raciocínio matemático, o que é convenção e o que é hipótese.”
Esse raciocínio de Poincaré o levou a questionar as bases da mecânica
newtoniana. As afirmações da visão absoluta de Newton foram originadas por falhas
15
na construção da mecânica. Não existiam experimentos que demonstrassem a idéia
de espaço e tempo absoluto. Para POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.81),
estas hipóteses deixaram de lado o mais importante na construção da ciência, a
experimentação.
Em contraposição as idéias de Newton, Poincaré afirmou:
“1° não existe espaço absoluto e só conhecemos movimentos relativos; contudo
enunciamos, quase sempre, fatos mecânicos como se houvesse um espaço absoluto
como referencia.
2° não existe tempo absoluto; dizer que dois períodos de tempo são iguais é uma
afirmação que não tem nela própria, nenhum sentido, e só pode vir a ter sentido por
convenção.
3° Não só não temos a intuição direta de dois períodos de tempo, como também não
temos, sequer, a da simultaneidade de dois acontecimentos que se dão em lugares
diferentes; é o que expliquei num artigo intitulado Mesure du Temps”.
As convenções na física simplificam diversos problemas, mas muitas vezes
deixam conclusões precipitadas. Poincaré comenta o conceito de inércia, mas não
acha qualquer experimento possível que o comprovasse verdadeiramente.
Um exemplo que Poincaré apresenta refere-se à aparente ausência de forças
externas na análise da inércia.
Por mais que se busquem experimentos que possam comprovar a lei da
inércia, jamais se conheceu um corpo que estivesse ausente de forças, e
conseqüentemente descrevesse um movimento retilíneo e uniforme.
A lei da inércia proposta por Galileu e em seguida aperfeiçoada por Newton
seria nesse contexto um caso particular de uma lei mais generalizada, POINCARÉ
(1984, A ciência e a Hipótese, p.82) afirma:
“O princípio da inércia, que não é uma verdade a priori, seria, então, um fato experimental?
Mas, alguma vez, já se fizeram experiências com corpos que não estivessem sob ação de
nenhuma força e, se isso foi feito, como é que se soube que esses corpos não estavam
submetidos a nenhuma força?”
Essas observações anteciparam as conclusões da relatividade especial e
geral, cujo princípio da relatividade foi expandido para sistemas acelerados.
As antigas questões a respeito da mecânica, não foram as únicas observações
que Poincaré fez. Ele cita uma série de novas teorias que complementam a
eletrodinâmica de Maxwell. Na teoria de Lorentz, Poincare fala sobre as partículas
eletrizadas antes da descoberta por Joseph John Thomson (1856-1940) em 1897. As
interações entre matéria e Éter também foram apresentadas sem que se chegasse a
conclusões convincentes para Poincaré. Mas uma de suas observações mais
importantes refere-se ao comportamento de corpos em altas velocidades. POINCARÉ
(1984, A ciência e a Hipótese, p.178) sugeriu que um fenômeno físico causaria
variação na massa inerte de um corpo, mas que possivelmente não alteraria a
verdadeira massa.
16
“Quando a velocidade varia, a massa real, a massa mecânica, permanece constante, é,
por assim dizer, sua própria definição; mas a inércia eletromagnética, que contribui para
formar a massa aparente, cresce com a velocidade, obedecendo a uma lei. Deve,
portanto, haver uma correlação entre a velocidade e a relação entre a massa e a carga,
quantidades que podem ser calculadas; já o dissemos, pela observação dos desvios dos
raios sobe ação de um imã ou de um campo elétrico.”
4. EXPERIÊNCIA DE MICHELSON E MORLEY
A mecânica ao final do século XIX já a mais de 150 anos explicará as interações
da matéria, seja com as três leis de Newton, seja com a gravitação; e uma das suas
conclusões mais importantes era que as leis da mecânica são as mesmas em todos os
sistemas galileanos, ou seja, inerciais.
Em outras palavras qualquer experiência realizada em sistemas galileanos não
poderá dizer se um corpo está em movimento ou em repouso inercial. Contudo em
sistema não galileanos, esta realidade muda, mesmo a mais simples experiência
prova isso.
A Terra apesar de sua grande massa e baixa velocidade rotacional é um sistema
acelerado, e muitos experimentos foram realizados chegando às mesmas conclusões,
a terra gira em torno de um eixo de rotação. Um experimento simples capaz de
observar essa rotação é o pendulo de Foucault usado em 1851, por Jean Bernard
Leon Foucault (1819-1868) para demonstrar o movimento rotacional da Terra ao longo
do dia.
Partido do princípio da relatividade de Galileu e Newton pode-se perceber o
movimento acelerado da terra em torno do seu próprio eixo usando um compasso
giroscópio, ou o desvio para o leste dos corpos em queda livre, ou desvio para a
direita do plano de tiro no hemisfério norte ou mesmo observando o sentido dos
ciclones que giram em sentidos contrários dependendo do hemisfério em que se
encontram.
Mas até a segunda metade do século XIX não havia experiências que
demonstrassem qual a velocidade da terra em relação ao vento de Éter, que preenchia
o espaço interplanetário. Apesar da translação da terra em torno do sol ser com uma
velocidade de aproximadamente 30 km/s, em certos momentos pode-se considerar
este movimento como retilíneo e uniforme.
A Terra movendo-se de forma retilínea em um curto período poderia ser
considerada como um sistema galileano, em relação aos eixos fixados no sol e
dirigidos para as estrelas distantes. O princípio Galileano da relatividade é
considerável a este movimento da terra e por mais rápido que seja esse movimento as
experiências mecânicas feitas na superfície da terra foram incapazes de percebê-lo.
17
Assim a mecânica mostrou-se incapaz de discriminar o sistema onde a terra se
move no espaço, do sistema de Ptolomeu onde ela está imóvel no universo. A rotação
da terra não ultrapassa 1/2 km/s e é facilmente detectada, porém sua translação
jamais foi detectada anteriormente por qualquer experimento.
Mas usando os conceitos da óptica os físicos Albert Michelson(1852-1931) e
Eduard Morley(1838-1923) que acreditavam firmemente que o principio galileano da
relatividade que é válido para a mecânica, não o seria para a óptica. Com a crença na
infinitude da velocidade da luz aceita até 1881, previa que um raio luminoso lançado
na direção e no sentido do movimento da terra teria sua velocidade alterada pelo fator
(c-v), Um outro raio luminoso lançado no sentido oposto afastar-se-ia dela com
velocidade (c+v).
Sendo assim a mecânica prevê uma diferença de 2v entre os dois raios
luminosos, conseqüência esta, evidente e necessária das leis da adição das
velocidades. Era essa diferença de 2v que os físicos da época acreditavam poder
detectar usando experimentos de óptica especialmente precisos e capazes de obter
interferências nos feixes luminosos.
A óptica no século XIX possuía as experiências mais refinadas que existiam
desde então, sua precisão atingia níveis incríveis de bilionésimos, ou seja, as
interferências construtivas e destrutivas permitiam detectar desvios de 0,3 metros em
300.000km de percurso. A famosa experiência de Michelson teve o objetivo de por em
evidência a translação da terra usando as propriedades da luz. O aparelho usado por
Michelson era horizontal, um feixe luminoso de cor pura (monocromática) vindo do
sentido da fonte bateria a 45° num vidro semi-refletor, uma parte do feixe refletia-se
para um espelho, enquanto a outra parte atravessava o vidro e ia para um segundo
espelho.
Figura 1: Esquema do interferômetro de Michelson
18
Após a reflexão normal em ambos os espelhos, o primeiro raio atravessaria em
parte e chegaria a uma luneta, outro raio luminoso iria ser refletido no segundo
espelho e lançado para a mesma luneta. Pela figura 1, é possível observar isto. Pela
diferença de caminho L e L + ∆ r, é possível medir a velocidade da luz.
Assim os raios divididos no vidro semi-refletor, se juntariam novamente e
produziriam riscas de interferência, construtivas e destrutivas. Mas o inesperado
aconteceu, nenhuma alteração nas riscas foi perceptível.
A precisão do experimento de Michelson e Morley poderia detectar interferências
com velocidades de ate 1/6 da velocidade de translação da Terra, ou seja, com
apenas 5km/s o interferômetro teria funcionado como previam, mas isso não ocorreu.
5. O ANNUS MIRABILIS
Em 1905 Albert Einstein (1879-1955) reformulou a mecânica clássica e a nossa
concepção do tempo absoluto. Ele descobriu a razão pela qual a natureza se opunha
à previsão da adição das velocidades no caso da luz. Para Einstein a questão não
teria sentido para a natureza, o conflito nas medidas provinha dos conceitos errôneos
sobre o espaço e sobre o tempo.
Não seria possível refazer a mecânica sem abandonar as idéias de propagação
instantânea, e de tempo e de espaço absoluto. O tempo e o espaço nada significam
alem daquilo que percebemos ou daquilo que medimos. Einstein adaptou a noção do
tempo conforme a experiência com a propagação da luz e com o eletromagnetismo.
Esse tempo relativo deu origem a uma nova mecânica que explica não só o resultado
de Michelson, mas um grande número de outros resultados conhecidos por intermédio
da nova teoria.
5.1 Os postulados
Albert Einsten, em seus trabalhos sobre a eletrodinâmica dos corpos em
movimento, aborda dois novos conceitos que até então não haviam sido defendidos
com verdadeira coragem. Até essa época as leis da física ainda estavam sendo
unificadas, o que era verdadeiro em mecânica, talvez não o fosse em óptica, ou em
termodinâmica.
19
Um longo período construtivo se deu até 1905, o que acreditavam estar
solucionado em toda a física. Mas os cientistas da época só precisavam explicar dois
fenômenos interessantes, a radiação do corpo negro e a velocidade constante da luz.
Einstein em uma atitude ousada propôs dois postulados que serviram de base
para a sua teoria, partindo dessas hipóteses para explicar diversos fenômenos
mecânicos e eletromagnéticos.
O primeiro postulado afirma que não existe nenhum experimento capaz de
detectar o movimento absoluto, foi o que Michelson e Morley observaram quando
tentaram medir a velocidade de translação da Terra em relação ao vento de éter.
O segundo postulado afirma que a velocidade da luz independe do movimento
da fonte, ou seja, Einstein defendia a idéia de que velocidade da luz teria a mesma
medida, fosse medida por qualquer observador, estando em movimento ou em
repouso inercial.
Com essas afirmações Einstein chega à conclusão de que tudo é relativo e a
velocidade da luz é um limite imposto pela natureza, seja para o movimento dos
corpos ou para propagação de campos.
A mecânica clássica aceitava as idéias dos sólidos perfeitamente rígidos, que
conseguiam transmitir instantaneamente uma informação de uma ponta a outra do
corpo.
Mas na realidade os sólidos por mais rígidos que sejam, transmitem a
informação através de sua substancia, por deformação elástica, e com uma velocidade
muito inferior que a da luz.
Com essa falsa crença de velocidades ilimitadas surgem solidários os conceitos
de tempo absoluto, de espaço absoluto, e de sólidos perfeitos que também implicam
em massa absoluta. Porém uma limitação das velocidades implicou em tempo relativo,
espaço relativo e massa relativa.
5.2 A simultaneidade
A física dá o nome de acontecimento ao resultado de uma dupla coincidência no
tempo e no espaço. Um exemplo pode ser observado quando duas esferas que
tenderiam para um mesmo lugar se chocam no mesmo instante. Este choque possui
um valor intrínseco que depende unicamente das medidas do espaço, do tempo e das
massas das mesmas. Todos os observadores estarão em acordo quanto à existência
de um efeito físico como a quebra ou o recuo dos corpos.
Assim a física resume-se á constatação de acontecimentos assim definidos,
sendo então de fundamental importância, as medidas de tempo e de comprimentos
nos eventos. Quando se mede o tempo usando um relógio ou um pêndulo, é
20
necessário observar um ponteiro com uma divisão definida. Por isso medir um período
é observar o fluxo do tempo no começo e no final do fenômeno.
No começo do século XX, eram feitas correções dos atrasos ou adiantamentos
dos relógios. Uma série de situações mostrava a importância de se ter relógios
sincronizados; dentre estas umas que necessitavam de correção eram as viagens de
trens. Os horários de partida e de chegada deveriam estar de acordo, para que não
ocorressem colisões. O estudo do sincronismo era de fundamental importância para a
organização das viagens de trem. Mas em mecânica clássica, a simultaneidade possui
um significado absoluto, pois se acredita que as transmissões são instantâneas, o que
Einstein discordava. Sendo assim nenhuma medida humana real de tempo e espaço
(comprimento) poderia ser rigorosa sem o conhecimento das propriedades da luz, ou
seja, das ondas eletromagnéticas que são importantíssimas para todas as medidas da
física.
Com objetos em baixas velocidades não se percebe estes efeitos sobre o tempo
e o comprimento, mas no caso de movimentos rápidos e de medições precisas, a
realidade é diferente do ideal absoluto da mecânica clássica.
A medida do tempo deve ser baseada na análise da simultaneidade. Para
sincronizar relógios em um dado referencial, Einstein partiu do princípio que dois
eventos em um referencial são simultâneos se sinais luminosos provenientes dos
eventos atingem um observador eqüidistante no mesmo instante, pois sabendo que a
velocidade da luz é constante, pode-se estimar o tempo que ela (a luz) leva para
chegar até o observador que deve estar a meio caminho das fontes luminosas.
Isso implica que há distâncias iguais no mesmo referencial, dois eventos ocorrem
ao mesmo tempo. Observa-se desta maneira que acontecimentos simultâneos em um
determinado referencial, são acontecimentos que ocorrem no mesmo instante
marcados por relógios locais, devidamente sincronizados.
Porém quando se escolhe outro referencial inercial, a simultaneidade se torna
relativa. Quando se analisa o movimento relativo de um segundo observador, percebese que duas fontes luminosas que emitem feixes luminosos no mesmo instante em um
dado referencial serão percebidas de maneira diferente em outro referencial por um
observador que se mova junto com este segundo referencial.
O que ocorre neste caso é a aproximação do observador em direção a uma das
fontes e o afastamento relativo à segunda fonte que se afasta com a mesma
velocidade relativa do referencial em repouso inercial.
O observador em movimento relativo às fontes irá perceber em tempos
diferentes os dois sinais luminosos, ou seja, um ocorre antes que o outro. Com isso se
21
ele tiver dois relógios em mãos que são acionados quando um dado sinal luminoso
atinge o mesmo, esse observador em movimento relativo às duas fontes perceberá
que um dos relógios em suas mão acionará a marcação do tempo antes que o outro.
5.3 A dilatação do tempo
Quando Albert Einstein analisou situações físicas baseadas em seus postulados,
ele buscou uma explicação simples e fundamentada, usando o teorema de Pitágoras
da geometria. Einstein então propôs o famoso “gendanken” (experimento mental) onde
um observador em um referencial inercial R, marca segundo um relógio local, o tempo
que um feixe luminoso leva pra sair da base do mesmo ate um espelho situado a certa
altura neste referencial inercial.
Partido da hipótese da invariância da velocidade da luz, e do princípio da
relatividade galileana, este observador em movimento retilíneo uniforme percebe um
movimento vertical do feixe de luz e marca o tempo de trajeto com base no espaço
percorrido de ida e volta na direção vertical a uma velocidade constante visto na
figura2.
Figura 2: Observador no referencial R
Mas quando um segundo observador situado no referencial R’ em repouso
inercial, mas com uma velocidade relativa à R analisa o trajeto da luz quando sai da
base do referencial R’, que vai ate o espelho e volta para a base, percebe que o feixe
luminoso não se move somente na vertical, mas também no sentido do movimento do
referencial R, ou seja, em duas dimensões como visto na figura 3.
22
Figura 3: Observador no referencial R'
Isto implica que para o observador situado no referencial R’ ele irá calcular o
tempo de percurso da luz que se move na vertical e na horizontal por um principio de
componentes vetoriais, descrevendo uma espécie de triangulo em seu movimento
constante.
O observador perceberá que o tempo medido por seu relógio será maior que o
tempo medido pelo relógio do primeiro observador em movimento junto com a fonte
luminosa no referencial R.
O fato da velocidade da luz não poder aumentar ou diminuir seu valor na
relatividade especial, infere que para um observador posicionado ao lado de uma fonte
luminosa emitindo feixes luminosos na direção vertical gastará menos tempo no seu
trajeto ate o espelho do que a luz do ponto de vista do outro observador no referencial
R’, com movimento relativo à fonte luminosa.
O tempo marcado pelo observador R em movimento retilíneo uniforme é
chamado de tempo próprio e a diferença entre o tempo próprio para o tempo marcado
pelo observador em repouso inercial é dada pelo fator relativístico γ .
γ =
∆t ′ =
1
(1)
v²
1−
c²
1
v²
1−
c²
∆t
(2)
23
Onde ( ∆ t') é o tempo que passa para o observador em repouso inercial e ( ∆ t)
é o tempo próprio do outro observador que se encontra em movimento. A relação
entre os tempos marcados pelos dois observadores é dada pela razão entre as
diferenças das velocidades do referencial e da luz, dentro, no fator relativístico γ .
5.4 A contração das distâncias
Outra conseqüência dos postulados de Einstein e o efeito da contração das
distâncias.
Esse
fenômeno
ocorre
quando
comparamos
duas
medidas
de
comprimento em referenciais inerciais diferentes.
Como não existe simultaneidade e cada referencial possui seu próprio tempo,
deve-se, então concluir que o espaço e o tempo estão diretamente ligados, e a
alteração de um deles resulta na alteração do outro.
No caso das distancias, quando se estabelece uma medida de comprimento,
marcam-se duas posições no espaço ao mesmo tempo. Para cada referencial tem-se
um comprimento relacionado, que depende da velocidade relativa entre o referencial R
em repouso inercial e o referencial R’ em movimento retilíneo uniforme.
Lembrando que em uma medida deve-se haver uma coincidência nos
marcadores do tempo, porém como cada referencial tem um fluxo do tempo
característico isso influencia na contração das distancias onde:
L = L0 1 −
v²
c²
(3)
Sendo L a medida do comprimento no referencial em repouso inercial R’, e L0
o comprimento próprio do referencial R em movimento constante, a diferença nas
medidas destes comprimentos se dá pelo fator relativístico γ . Onde quanto mais a
velocidade do referencial se aproxima da velocidade da luz, maior será a contração do
espaço para o referencial em movimento, visto pelo outro observador.
O mesmo é percebido para o referencial R em repouso inercial, como não se
pode determinar o movimento absoluto dos corpos, a percepção do observador R’ em
movimento quando analisa a medida do comprimento no referencial R que se distancia
ou aproxima-se de R’. O Comprimento próprio, medido no próprio referencial sempre
será maior que as demais medidas de comprimento em outros referenciais em
movimento.
5.5 As transformações de Lorentz
24
Quando se parte da hipótese da invariabilidade da velocidade da luz, a
cinemática deve ser descrita de uma nova maneira, para isso os cientistas que
estudavam as discrepâncias na medida da velocidade da luz, dentre eles George
Francis Firtzgerald (1851-1901) e posteriormente Hendrick Antoon Lorentz (18531928) propuseram uma transformação de velocidade que impunha o limite da
velocidade da luz, de um referencial em movimento relativo para outro referencial
qualquer.
Essas transformações de velocidade hoje conhecidas como as transformações
de Lorentz, foram úteis no modelo relativístico de Albert Einstein, mesmo que
divergentes entre seus conceitos básicos.
Enquanto Hendrick Atoon Lorentz acreditava que a alteração das medidas da
velocidade da luz no experimento de Michelson e Morley era devido à contração do
equipamento pelo movimento relativo ao éter, Albert Einstein simplesmente descartou
a idéia do vento de éter e se baseou unicamente no limite imposto pela natureza para
a velocidade da luz. Para isso as transformações de Lorentz foram adequadas tanto
no caso de baixas velocidades relativas entre os referenciais inerciais que implicam
diretamente nas transformações de Galileu quanto para altas velocidades impondo o
limite para elas.
Incorporou dessa forma tanto a antiga teoria da cinemática como também
possibilitou a explicação nas discrepâncias das medidas da velocidade da luz
conflitantes com a mecânica clássica e ainda levou a previsão de novos fenômenos
físicos baseados numa mecânica relativística.
As componentes vetoriais da velocidade de uma partícula em movimento em
relação ao referencial R’ que também se move em relação ao referencial R em
repouso inercial, quando observadas deste ponto são descritos de forma que:
Vx' =
Vx − u
uV
1− x
c²
(4)
Onde Vx’ é a velocidade da partícula em relação ao referencial R’, Vx é a
velocidade da partícula em relação ao referencial R e u é a velocidade relativa entre os
referenciais inerciais. O denominador da equação é o fator que limita o sistema a
velocidade da luz.
Vy' =
Vy
 uV 
γ 1 − x 
c² 

(5)
25
Vz ' =
Vz
 uV 
γ 1 − x 
c² 

(6)
Quando a velocidade da partícula no referencial R’ é perpendicular ao
deslocamento do próprio referencial, as velocidades em relação ao eixo Y e Z em um
plano cartesiano são obtidas através da divisão entre a velocidade da partícula em
relação ao seu referencial R e o fator relativístico γ , vezes a relação que limita o
sistema à velocidade da luz. Onde V y e Vz são as velocidades em relação ao
referencial R em repouso inercial.
Com o uso das transformações de Lorentz pode-se chegar à relação que permite
calcular a diferença de sincronização de dois ou mais relógios que estejam em
diferentes referenciais inerciais. Como a medida do tempo é relativa junto à medida do
espaço, deve-se conhecer a velocidade relativa u do referencial R’ em relação ao
referencial R, e medir o comprimento próprio percorrido pelo observador durante a
viagem para poder sincronizar os dois relógios.
∆t =
− uL0
c²
(7)
Onde ∆ t é a diferença entre os tempos marcados nos dois referenciais, u é a
velocidade do referencial R’, L0 é o comprimento próprio percorrido dividido pelo
quadrado da velocidade da luz.
5.6 Efeito Doppler relativístico
O efeito Doppler é um fenômeno ondulatório previsto na mecânica clássica que
relaciona a mudança de freqüência com o movimento entre fonte/observador. O
famoso físico Armand Fizeau (1819-1896) conseguiu fazer uma relação entre fontes
luminosas em movimento relativo e um receptor, e chegou à conclusão de que a
freqüência das ondas luminosas sofre uma alteração devido ao movimento relativo
entre fonte/observador como acontece com as ondas mecânicas.
Apesar da proposta ousada de Fizeau preceder em mais de 50 anos a
publicação da relatividade especial de 1905, esta previsão do efeito Doppler-Fizeau é
uma conseqüência dos postulados de Albert Einstein onde:
26
u
c
u
1−
c
1+
ν =ν 0
(8)
A variável ν é a freqüência observada em outro referencial, ν 0 é a freqüência
original observada no próprio referencial da fonte luminosa e a razão u/c é a relação
entre a velocidade da fonte luminosa com a velocidade da luz.
Os sinais numéricos dentro da equação se relacionam ao movimento relativo
entre a fonte e o observador, sendo positivo no numerador e negativo no denominador
da equação, quando a fonte e observador se aproximam. Quando o movimento entre
fonte/observador é de recessão os sinais numéricos da equação são alterados em
cima e embaixo do numerador.
5.7 O momento relativístico e sua conservação
Quando dois corpos considerados rígidos se chocam em um sistema em que o
somatório das forças externas é nulo, pode-se afirmar que a quantidade de movimento
antes e depois da colisão é a mesma. Este evento na física é chamado de
conservação do momento linear.
Partindo do princípio da relatividade galileana, a conservação do momento deve
ser válida para altas velocidades. Tanto quanto é para baixas velocidades. Se o
evento for interpretado segundo as transformações de Lorentz, impondo um limite para
a velocidade de um feixe luminoso, a conservação do momento terá um novo formato.
A definição clássica para o momento linear é o produto da massa pela
velocidade, mas quando essa concepção é analisada em um choque de dois corpos
rígidos que se encontram em referenciais inerciais diferentes, essa interpretação gera
uma violação na conservação do momento linear final do sistema.
Isso ocorre por causa de três fatores que devem ser analisados cuidadosamente.
Primeiramente sabe-se pelos postulados de Einstein que existe um limite para a
velocidade da luz; o movimento de um fóton ou de uma partícula em diferentes
referenciais deve obedecer às transformações de Lorentz, e não as de Galileu.
A
própria
experiência
com
interferômetro
argumenta
em
favor
das
transformações de Lorentz. Como o segundo postulado de Einstein afirma que todas
as leis da física são válidas para referenciais galileanos, logo princípios fundamentais
da natureza como a conservação do momento deve ser irrefutável.
27
Por último fica a questão, sobre o que deve ser reformulado, o princípio da
conservação do momento segundo a interpretação clássica ou o principio da
relatividade galileana?
Albert Einstein achou a resposta mais adequada para esta questão, preferiu
manter suas idéias originais e alterar o conceito clássico para o momento linear, para
que esse concordasse com a nova mecânica relativística.
No choque entre duas esferas rígidas ou quaisquer outros corpos, existem três
componentes vetoriais para o momento linear.
Quando duas esferas provenientes de dois referenciais inerciais em movimento
relativo se chocam, o somatório das componentes vetoriais do momento das esferas
de mesma direção ao movimento do referencial R’, se conserva.
Mas as demais componentes vetoriais do momento das esferas não se
conservam quando analisadas antes e depois da colisão. O somatório destas
componentes vetoriais para o momento na direção perpendicular ao movimento do
referencial R’ é diferente de zero; violando a conservação do momento linear, logo o
princípio da relatividade.
A solução para esse problema veio da adaptação do momento linear para as
transformações de Lorentz. Isso implicou que para baixas velocidades tanto dos
corpos quanto dos referenciais destes corpos, sejam menores que c a forma do
momento linear, volta a ter a mesma interpretação clássica, massa vezes velocidade
da partícula.
Porém, quando se observam as colisões em altas velocidades, e as interpretam
segundo as transformações de Lorentz no lugar da velocidade clássica, o resultado é
diferente.
Percebe-se que o espaço percorrido nas direções perpendicular ao movimento
do referencial R’, não sofre deformação como efeito relativístico. Porém esse evento
ocorre no referencial R’ em movimento, tendo então um tempo próprio em função de
sua velocidade relativa à R. Sendo assim a variação do espaço em função do tempo
deve ser alterada do tempo próprio da partícula para o tempo do outro referencial.
Como conseqüência, a velocidade da partícula do ponto de vista do observador
em repouso em R terá o fator relativístico γ para corrigi-lo.
Logo, isso implica que o momento de uma partícula observado no referencial R
que vem de R’, será dado por:
r
Ρ=
r
mv
(9)
v²
1−
c²
28
r
Onde o momento P é dado pelo produto da massa m pela velocidade, corrigida
pelo fator relativístico γ . Quando considerados os princípios da relatividade especial,
percebe-se que a massa da partícula aumenta conforme a velocidade do referencial
da mesma se aproxima da velocidade da luz.
Essa interpretação do momento relativístico implica que qualquer corpo
independente de sua massa inicial jamais poderá chegar à velocidade da luz, pois sua
massa tenderia ao infinito.
Esse limite imposto pela natureza para velocidades finitas vai contra a afirmação
da mecânica clássica, que acreditava em velocidades ilimitadas e alterações em
campos gravitacionais que poderiam se propagar no espaço interplanetário
instantaneamente, independente da distância. Corpos que se encontrassem a
velocidades iguais a da luz necessitariam de energia cinética infinita; contradizendo
toda uma visão da conservação da energia na natureza.
5.8 A nova interpretação para massa e energia
Normalmente quando se fala de energia, a primeira idéia que vem a mente são
os tipos de energia manifestas na natureza. Dentre todas as energias estudadas na
física, duas delas mostram-se fundamentais para a compreensão da natureza. São
elas a energia cinética e a energia potencial.
A idéia de energia cinética desde Leibniz e Huygens era compreendida como
dependente do quadrado da velocidade dos corpos. Portanto quanto maior a
velocidade do corpo maior seria sua energia cinética.
Como na relatividade especial as idéias clássicas de tempo, de espaço, de
massa e momento precisaram ser reformuladas, nada mais natural do que interpretar
o conceito de trabalho, segundo os princípios teóricos da relatividade especial.
Nota-se que toda e qualquer velocidade deve ser considerada segundo as
transformações de Lorentz, logo quando se pensa em variações da energia cinética de
um corpo deve-se levar em consideração a relatividade do tempo e do espaço que irão
influenciar nas medidas de velocidade e energia.
Segundo a mecânica, uma força resultante externa aplicada a um corpo ao longo
de um espaço realizará trabalho, ou seja, quando se muda o estado de movimento de
um corpo, uma energia é transformada de um tipo em outra para que este estado
inercial seja alterado.
Logo duas grandezas fundamentais variam nesse processo, o tempo e o espaço
durante essa força motriz sobre um corpo. Com relação às bases da relatividade
29
especial, o tempo e o espaço não são absolutos, logo o momento linear desse corpo
deve seguir os princípios dos postulados de Einstein. Assim a força resultante deve
ser expressa em termos de variação do momento linear em função da variação do
tempo.
r
r
dP
Fr ,ext =
dt
(10)
r
r
Sendo Fr a força resultante externa que realiza o trabalho em um corpo, dP a
variação do momento relativístico e dt a variação do tempo em relação ao referencial
do corpo.
Sabe-se que o trabalho é o produto de uma força resultante externa pelo
deslocamento de um corpo no espaço, logo:
w = ∫ Fr dx
(11)
w = ∆K
(12)
w=∫
dP
dx
dt
(13)
O trabalho de uma força sobre uma partícula no espaço é igual à variação de
sua energia cinética, cuja Fr é a força resultante externa, e dx o deslocamento da
partícula. ∆ K É a variação da energia cinética da mesma.
Como a força externa é a variação do momento linear em função da variação do
tempo, essa expressão matemática pode ser reescrita com as condições da
relatividade especial.




1

K = mc ²
− 1


v²
 1−

c²


γ =
(14)
1
1−
v²
c²
K = mc ²(γ − 1)
(15)
Onde γ mc ² é a soma da energia total da partícula, mc ² é a energia de repouso
da partícula, sendo a energia cinética a diferença dessas duas funções.
Percebe-se que mesmo uma partícula em repouso inercial possui uma energia
intrínseca que se relaciona com a quantidade de matéria da mesma, em outras
palavras, Einstein chegou a uma relação matemática que unifica dois conceitos
fundamentais da física.
30
A Lei da Conservação das Massas de Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794) e a
Lei da Conservação da Energia de Wilian Thomson (1824-1907). Dois conceitos
distintos, segundo a física clássica, se unificaram de forma a revelar uma nova
característica da natureza, a dualidade massa-energia.
6. O UNIVERSO DE MINKOWSKI
Pouco tempo depois da publicação da Teoria da relatividade restrita o
matemático Hermann Minkowski (1864-1909) desenvolve um novo formalismo para o
conceito do espaço e do tempo. Partindo das teorias de Lorentz e Einstein, Minkowski
busca uma descrição mais abrangente para o universo, MINKOVSKY (2001, O
princípio da relatividade, p.93) afirma:
“As consideração sobre e espaço e o tempo que desejo expor-vos brotam do terreno da
física experimental. Ai reside a sua força. A sua tendência é radical. Daqui em diante os
conceitos do espaço e de tempo considerados como autônomos, vão desvanecer-se
como sombras e somente se reconhecerá existência independente a uma espécie de
união entre os dois”.
Minkowski da mesma forma que Lorentz e Einstein, consideram dois sistemas de
referencia que possuem um movimento relativo entre eles. Porém ele vai além quando
considera um evento como a relação entre quatro dimensões, três espaciais e uma
temporal.
As coordenadas espaciais X, Y e Z são substituídas por uma única coordenada
espacial que resume toda a posição no espaço. Um evento que ocorra em um dado
referencial pode então ser relacionando com um outro referencial que possua as
coordenadas X’, Y’, Z’ e t’ o tempo próprio.
Analisando um evento em relação ao tempo t e ao espaço agora identificado
como X’’ para as três coordenadas. Percebe-se que todo movimento terá uma relação
direta entre a posição inicial e o tempo inicial, com a posição final e o tempo final.
Quando a razão entre a variação do espaço e a variação do tempo é igual à
velocidade da luz, o evento pode ser descrito como:
∆R ² = ∆X ² + ∆Y ² + ∆Z ²
(16)
c ² ∆t = ∆R ²
(17)
c ² ∆t = ∆X ² + ∆Y ² + ∆Z ²
(18)
∆S ² = c ² ∆t ² − (∆X ² + ∆Y ² + ∆Z ² )
(19)
c ² dt ² = dx ² + dy ² + dz ²
(20)
31
Onde C ∆ t é a separação temporal do evento, e ∆ S é a separação espacial do
evento. O termo c da ao termo temporal (C ∆ t) a dimensão de comprimento. Na forma
diferencial essa relação é escrita como:
dS ² = c ² dt ² − (dX ² + dY + dZ ² )
(21)
Um pulso de luz se propagando com simetria esférica percorreria o espaço a
uma velocidade constante.
Se em um espaço de três dimensões, considerarem o intervalo entre dois
eventos como a distancia percorrida por um feixe de luz entre dois pontos no espaço
de quatro dimensões, será observado que este espaço não é unicamente Euclidiano.
O intervalo ds entre dos eventos quaisquer é um absoluto, e terá o mesmo valor
calculado por qualquer observador em estado inercial. Isto pode ser interpretado como
sendo o espaço-tempo absoluto, apesar de o espaço e o tempo serem relativos.
Esta inter-relação de eventos ocorrendo em quatro dimensões pode ser
simplificada para duas dimensões como Minkowski propôs em um congresso em
1908.
Como foi dito antes um evento que ocorre no espaço e no tempo será descrito
por uma figura chamada de cone de luz, que apresenta eventos no passado, no
presente e no futuro.
Como a velocidade da luz é um limite imposto pela natureza, todos os eventos
físicos que ocorreram no passado e estarão interligados no futuro deverão estar
presentes dentro do cone de luz como pode ser visto na figura 4:
Figura 4: Cone de luz
A região exterior ao cone de luz não poderá ser atingida, pois para isso as
razões entre espaço e tempo seriam superiores a velocidade da luz.
32
Tudo que abrange a matéria e campos eletromagnéticos estará relacionado a
uma seqüência de eventos, que são descritos por posições e tempos infinitesimais.
Uma linha do universo mostrará tudo que ocorreu com a substância no passado
e que interferirá nos futuros eventos.
7. O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE GENERALIZADO
Em 1911 Albert Einstein publicou um artigo cientifico intitulado sobre a influência
da gravidade na propagação da luz em que apresenta exemplos de dois referenciais
não galileanos em que se observava uma equivalência mecânica entre um referencial
K em um campo gravitacional e outro referencial K’ com uma aceleração constante
sem a presença de qualquer campo gravitacional.
Dois corpos situados um em cada referencial não galileano teriam a mesma
percepção de forças apesar de naturezas supostamente diferentes como o próprio
EISNTEIN (2001, O Principio da relatividade, p.128) afirma:
“Em relação ao sistema acelerado K’ isto resulta diretamente do principio de Galileu, mas
em relação ao sistema K, que esta em repouso num campo de gravidade homogêneo
resulta do fato experimental de todos os corpos terem em tal campo, movimentos
idênticos uniformemente acelerado (...) Chegaremos, porém a uma interpretação muito
satisfatória de tal lei experimental, se admitirmos que os sistemas K e K’ se equivalem
completamente do ponto de vista físico...”
Einstein busca primeiramente uma relação entre a massa que resiste ao
movimento (massa inercial) e a massa que cria o campo de gravidade (massa
gravitacional) e tenta desta maneira relacionar os fenômenos inferidos na relatividade
especial com um campo gravitacional.
Para isto Einstein levantou a hipótese de que: se um corpo acrescido de massa
inercial em função de sua energia cinética também não poderia ser acrescido de uma
massa gravitacional?
Se caso esta hipótese de Einstein estivesse errado uma fenômeno estranho
aconteceria. Dois corpos feitos de mesmo material e energias de repousos iguais
teriam massas inerciais de igual magnitude, logo teriam o mesmo peso em um campo
gravitacional homogêneo. Contudo se estes mesmos copos possuíssem energia de
repouso diferentes em função da energia cinética de cada um, eles teriam ainda assim
um mesmo peso em um campo gravitacional? Com esta questão Einstein procurou
formular uma lei que generalizasse o princípio da relatividade.
7.1 A propagação da luz em um campo gravitacional
33
Primeiramente em um sistema K situado na superfície da Terra em um campo
gravitacional, tem como base o plano X e Y em coordenadas cartesianas e o eixo Z
será a altura neste referencial.
Um outro referencial K’ que possui uma aceleração uniforme de igual módulo a
aceleração gravitacional na superfície da Terra possui como base o plano X’ e Y’,
sendo o eixo Z’ a altura neste referencial não inercial.
Neste caso EISNTEIN (2001, O princípio da relatividade, p.129) afirma:
“Enquanto nós cingirmos aos fenômenos puramente mecânicos abrangidos pelo domínio
de validade da mecânica Newtoniana, não oferece dúvida a equivalência dos sistemas K e
K’; mas essa equivalência só atingirá um significado de maior profundidade se admitirmos
para todos os fenômenos físicos, isto é, se as leis da natureza referidas a K coincidirem
inteiramente com as leis referidas a K’. Com a aceitação disto, teremos adquirido um
princípio que, se for realmente verdadeiro, terá um grande valor heurístico, porque nos
permitirá, através de considerações teóricas dos fenômenos que se passam em relação a
um sistema de referencia uniformemente acelerado, obter informação acerca do curso dos
fenômenos num campo de gravidade homogêneo”.
7.2 A ponderabilidade da energia
Quando um corpo recebe uma quantidade de energia por irradiação a sua massa
inercial deve aumentar com a relação E / c ² . Para Einstein o fato de um aumento de
energia alterar a massa inerte, resultará no aumento de seu peso quanto este corpo
interagir com um campo gravitacional.
Se dois sistemas matérias S1 e S2 sobre o eixo Z, com instrumentos de medida
de tempo idênticos em cada um, estiverem a uma distancia h um do outro terão um
potencial gravitacional em S2 maior que S1 situado na origem do referencial acelerado
K.
Se o sistema material S2 emitir para S1 certa quantidade de energia em forma de
radiação eletromagnética, a energia de repouso de S1 irá aumentar com a relação da
energia emitida por S2, que equivale ao acréscimo de massa inerte transportado pela
radiação em uma diferença de potencial gravitacional dado por:
E1 = E 2 +
E2
Φ
c²
(22)
E1 é a energia que o sistema S1 situado na base do referencial recebe de S2, E2
é a energia que foi emitida por S2 como radiação, E 2 / c ² a massa inerte transportada
de S2 para S1, Φ é a diferença de potencial gravitacional.
Einstein chegou a esta conclusão, analisando este fenômeno de irradiação e
recepção de energia em um sistema K’ dotado de aceleração uniforme γ sem a
presença de qualquer campo gravitacional.
34
Sobre isso EINSTEIN (2001, O principio da relatividade, p.131) afirma:
“De acordo, porém com o nosso postulado da equivalência de K e K’ podemos
estabelecer, em vez do sistema K colocado no campo de gravidade homogêneo, um
sistema K’, que não está sujeito à gravidade, mas está animado de movimento
uniformemente acelerado no sentido positivo do eixo Z’ do sistema K’. Os sistemas
materiais S1 e S2 supor-se-ão então rigidamente ligados ao eixo Z’ em K’. O processo da
transferência de energia de S2 para S1 por radiação (...) a radiação atingirá S1 quando
tiver decorrido o tempo h/c. Neste instante, porém S1 possui em relação a K0, a
velocidade V = yh / c . Por esse motivo, e atendendo à teoria da relatividade habitual, a
radiação que chega a S1 não possui a energia E2. Mas sim uma energia maior...”.
Para Einstein quando a radiação passa de S2 para S1 uma massa inercial
E 2 / c ² , fornece ao exterior o trabalho E 2 / c ² yh . Se, contudo S1 emitir uma
quantidade E1 de energia em forma de radiação a massa inercial E1 / c ² realizará
trabalho ate chegar a S2 que esta em um potencial gravitacional mais elevado. Isto
mostra uma equivalência entre a massa gravitacional e a massa inercial.
Em um sistema K’ acelerado uniformemente, o sistema material S2 possui um
relógio próprio para medir a freqüência da radiação V2 que será emitida. Se S1 possui
um relógio idêntico ao de S2 este medirá a freqüência V2 que chega a S1.
Se em relação ao referencial K’ houver um referencial K0 estacionário que meça
a mesma freqüência da radiação emitida por S2 e comparar com a freqüência recebida
por S1 que está acelerado, perceberá que em S1 a freqüência que chega é maior que a
emitida por S2.
Isto se deve ao fato de que no momento da emissão da radiação por S2 o tempo
de trajeto de S2 para S1 ser o percurso da altura h que separa ambos, dividida pela
velocidade da luz.
Estando S1 acelerado com magnitude γ no sentido Z’ positivo a velocidade de S1
em relação ao referencial K0 estacionário será:
(23)
v = yt
v =γ
h
c
(24)
Isto implicará numa variação da freqüência dada pelo efeito Doppler
Relativístico e a relação entre a freqüência emitida por S2 e a observada por S1 será:


ν 1 = ν 21 + γ
h

c
(25)
Como o sistema acelerado K’ sem campo gravitacional é equivalente ao sistema
K em um campo gravitacional, pode-se interpretar este resultado como sendo causado
pela diferença de potencial gravitacional entre S2 e S1, sendo que S1 está na origem do
sistema K.
35
Sabendo que γ é a aceleração do campo gravitacional e a diferença de altura
entre S1 e S2 é h, obterá a diferença de potencial gravitacional Φ logo o desvio de
freqüência para um valor maior no sentido Z negativo será:
(26)
Φ = γh


ν 1 = ν 21 +
Φ

c² 
(27)
Logo Com estas hipóteses Einstein sugeriu que a freqüência da luz emitida na
superfície do sol quando chegar a Terra terá um desvio para o vermelho devido à
diferença de potencial gravitacional entre o Sol e a terra.
Einstein sugere que a luz que sai de um campo gravitacional terá sua
freqüência reduzida, e a luz que se aproxima de um campo gravitacional terá sua
freqüência aumentada. No caso de corpos com alto campo gravitacional como é o
caso do Sol tem-se o chamado, desvio para o vermelho, e o desvio para o azul no
espectro visível de radiação eletromagnética. Esta alteração de freqüência em uma
diferença de potencial gravitacional, sugere que dois relógios idênticos, um situado em
S2 e o outro situado em S1 terão, uma diferença na marcação do tempo equivalente a
diferença de potencial gravitacional. Para sincronizar estes dois relógios deve-se
atrasar o relógio S2 e um fator de (1+ Φ/c²).
O efeito da diferença de potencial gravitacional sobre os relógios de S2 e S1 tem
uma conseqüência importante na medida da velocidade da luz, EINSTEIN (2001, O
principio da relatividade, p.137) afirma:
“... Assim para medir o tempo num local em que o potencial gravítico tenha o valor Φ
relativamente à origem das coordenadas, devemos utilizar um relógio que apresente
quando colocado naquela origem – um ritmo (1+ Φ/c²) vezes mais lento que o do relógio
utilizado para medir o tempo na referida origem. Sendo assim se designarmos por C a
velocidade da luz na origem das coordenadas, então a velocidade da luz, C, num local de
potencial gravítico Φ será dado por:
 Φ
c = c 0 1 + 
 c² 
O princípio da Constância da velocidade da luz não é, pois, segundo esta teoria, válido na
forma que usualmente se põe na base da teoria habitual da relatividade.”
7.3 Encurvamento dos raios de luz no campo de gravidade
Uma conseqüência da inconstância da velocidade da luz em um campo
gravitacional pode ser obtida com a analise do princípio de Huygens. Quando um raio
luminoso passa de um meio menos denso ou mesmo o vácuo para um meio mais
36
denso, o raio luminoso sofre uma mudança em seu trajeto devido à alteração da
velocidade da luz dentro deste meio mais denso.
Sabe-se que em cada meio com certa densidade, um raio luminoso terá uma
velocidade de propagação característica. O que Einstein propôs foi à curvatura da luz
em um campo gravitacional devido à relação entre o raio luminoso e a velocidade
deste em função do potencial gravitacional visto na figura 5:
Figura 5: Desvio de um raio de luz em um campo gravitacional
O resultado desta interação entre de radiação e a gravidade é o desvio na
trajetória de qualquer radiação eletromagnética.
Partindo do princípio da equivalência entre o referencial K e K’, um raio luminoso
que passasse pelo sistema K’ acelerado uniformemente, sofreia uma curvatura
aparente em relação à base X’ e Y’.
Isto ocorre por causa da aproximação acelerada entre a base do sistema K’ e a
trajetória retilínea da luz. Caso um observador hipoteticamente medisse a posição
relativa do raio luminoso em um intervalo de tempo t’, perceberia que a posição
aparente do raio descreve uma curva semelhante a um corpo em queda livre dotado
de velocidade horizontal.
O ângulo de curvatura em um campo gravitacional para um raio luminoso que
tangencia este campo é dado por:
α=
2GM
c² ∆
(28)
Onde G representa a constante de gravitação universal, M a massa do corpo
celeste, ∆ a distancia perpendicular entre a trajetória do raio de luz e o centro do corpo
celeste, c a velocidade da luz. EINSTEIN (2001, O principio da relatividade, p.139)
propôs um experimento que poderia comprovar sua teoria, onde afirma:
“Um raio de luz que passe junto ao Sol sofreria assim uma deflexão de 4.10 (-6) = 0,83
segundos de arco. A distancia angular entre uma estrela e o centro do sol apresenta-se
37
acrescida deste valor. Como as estrelas fixas das regiões do céu que são vizinhas do sol
se tornam visíveis quando há eclipses solares, esta conseqüência da teoria pode
confrontar-se com a experiência.
Para o planeta júpiter, o desvio previsto atinge cerca de 1/100 do valor que atrás se
indicou. Seria de extrema conveniência que os astrônomos se ocupassem da questão que
aqui foi esboçada, ainda que ela se apresente insuficientemente fundamentada com os
raciocínios anteriores, ou até inteiramente aventurosa.”.
7.4 Avanço do periélio de mercúrio
A ferramenta matemática usada por Einstein para a generalização do princípio
da relatividade foi baseada em uma geometria não Euclidiana com base no universo
quadridimensional proposto por Minkowski.
Uma experiência relativamente simples demonstra a necessidade de buscar uma
outra geometria além da Euclidiana para explicar o comportamento do espaço-tempo
em um campo gravitacional. EINSTEIN (2001, O principio da relatividade, p.213)
sugere o seguinte experimento mental:
“Suporemos invariável a distância entre os copos, e inexistente qualquer movimento
relativo entre as partes de um mesmo corpo; mas admitiremos que cada uma das massas
– vista por um observador imóvel em relação à outra – apresente em torno da reta que
une as duas massas, um movimento de rotação de velocidade angular constante (
havendo assim um movimento relativo verificável entre as duas massas). Imaginemos
agora que, por meio de réguas ( em repouso relativo), se fazem medições sobre as
superfícies dos dois corpos ( S1 e S2), chegando-se a conclusão que é esférica a
superfície de S1 e elipsoidal de revolução a de S2.”.
Com essa afirmação se forem medidas as razões entre as circunferências e o
diâmetro de S1 o resultado será igual π para S1, conforme a geometria Euclidiana que
usa corpos rígidos.
Porém no caso de S2 em rotação, existe uma contração das distancias que para
um observador estacionário será menor que no referencial em rotação. Esse
fenômeno implica que a razão entre a circunferência e o diâmetro que não sofre
contração, será um valor diferente de π. Este é um exemplo forte a favor da escolha
de uma nova geometria para descrição do espaço-tempo e a matéria.
Com o uso do calculo tensorial, e um universo quadridimensional Einstein
publicou em 1916 a teoria da relatividade generalizada, que prevê novos fenômenos
físicos e explicam outros que a gravitação Newtoniana deixa sem respostas.
È o caso do avanço do Periélio de Mercúrio observado no século XIX. Este
avanço do Periélio devia ser causado pela perturbação dos outros planetas. Mas
mesmo com tais perturbações corrigidas, a mecânica clássica não explicou este
fenômeno, ver figura 6.
38
Figura 6: Avanço do periélio de mercúrio
Somente com a criação da relatividade geral, a solução para este problema
tornou-se viável. A descrição do avanço angular do periélio de Mercúrio e dos demais
corpos celestes é dado por:
ε=
24a ²
T ²c ²(1 − e² )
(29)
Nesta formula a é o semi-eixo maior, c o valor da velocidade da luz, e a
excentricidade, T o tempo de revolução em segundos.
No caso da rotação orbital de Mercúrio o cálculo estabelece um valor de 43’’
arco de segundo por século em conformidade com os resultados dos astrônomos
como calculou Le Verrier (1811-1877).
8. AS VALIDAÇÕES EXPERIMENTAIS DA TEORIA RELATIVISTA
Os experimentos de Michelson e Morley em 1881 não foram os únicos que
apresentaram argumentos a favor da relatividade Especial e Geral. Albert Einstein em
1905 se baseou em duas experiências importantes. A experiência de Fizeau em
óptica, e a indução magnética de Michael Faraday (1791-1867) e Heinrich Friedrich
Emil Lenz (1804-1865) que foram as bases para os postulados da relatividade
especial.
A experiência de Fizeau estudou o comportamento da luz dentro de um fluido
em movimento tendo em vista o efeito da refração da luz e a velocidade relativa entre
a luz e o fluido. Supõe-se que em um fluido de benzeno um feixe de luz se desloca a
uma velocidade de 200.000km/s, devido à refração. Se este fluido se deslocasse a
uma velocidade de 50km/s, qual seria a velocidade relativa entre a luz e o fluido
segundo a mecânica clássica?
39
A velocidade relativa segundo a visão clássica seria de 200.050km/s. Mas a
medida mostra que a velocidade relativa do fluido e a luz quando se deslocam em
mesmo sentido e em direções contrárias é aproximadamente de 200.028 km/s. A
previsão clássica não explicou este fenômeno, pois tentara explicar este fenômeno
com as transformações galileanas. As previsões teóricas que mais se aproximam do
valor medido é, contudo as transformações de Lorentz prevista na relatividade
especial.
A hipótese Einstein sobre os referenciais Galileanos não terem preferência,
pode ser verificada observado o fenômeno da indução eletromagnética. Einstein
percebeu as experiências em eletromagnetismo poderiam ser expandidas para todas
as áreas da física, com isso quando se observa a criação de uma corrente elétrica
induzida, percebe-se que independentemente do movimento do imã ou de expiras, a
tensão induzida surge da mesma forma.
Einstein partiu desta observação e postulou sobre a incapacidade de perceber
o movimento absoluto entre os corpos.
8.1 O efeito Doppler-Fizeau
Se um átomo em repouso emitir radialmente, radiação eletromagnética, de
comprimento λ perceberá uma freqüência natural destas ondas eletromagnéticas.
Caso este átomo se desloque com uma velocidade Vr relativa a um observador, este
medira uma variação da freqüência das ondas eletromagnéticas dado por:
∆λ
λ
=
Vr
c
(30)
Onde ∆λ é a variação da freqüência recebida menos à freqüência emitida, Vr
a velocidade relativa entre emissor-observador e c a velocidade da luz no vácuo.
Este efeito da variação da freqüência é conhecido como o Efeito DopplerFizeau clássico. Porém a mecânica relativista prevê que um desvio de freqüência deve
ser corrigido pelo fator relativístico γ . O afastamento real das riscas espectrais deve
ser proporcional a (∆λ ² ) se a velocidade Vr for puramente radial.
Entre 1938 a 1941, Ives e Stilwell fizeram experiências sutis e cruciais medindo
a emissão de radiação por átomos em movimento. Em 1962 fizeram experimentos
mais precisos, atingindo velocidade de ate 3000km/s destes átomos emissores. As
variações das freqüências observadas sempre provaram ser igual à
(∆λ ² ) ,
proporcional ao quadrado do efeito Doppler clássico ∆λ .
40
A constante K deve ser igual k = 1 / 2 segundo a relatividade especial.
Experimentadores encontraram (k = 0,498 ± 0,025) . Este efeito foi chamado de efeito
Doppler transversal, que era inaceitável em mecânica clássica.
Outro caso de desvios espectrais ocorre nas chamadas estrelas binárias.
Quando duas estrelas esta próximas, ambas são influenciadas pelo campo
gravitacional de sua vizinha. O efeito é de uma órbita entorno do centro de massa, isso
foi verificado no século XIX e analisado a partir dos desvios de freqüência de ambas
as estrelas. Quando o movimento de uma das estrelas era de recessão a luz que saia
desta sofria uma diminuição em sua freqüência devido ao efeito Doppler-relativístico,
enquanto que a outra estrela orbitária em direção contrária a primeira e em sentido
oposto, emitindo luz com um aumento na freqüência, pois essa estaria se
aproximando do observador neste momento.
8.2 A massa variável dos elétrons
Segundo a relatividade especial, todo corpo em translação em altas
velocidades terá uma variação de sua massa inerte a um fator γ . Em 1915 Guye e
Lavanchy fizeram experiências com elétrons em tubos Crookes de raios catódicos.
Estes experimentadores estabeleceram uma diferença de potencial elétrico de
100.000 volts. A velocidade dos elétrons atingiu cerca de 165.000km/s, ou seja, mais
da metade da velocidade da luz. Quando calcularam a razão entre a carga elétrica e
as respectivas massas, perceberam que houve um aumento de 15% na massa inerte
como afirma a relatividade especial.
Em 1964 W. Bertazzi acelerou elétrons com uma diferença de potencial elétrico
variando de 500.000 volts ate 15 milhões de volts, A variação das massas inertes
chegaram até dez vezes a massa de repouso de um elétron.
A essa diferença de potencial a velocidade dos elétrons segundo a mecânica
clássica deveria ir de 1,41c ate 7,75c, enquanto que pela relatividade a velocidade
desses elétrons deveria chegar ate 0.87c. E foi esta velocidade de 0,87c que foi
observada.
Um outro efeito relativístico é a transferência de massa inerte por meio de
radiação. As reações nucleares mostram que os nucleons não conservam mesma
massa inerte antes e depois de serem fissionado. É esta diferença de massa inercial
que se transforma em energia nas usinas termonucleares. As variações nas energias
de repouso de partículas são claramente observadas nos aceleradores de partículas
sendo que as previsões relativísticas se confirmaram nestas usinas e laboratórios.
41
8.3 A relatividade e a mecânica quântica
A teoria quântica começou a ser desenvolvida desde as experiências de Max
Planck (1858-1947) no final do século XIX e ganhou grande impulso em 1905 com a
explicação do efeito fotoelétrico por Albert Einstein.
A natureza mostrou outro segredo quando as experiências demonstram que a
luz é feita de quantidades discretas de energia e possuem um comportamento
ondulatório-corpuscular.
Desde as teorias de Joseph John Thomson (1856-1940) ate o modelo atômico
proposto do Niels Bohr (1885-1962), a teoria atômica mostrou a organização eletrônica
dentro dos átomos. Mas entre 1923 e 1924 Louis de Broglie (1892-1987) propôs uma
nova hipótese, da qual a matéria também apresenta comportamento dual.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887-1961) pouco tempo depois
equacionou o átomo de hidrogênio baseado no comportamento ondulatório do elétron.
o resultado foi surpreendente, pois explicou a razão pela qual a energia em um átomo
deve ser quantizada e ainda previu novos fenômenos quânticos.
Contudo experimentos realizados entre 1927 e 1933, mostraram que os
elétrons em um átomo possuem um campo magnético intrínseco e que não havia
explicação para isso.
Foi, porém o jovem físico inglês Paul Andrien Maurice Dirac (1902-1984) que
expandiu os conceitos da relatividade para a mecânica quântica usando-as nas
equações de Schrödinger, Dirac encontrou automaticamente um novo número
quântico e que apareceu automaticamente nas equações, e mais ainda previu um
outro tipo de partículas que teriam carga elétrica oposta à do elétron, mas com mesma
massa inerte.
8.4 As validações da relatividade geral
O desvio da luz, proposto por Einstein em 1911 foi observado no eclipse solar
de 1919 em Sobral Ceará. O valor encontrado para este desvio foi duas vezes maior
do que o proposto por Einstein no principio da relatividade geral. Este fato ocorreu
porque Einstein quando propôs o desvio da luz em um campo gravitico usou os
cálculos clássicos para o campo gravitacional.
Einstein em 1916 quando publicou a teoria da relatividade geral corrigiu estes
cálculos e afirmou que os desvios dos raios luminosos provenientes de uma estrela
42
quando passassem nas proximidades do sol seria de 1,74 segundo de arco, igual ao
valor obtido em 1919.
A dilatação do tempo em um campo gravitico foi observada usando relógios
atômicos em diferentes altitudes. Como os relógios atômicos possuem ritmos de
vibração característicos, a sincronização destes situados em satélites somente foi
possível através da relatividade geral, que afirma existir um atraso em dois relógios
quando submetidos a uma diferença de potencial gravitico.
Em 1960 dois físicos de Harvard puseram em evidencia os desvios espectrais
para o vermelho e para o azul. Se um fóton de 14keV emitido por um núcleo excitado
de Ferro-57 deverá ser absorvido por um núcleo de Cobalto-57 caso estejam a uma
mesma altura, ou seja, a um mesmo potencial gravitico. Mas quando estes dois
átomos foram colocados uma altura de 22 metros um do outro não houve a absorção
da radiação pelo cobalto. Isso ocorreu devido à diferença de potencial gravitico
previsto pela teoria da relatividade geral. Mas as absorções nestas condições só
ocorreram quando houve um movimento relativo entre os átomos, acarretando no o
efeito Doppler relativístico, conseqüentemente alterou a freqüência emitida e a
absorvida ate a absorção.
Outra situação que necessita da intervenção da teoria da relatividade especial
e da teoria da relatividade geral, é o caso dos GPS (Global Position sistem). O GPS é
composto por vinte e nove satélites geoestacionários que a todo o momento enviam e
recebem informações da Terra.
Estes sinais informam a posição de uma pessoa ou de um objeto a todo o
momento para um receptor. Contudo a informação é transmitida através de ondas
eletromagnéticas a grandes distancias acima da atmosfera, com isso tanto a posição
do objeto na terra quanto dos satélites no espaço sofrem alterações e necessitam de
correções de tempo e posição. Como a velocidade da luz é constante e sofre
pequenos desvios em campos gravitacionais em baixos campos gravitacionais, podese estimar qual é a imprecisão da posição e do tempo nas informações no GPS.
Estes satélites possuem relógios atômicos, com alta precisão de medidas de
tempo, contudo seus períodos devem ser sincronizados todo momento por causa da
alteração nas medidas de tempo influenciadas pela diferença de potencial
gravitacional previsto na Relatividade Geral.
Esta tecnologia revolucionou os sistemas de transporte, terrestre, marítimo e
aéreo, e sem tal tecnologia não teríamos todo o conforto que essa tecnologia nos
propõe, sendo até mesmo de suma importância para encontrar pessoas seqüestradas
ou veículos roubados.
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9. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Toda a evolução da física só foi possível graças à contribuição teórica de
filósofos e físicos ao longo dos séculos de estudo, de observação e de
experimentação. A mecânica aristotélica foi modificada, graças à percepção de Galileu
e Descartes que viram a importância da construção teórica, baseada em
experimentos. Com estabelecimento de um método cientifico pode-se compreender a
natureza sem que para isso se baseie em hipóteses especulativas.
O estudo histórico da evolução da física proporciona aos estudantes a visão
critica necessária para o seu desenvolvimento profissional tanto na educação quanto
na carreira científica. Ao estudar os fundamentos de uma teoria através da leitura dos
conceitos originais percebe-se a riqueza teórica apresentada. Muitas vezes chega-nos
o conhecimento simplificado por causa da necessidade didática.
Mas conhecer as origens de uma teoria permite uma constatação direta com
os argumentos propostos pelo teórico, o que gera um amadurecimento científico de
suma importância. O desenvolvimento da relatividade Especial e Geral por Albert
Einstein foi baseado em princípios fundamentais tirados de experimentos mecânicos e
elétricos como no caso da conservarão do momento e da energia e as experiências de
Fizeau em óptica e de Faraday no eletromagnetismo.
Assim esta teoria apesar de suas hipóteses extraordinária, pode mostrar seus
resultados antes mesmo de serem postos à prova, pois seus fundamentos partiram da
analise dos fundamentos da física e de experimentos cruciais para a ciência.
A idéia que se a respeito da criação da relatividade na grande parte dos livros
didáticos são apresentadas como postulados audaciosos propostos por Albert
Einstein. Mas com esses estudos sobre a construção de sua teoria percebe-se que
seus fundamentos não estavam unicamente firmados em questões lógicas, mas
unidos com a física experimental, e desta harmonia entre o modelo teórico e a
experimentação nasceu estas idéias revolucionárias, causadoras de um profundo
impacto na vida moderna.
A ousadia de propor novas teorias ao invés de manter as anteriores, deve ser
vista como um bom exemplo na evolução da física, pois a ciência muitas vezes resiste
à mudança quando tenta salvar conceitos físicos conflitantes com a experiência. Este
foi o caso da relatividade quando foi proposta.
Apesar de a teoria relativística tornar-se consolidada ao longo do século XX,
deve-se sempre ter em vista que o julgamento da veracidade de uma teoria deve ser
formado excepcionalmente através de experimentos. Isso vale também para a
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relatividade. Ela estará segura da forma como se encontrar, desde que suas
afirmações não venham conflitar com novos experimentos que as porá a prova.
9. BIBLIOGRAFIA
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Disponovel em <http://cosmo.fis.fc.ul.pt/~crawford/aulas/bending_carroll.jpg>
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