COMPORTAMENTO DINÂMICO DE ESTRUTURAS COMPOSTAS OPACAS
À RADIAÇÃO SOLAR.
Antonio do Nascimento Silva Alves
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Mecânica, COPPE, da Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do tı́tulo de Mestre em
Engenharia Mecânica.
Orientador: Nisio de Carvalho Lobo Brum
Rio de Janeiro
Março de 2013
COMPORTAMENTO DINÂMICO DE ESTRUTURAS COMPOSTAS OPACAS
À RADIAÇÃO SOLAR.
Antonio do Nascimento Silva Alves
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO
ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE
ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA
MECÂNICA.
Examinada por:
Prof. Nisio de Carvalho Lobo Brum, D.Sc.
Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.
Prof. Manoel Antonio da Fonseca Costa Filho, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
MARÇO DE 2013
Alves, Antonio do Nascimento Silva
Comportamento Dinâmico de Estruturas Compostas
Opacas à Radiação Solar./Antonio do Nascimento Silva
Alves. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2013.
XV, 70 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Nisio de Carvalho Lobo Brum
Dissertação (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de
Engenharia Mecânica, 2013.
Referências Bibliográficas: p. 68 – 70.
1. Radiação Solar. 2. Inércia Térmica em Paredes.
3. Eficiência Energética em Edificações. 4. Simulação
em Edificações.
I. de Carvalho Lobo Brum, Nisio.
II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,
Programa de Engenharia Mecânica. III. Tı́tulo.
iii
”Sunrise doesn’t last all morning
A cloudburst doesn’t last all
day...
All things must pass
None of life’s strings can last
So I must be on my way
And face another day.”
All things must pass.
George Harrison
iv
Agradecimentos
À Deus, autor da minha jornada, em tudo dou graças.
Agradeço aos meus pais, Francisco Alves e Maria do Nascimento Silva Alves pelo
amor fonte de força e inspiração.
Ao meu orientador, Prof. Nisio de Carvalho Lobo Brum, pela orientação, incentivo e paciência durante a realização deste trabalho.
À senhora Maria Santana Mata, pelo apoio e acolhida durante o tempo de
duração deste trabalho.
À arquiteta Leena Motta pelo suporte e compreensão devotados durante o
perı́odo de duração deste trabalho.
Aos amigos Marlon Xavier Duarte Filho e Felix Fink Neto pela precisão no
suporte quando necessário para realização do trabalho.
Aos alunos do LTTC e LMT: José Matim, Marcos Vinı́cius, Bernard Lamien,
Kleber Lisbôa, Wellington Betencurte, José Mir, Gino Andrade, Jean Monteiro, Rodrigo Basto, Marcus Curi, Masoud Ghanbari, Ali Allahyarzadeh, Ivanas Fernandes e
Cerqueira, Cesar Pacheco, Nilton Pereira, Breno Agra e Apoena Calil, pela amizade
durante todo esse tempo de mestrado.
Aos meus companheiros de trajetória Rubelmar Maia e João D’Anuzio pela
amizade e companheirismo ao longo deste caminho.
Um agradecimento especial ao amigo Diego Estumano e sua namorada Anna
Tsukui, pela amizade imediata e duradoura, tı́pica dos paraenses longe de casa,
obrigado pela luz nas horas mais escuras.
Aos funcionários Vera Noronha, Evanise Silva, Júlio Ramos, Paulo Silva e Paulo
Veiga por terem dado suporte para o desenvolvimento deste trabalho.
v
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
COMPORTAMENTO DINÂMICO DE ESTRUTURAS COMPOSTAS OPACAS
À RADIAÇÃO SOLAR.
Antonio do Nascimento Silva Alves
Março/2013
Orientador: Nisio de Carvalho Lobo Brum
Programa: Engenharia Mecânica
Este trabalho propõe uma metodologia para analisar o comportamento dinâmico
em estruturas compostas opacos em edifı́cios. Foi utilizado o método da transformada de Laplace para obter a função de transferência, obtendo assim os fatores de
resposta de condução e em seguida calculando os fluxos de calor internos e externos.
Esta abordagem foi utilizada em diversos materiais de construção comuns no Brasil,
que foram analisados ao longo do trabalho. Os parâmetro de inércia térmica das
normas ISO e ABNT foram comparados, buscando estabelecer um procedimento de
projeto com base nas condições brasileiras.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
DYNAMIC BEHAVIOR OF OPAQUE COMPOSITE STRUCTURES TO
SOLAR RADIATION.
Antonio do Nascimento Silva Alves
March/2013
Advisor: Nisio de Carvalho Lobo Brum
Department: Mechanical Engineering
This work proposes a methodology to analyze the dynamic behavior in opaque
composite structures in buildings. It makes use of the Laplace transform method to
obtain the transfer function by creating the conduction response factors and then
the internal and external heat fluxes were calculated. This approach has been used
in several construction materials common in Brasil, which were analysed along this
work. The ISO and ABNT norm thermal inertia parameters were compared by
seeking establish a design procedure based on brazilian conditions.
vii
Sumário
Lista de Figuras
x
Lista de Tabelas
xii
Lista de Sı́mbolos
xiii
1 Introdução
1.1 Motivação e Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Revisão Bibliográfica
2.1 Fatores de Resposta . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Método de Hittle . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Normalização Técnica . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Norma Brasileira ABNT/CE-02:135.07
2.3.2 Atraso Térmico . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Norma Internacional ISO 13786 . . . .
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3 Método Proposto
3.1 Caracterı́sticas Ambientais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 O Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Atmosfera Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Distribuição da Energia Espectral da Radiação Solar . . . .
3.1.4 Órbita e Rotação Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Ângulos Solares Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Hora do Relógio e a Hora Solar . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7 Ângulos Solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Estimativa da Intensidade da Radiação Solar durante um dia Claro.
3.3 Radiação Solar Incidente sobre Superfı́cies Opacas. . . . . . . . . .
3.3.1 Temperatura Sol-Ar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Condução de Calor Unidimensional em regime transiente em paredes
compostas por múltiplas camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
1
1
2
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3
3
6
6
6
9
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13
13
13
14
16
17
19
20
21
24
25
28
. 33
3.5
3.6
3.7
Tratamento das Condições de Contorno . . . . .
Fatores de Resposta . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Fatores de Resposta de Ordem Superior.
Implementação do Método de Hittle. . . . . . .
4 Resultados e Discussões
4.1 Propriedades Térmicas de Paredes . . . .
4.2 Análise da Inércia Térmica de Paredes .
4.2.1 Aplicação da Norma Internacional
homogênea. . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Aplicação da Norma Internacional
composta. . . . . . . . . . . . . .
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ISO 13786 em uma
. . . . . . . . . . .
ISO 13786 em uma
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39
44
50
52
54
. . . . . 55
. . . . . 55
parede
. . . . . 56
parede
. . . . . 63
5 Conclusões e Sugestões
66
Referências Bibliográficas
68
ix
Lista de Figuras
2.1
Seções de um componente com camadas homogêneas e não homogêneas.
3.1
3.2
3.3
Posição do Sol, da Atmosfera e da Terra. . . . . . . . . . . . . . . .
Variação da radiação solar extraterrestre em função dos dias do ano.
Curva padrão obtida da constante solar de 1366.1 W/m2 e a sua
posição no espectro de radiação electromagnética. . . . . . . . . . .
O efeito da inclinação da Terra e da rotação em torno do Sol. . . . .
Latitude, ângulo horário e declinação do sol. . . . . . . . . . . . . .
Variação da declinação solar d durante um ano tı́pico. . . . . . . . .
Ângulos solares β, φ e θH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ângulo de azimute de superfı́cie solar γ , azimute de superfı́cie ψ ,
ângulo de inclinação Σ, para uma superfı́cie de inclinação qualquer.
Camada homogênea unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parede com duas camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pulso triangular com a soma de três rampas. . . . . . . . . . . . . .
Superposição de pulsos triangulares, como aproximação da função
continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pulsos Triangulares sobrepostos para formar a aproximação de duas
funções de temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fluxograma da implementação no FORTRAN do Método de Hittle.
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
. 15
. 17
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17
18
19
20
22
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23
33
37
39
. 40
. 46
. 52
Temperaturas Sol-Ar para os dias 20,21 e 22 de Setembro. . . . . . .
Parede em concreto maciço e=10cm obtida a partir da Noma Brasileira.
Fluxos de Calor nas superfı́cies externa e interna da Parede 1. . . . .
Parede composta por tijolo cerâmico e revestido com argamassa e=14cm
Fluxos de Calor nas superfı́cies externa e interna da Parede 2. . . . .
Parede composta por tijolo cerâmico maciço e revestido com argamassa e=26cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fluxos de Calor nas superfı́cies externa e interna da Parede 3. . . . .
Parede dupla composta por tijolo cerâmico maciço e revestido com
argamassa e=26cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
7
54
55
56
58
58
59
60
61
4.9 Fluxos de Calor nas superfı́cies externa e interna da Parede 4. . . . . 62
4.10 Parede com constituição tı́pica utilizada na cidade de Manaus. . . . . 63
4.11 Parede com constituição tı́pica utilizada na cidade de Manaus. . . . . 65
xi
Lista de Tabelas
2.1
Resistência Térmica superficial Interna e Externa. . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
Variação de n para um ano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coeficientes da radiação solar para a média dos dias claros, (para o
dia 21 de cada mês) - Hemifério Norte . . . . . . . . . . . . . . . .
Coeficientes da radiação solar para a média dos dias claros, (para o
dia 21 de cada mês) - Hemifério Sul . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Percentual da variação da temperatura diária . . . . . . . . . . . .
Propriedade das camadas da parede composta . . . . . . . . . . . .
Fatores de resposta obtidos pelo programa PRF/RTF Generator . .
Fatores de resposta obtidos pelo método de hittle implementado no
FORTRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
Propriedades Térmicas para Paredes. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fatores de Resposta da Parede de concreto maciço e=10cm . . . . .
Caracterı́sticas Dinâmico-Térmicas da Parede 1 . . . . . . . . . . .
Valores de inércia térmica da Parede 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
Fatores de Resposta da Parede Composta com e=14cm . . . . . . .
Valores de inércia térmica da Parede 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
Fatores de Resposta da Parede Composta com tijolo cerâmico maciço
revestido com argamassa com e=26cm . . . . . . . . . . . . . . . .
Valores de inércia térmica da Parede 3 . . . . . . . . . . . . . . . .
Fatores de Resposta da Parede dupla Composta com tijolo cerâmico
maciço revestido com argamassa com e=26cm . . . . . . . . . . . .
Valores de inércia térmica da Parede 4 . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementos da matriz global de transferência de calor de uma parede
composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caracterı́sticas Dinâmico-Térmicas da Parede 1 . . . . . . . . . . .
Fatores de Resposta da Parede Composta com configuração tı́pica de
Manaus e=15cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valores de inércia térmica da Parede Manaus . . . . . . . . . . . . .
xii
8
. 20
. 25
.
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.
25
31
53
53
. 53
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55
56
57
57
58
59
. 59
. 60
. 61
. 62
. 64
. 64
. 64
. 65
Lista de Sı́mbolos
Ri
Li
ki
Rt,série
Rt,paralelo
RT
RSi
RSe
RSe
U
C
c
CT
k
l
d
ID
Id
Id
I
qs
qIR
qnet
te
to
tS
∆R
adjacências;
Xn,m
Yn,m
Zn,m
Resistência Térmica de uma camada homogênea;
Espessura de uma camada;
Condutividade Térmica da camada;
Resistência Térmica total de camadas em série;
Resistência Térmica total de camadas em paralelo;
Resistência Térmica Total;
Resistência Superficial interna;
Resistência Superficial externa;
Resistência Superficial externa;
Coeficiente global de transferência de calor;
Capacidade Térmica;
Calor Especı́fico;
Capacidade Térmica dos componentes;
Condutividade Térmica;
Espessura da Camada;
Declinação Solar em graus;
Incidência Solar Direta;
Incidência Solar Difusa;
Incidência Solar Refletiva;
Incidência Solar Total;
Quantidade total de radiação;
Quantidade de calor devido a radiação infravermelho;
Fluxo lı́quido de energia;
Temperatura Sol-Ar;
Temperatura externa do ar;
Temperatura da Superfı́cie;
Diferença entre a radiação incidente de ondas longas a partir céu e
Fator de Resposta Interno de ordem superior;
Fator de Resposta Através de ordem superior;
Fator de Resposta Externo de ordem superior;
xiii
Letras Gregas
ρ
α
β
θ
γ
ψ
Σ
ρg
Densidade Térmica;
Difusividade Térmica;
Ângulo da altitude solar;
Ângulo de incidência;
Ângulo de azimute de superfı́cie solar;
Azimute de superfı́cie;
Ângulo de inclinação;
Reflexão solar do piso;
Emitância hemisférica da superfı́cie;
xiv
Capı́tulo 1
Introdução
1.1
Motivação e Objetivos
O crescimento econômico através da indústria e do comércio, tem gerado uma
maior demanda de energia, o que a torna indispensável ao homem moderno quanto
a sua qualidade de vida. A escassez dos recursos naturais como petróleo, gás natural
e o carvão mineral tem ligação direta com a crise energética mundial. A redução
do regime de chuvas ocasiona um problema na principal fonte geradora de energia
elétrica no Brasil. Um dos maiores responsáveis pelo consumo de energia elétrica é
o condicionamento de ar que corresponde, em media, a 48% [1], do uso final no setor
comercial nacional. Desta forma, torna-se necessário, soluções de engenharia que
possam favorecer ao conforto térmico aliado a diminuição do consumo de energia
elétrica.
Sendo assim, diversas ações têm sido tomadas para economia e conservação
de energia elétrica, além da criação de normalização e certificação da eficiência
energética em edifı́cios.
O ganho de calor instantâneo para um ambiente condicionado é bastante variável
com o tempo, principalmente devido ao forte efeito criado pela variação horária de
radiação solar. Para haver uma diferença representativa entre o ganho de calor
da envoltória do edifı́cio e o calor removido pelo equipamento de refrigeração, é
necessário um criterioso dimensionamento da instalação de ar condicionado[2].
Tendo em vista a necessidade de aprofundamento dos estudos sobre o desempenho térmico de edificações,atualmente através da simulação computacional buscando por composições de paredes cada vez mais eficientes por meio da variação
dos parâmetros como espessura das camadas e suas propriedades fı́sicas, é uma
estratégia utilizada para otimizar o uso da energia elétrica. O presente trabalho
atém-se ao tópico especı́fico do estudo de paredes externas. Para este fim utiliza-se
um programa desenvolvido para simulação e análise destas paredes, o método utili-
1
zado neste programa é o Método da função de Transferência - (CTF – Conduction
Transfer Functions), este método é vastamente encontrado na literatura e utiliza a
transformada inversa de Laplace para resolver a equação de condução.
Diante deste cenário o presente trabalho tem como objetivo geral a avaliação da
influência do fenômeno da inércia térmica em paredes formadas por várias camadas,
levando em consideração os parâmetros resistivos e capacitivos de cada camada,
bem como a determinação do fluxo de calor na face interna do recinto em qualquer
instante de tempo utilizando dados climáticos de cidades brasileiras.
Dentre os objetivos especı́fico deste estudo estão a determinação dos fatores de
resposta para avaliação do atraso térmico em paredes de múltiplas camadas, como
também realizar comparativo entre a Norma Brasileira ABNT/CE-02:135.07 e a
Norma Internacional ISO 13786, quanto a determinação das caracterı́sticas térmicas
dos componentes de paredes.
1.2
Organização do Trabalho
No capı́tulo 2 é apresentada a revisão bibliográfica acerca dos métodos de obtenção dos fatores de resposta com ênfase no Método da função de Transferência
- (CTF – Conduction Transfer Functions, além apresentar uma abordagem sobre a normalização do desempenho térmico de paredes tanto da Norma Brasileira
ABNT/CE-02:135.07 quanto da Norma Internacional ISO 13786.
No capı́tulo 3 será apresentado uma abordagem sobre Radiação Solar e seus
efeitos sobre estruturas opacas utilizadas em edificações e formulação metemática
do método utilizado neste trabalho
No capı́tulo 4 serão apresentados e discutidos os resultados obtidos através da
análise comparativa dos valores de inércia térmica das paredes externas para cada
caso estudado.
No capı́tulo 5 serão apresentados e as conclusões e sugestões de trabalhos futuros.
2
Capı́tulo 2
Revisão Bibliográfica
2.1
Fatores de Resposta
Em 1967 Mitalas e Stephenson[3], apresentaram o método dos fatores de resposta
térmica, com a finalidade do cálculo de carga térmica esses fatores são um conjunto
de coeficiente resultantes de uma representação de séries temporais. Eles desenvolveram os fatores de resposta para paredes através da resposta do fluxo de calor da
parede para uma excitação de um pulso triangular unitário de temperaturas nas
superfı́cies externa e interna da parede.
Mitalas e Stephenson[4], após desenvolverem sua abordagem dos fatores de
resposta determinaram a aplicação da transformada z na solução da equação de
condução de calor unidimensional em regime transiente , obtendo assim a função
de transferência em z de várias superfı́cies de paredes e telhados constituı́dos de
diferentes materiais. A função de transferência substitui o conjunto teoricamente
infinito de fatores de resposta em um conjunto finito de coeficientes que representam
os valores anteriores e atuais da variável de interesse s. Este trabalho junto ao Grupo
de Trabalho da ASHRAE, culminou na implementação computacional deste método
sendo incorporado à ASHRAE Handbook Fundamental em 1972. Este método deve
o seu nome ao fato de utilizar o conceito de funções de transferência de modo a relacionar a carga térmica de um ambiente com os ganhos de calor deste ambiente. Uma
função de transferência é uma representação matemática da relação entre a entrada
e a saı́da de um determinado sistema. É considerada ser o mais preciso, mais prático
método de cálculo de carga térmica,sendo baseado em dois conceitos importantes,
CTF - Conduction Transfer Function, que a partir deste momento neste trabalho
será denominado de Método da Função de Transferência e RTF’s - Room Transfer
Functions, este último comumente chamado de fatores de ponderação.
O Método da Função de Transferência é adotado pela ASHRAE (American Society of Heating, Refrigeration and Air Conditioning Engineers) como ferramenta
3
indicada para análise térmica hora a hora de edifı́cios. Este método é particularmente adaptável a simulações computacionais, sendo possı́vel descrever o ganho
interno de calor através das paredes utilizando poucos coeficientes de resposta com
boa precisão. Sendo assim, os programas utilizados com maior frequência para simulação energética de edifı́cios e de sistemas de refrigeração como o TRNSYS [5] e
EnergyPlus [6] adotam o Método da Função de Transferência).
Ceylan e Myers[7], apresentam um método para calcular os fatores de resposta
de transferência de calor multidimensional. Mas este tratamento não aumenta significantemente a qualidade dos resultados obtidos com o tratamento unidimensional.
Pedersen et al. [8] apresenta e detalha o Método de Balanço Energético (HBMHeat Balance Method ), conforme descrito na ASHRAE Handbook Fundamental
(2009)[9]. O Método de Balanço Energético, requer a definição de pelo menos
uma zona térmica, isto é, uma zona com uma determinada temperatura de conforto definida. Esta zona térmica consiste em quatro paredes, uma cobertura e um
pavimento que podem ser interiores ou exterior, incluindo o efeito de inércia térmica
dos componentes da construção. O processo de balanço energético para esta zona
genérica envolve análises de 24 horas por dia às temperaturas interiores e exteriores
às superfı́cies da zona térmica. Dentro das cargas internas da zona, é necessário
relacionar as parcelas de calor sensı́veis e latentes, de acordo com o tipo de geração.
Spitler et al. [10] apresenta o Método das Séries Temporais Radiantes (RTS-The
Radiante Time series Method ), um novo método para cálculo baseado no Método
de Balanço Energético, este trabalho apresenta a primeira descrição da metodologia
e explica o procedimento para geração dos fatores de resposta além de fazer um
comparativo entre o Método de Balanço Energético e o Método das Séries Temporais
Radiantes.
A apresentação do método aborda o cálculo de ganho de calor de condução, a
separação dos ganhos de calor, em calor de radiação e de convecção, e a conversão
de ganho de calor em cargas térmica. O ganho de calor por condução é calculado
para cada tipo de parede e tipo de telhado com o uso de 24 fatores de resposta.
Para qualquer hora,o ganho de calor por condução, é dado pela soma dos fatores de
resposta multiplicado pela diferença de temperatura através da superfı́cie.
De acordo com o Método das Séries Temporais Radiantes, uma vez que o ganho
de calor é dividido em partes de radiação e de convecção. A parte de radiação é
absorvida pela massa térmica na zona de convecção e em seguida para parte interna
do recinto. Este processo cria um atraso térmico e efeito de amortecimento. A porção
de convecção, por outro lado, é assumido instantaneamente como carga térmica e
em seguida, apenas é somada à carga térmica por hora.
Para gerar os fatores de resposta Spitler et al. [10] utilizou o método de Hittle [11]
e apresenta também um procedimento de implementação computacional do Método
4
das Séries Temporais Radiantes
Spitler e Fisher [12], realizaram um trabalho comparativo entre os Métodos da
Função de Transferência e o Método das Séries Temporais Radiantes. O Método das
Séries Temporais Radiantes difere do Métodos da Função de Transferência no cálculo
do ganho calor de condução e na determinação das contribuições de carga térmica
uma vez que os ganhos de calor por hora são conhecidos. O método da Função
de Transferência, depende da função de transferência de condução para calcular o
ganho de condução de calor e dos fatores de resposta, para determinar os fluxos de
calor. O Método das Séries Temporais Radiantes depende de uma série fatores de 24
termos para calcular o ganho de calor de condução e uma outra série de fatores de
24 termos para determinar os fluxos de calor conhecidos como Fatores de Resposta
Periódicos - (PRF – Periodic Response Factor ).
Iu e Fisher [13], apresenta uma visão geral do Método da Função de Transferência
e dos Fatores de Resposta Periódicos. Este artigo apresenta alguns métodos de obtenção dos fatores de resposta e faz a comparação entre eles, como por exemplo a
comparação entre os fatores de respostas obtidos via método do Estado de espaço e
a Transformada de Laplace. O trabalho também apresenta o PRF/RTF GENARATOR [14] , programa que gera os fatores de resposta e o fluxo de calor em paredes
de múltiplas camadas.
Goulart apud Yannas e Maldonado [15] usa o termo inércia térmica como a
capacidade da edificação de armazenar e liberar calor, quanto maior a inércia térmica
menor a velocidade à qual a temperatura externa atravessará a parede, a inércia
térmica geralmente é associada ao material constituinte da parede.
Durante o processo transiente de condução de calor em paredes, em que as alterações da temperatura externa durante o perı́odo de um dia, uma onda de calor
flui através da parede da superfı́cie externa para a interna e as amplitudes destes
ondas mostram as magnitudes de temperatura. Durante a propagação dessa onda
de calor através da parede, a sua amplitude diminui de acordo com as propriedades
termofı́sicas dos materiais. Quando esta onda atinge a superfı́cie interna, ela terá
uma amplitude, que é consideravelmente menor do que o valor que tinha na superfı́cie externa. O tempo que leva para uma onda de calor que se propaga a partir
da superfı́cie externa para a superfı́cie interna é denominado como atraso térmico
(time lag) e a diminuição do pico das amplitude durante este processo é denominado
como fator de amortecimento (decrement factor ).
Asan e Sancaktar [16] apresentam um estudo sobre os efeitos da espessura e
das propriedades termofı́sicas na parede de um edifı́cio em um intervalo de tempo.
Para isso, a equação de condução de calor unidmensional em regime transiente foi
resolvida usando o método de Crank-Nicolson. Os efeitos individuais e combinados
da espessura e propriedades termofı́sicas no intervalo de tempo foram investigados.
5
Verificou-se que as propriedades termofı́sicas possuem um efeito profundo sobre o
atraso térmico e o fator de amortecimento.
Ulgen[17], apresenta um estudo experimental e teórico sobre os efeitos das propriedades termofı́sicas no atraso térmico e no fator de amortecimento, avaliando os
efeitos no ambiente interno das mudanças nas composições das paredes externas,
o método experimental é comparado com os resultados obtidos através da solução
do método analı́tico, dependendo das propriedades termofı́sicas e da espessura da
parede aproximadamente em 12h, os valores do atraso térmico pode ser observado.
Após submeter as paredes ao tratamento analı́tico e experimental observou-se que é
inevitável considerar tipos diferentes de camadas constituintes de paredes com caracterı́sticas diferentes em projetos para se obter melhores resultados.Um valor pequeno
da difusividade térmica tem efeitos sobre o fator de amortecimento e aumento no
atraso térmico e que um grande valor de massa, densidade e calor especı́fico tem um
positivo impacto sobre as condições ambientais internas.
2.2
Método de Hittle
O método proposto por Hittle [11] calcula os fatores de resposta das múltiplas
camadas que compõem a parede. Utilizando a transformada de Laplace e determinando a inversa através do teorema dos resı́duos.
2.3
Normalização Técnica
O atraso térmico em paredes são objeto de normalização por parte da norma
brasileira ABNT/CE-02:135.07 [18] e da Norma Internacional ISO 13786 [19], a
norma brasileira foi criada para determinar de uma forma simplificada o atraso
térmico dos materiais utilizados na construção de edificações.
2.3.1
Norma Brasileira ABNT/CE-02:135.07
A norma brasileira ABNT/CE-02:135.07 descreve o método de calculo de caracterı́sticas térmicas dos elementos e componentes que compõem as paredes das
edificações que são elas: resistência, transmitância e capacidade térmica, atraso
térmico e fator de calor solar de elementos e componentes de edificações.
A resistência de uma camada homogênea de material sólido seja determinada
pela expressão a seguir:
Li
(2.1)
Ri =
ki
Quando a parede é constituı́da de mais de um material, a norma determina que
6
a resistência térmica total seja a soma das resistências homogêneas de cada camada,
caso entre essas camadas exista uma camada de ar esta camada deve ser somada a
resistência total da seção, como estas camadas estão em serie. A resistência total é
calculada como segue:
Rt,serie =
Nc
X
Ri +
i=1
Na
X
Rj,ar
(2.2)
j=1
Se a parede for composta por diversas camadas perpendiculares ao fluxo de calor,
a resistência total da parede deve ser ponderada com a área de passagem do fluxo de
cada seção. E de maneira análoga ao sistema elétrico, a resistência total em paralelo
deve ser obtida da seguinte forma.
Pn−seção
i=1
Rt,paralelo = Pn−seção
i=1
(Ai )
(Ai /Ri )
(2.3)
Onde Ai e Ri são as áreas e resistências de cada seção respectivamente.
Figura 2.1: Seções de um componente com camadas homogêneas e não homogêneas.
Desta forma conforme a figura 2.1 possui 4 seções (Sa , Sb , Sc e Sd ). A seção Sa é
composta por uma única camada, a seção Sb é composta por duas camadas, a seção
Sc também é composta por uma única camada (diferente da seção Sa ) e a seção Sd
é composta por duas camadas.
A partir disso é necessário a definição dos componentes da configuração,
denomina-se seção à uma parte de um componente tomada em toda espessura (de
7
uma face à outra), e que contenha apenas resistências térmicas em série e camada
como uma parte de um componente tomada paralelamente às suas faces e com espessura constante.
Esta resistência Rt,paralelo é a resistência térmica de superfı́cie à superfı́cie da
parede, entretanto nestes cálculos a resistência do ar sob a forma do coeficiente
de convecção não é contabilizado por estas equações. Por isto, define-se ainda a
resistência térmica de ambiente a ambiente como sendo a resistência de superfı́cie à
superfı́cie da parede somada às resistências Rsi e Rse . Estas resistências superficiais
interna e externa são calculadas com base no coeficiente de troca térmica natural
existente, e como tal, é diferenciado dependendo da posição da parede em relação
ao fluxo de ar passante. Por isto, a tabela 9 reproduzida da norma brasileira, prevê
valores aproximados para estas resistências.
Tabela 2.1: Resistência Térmica superficial Interna e Externa.
Rsi (m2 K/W )
Direção do fluxo de calor
Horizontal Ascendente Descendente
⇒|
⇑
⇓
0.13
0.1
0.17
Rse (m2 K/W )
Direção do fluxo de calor
Horizontal Ascendente Descendente
⇒|
⇑
⇓
0.04
0.04
0.04
RT = Rsi + Rt,paralelo + Rse
(2.4)
A transmitância térmica de componentes, de ambiente a ambiente, é o inverso
da resistência térmica total (RT ), conforme a expressão.
1
RT
U=
(2.5)
A capacidade térmica de materiais homogêneos, de seções de materiais homogêneos e a capacidade térmica de parede composta por n-seções em paralelo
é obtida como mostra as equação a seguir.
Ci = Li ∗ ρi ∗ cpi
Ct,series =
Nc
X
Ci
(2.6)
(2.7)
i=1
Pn−seção
i=1
Ct,paralelo = Pn−seção
i=1
8
(Ai )
(Ai /Ci )
(2.8)
2.3.2
Atraso Térmico
O atraso térmico é o tempo transcorrido entre uma variação térmica em um meio
e sua manifestação na superfı́cie oposta de um componente construtivo submetido
a um regime periódico de transmissão de calor. Este parâmetro é importante para
o conforto térmico seja atingido, pois não é interessante que qualquer perturbação
no exterior do edifı́cio repercuta rapidamente na temperatura interior[20].
O atraso térmico (ϕ) no caso de uma placa homogênea, submetida a um regime térmico variável e senoidal com perı́odo de 24 horas, pode ser estimado pela
expressão.
p
ϕ = 0.7284 RT CT
(2.9)
Para o caso de um componente formado por diferentes materiais superpostos em
n camadas paralelas às faces, o atraso térmico varia conforme a expressão:
p
ϕ = 1.382 B1 + B2
(2.10)
onde:
B1 = 0.226
B2 = 0.205
(k ∗ ρ ∗ cp)externa
Rt
B0
Rt
Rt − Rexterna
∗ Rexterna −
10
B0 = CT − CT,externa
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Os ı́ndices “externa” se referem à última camada do componente, junto à face
externa.
A norma ABNT - 02:135.07 é uma maneira simplificada de resolução do problema
de condução do calor. Maillet et al. [21], aborda duas modelagens do problema de
condução do calor. Uma em regime permanente, e outra em regime transiente,
sendo admitida a condutividade térmica do material grande o suficiente para que a
variação da temperatura no corpo seja desprezada, ou seja, os efeitos espaciais não
são importantes e a temperatura é função do tempo apenas.
A primeira abordagem de Maillet et al. [21], em regime permanente, é demostrado que a parede pode ser comparada com um circuito elétrico puramente resistivo
!
1 R
e a matriz que liga as superfı́cies da parede pode ser representada por
,
0 1
de acordo com a equação a seguir.
9
T1
∅1
!
=
1 R
0 1
!
T2
∅2
!
(2.14)
Assim, quando existir uma composição de camadas, a matriz resultante será o
produto das matrizes de cada camada. Desta forma, a matriz global será o resultado
da soma das resistências de cada camada, explicando assim a equação 2.2 da norma
brasileira.
T1
∅1
!
1 R1
0 1
!
1 R2
0 1
!
!
T2
∅2
1 R1 + R2
0
1
=
!
T2
∅2
!
(2.15)
A segunda abordagem remete ao modelo conhecido como ”Lumped”, onde a
temperatura depende somente do tempo e a resistência interna é desprezada[20].
Este estudo mostra que a matriz que !
liga os extremos das paredes, nesta simplificação
1 0
do problema, passa a ser
, de acordo com a função abaixo.
sCt 1
!
!
!
θ1
1 0
θ2
=
(2.16)
∅1
sCt 1
∅2
Diante disso, a matriz resultante para estruturas de múltiplas camadas é o produto da duas matrizes, de acordo com a equação seguinte.
θ1
∅1
!
1 0
sCt1 1
!
1 0
sCt2 1
!
θ2
∅2
!
=
1 0
s(Ct1 + Ct2 ) 1
!
θ2
∅2
!
(2.17)
As equações 2.17 e 2.7 explicam o fato da norma brasileira adotar a soma das
capacitâncias de cada camada para produzir a capacitância global da parede. No
entanto, o problema da condução de calor em regime transiente com a temperatura variando no espaço possui a função de transferência desenvolvida por Hittle,
composta pelas funções AM (s),BM (s),CM (s) e DM (s), por isso a simplificação da
norma.
A norma preconiza a composição da capacitância na forma de soma para qualquer
caso, inclusive quando existe a variação de temperatura no espaço, nesse caso não há
como entender o conceito de capacitância equivalente como também que a mesma
seja obtida apenas por uma simples soma.
10
2.3.3
Norma Internacional ISO 13786
A norma internacional ISO 13786 fornece meios para o cálculo das caracterı́sticas
dinâmicas térmicas de uma parede, sendo que estas descrevem o comportamento
térmico da estrutura quando a mesma é submetida a condições de contorno de temperatura e fluxo de calor variável em ambas as faces. No padrão internacional apenas
condições de contorno senoidais são utilizadas, ou seja, as paredes são submetidas à
variações de temperatura senoidais ou variações de fluxo de calor senoidais.
Profundidade de penetração periódica (δ), deslocamento temporal (∆t), razão
da espessura da camada com a penetração (ξ), os termos de admitância térmica
(Ymm ) e transmitância térmica periódica (Ymn ) são os parâmetros mais importantes
da norma.
A profundidade de penetração periódica é definida como a profundidade na qual a
amplitude de variações da temperatura é reduzida por um fator e (base do logaritmo
Neperiano) em um material homogêneo de espessura infinita sujeito à variações de
temperatura senoidais na sua superfı́cie.
s
δ=
kT
πρCp
(2.18)
l
δ
De maneira semelhante com a dedução das matrizes das camadas proposta pelo
método de Laplace, a norma define as matrizes das camadas através dos elementos
Zmn , os quais são números complexos obtidos através das seguintes fórmulas:
ξ=
Z11 = Z22 = cosh(ξ) cos(ξ) + (sinh(ξ) sin(ξ)) ∗ j
Z12 = −
(2.19)
δ
∗ {sinh(ξ) cos(ξ) + cosh(ξ) sin(ξ) + (cosh(ξ) sin(ξ) − sinh(ξ) cos(ξ)) ∗ j}
2k
(2.20)
k
Z21 = − ∗ {sinh(ξ) cos(ξ) − cosh(ξ) sin(ξ) + (cosh(ξ) sin(ξ) + sinh(ξ) cos(ξ)) ∗ j}
δ
(2.21)
Z=
Z11 Z12
Z21 Z22
!
(2.22)
Quando a parede é feita de mais de uma camada, a matriz das camadas é a
multiplicação das matrizes individuais. É importante ressaltar que para a norma,
11
a numeração das camadas começa com o subscrito 1 para a mais interna e termina
com o subscrito n na mais externa.
Zc = ZN ZN −1 . . . Z3 Z2 Z1
(2.23)
Ainda, de maneira semelhante, a matriz das camadas deve ser composta com
as resistências superficiais internas e externas para que seja feita a ligação entre as
temperaturas solares. Portanto, a matriz correspondente de ambiente a ambiente
pode ser calculadas por:
Zglobal =
1 −Re
0
1
!
Z11 Z12
Z21 Z22
!
1 −Ri
0
1
!
(2.24)
Define-se:
Admitância térmica interna:
Y11 = −
Z11
Z12
(2.25)
Y22 = −
Z22
Z12
(2.26)
1
Z12
(2.27)
Admitância térmica externa:
Transmitância térmica periódica:
Y12 = −
Fator de decremento:
f=
|Y12 |
U
(2.28)
Time shift da admitância:
T
∗ Arg(Ymm )
2π
(2.29)
k1 =
T |Z11 − 1|
2π Z12
(2.30)
k2 =
T |Z22 − 1|
2π Z12
(2.31)
∆tY =
Internal Areal:
External Areal:
12
Capı́tulo 3
Método Proposto
3.1
Caracterı́sticas Ambientais
A radiação solar tem efeitos importantes sobre a parcela de calor ganho e perdido
em uma edificação. Estes efeitos dependem em grande parte da localização do sol
no céu e o quão lı́mpida esteja a atmosfera, bem como a natureza e a orientação
da edificação. É importante neste momento abordar formas de prever a variação da
localização do Sol no céu durante o dia e como estas variações afetam as estações
do ano para vários locais da superfı́cie terrestre, assim como também prever as
condições de tempo e a intensidade da irradiação solar em uma superfı́cie opacas,
em determinado momento e local da Terra.
3.1.1
O Sol
O Sol é a estrela no centro do sistema solar. A Terra e outros planetas, asteroides,
meteoros, cometas e poeira orbitam o Sol, que por si só, representa cerca de 99,8%
da massa do sistema solar. A energia do Sol, na forma de luz solar, suporta quase
toda a vida na Terra, através da fotossı́ntese e dirige o clima e o tempo da Terra[22].
O Sol tem uma temperatura efetiva de superfı́cie de 5777 K, o Sol é uma esfera
de matéria extremamente quente, gasosa, com um diâmetro de 1.39x109 m e possui
uma distância da terra por volta de 1.5x1011 m da Terra. O Sol é, efetivamente, um
reator de fusão contı́nua. Estima-se que 90% da energia do sol é gerada na região
entre 0 a 0.23R (R-Raio do sol) , a densidade média (ρ) e a temperatura (T ) nesta
região são de 105 kg/m3 e cerca de 8 − 40x106 K respectivamente. A uma distância
de cerca de 0.7R do centro, a temperatura cai para cerca de 1.3x105 K e a densidade
para 70kg/m3 . Sendo assim para r > 0.7R a convecção passa a ser importante e
a região 0.7R < r < R é conhecida como a zona convectiva. A camada externa à
essa zona é chamada de fotosfera. A intensidade espectral máxima ocorre cerca de
0.48 µm de comprimento de onda (λ), na parte verde do espectro visı́vel. Cerca
13
de 8.73% da energia total está contida na região ultravioleta (λ < 0.40µm); outros
38.15% na região visı́vel (0.40µm < λ < 0.70µm) e o restante 53.12% na região do
infravermelho (λ > 0.70µm).
3.1.2
Atmosfera Terrestre
A temperatura da atmosfera da Terra varia de acordo com a altitude entre os
cinco tipos diferentes de camadas atmosféricas, a saber:
Exosfera: de 500-1000 km até 10.000 km,desloca-se partı́culas livres que podem
migrar para dentro ou para fora da magnetosfera.
Ionosfera:é a parte da atmosfera que é ionizada pela radiação solar. Ela desempenha um papel importante na eletricidade atmosférica, formando o bordo interior
da magnetosfera. Ela tem uma importância prática, porque, entre outras funções,
influencia na propagação de onda de rádio para lugares distantes da Terra. Ela está
localizado na termosfera e é responsável por auroras.
Mesosfera: estende-se a partir de 50 km para o intervalo de 80-85 km, temperatura reduz com a altura. Esta é também onde a maioria dos meteoros queimam-se
ao entrar na atmosfera terrestre.
Estratosfera: estende-se da troposfera de 7 - 17 km de faixa, a de cerca de 50 km.
A temperatura aumenta de acordo com a altura, a estratosfera contém a camada de
ozônio, é a parte da atmosfera da Terra, que contém concentrações relativamente
elevadas de ozônio, ”relativamente elevado”significa poucas partes por milhão (ppm)
- muito mais elevadas do que as concentrações na atmosfera mais baixa, mas ainda
pequeno em comparação com os componentes principais da atmosfera. É principalmente localizada na parte inferior da estratosfera e cerca de 15 a 35 km acima da
superfı́cie da Terra, embora a espessura varie sazonalmente e geograficamente.
Troposfera: é a camada mais baixa da atmosfera, que começa na superfı́cie e
se estende até 7 km dos pólos e 17 km do equador, com alguma variação devido
a fatores climáticos. A troposfera tem uma grande quantidade de mistura vertical
devido a aquecimento solar da superfı́cie terrestre. Este aquecimento aquece massas
de ar, o que os torna menos densos fazendo-os subir, quando isso acontece, a pressão
exercida sobre essa massa de ar de modo que se expande. À medida que acontece
as diminuições de temperatura, o vapor de água na massa de ar pode condensar ou
solidificar, libertando calor latente que eleva ainda a massa de ar. Este processo
determina a taxa máxima de decréscimo de temperatura com a altura, denominada
a taxa de lapso adiabático. A troposfera contém cerca de 80% da massa total da
atmosfera, 50% da massa total da atmosfera está localizado na parte inferior da
troposfera a 5,6 km.
A temperatura média da atmosfera na superfı́cie da Terra é de 15◦ C. A pressão
14
atmosférica média, ao nı́vel do mar, é cerca de 101.3 kPa, com uma altura escalar cerca de 8.50 km, a massa atmosférica total é de 5.1480x1018 kg. A pressão
atmosférica é um resultado direto da massa total de ar acima do ponto em que a
pressão é medida. Isto significa que a pressão do ar varia com a localização e do
tempo, porque a quantidade (e peso) de ar acima da Terra também varia.
A densidade do ar ao nı́vel do mar é cerca de 1.2kg/m3 . Variações naturais da
pressão barométrica podem ocorrer em qualquer altura em consequência do tempo.
A densidade atmosférica diminui com o aumento da altitude. Esta variação pode
ser aproximadamente modelada usando a fórmula barométrica. Modelos mais sofisticados são usados por meteorologistas e agências espaciais para prever o tempo e a
queda orbital de satélites.
Radiações solares, enquanto passam através da atmosfera da Terra são sujeitos
a mecanismos de absorção e espalhamento atmosféricos. Os raios-X e a radiação
ultravioleta extrema do Sol são altamente absorvidos na ionosfera pelo nitrogênio,
oxigênio e e outros gases atmosféricos. O ozônio e os vapores d’água absorvem radiação ultravioleta (λ < 0.40µm) e radiações infravermelhas (λ < 2.3µm). Existe
uma absorção quase completa da radiação de ondas curtas (λ < 0.29µm) na atmosfera. Assim, a energia incidente na superfı́cie da Terra com radiação de comprimento
de onda inferior a 0.29µm e acima de 2.3 µm do espectro da radiação solar é desprezı́vel. A figura 3.1 mostra as posição do Sol em relação a Terra e a atmosfera.
Figura 3.1: Posição do Sol, da Atmosfera e da Terra.
15
3.1.3
Distribuição da Energia Espectral da Radiação Solar
A quantidade de energia solar por unidade de tempo, a uma distância média da
terra a partir do sol, recebida em uma unidade de área de uma superfı́cie normal ao
sol (perpendicular à direção de propagação da radiação) fora da atmosfera é chamada
de Costante Solar, Gsc . Esta quantidade é difı́cil de medir a partir da superfı́cie da
terra, devido ao efeito da atmosfera. Um método para a determinação da constante
solar foi apresentado pela primeira vez em 1881 por Langley [23] que tinha dado o seu
nome para a unidade de medida como Langleys por minuto (calorias por centı́metro
quadrado por minuto). Isso foi mudado para o sistema SI (W/m2 ).
Quando o Sol está próximo da Terra, no dia 3 de janeiro, o calor solar na borda
da atmosfera terrestre é cerca de 1400 W/m2 , e quando o Sol está mais afastado,
em 4 de julho esse mesmo calor solar é por volta de 1330W/m2
Durante o ano, a radiação extraterrestre medida no plano normal à radiação
na latitude N do dia do ano, Gon , varia entre esses limites, conforme indicado na
figura 3.2, com uma aproximação de 3.3%, o Gon , pode ser calculado conforme a
seguir:
Gon
360N
= Gsc 1 + 0.0033cos
365
(3.1)
onde:
Gon = radiação extraterrestre medida no plano normal para a radiação na latitude N do dia do ano (W/m2 ).
GSC = constante solar (W/m2 ).
O último valor de GSC é 1366.1 (W/m2 ). Este valor foi adotado no ano de 2000
pela American Society for Testing and Materials, que desenvolveu um espectro de
referência (ASTM E-490). A ASTM E-490 é uma massa de ar de zero irradiância
solar espectral, é baseado em dados de satélites, missões do ônibus espaciais, de alta
altitude da aeronave, foguete de sondagem, telescópios terrestres solares e de modelos
de irradiância espectral. A distribuição espectral da radiação solar extraterrestre na
distância média Sol-Terra é mostrada na figura 3.3. A curva de espectro da figura 3.3
baseia-se num conjunto de dados incluı́dos na norma ASTM E-490.
Quando a superfı́cie é colocada paralelamente em relação ao solo, a taxa de
radiação solar, G0H , a radiação incidente na superfı́cie extraterrestre horizontal em
determinado momento do ano é dado pela equação 3.2.
GoH = Gon cos(Φ) = Gsc 1 + 0.0033cos
360N
365
[cos(L)cos(δ)cos(h)+sin(L)sin(δ)]
(3.2)
16
Figura 3.2: Variação da radiação solar extraterrestre em função dos dias do ano.
Figura 3.3: Curva padrão obtida da constante solar de 1366.1 W/m2 e a sua posição
no espectro de radiação electromagnética.
3.1.4
Órbita e Rotação Terrestre
A posição do sol no céu é um fator importante para o efeito da energia solar em
uma edificação. As equações para prever a posição do sol são melhor compreendidas
por considerar o movimento da Terra sobre o sol.A Terra se move em uma órbita
ligeiramente elı́ptica em torno do Sol (Figura 3.4). O plano em que a Terra gira em
torno do Sol (aproximadamente uma vez a cada dia) é chamado de plano eclı́ptico ou
plano orbital. A distância periélio, quando a terra é mais próximo do sol, é 98,3% da
distância média e ocorre em 4 de Janeiro. A distância do afélio, quando a Terra está
mais distante do sol, é 101,7% da distância média e ocorre em 5 de julho. Devido a
isso, a terra recebe cerca de 7% a mais da radiação total, em Janeiro que em Julho.
À medida que a Terra gira em torno do Sol, também gira em torno do seu
próprio eixo, a uma taxa de uma revolução em cada 24 horas. Existe um movimento
adicional por causa de uma oscilação lenta ou precessão giroscópica da terra. O eixo
17
◦
da terra de rotação está inclinado 23, 5 em relação ao plano orbital. Como resultado
deste duplo movimento e inclinação, a posição do sol no céu, como visto por um
observador na terra, varia de acordo com a posição do observador e com a hora do
dia e da época do ano. Para efeitos práticos, o sol é tão pequeno como visto por um
observador em terra que pode ser tratado como uma fonte pontual de radiação.
No momento do equinócio vernal (21 de março) e do equinócio de outono (22
de setembro ou 23), o sol parece estar diretamente em cima da linha do equador
e os polos da Terra são equidistantes do sol. Equinócio significa ”noites iguais”, e
durante o tempo dos dois equinócios todos os pontos da Terra (exceto os polos) têm
exatamente 12 horas de escuridão e 12 horas de luz do dia.
Durante o solstı́cio de verão, (a palavra solstı́cio”significa sol parado), (21 de
◦
junho ou 22) o Pólo Norte está inclinado 23, 5 graus em direção ao sol. Todos os
◦
pontos sobre o norte da superfı́cie da Terra de 66, 5 N de latitude (Cı́rculo Polar
Ártico) estão à luz do dia continuamente, enquanto que todos os pontos de latitude
◦
sul 66, 5 S (o Cı́rculo Polar Antártico) estão em contı́nua escuridão. O clima é
relativamente quente no hemisfério norte e relativamente frio no hemisfério sul.
Durante o solstı́cio de verão, o sol parece estar diretamente acima do meio-dia
ao longo do Trópico de Câncer, enquanto que durante o solstı́cio de inverno é acima
do meio-dia ao longo do Trópico de Capricórnio. A zona tórrida é a região entre,
onde o sol está no zênite (diretamente acima) pelo menos uma vez durante o ano.
◦
◦
Nas zonas temperadas (entre 23, 5 e 66, 5 de latitude em cada hemisfério), o sol
nunca é diretamente em cima, mas sempre aparece acima do horizonte a cada dia.
As zonas frias são aquelas zonas com maior latitude 66,5 graus, em que o sol está
abaixo do horizonte, durante pelo menos um dia completo (24 horas) em cada ano.
Nestas duas zonas o sol também é acima do horizonte, pelo menos, um dia inteiro a
cada ano.
Figura 3.4: O efeito da inclinação da Terra e da rotação em torno do Sol.
18
3.1.5
Ângulos Solares Básicos
A direção dos raios solares pode ser descrita, se três grandezas fundamentais
forem conhecidas, a saber:
1. Local na superfı́cie terrestre;
2. Hora do dia;
3. Dia do ano.
Por convenção pode-se representar estas três grandezas, como a latitude por l,
o ângulo horário por h e a declinação do sol por d, respectivamente. A figura 3.5
mostra um ponto P localizado na superfı́cie da terra no hemisfério norte. A latitude
l é o ângulo entre OP e a projeção da linha OP no plano equatorial. Esta é a mesma
latitude utilizada em globos e mapas para descrever a localização de um ponto em
relação ao equador.
Figura 3.5: Latitude, ângulo horário e declinação do sol.
O ângulo horário h é o ângulo entre a projeção de OP no plano equatorial e a
projeção de uma linha com direção a partir do centro do sol para o centro da Terra.
Quinze graus de ângulo horário corresponde a uma hora de tempo do relógio. É
conveniente para fins de cálculo para manter uma convenção, que o ângulo horário
será negativo antes do meio-dia e positivo depois do meio-dia. O ângulo horário
será zero ao meio-dia solar local, têm o seu valor máximo, no pôr do sol, e seu valor
mı́nimo ao nascer do sol. No entanto, a magnitude dos ângulos horários do nascer
e do pôr do sol em um determinado dia são idênticos.
A declinação do sol d é o ângulo entre a linha que liga o centro do sol ao centro
da terra e a projeção dessa linha no plano equatorial. A figura 3.6 mostra como a
19
declinação do sol varia ao longo de um ano tı́pico. Em um determinado dia no ano,
a declinação varia um pouco de ano para ano.
A seguinte equação pode ser usada para determinar a declinação solar em graus:
284 + n
d = 23.45 sin 360
365
(3.3)
onde:
n - é o dia do ano. O valor de n para qualquer dia do mês D pode ser determinado
facilmente utilizando a tabela 3.1.
Figura 3.6: Variação da declinação solar d durante um ano tı́pico.
Tabela 3.1: Variação de n para um ano.
Mês
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
3.1.6
n para o dia do mês, D
D
31 + D
59 + D
90 + D
120 + D
151 + D
Mês
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
n para o dia do mês, D
181 + D
212 + D
243 + D
273 + D
304 + D
334 + D
Hora do Relógio e a Hora Solar
A radiação solar pode ser determinada tendo como base a hora solar. Esta hora
é avaliada a partir da meia-noite (zero hora), no meridiano de Greenwich, zero grau
de longitude, é conhecida como Hora Civil de Greenwich ou Hora Universal. Tal
hora é expressa na escala da hora de zero a 24 horas. A anotação para meia noite é
0 (zero) hora e para o meio dia, 12 horas. A hora civil local é avaliada a partir da
localização real da longitude do observador. Em um meridiano particular, a hora
civil local é mais adiantada no mesmo instante que em um meridiano mais a oeste
(à esquerda do meridiano particular) e tem valor menor que em qualquer meridiano
mais a leste (à direita). A diferença totaliza 1/15 da hora (4 minutos) para cada
grau de diferença na longitude.
A hora quando medida pelo movimento diurno aparente do Sol, é denominada
de Hora Solar Aparente, Hora Solar Local ou Hora Solar. A diferença entre a Hora
20
Solar Local (LST ) e a Hora Civil Local( LCT ) é denominada de Equação da Hora
E. Os fatores descritos acima podem ser incluı́dos na equação que relaciona Hora
Solar Local (LST), Hora Civil Local (LCT) e a equação da Hora E, de acordo com
a equação a seguir:
LST = CT + (1/15) (Lstd − Lloc ) + E − DT
(3.4)
onde:
LST = Hora Solar Local, h
CT = Hora do Relógio, h
Lstd = Meridiano padrão da determinação do fuso horário local (UTC) ,graus
Lloc = Meridiano da localização, graus
E = Equação da Hora, h
DT = Correção da hora, para o horário de verão (DT = 0, se não houver horário
de verão, caso contrário, DT será igual ao número de horas que o horário de verão
é adiantado, em relação ao valor do que seria a hora local).
Para utilização da equação 3.4, as horas são convertidas em horas decimais a
partir do zero até 24, isto é, a hora marcada no relógio como 15 h e 45 minutos
deve ser escrita como CT = 15,75 horas. Valores da Equação da Hora podem ser
determinados pela equação 3.5:
E = 0.165 sin 2B − 0.126 cos B − 0.025 sin B, h
(3.5)
onde:
e n é o dia do ano.
B = 360(n−81)
364
Após calcular a Hora Solar Local LST, o Ângulo da Hora Solar Local, h , pode
ser obtido. Lembrando que h varia à taxa de 15 graus por hora, e h=0 é o valor
para o meio-dia, e h < 0, antes do meio dia. O h, em graus pode ser obtido através
da equação abaixo:
h = 15(LST − 12)
(3.6)
onde:
A equação 3.6 determina o sinal correto de h , pois LST é expresso em horas de
0 a 24, sendo LST = 12 horas, ao meio-dia.
3.1.7
Ângulos Solares
Além dos três ângulos conhecidos, l, h e d, vários outros ângulos são utilizados
no estudo da radiação solar entre eles:
θH - Ângulo Zential Solar, vertical
21
β - Ângulo da Altitude Solar
φ - Ângulo de azimute
O β é o ângulo entre o raio do sol e a projeção deste raio sobre a superfı́cie
horizontal como mostra a figura 3.7, este ângulo está acima do horizonte e pode ser
mostrado por geometria analı́tica que a seguinte relação é verdadeira:
sin β = cos l cos h cos d + sin l sin d
(3.7)
O ângulo zenital solar é o ângulo entre os raios do sol e uma reta normal ao plano
ao plano horizontal como pode ser visto na figura 3.7, sendo claramente expresso
como:
β + θH = 900
(3.8)
A altitude máxima diária (meio dia solar) em um determinado local pode ser
demonstrado em graus, como:
βmeio−dia = 90 − |l − d|
(3.9)
Figura 3.7: Ângulos solares β, φ e θH .
O ângulo de azimute φ é o ângulo medido no plano horizontal no sentido horário
entre o norte e a projeção do raio solar no plano horizontal como mostra a figura 3.7,
novamente por geometria analı́tica:
cos φ =
sin d cos l − cos d sin l cos h
cos β
(3.10)
Note que, no cálculo de φ determinando o inverso de cosφ, é necessário verificar
em qual quadrante φ está inserido.
Para uma superfı́cie vertical ou inclinada o ângulo medido no plano horizontal,
22
entre a projeção do raio de sol no plano e a projeção horizontal da uma normal à
superfı́cie é chamado de azimute solar de superfı́cie, γ, como mosta a figura 3.8
Figura 3.8: Ângulo de azimute de superfı́cie solar γ , azimute de superfı́cie ψ , ângulo
de inclinação Σ, para uma superfı́cie de inclinação qualquer.
O ψ é o ângulo chamado de azimute de superfı́cie medido no sentido horário a
partir do norte então:
γ = |φ − ψ|
(3.11)
O ângulo de incidência θ, é o ângulo entre o raio solar e a normal à uma superfı́cie,
como mostra a figura 3.8. O ângulo de inclinação Σ é o ângulo entre a normal à
superfı́cie e a normal à superfı́cie horizontal. Um telhado plano tem um ângulo de
inclinação igual a zero, uma parede vertical tem um ângulo de inclinação de 90 ◦ ,
sendo assim:
cos θ = cos βcosγ sin Σ + sin β cos Σ
(3.12)
Para uma superfı́cie vertical:
cos θ = cos β cos γ
(3.13)
Para uma superfı́cie horizontal:
cos θ = sin β = cos θH
23
(3.14)
3.2
Estimativa da Intensidade da Radiação Solar
durante um dia Claro.
O fluxo solar normal direto monocromático na superfı́cie terrestre pode ser expresso em termo do coeficiente de redução monocromático K. Sendo assim:
dIDN (y) = −K(y)IDN (y)
dy
sin β
(3.15)
a equação para o fluxo solar direto sobre a superfı́cie terrestre é dada pela seguinte
equação:
(0)
IDN = IDN e−(1/sinβ)
Ry
0
K(y) dy
(3.16)
Para fazer uma prévia das contribuições solares na determinação da carga térmica
das edificações, é desejável estimar a intensidade solar em um dia tı́pico ou na média
dos dias claros com ausência de nuvens. Utilizando a equação 3.15: como referência,
o fluxo da radiação solar direta normal à superfı́cie da Terra, para a média dos dias
claros é expresso como:
IDN = Ae−B/ sin β
(3.17)
onde:
Os coeficientes A e B são determinados empiricamente de medidas de IDN realizados em dias claros.
A = radiação solar aparente;
B = coeficiente aparente de redução atmosférica.
Os valores numéricos de A e B variam ao longo do ano devido à variação da
distância entre o Sol e a Terra, e às variações sazonais na poeira e no vapor d’água
contidos na atmosfera. A ASHRAE relaciona os coeficientes A e B para cada dia 21
de cada mês. O uso da equação 3.17 com os coeficientes apresentados na tabela 3.2
e tabela 3.3 é referenciado como ”ASHRAE Clear Day Solar Flux Model.” Esse
modelo também aproxima a média do fluxo solar difuso, IdH , para dia claro, ao
atingir uma superfı́cie horizontal pela relação:
IdH = CIDN
(3.18)
Iqbal e Malcher[24], redefiniram as bases de cálculo de A, B e C levando em
consideração a constante solar como ISC igual a 1367 W/m2
Após a correção sugerida por Lunde [25], os valores de A, B e C para o Hemisfério
Sul estão descriminados na tabela 3.3
24
Tabela 3.2: Coeficientes da radiação solar para a média dos dias claros, (para o dia
21 de cada mês) - Hemifério Norte
Mês
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
I0 (W/m2 )
1409
1136
1377
1353
1334
1323
1324
1336
1357
1379
1400
1411
A (W/m2 )
1202
1187
1164
1130
1106
1092
1093
1107
1136
1166
1190
1204
B
0.141
0.142
0.149
0.164
0.177
0.185
0.186
0.182
0.165
0.152
0.144
0.141
C
0.103
0.104
0.109
0.120
0.130
0.137
0.138
0.134
0.121
0.111
0.106
0.103
Tabela 3.3: Coeficientes da radiação solar para a média dos dias claros, (para o dia
21 de cada mês) - Hemifério Sul
Mês
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
3.3
A (W/m2 )
1129
1136
1147
1152
1160
1164
1163
1157
1153
1144
1134
1129
B
0.186
0.182
0.165
0.152
0.144
0.141
0.141
0.1421
0.149
0.164
0.177
0.185
C
0.138
0.134
0.121
0.111
0.106
0.103
0.103
0.104
0.109
0.120
0.130
0.137
Radiação Solar Incidente sobre Superfı́cies
Opacas.
A radiação solar sobre superfı́cies consiste em três componentes: direta, difusa
e refletida. O fluxo da radiação solar direta incidente em uma superfı́cie pode ser
representado por ID . Se a superfı́cie é perpendicular aos raios solares, a incidência
do fluxo solar é igual ao fluxo solar direto normal, IDN . Ao atingir a superfı́cie com
um ângulo especı́fico de incidência θ, o fluxo solar direto ao atingir essa superfı́cie
pode ser determinado através de:
ID = IDN cosθ
(3.19)
No caso de uma superfı́cie horizontal, um subscrito, H pode ser usado. Assim,
o IDH é o fluxo solar direto na superfı́cie horizontal. Para a superfı́cie horizontal o
ângulo incidente é igual ao ângulo zenital θH , portanto o fluxo solar direto pode ser:
25
IDH = IDN cosθ = IDN cosβ
(3.20)
A radiação solar difusa é a radiação recebida do sol depois que sua direção foi
mudada pela dispersão na atmosfera. O fluxo da radiação solar difusa pode ser representado por, Id no caso geral e por IdH e IdV para casos especiais onde a superfı́cie
é horizontal ou vertical respectivamente. A radiação difusa é geralmente de curto
comprimento de onda, haja visto que a mesma é mais dispersa pela atmosfera. No
entanto, a radiação solar difusa nos dias claros é normalmente menor, se comparada
com a radiação direta. Nos dias nublados, somente a radiação solar difusa consegue
alcançar o nı́vel do solo. Por conta da dispersão, a radiação solar difusa apresenta
maior dificuldade em ser analisada do que a radiação solar direta.
Threlkeld et. al [26], mostra que o modelo ASHRAE para dias claros calcula o
fluxo solar difuso incidente em uma superfı́cie através do uso da uma curva de ajuste
de dados, pelo uso da aproximação de que o céu é uma fonte de radiação uniforme,
a taxa de radiação difusa do céu sobre uma superfı́cie vertical com uma superfı́cie
horizontal em dias claros leva às seguintes relações:
IdV
= 0.45
IdH
para cos θ ≤ −0.2
IdV
= 0.55 + 0.437 cos θ + 0.313 cos2 θ
IdH
para cos θ > −0.2
(3.21)
(3.22)
Onde o valor de IdH é obtido através da equação 3.18
Sendo ainda o Céu uma fonte de radiação difusa , a relação entre o fluxo solar
difuso vertical, sobre superfı́cie inclinada para o fluxo solar difuso, incidindo sobre
superfı́cie horizontal é dada por :
1 + cosΣ
Id
=
IdH
2
(3.23)
A equação 3.23 pode ser determinada, admitindo-se que a radiação difusa, originária de uma fonte celeste por unidade de tempo incidindo sobre uma superfı́cie, é
dada pelo produto do fluxo proveniente da fonte, a área da fonte e o fator de forma
do céu para a superfı́cie. A relação de reciprocidade para o fator de forma é também
aplicado, portanto recolocando o produto da área celeste, o fator de forma do céusuperfı́cie com o produto da área da superfı́cie e o fator de forma da superfı́ciecéu. A relação Id /IdH deve ser ajustada para a correspondente relação de fatores
de forma das respectivas superfı́cies para o céu. Para uma superfı́cie com ângulo de
inclinação Σ, o fator de forma é dado por (1 + cosΣ)/2, diante disso conclui-se que
para superfı́cie horizontal(Σ = 0), o fator de forma é a unidade.
26
A radiação solar refletida é a radiação que incide sobre uma superfı́cie depois
da ser refletida pelas superfı́cies vizinhas. Em geral, a radiação solar refletida sobre
uma superfı́cie depende da orientação do sol, da localização e das caracterı́sticas das
superfı́cies vizinhas. Se IR é o fluxo da radiação solar refletida sobre uma superfı́cie
de área A, para este caso especial, então :
AIR = ρg IH Ag FgA
(3.24)
onde:
Ag = área do piso;
FgA = fator de forma do piso para área A (ou seja, a fração da radiação que deixa
o piso incidindo sobre a área A);
ρg = reflexão solar do piso;
IH = fluxo total solar incidindo no piso.
E de forma recı́proca,
AFAg = Ag FgA
(3.25)
sendo FAg o fator de forma da superfı́cie de área A para o piso, resultando em:
IR = ρg IH FAg
(3.26)
para uma superfı́cie que reflete a radiação difusa com ângulo de inclinação de Σ, o
fator de forma entre superfı́cie e a horizontal é obtido por:
FAg =
1 − cosΣ
2
(3.27)
e
ρg IH (1 − cosΣ
(3.28)
2
A refletividade do piso varia com o tipo de revestimento. Por exemplo, a refletividade da grama é em torno de 0.2, enquanto que para um solo coberto com
terra é em torno de 0.1. A refletividade da neve varia de um valor de 0,87 e vai
diminuindo até aproximadamente 0.5, quando sua cor muda para cinza. Threlkeld
et. al [26], fornece um gráfico com uma curva mostrando a refletividade do piso com
várias revestimentos, em função do ângulo de incidência do Sol. A radiação solar
total sobre uma superfı́cie, em qualquer instante, é a soma de três componentes:
IR =
I = ID + Id + IR
27
(3.29)
3.3.1
Temperatura Sol-Ar.
A radiação solar absorvida por uma estrutura opaca em edificações é a principal
fonte de calor adicionada a uma superfı́cie em condições de projeto para o verão.
Deve-se adicionar a radiação solar absorvida, a troca de radiação infravermelha entre
as superfı́cies e o ganho ou perdas de calor por convecção para a obtenção do balanço
de energia. Isso pode ser realizado, estudando-se cada uma das formas de ganho
de calor separadamente. Entretanto, foi desenvolvido um método alternativo que
combina os três modos de transporte de energia para uma superfı́cie externa ou da
mesma para o exterior . Esse novo método utiliza o conceito de temperatura Sol-Ar.
Diante deste quadro fı́sico define-se a temperatura Sol-Ar como a temperatura
do termômetro de bulbo seco externa, fictı́cia, de tal forma que, mesmo em contato
com a superfı́cie à sombra de qualquer material que não transmita radiação solar
diretamente, causaria o mesmo fluxo de calor e a mesma distribuição de temperatura
através deste material, quando exposto às condições existentes de temperatura do
ar externo e da radiação solar incidente nesta superfı́cie.
Considerando-se uma superfı́cie externa de determinada edificação opaca à radiação solar e à radiação infravermelha, a superfı́cie absorverá uma parcela da radiação solar direta incidente ID , da radiação difusa Id e da radiação refletida IR . A
quantidade total de radiação será portanto:
qs = (ID + Id + IR )αs = IT αs
(3.30)
admitindo-se que a absortividade é idêntica para os três componentes. Essa superfı́cie também absorve calor por convecção do ar ambiente, em função da diferença de temperatura entre a superfı́cie (tw ) e a temperatura do bulbo seco do ar
(t0 ) Assim o calor devido à convecção é:
qc = ho,c (t0 − tw )
(3.31)
O calor devido à radiação infravermelha emitida pela superfı́cie é:
qIR,out = εw σTw4
(3.32)
A radiação absorvida pela superfı́cie proveniente das várias superfı́cies e do céu,
é determinada por:
qIR,in
n
X
=
(εi Fw,i σTi4 )
i=1
28
(3.33)
Então o fluxo lı́quido de energia é :
qnet = qS + qc + qIR,in − qIR,out = IT αS + ho,c (to − tw ) +
n
X
(εi Fw,i σTw4 ) − εw σTi4
i=1
(3.34)
Os valores das emissividades são iguais, εi = εw = ε. Esta consideração é
importante pois as superfı́cies metálicas, possuem 0.9 ≤ ε ≤ 0.95. A radiação
infravermelha lı́quida para a superfı́cie é:
qIR,net
n
X
= εσ[(
Fw,i Ti4 ) − Tw4 ]
(3.35)
i=1
A radiação infravermelha é linearizada quando as diferenças de temperatura são
pequenas. Isso elimina a necessidade das temperaturas absolutas na quarta potência,
e permite-nos introduzir o coeficiente de transferência de calor devido a radiação.
Assumindo que a temperatura de todas as superfı́cies vizinhas, exceto aquela em
questão, é a temperatura local de bulbo seco do ar,t0 , embora a temperatura do
céu seja menor que a temperatura do bulbo seco local e as superfı́cies da vizinhança
que recebem radiação solar tenham temperatura maior. Deve-se introduzir um fator
para correção dessa premissa.
A energia lı́quida recebida pela superfı́cie é então definida como:
qIR,net ∼
= IT αS + h0,c (t0 − tw ) + h0,R (t0 − tw ) − ε∆R
(3.36)
assim, h0,R , é a linearização do coeficiente de transmissão de calor radioativo,
infravermelho, ε∆R é o fator de correção. A soma dos coeficientes de calor,
h0,c + h0,R = h0 . Sendo assim:
qnet ∼
= IT αS + ho (t0 − tw ) − ε∆R
(3.37)
Da definição de temperatura Sol-Ar, te , pode-se escrever a equação para a transferência lı́quida de calor para a superfı́cie:
qnet = ho (te − tw )
(3.38)
e combinando as equações 3.37 e 3.38 temos:
te = t0 +
IT αS
ε∆R
−
ho
ho
Onde:
αS = absortividade da superfı́cie para radiação solar;
IT = radiação solar total incidente na superfı́cie, W/(m2 .K);
29
(3.39)
h0 = coeficiente de transferência de calor por radiação de ondas longas e convecção
na superfı́cie externa, W/(m2 .K);
t0 = temperatura externa do ar,◦ C;
tS = temperatura da superfı́cie,◦ C;
ε= emitância hemisférica da superfı́cie;
∆R = diferença entre a radiação incidente de ondas longas a partir da superfı́cie
do céu e adjacências, e a radiação emitida por um corpo negro à temperatura do ar
externo, W/m2 ;
Para superfı́cies horizontais que recebem radiações de ondas longas somente do
céu, ∆R = 63 W/m2 , de tal forma que para ε=1 e h0 = 17 W/(m2 .K), o termo de
correção para ondas longas será em torno de 4 ◦ C, conforme definido por Bliss [27].
Devido às superfı́cies verticais receberem radiações de longo comprimento de
onda do solo, do céu e de construções adjacentes, valores precisos de ∆R são difı́ceis
de serem determinados. Quando a intensidade da radiação solar tem valor elevado,
a superfı́cie de objetos na face da Terra, normalmente tem temperatura maior que
a temperatura do ar externo, portanto, a sua radiação de longo comprimento de
onda compensa alguma extensão para a baixa emitância do Céu. Entretanto, é
prática comum assumir ∆R = 0 para superfı́cies verticais. Um fator estimado de
correção para outros ângulos de inclinação baseados na geometria do fator de forma
de radiação é:
ε∆R
= 4◦ C cos Σ
h0
(3.40)
P
onde
é o angulo de inclinação da superfı́cie medido entre a superfı́cie normal e
vertical.
A taxa αs /ho no segundo termo da (Equação 3.39) é em função da cor da superfı́cie. Cores escuras tem absortância solar próxima de 0.9, e cores claras tem
valores próximos de 0.45. Esta taxa torna-se então: 0.052m2◦ C/W para cores escuras e 0.026m2◦ C/W para cores claras.
Threlkeld et. al [26] adota uma metodologia pra determinação da temperatura
Sol-Ar que será a mesma adotada neste trabalho, onde o valor de IT pode ser estimado conforme procedimento exposta na seção anterior e os valores de to pode ser
estimado a partir da tabela 3.4
30
Tabela 3.4: Percentual da variação da temperatura diária
Tempo (horas)
01
02
03
04
05
06
07
08
%
87
92
96
99
100
98
93
84
Tempo (horas)
9
10
11
12
13
14
15
16
%
71
56
39
23
11
3
0
3
Tempo (horas)
17
18
19
20
21
22
23
24
%
10
21
34
47
58
68
76
82
A ASHRAE, fornece em seu texto um conjunto de tabelas onde estão contidos
dados de projeto para várias cidade do mundo, informando a máxima temperatura
de bulbo seco Tmáxbs , a média da variação diária da temperatura de bulbo seco, Tvdbs
para o dia de projeto, sendo assim pode-se obter a o to da seguinte forma:
to = Tmáxbs − (Tvdbs P )
(3.41)
sendo P o percentual da variação diária relacionado na tabela 3.4.
A variação mostrada na tabela 3.4 pode ser repetido pra sucessivos ciclos de 24
horas. Qualquer dos valores pode ser matematicamente expresso em termos da série
de Fourier. Assim, se te = f (θ), onde θ é o número de horas medido a partir da
meia-noite solares, tem-se:
te = te,m + M1 cos ω1 θ + N1 ω1 θ + M2 cos ω2 θ + N2 ω2 θ + ...
(3.42)
onde os coeficientes te,m , Mn e Nn são dados por:
te,m
1
Mn =
12
Z
1
Nn =
12
Z
1
=
24
24
0
0
24
Z
0
24
23
1 X
te dθ ≈
te
24 θ=0
(3.43)
23
1 X
te cos ωn θdθ ≈
te cos ωn θ
12 θ=0
(3.44)
23
1 X
te cos ωn θ
te cos ωn θdθ ≈
12 θ=0
(3.45)
e ω1 = π/12rad/hr ou 15◦ /hr e ωn = nω1 . Alternativamente a (Equação 3.43)
pode ser escrita como:
te = te,m + te,1 cos(ω1 θ − ψ1 ) + te,2 cos(ω2 )θ − ψ2 )
(3.46)
onde:
tanψn =
31
Nn
Mn
(3.47)
O método descrito nesta seção pode ser utilizado para calcular a variação da
Temperatura Sol-Ar para dias claros para qualquer hora do dia do ano de qualquer
localidade.
32
3.4
Condução de Calor Unidimensional em regime transiente em paredes compostas por
múltiplas camadas.
A condução de calor através de uma camada unidimensional homogênea é regida
pela equação de Fourier, onde a variável x é a posição da parede, tendo como
inicio o lado esquerdo. A equação de difusão simplificada de calor em coordenadas
cartesianas é mostrada na equação 3.48.
∂ 2 T (x, t)
1 ∂T (x, t)
=
2
∂x
α ∂t
(3.48)
onde:
T - é a temperatura na posição x e no tempo t
k
α - difusividade térmica,
[m2 /s]
ρCp
Resolvida a Equação 3.48, será possı́vel a determinação do fluxo de calor através
da lei de Fourier.
∂T (x, t)
(3.49)
∂x
Em ambas as relações acima, k, ρ e Cp foram assumidos como sendo constantes.
q(x, t) = −k
Figura 3.9: Camada homogênea unidimensional
Uma abordagem comum para a solução das equações acima é usar a transformada
de Laplace, que é definida por qualquer função transformável f (t) como:
Z
L[f (t)] = F (s) =
0
33
∞
f (t)e−st dt
(3.50)
onde s é um número complexo. A utilização da transformada de Laplace transforma
a equação 3.48 em uma equação diferencial ordinária devido ao resultado.
∂f (t)
= sF (s) − f (t)|t=0
L
∂t
(3.51)
d2 T (x, x)
1
= sT (x, s)
2
dx
α
onde T (x, 0) = 0. A solução da transformada desta equação diferencial é:
T (x, s) = A cosh(x
p
s/α) + B sinh(x
p
s/α)
(3.52)
(3.53)
A transformada da equação 3.49:
dT (x, s)
(3.54)
dx
onde. Na diferenciação da equação 3.53 em relação a x e substituindo na equação
3.54, temos:
q(x, s) = −k
q(x, s) = −k
p
p
p
p
s/αA sinh( s/α) − k s/αB cosh(x s/α)
(3.55)
Se agora considerar apenas a temperatura e fluxo de calor nas superfı́cies da
camada (x = 0 e x = l onde l é a espessura da camada), com isso pode-se escrever
a partir das equações 3.53 e 3.55:
T1 (s) = A
q1 (s) = −kB
T2 (s) = A cosh(l
q2 (s) = −k
p
s/α
p
p
s/α) + B sinh(l s/α)
p
p
p
p
s/αA sin(l s/α) − k s/αB cosh(l s/α)
(3.56)
(3.57)
(3.58)
(3.59)
onde: T1 (s) = T (0, s), é a transformada da temperatura na superfı́cie 1
q1 (s) = q(0, s), é a transformada do fluxo na superfı́cie 1
T2 (s) e q2 (s) são transformadas correspondentes das temperatura e de fluxo
na superfı́cie 2.
Pode-se agora especificar quaisquer dos dois lados T1 (s), q1 (s), T2 (s) ou q2 (s)
como condições de contorno para completar a solução. Vamos assumir que temporariamente tanto T2 (s), q2 (s) são conhecidos. Prosseguindo com esta hipótese,
pode-se usar as Equações 3.58 e 3.59 para encontrar A e B em termos das proprie34
dades fı́sicas da camada e do parâmetro da transformada de Laplace, s:
p
T2 (s) − B sinh(l s/α)
p
A=
cosh(l s/α)
(3.60)
p
p
−q2 (s) − k s/αA sin(l s/α)
p
p
B=
k s/α cosh(l s/α)
(3.61)
Através de manipulações algébricas A e B são determinados:
!
p
sinh(l s/α)
p
q2 (s)
k s/α
p
A = cosh(l s/α) T2 (s) +
(3.62)
Substituindo A e B nas Equações 3.56 e 3.57 é determinada a solução necessária
em função de s, para T1 (s) e q1 (s):
p
T1 (s) = cosh(l s/α)T2 (s) +
1
p
k s/α
!
p
sinh(l s/α) q2 (s)
p
p
p
q1 (s) = k s/α sinh(l s/α) T2 (s) + cosh(l s/α)q2 (s)
(3.63)
(3.64)
Por uma questão de notação, agora serão definidas novas variáveis a seguir:
A(s) = cosh(l
p
s/α)
p
1
B(s) = p
sinh(l s/α)
k s/α
C(s) = k
p
p
s/α sinh(l s/α)
D(s) = cosh(l
p
s/α)
onde A(s) e B(s) não devem ser confundidos com A e B utilizados anteriormente.
Com estas novas variáveis, as Equações 3.63 e 3.64 tornam-se:
T1 (s) = A(s)T2 (s) + B(s)q2 (s)
(3.65)
q1 (s) = C(s)T2 (s) + D(s)q2 (s)
(3.66)
Note-se que estas duas equações podem ser resolvidas em função dos dois termos conhecidos que podem surgir a partir das condições de contorno do problema.
Por exemplo, se as transformadas das variações da temperatura com o tempo são
conhecidos para ambas as superfı́cies, em seguida, os fluxos são determinados como
35
segue:
C(s)B(s) D(sA(s))
D(s)
1
D(s)
T1 (s) +
−
=
−
, B(s) 6= 0
q1 (s) =
B(s)
B(s)
B(s)
B(s)T1 (s) B(s)T2 (s)
(3.67)
q2 (s) =
1
A(s)
T1 (s) −
T2 (s), B(s) 6= 0
B(s)
B(s)
(3.68)
Estendendo agora o tratamento unidimensional do fluxo de calor para incluir
múltiplas camadas. Nota-se que as equações 3.65 e 3.66 descrevem a transformada
do fluxo de calor e da temperatura sobre uma superfı́cie em termos da transformada
de fluxo de calor e da temperatura sobre a outra superfı́cie. Podendo assim reescrever
estas equações em forma matricial como:
"
T1 (s)
q1 (s)
#
"
=
A(s) B(s)
C(s) D(s)
#"
T2 (s)
q2 (s)
#
(3.69)
Supondo agora que uma parede de duas camadas como mostra a figura 3.10,
em que T1 (s) e q1 (s) são as transformadas de temperatura e de fluxo na superfı́cie
interior da parede e T2 (s) e q2 (s) referem-se a interface entre camadas 1 e 2. T3 (s) e
q3 (s) referem-se à superfı́cie exterior, na superfı́cie 3. Podemos tratar cada camada
individualmente e aplicar a equação 3.69 a cada uma. Notando que a superfı́cie 2
é ao mesmo tempo ”externa”de uma camada 1 e do ”interna”de camada 2, para a
camada 1, tem-se.
"
T1 (s)
q1 (s)
#
"
=
A1 (s) B1 (s)
C1 (s) D1 (s)
#"
A2 (s) B2 (s)
C2 (s) D2 (s)
#"
T2 (s)
q2 (s)
#
T3 (s)
q3 (s)
#
(3.70)
Para a camada 2, tem-se:
"
T2 (s)
q2 (s)
#
"
=
Onde:
A1 (s) = cosh(l1
B1 (s) =
p
s/α1 )
p
1
p
sinh(l1 s/α1 )
k1 s/α1
C1 (s) = k1
p
p
s/α1 sinh(l1 s/α1 )
D1 (s) = cosh(l1
36
p
s/α1 )
(3.71)
são todos dependentes das propriedades fı́sicas da camada 1 e de s.
A2 (s),B2 (s),C2 (s) e D2 (s) são igualmente definidos em função das propriedades da
camada 2.
Figura 3.10: Parede com duas camadas
Simplificando ao substituir o lado direito da Equação 3.70 e 3.71, obtém-se:
"
T1 (s)
q1 (s)
#
"
=
A1 (s) B1 (s)
C1 (s) D1 (s)
#"
A2 (s) B2 (s)
C2 (s) D2 (s)
#"
T3 (s)
q3 (s)
#
(3.72)
Estendendo a equação 3.72 para uma laje de n-camadas é agora evidente:
"
T1 (s)
q1 (s)
#
"
A1 (s) B1 (s)
C1 (s) D1 (s)
#"
A2 (s) B2 (s)
=
C2 (s) D2 (s)
"
#"
#
An (s) Bn (s)
Tn+1 (s)
Cn (s) Dn (s)
qn+1 (s)
#"
A3 (s) B3 (s)
C3 (s) D3 (s)
#
···
(3.73)
Esta equação fundamental permite que os cálculos da ”matriz de transmissão”,
definida como:
"
A(s) B(s)
C(s) D(s)
#
"
#"
#
A2 (s) B2 (s)
A3 (s) B3 (s)
=
···
C2 (s) D2 (s)
C3 (s) D3 (s)
"
#"
#
An−1 (s) Bn−1 (s)
An (s) Bn (s)
(3.74)
Cn−1 (s) Dn−1 (s)
Cn (s) Dn (s)
A1 (s) B1 (s)
C1 (s) D1 (s)
#"
Com A(s),B(s),C(s) e D(s) agora redefinidos como elementos da matriz de transmissão acima, o problema de paredes com várias camadas tem a mesma forma que
37
a de uma parede com uma única camada. As equações 3.65, 3.66, 3.67 e 3.68, por
exemplo, podem ser escritas para uma parede de várias camadas, como:
"
T1 (s)
q1 (s)
#
q1 (s)
qn+1 (s)
#
"
=
A(s) B(s)
C(s) D(s)
#"
Tn+1 (s)
qn+1 (s)
#

"

D(s)
1
"
#
 B(s) − B(s) 
T
(s)
1

=
 1
A(s)  Tn+1 (s)
−
B(s)
B(s)
(3.75)
(3.76)
Por isso vamos considerar primeiro uma parede com uma camada e em seguida,
estender estes resultados para paredes com várias camadas. Porém antes de seguir
com um exemplo, é interessante observar algumas das propriedades da matriz de
transmissão para uma parede de uma camada apenas.
"
A1 (s) B1 (s)
C1 (s) D1 (s)
#

p
p
1
p
cosh( s/α1 )
sinh( s/α1 )
 (3.77)
k1 s/α1 p
= p
p
k1 s/α1 sinh( s/α1 )
cosh( s/α1 )

É possı́vel escrever esta matriz em termos de resistência térmica, R1 , e da capacitância térmica por unidade de área, C1 (não deve ser confundido com C1 (s) )como
é demonstrado a seguir.
R1 =
ln
l1
generalizando, Rn =
k1
kn
C1 = l1 ρ1 Cp1 generalizando, Cn = ln ρn Cpn
Fazendo, Rn Cpn =
2
ln
,
αn
(3.78)
(3.79)
a matriz de transmissão torna-se:

√
R1
√
sinh( sR1 C1 ) 

A1 (s) B1 (s)
k1 sR1 C1

√
=

 k1 sR1 C1
√
√
C1 (s) D1 (s)
cosh( sR1 C1 )
sinh( sR1 C1 )
R1
(3.80)
√
2
O determinante desta matriz de transmissão é cosh ( sR1 C1 ) −
√
sinh2 ( sR1 C1 ) = 1. A matriz de transmissão da parede com várias camadas,
por conseguinte, também tem determinante igual a 1, além disso, quando a capa√
√
√
1 C1
citância do material tende a zero, cosh( sR1 C1 ) = 1 e sR
sinh( sR1 C1 ) = 0.
R1
√
√ R1
sinh(
sR1 C1 ) = 0 pode ser expandido para determinar o limite de C1 → 0.
sR1 C1

"
#
√
cosh( sR1 C1 )
38
R
√ 1
sR1 C1
como C1 → 0,
temos:
p
sinh( sR1 C1 ) =
√
√
p
R1
( sR1 C1 )3 ( sR1 C1 )5
√
+
+ ···
(3.81)
sR1 C1 +
3!
3!
sR1 C1
√ R1
sR1 C1
√
sinh( sR1 C1 ) = R1 assim para uma parede de peso leve
"
A1 (s) B1 (s)
C1 (s) D1 (s)
#
"
=
1 R1
0 1
#
(3.82)
Com isso as camadas de ar ou outros materiais leves podem ser incluı́dos no
cálculo da matriz de transmissão de múltiplas camadas.
3.5
Tratamento das Condições de Contorno
Consideremos o caso de uma camada simples exposta de um lado a uma “rampa”
de temperatura, enquanto a temperatura do outro lado é mantida fixa. Este caso
é de interesse prático, porque a variação da temperatura arbitrária em uma superfı́cie pode ser aproximada por uma série como rampa com inclinações positivas
e negativas.
As figuras 3.11 e 3.12 mostram como três rampas podem ser usadas para formar um pulso triangular, e como a superfı́cie dos pulsos triangulares formam uma
aproximação trapezoidal para uma temperatura superficial arbitrária.
Figura 3.11: Pulso triangular com a soma de três rampas.
39
Figura 3.12: Superposição de pulsos triangulares, como aproximação da função continua.
A transformada de Laplace de uma rampa de inclinação unitária é 1/s2 , então
se esta condição de contorno é aplicada no lado 2 de uma camada simples, enquanto
a temperatura no outro lado é mantida igual a zero, a equação 3.76 torna-se:

"
q1 (s)
q2 (s)
#



1
D(s)
−
0
 B(s)
B(s) 
 1 
=
 1
A(s) 
−
s2
B(s)
B(s)
(3.83)
Se tivermos interesse em determinar o fluxo na superfı́cie 1, por conta da condição
de contorno aplicada, tem-se:
√
1
1
sR1 C1
1
√
q1 (s) = 2
= 2
s B1 (s)
s R1 sinh( sR1 C1 )
(3.84)
Para trazer o fluxo para o regime do tempo aplica-se a transformada inversa
de Laplace. Portanto, para determinar o valor de q1 (t) na equação 3.84, deve-se
determinar o inverso da transformada:
−1
L [q1 (s)] = q1 (t) = L
−1
√
1
sR1 C1
√
− 2
s R1 sinh( sR1 C1 )
(3.85)
Aplicando-se a fórmula geral para se encontrar o inverso da transformada de
√
Laplace, onde j = −1, é um número real muito grande. Da teoria das variáveis
complexas, a integral acima é igual à soma dos resı́duos nos polos de q1 (s)est , sendo
assim,tem-se
1
q1 (t) =
2πj
Z
a+j∞
q1 (s)est ds =
X
resı́duos de
q1 (s)est
(3.86)
a−j∞
Polos são pontos onde s assume um valor que torna q1 (s)est indefinidos e em
40
qualquer tempo, o denominador da expressão do lado direito da Equação 3.84 é zero.
√
Portanto, os polos existem em s = 0 (polo de segunda ordem) e em sR1 C1 = nπj
ou s = −n2 π 2 /R1 C1 (polo de primeira ordem), sendo n = 1, 2, 3, · · · .
O polo de segunda ordem em zero deve-se ao termo 1/s2 , condições de contorno,
√
em que sinh(
√ sR1 C1 ) não representa um polo em zero, conforme o termo a seguir
sR1 C1
√
= 1. Todos os outros polos localizam-se no eixo real negativo
lims→0
sinh( sR1 C1 )
no plano s.
O resı́duo em s = 0, polo de segunda ordem, é obtido utilizando a equação
seguinte:
n−1
1
d
n
st
(s − s0 ) F (s)e
(n − 1)! dsn−1
s=s0
(3.87)
Para determinar o valor de r0 , deve-se fazer o limite da equação 3.87, quando
s → 0, logo tem-se:
d
r0 = lim
s→0 ds
√
− sR1 C1 est
1 R1 C1
√
−t
=
R1
6
R1 sinh( sR1 C1 )
(3.88)
O resı́duo para s = −n2 π 2 /R1 C1 é calculado como segue:
n2 π 2
√
−t R
1 C1
2C
e
− sR1 C1 est
1
√
=
rn =
√
d n2 π 2 cosh( −n2 π 2 )
R1 s2 sinh( sR1 C1 ) −n2 π 2
ds
s=
R1 C1
(3.89)
sabendo-se que:
√
cosh( −n2 π 2 ) = cos(jnπ) = (−1)n logo:
−t n
2 π2
2(−1)n C1 e R1 C1
rn =
(3.90)
n2 π 2
somando os resı́duos, r0 e rn tem-se o fluxo de calor na superfı́cie 1 da parede
n2 π 2
∞
−t
X
C1
t
(−1)n C1 e R1 C1
q1 (t) =
−
+2
6
R1
n2 π 2
n=1
(3.91)
q1 (t) é o fluxo de calor na superfı́cie 1 em função do tempo, devido à rampa de
temperatura aumentar uma unidade de inclinação, aplicada à superfı́cie 2 no tempo
zero, enquanto que fica mantida a temperatura na face 1 em zero.
Então, o fluxo de calor condutivo devido ao pulso triangular, mostrado na figura
3.12 no tempo δ é dado da seguinte forma:
41

q1 (δ) =
n2 π 2
∞
−δ
X
(−1)n C1 e R1 C1
T  C1
δ
−
+2
δ 6
R1
n=1

(3.92)

n2 π 2
Onde t é substituı́do por δ na equação 3.91, também é indicado a unidade de
rampa de inclinação T /δ. Em t = 2δ, tanto a rampa 1 quanto a rampa 2, na figura
3.12, contribuem para o fluxo como mostra as equações a seguir:

q1 (2δ)|rampa 1 =
∞
X
∞
X
n
2 π2
1 C1
n
−2 R
2δ
(−1) C1 e
T  C1
−
+2
δ 6
R1
n2 π 2
n=1

q1 (2δ)|rampa 2 =
n

2 π2
1 C1
n
−(2δ−δ) R
2T  C1 2δ − δ
(−1) C1 e
−
+2
δ
6
R1
n2 π 2
n=1

(3.93)


(3.94)
O princı́pio de superposições permite adicionar estas duas equações e obter uma
terceira equação como mostra a seguir

n2 π 2
n2 π 2
−δ R
−2δ
R1 C 1
1 C1 − e
∞ (−1) C1 2e
X

C
T 
1

+
2
q1 (2δ) = 

2π2
δ  6
n
n=1

n
(3.95)
Aplicando o mesmo procedimento acima para t = 3δ e inclinação de T /δ, tem-se:

n2 π 2
n2 π 2
n2 π 2
−3δ R
−2δ R
−δ R
C
C
C
1 1 − 2e
1 1 + e
1 1
∞ (−1) C1 2e
X

T 

2
q1 (3δ) = 


2
2
δ
n
π
n=1

n
(3.96)
Para qualquer incremento de tempo, em mδ, onde m ≥ 3.
" ∞
#
X (−1)n C1 e−mδβn − 2e−(m−1)δβn + e−(m−2)δβn
T
q1 (mδ) =
2
δ
n2 π 2
n=1
(3.97)
n2 π 2
R1 C1
O cálculo do fluxo de calor por condução na superfı́cie 1, devido a uma variação
de temperatura na superfı́cie 1, enquanto a superfı́cie 2 é mantida à temperatura
constante, a seguir é adotado o mesmo procedimento de aproximação da temperatura
como uma série de rampas, a partir da Equação 3.77, tem-se:
onde: βn =
42



−1
D(s)
1
 B(s) B(s) 
q1 (s)
 2 
=
 1
−A(s)  s
q2 (s)
0
B(s) B(s)
√
√
1 (cos( sR1 C1 )) sR1 C1
1 D1 (s)
√
= 2
q1 (s) = 2
s B1 (s)
s
R1 sinh( sR1 C1 )

"
#
(3.98)
(3.99)
n2 π 2
.
R 1 C1
Ao aplicar a transformada inversa de Laplace e o teorema dos resı́duos, tem-se:
Os polos dessa função são novamente s = 0 em s =
d
r0 = lim
s→0 ds
√
√
(cos( sR1 C1 )) sR1 C1 est
1 R1 C1
√
=
+t
R1
3
R1 sinh( sR1 C1 )
2 2
√
√
−t n π
(cos( sR1 C1 )) sR1 C1 est 2C1 e R1 C1
rn =
=
√
d n2 π 2
2
2
R1 sinh( sR1 C1 ) −n π
ds
s=
R1 C1
(3.100)
(3.101)
Adotando o procedimento anterior das somas dos resı́duos tem a equação do fluxo
de calor na superfı́cie 1, no tempo t , devido ao aumento da rampa da temperatura
de uma inclinação unitária na superfı́cie 1 no tempo zero, enquanto mantêm-se a
superfı́cie 2 com temperatura igual a zero.
n2 π 2
∞
−t
X
C1 e R1 C1
t
C1
−2
+
q1 (t) =
3
R1
n2 π 2
n=1
(3.102)
O fluxo devido ao pulso triangular aplicado à superfı́cie 1, é obtido da mesma
maneira adotada anteriormente com a Equação 3.91.

q1 (δ) = −
n2 π 2
∞
−δ
X
C1 e R1 C1
T  C1
δ
+
−2
δ 3
R1
n=1
n2 π 2



n2 π 2
n2 π 2
−2δ R
−δ
R1 C 1
1 C1 − 2e
∞ C1 e
X

T 
C
1

q1 (2δ) = − 
+
2

2π2
δ  3
n
n=1
(3.103)

" ∞
#
X C1 e−mδβn − 2e−(m−1)δβn + e−(m−2)δβn
T
q1 (mδ) = −
2
δ
n2 π 2
n=1
n2 π 2
Para m ≥ 3 e βn =
.
R1 C1
43
(3.104)
(3.105)
3.6
Fatores de Resposta
Ao simplificar as equações 3.103, 3.104 e 3.105 pela definição das seguintes
variáveis, as quais em algumas literaturas aparecem como X0 , X1 , X2 , · · · , têm-se:
Xm
"
#
∞
X
1 C1
δ
C1 e−δβn
X1 = −
+
−2
δ 3
R1
n2 π 2
n=1
(3.106)
"
#
∞
X
C1 e−δβn − 2e−δβn
1 C1
X2 = −
+2
δ 3
n2 π 2
n=1
(3.107)
" ∞
#
X C1 e−mδβn − 2e−(m−1)δβn + e−(m−2)δβn
1
= − 2
δ
n2 π 2
n=1
" ∞
#
X C1 e−mδβn (1 − eδβn )2
1
= − 2
, m = 3, 4, 5, · · ·
δ
n2 π 2
n=1
(3.108)
e simplificando as equações 3.92, 3.95 e 3.97, de forma análoga a X tem-se Y0 , Y1 , Ym
tem-se:
#
"
∞
X
1 C1
δ
(−1)n C1 e−δβn
Y1 = −
−
+2
δ 6
R1
n2 π 2
n=1
(3.109)
"
#
∞
X
(−1)n C1 2e−δβn − e−2δβn
1 C1
Y2 =
+2
δ 6
n2 π 2
n=1
(3.110)
#
∞
n
−mδβn
−(m−1)δβn
−(m−2)δβn
X
(−1)
C
e
−
2e
+
e
1
1
= − 2
δ
n2 π 2
" n=1
#
∞
n
−mδβn
δβn 2
X
(−1) C1 (e
(1 − e ) )
1
, m = 3, 4, 5, · · · (3.111)
= − 2
2
2
δ
nπ
n=1
"
Ym
Nota-se que foram trocados os sinais na definição de Y1 e Y2 , em relação aos Xs0 .
Aplicando os princı́pios da superposição para encontrar o fluxo de calor por
condução na superfı́cie 1, devido aos efeito combinado de um pulso triangular de
altura T1 aplicado na superfı́cie interna (superfı́cie 1), um pulso triangular de altura
To aplicado na superfı́cie externa( superfı́cie 2), onde ambos os pulsos começam no
tempo zero ( seus máximos são em t = δ).
q1 (δ) = Ti X1 − To Y1
44
(3.112)
q1 (2δ) = Ti X2 − To Y2
(3.113)
q1 (mδ) = Ti Xm − To Ym , m = 3, 4, 5, · · ·
(3.114)
Lembrando-se que q1 é o fluxo na direção positiva, as equações acima definem o
fluxo, deixando a superfı́cie 1 devido a condução. Apenas trocando-se o ponto de
referência, pode-se escrever uma equação para o fluxo, deixando a superfı́cie 1 em
termos de pulsos de temperatura superficiais do presente e do passado. Suponha que
se esteja localizado em um determinado ponto coincidente com o vértice dos pulsos
triangulares de temperatura interna e externa de altura Ti,t e To,t , respectivamente.
Parte do fluxo deixando a superfı́cie 1 é devido a parte ascendente das rampas com
Ti,t
inclinação
. Esta contribuição é:
δ
q1 (t) = Ti,t X1 − To,t Y1
(3.115)
Uma outra contribuição é devido a duas das três rampas que compõem o pulso
central no tempo t − 1 ( tempo é em unidade de δ). Essa contribuição é:
q1 (t)t−1 = Ti,t−1 X2 − To,t−1 Y2
(3.116)
Igualmente, todas as três rampas de pulso com centro em t − 2 contribuem para
o fluxo em t, como fazem as rampas quem compõem os pulsos em t − 3, t − 4, t − 5,
e assim sucessivamente. A soma de todas essas contribuições dão o fluxo deixando
a superfı́cie 1:
qi,t = qi (t) =
∞
X
Ti,t−m+1 Xm −
∞
X
To,t−m+1 Ym
(3.117)
m=1
m=1
As séries Xs e Ys acima formam duas partes de um conjunto de três séries
conhecidas como fatores de resposta, X,Y e Z. No entanto foram, até este momento
demostrado só fatores de resposta, X e Y , para parede de camada simples. Estes
mesmo fatores são igualmente definidos para paredes com múltiplas camadas a partir
da equação abaixo.

"
q1 (s)
qn+1 (s)
#

D(s)
1
"
#
 B(s) − B(s) 
T
(s)
1

=
 1
A(s)  Tn+1 (s)
−
B(s)
B(s)
(3.118)
As series X dos fatores de resposta são definidas como o inverso da transformada
de Laplace de quantidade D(s)/B(s) vezes a transformada de Laplace de um pulso
triangular de altura unitária.
45
Figura 3.13: Pulsos Triangulares sobrepostos para formar a aproximação de duas
funções de temperatura.
Já foi mostrado que esse pulso é constituı́do de três rampas, o que conduz a
forma tripla para a obtenção da inversa da transformada.
A transformada de Laplace de um pulso triangular de uma unidade de altura e
base 2δ definida como P (s) é:
P (s) =
P (s) =
1
δs2
0≤t≤δ
(1 − 2e−sδ + e−sδ )1
δs 2
P (s) =
(1 − 2e−sδ + e−2sδ )1
δs2
0 ≤ t ≤ 2δ
t ≥ 2δ
Assim sendo, um conjunto de fatores de resposta X será definido como:
Xm = L
−1
D(s)
P (s)
B(s)
(3.119)
t=mδ,m=1,2,3,···
Esta série é algumas vezes referenciada como um conjunto de fatores internos
de resposta, desde que represente o fluxo de resposta da superfı́cie interna devido a
variações na temperatura desta mesma superfı́cie.
Assim sendo, um conjunto de fatores de resposta Y será definido como:
Ym = L
−1
1
P (s)
B(s)
(3.120)
t=mδ,m=1,2,3,···
Essa série é algumas vezes referenciada como um conjunto de fatores de resposta cruzados, desde que isto caracterize tanto o fluxo de resposta da superfı́cie
interna para a variação de temperatura externa, e o fluxo de resposta da variação
46
da temperatura da superfı́cie externa para a variação da temperatura da superfı́cie
interna.
Finalmente, a série Z dos fatores de resposta é definida como:
−1
Zm = L
A(s)
P (s)
B(s)
(3.121)
t=mδ,m=1,2,3,···
Essa série é algumas vezes referenciada como um conjunto de fatores de resposta
externos, desde que represente o fluxo de resposta da superfı́cie externa devido a
variações da temperatura da face externa. Para uma placa de camada simples ou
uma camada múltipla simétrica, e, portanto, Zm = Xm. Em todos os outros casos,
eles são diferentes.
Com essa série de fatores de resposta Z definida, pode-se desenvolver uma
equação qi+1 (t), o fluxo externo, exatamente da mesma forma que foi feito para
a equação 3.117. Resultado final:
qo,t = qi+1 (t) =
∞
X
Ti,t−m+1 Ym −
m=1
∞
X
To,t−m+1 Zm
(3.122)
m=1
É positivo o fluxo na direção x da superfı́cie externa. É o fluxo condutivo para
dentro da superfı́cie externa.
Nota-se agora a complexidade envolvida para se encontrar o fator de resposta
para uma parede com múltiplas camadas. As equações 3.119, 3.120 e 3.121 possuem
uma forma enganosamente simples. Entretanto, para paredes de múltiplas camadas
cada termo A(s), B(s), C(s) e D(s) representa complicadas somas e produtos de
funções hiperbólicas de s e das propriedades para cada camada. Particularmente,
pode-se mostrar os polos das várias expressões das transformadas de Laplace para
encontrar o seu inverso. Desde que B(s) seja o denominador de cada expressão do
fator de resposta, precisa-se determinar as raı́zes de B(s), fazendo com que seja
B(s) = 0, para encontrar os referidos polos. O problema é complicado mesmo para
duas camadas para o qual:
p
p
R2
cosh( sR1 C1 ) sinh( sR2 C2 )
densR2 C2
p
p
R1
+√
cosh( sR2 C2 ) sinh( sR1 C1 )
sR1 C1
B(s) = √
(3.123)
É necessário usar técnicas numéricas para encontrar as raı́zes de B(s). Todas
essas técnicas, entretanto, requerem que sejam tentados vários valores de s na expressão apropriada de B(s) = 0. Cada vez que se trocar o valor de s precisa-se
fazer a multiplicação da matriz necessária para calcular cada elemento da matriz
47
de transmissão m, equação 3.73. Além disso, teoricamente, um número infinito de
raı́zes precisa ser encontrado. Como maneira prática, pode-se necessitar encontrar
20 ou mais raı́zes, dependendo das propriedades das camadas da parede. Após a
determinação das raı́zes, encontra-se as derivadas de B(s) em relação a s, avaliado
em cada uma das raı́zes.
Para paredes com múltiplas camadas, precisa-se analisar a série de matrizes
para cada raiz, de modo a se determinar as derivadas de A(s),B(s),C(s) e D(s).
Finalmente, para cada fator de resposta m-ésimo, necessita-se determinar a soma
da série exponencial mostrada no lado direito das equações 3.106 até 3.111. Pelo
menos teoricamente, há um número infinito de fatores de resposta X, Y e Z. Na
prática, 20 ou mais fatores de resposta podem ser necessários para se calcular, com
precisão, o fluxo de calor através das paredes.
Concluindo a determinação dos fatores de resposta a fórmula geral para o cálculo
de cada termo para paredes de múltiplas camadas, será a descrita abaixo:
Primeiro, seja −βn a enésima raiz de B(s) = 0.
Os fatores de resposta das séries X serão:
D0 (s)
D(sB 0 (s))
D(s)
+
−
X1 =
B(s) δB(s)
δ(B(s))2
D0 (s)
D(sB 0 (s))
X2 =
−
δB(s)
δ(B(s))2
∞
X
e−δβn D(s) +
2 B 0 (s) δβ
n
s=0
n=1
(3.124)
s=−βn
∞
X
e−2δβn (1 − eδβn )D(s) +
δβn2 B 0 (s)
s=0
n=1
∞
X
D(s)e−mδβn (1 − eδβn )2 Xm =
δβn2 B 0 (s)
n=1
(3.125)
s=−βn
(3.126)
s=−βn
d[B(s)]
d[D(s)]
Onde: B 0 (s) =
e D0 (s) =
ds
ds
Os fatores de resposta das séries Y serão:
1
1
B 0 (s)
Y1 =
+
−
B(s) δB(s) δ(B(s))2
1
B 0 (s)
Y2 =
−
δB(s) δ(B(s))2
∞
X
e−δβn D(s) +
2 B 0 (s) δβ
n
s=0
n=1
(3.127)
s=−βn
∞
X
e−2δβn (1 − 2eδβn )D(s) +
δβn2 B 0 (s)
s=0
n=1
48
(3.128)
s=−βn
∞
δβ 2 −mδβn
X
(1 − e ) e
Ym =
2
δβn B 0 (s)
n=1
(3.129)
s=−βn
Os fatores de resposta das séries Z serão:
A0 (s)
A(s)B 0 (s)
A(s)
+
−
Z1 =
B(s) δB(s)
δ(B(s))2
A(s)B 0 (s)
A0 (s)
−
Z2 =
δB(s)
δ(B(s))2
∞
X
e−δβn A(s) +
δβn2 B 0 (s) s=0
n=1
(3.130)
s=−βn
∞
X
e−2δβn (1 − 2eδβn )A(s) +
2 B 0 (s)
δβ
n
s=0
n=1
∞
X
A(s)e−mδβn (1 − eδβn )2 Zm =
δβn2 B 0 (s)
n=1
(3.131)
s=−βn
(3.132)
s=−βn
sendo:
d[A(s)]
A0 (s) =
ds
As derivadas A0 (s), B 0 (s), C(s) e D0 (s) são encontradas pela aplicação da regra
em cadeia, que resulta:
d
ds
"
A(s) B(s)
C(s) D(s)
#

"
#
dA(s) dB(s)
0
0
A
(s)
B
(s)

ds  =
=  ds
dC(s) dD(s) 
C 0 (s) D0 (s)
ds # "
#
" ds
0
0
A2 (s) B2 (s)
A1 (s) B1 (s)
···
=
C2 (s) D2 (s)
C10 (s) D10 (s)
"
#
An (s) Bn (s)
Cn (s) Dn (s)
"
#"
#
A1 (s) B1 (s)
A02 (s) B20 (s)
+
···
C1 (s) D1 (s)
C20 (s) D20 (s)
"
#
An (s) Bn (s)
Cn (s) Dn (s)
"
#"
#
A1 (s) B1 (s)
A2 (s) B2 (s)
+
···
C1 (s) D1 (s)
C2 (s) D2 (s)
"
#
A0n (s) Bn0 (s)
(3.133)
Cn0 (s) Dn0 (s)

Finalmente, observam-se duas propriedades dos fatores de resposta que são im-
49
portantes no cálculo e na utilização.
Primeiro, a soma de cada uma das séries X, Y ou Z, é igual ao valor de U da
composição da parede, ou seja:
U=
1
[R1 + R2 + R3 + · · · + Rn ]
O caso determinante do regime estacionário requer que essas somas sejam o
valor de U , conforme mostrado pelas equações 3.117 e 3.122. Na Equação 3.117, por
exemplo, se Ti e T0 são constantes com o tempo, então:
qo,t = Tim=1
∞
X
Ym − Tom=1
∞
X
Zm = (Ti − To )U
(3.134)
m=1
m=1
Portanto:
∞
X
Ym =
m=1
∞
X
Zm = U
(3.135)
m=1
Da mesma forma da equação 3.117:
∞
X
Xm = U
(3.136)
m=1
Assim, é necessário proceder essas verificações no cálculo dos fatores de resposta
equações 3.134 até 3.142. A segunda propriedade muito útil dos fatores de resposta,
é tal que os termos posteriores ou futuros, em cada série, constituam-se exclusivamente de funções exponenciais veja Equações 3.126, 3.129 e 3.132. Além disso, cada
um destes termos é de pequena importância, pois as raı́zes de B(s) = 0 são sequencialmente mais negativas. Assim, podem-se definir as funções de transferência por
condução.
3.6.1
Fatores de Resposta de Ordem Superior.
Hittle[11] observou que para estruturas opacas compostas cuja propriedades levam a matrizes de camadas numericamente complexas, por conta da proximidade
dos polos, exigia um número muito grande de fatores de resposta para o cálculo do
fluxo de calor.
Diante disso, Hittle propõe modificações nestes fatores de resposta para que estes
possam assumir um novo conjunto de fatores X(i), Y (i) e Z(i) de tal forma que o
fluxo de calor obtido seja igual numericamente, sendo que utilizando um número
menor de fatores.
Desta forma, os fatores de resposta de primeira ordem foram obtidos
(X1,m , Y1,m e Z1,m ), e de forma semelhante estes fatores também poderiam ser mo50
dificados para obtenção dos fatores de segunda ordem, esse conceito foi generalizado
fara fatores de n-ésima ordem, de tal forma que:
X1,0 = X0
X1,m = Xm − λ1 Xm−1
(3.137)
para m ≥ 1
(3.138)
Analogamente, os fatores (Y1,0 e Y1,m ) e (Z1,0 e Z1,m ) sendo definidos e generalizados, os fatores de ordem n são obtidos por:
Xn,0 = X0
Xn,m = Xn−1,m − λn Xn−1,m−1
(3.139)
para m ≥ 1
λn = eSn ∗δt
(3.140)
(3.141)
A verificação da soma dos
m-enésimos fatores de ordem n já não pode ser validado
1
pelo coeficiente U = P Ri , ao contrário disso pode-se verificar a soma destes
fatores de ordem superior continuam constante, porém passam a valer:
∞
X
m=0
Xn,m =
∞
X
m=0
Yn,m =
∞
X
m=0
51
Zn,m = U ∗
∞
Y
(1 − λm )
m=0
(3.142)
3.7
Implementação do Método de Hittle.
A metodologia de obtenção dos fatores de resposta bem como dos fluxos de
calor desenvolvido por Hittle [11], envolveu uma programação em FORTRAN com
o objetivo de automatizar o cálculo dos fatores de resposta a partir das propriedades
térmicas dos materiais constituintes das paredes compostas por múltiplas camadas,
o programa gera os fatores de resposta utilizando o Método de Hittle.A seguir o
fluxograma do programa resultando da implementação do método.
Figura 3.14: Fluxograma da implementação no FORTRAN do Método de Hittle.
A finalidade deste tópico é averiguar a confiabilidade da implementação do
método de Hittle no FORTRAN, é realizado apenas a comparação dos fatores de resposta obtidos com o programa PRF/RTF Generator [13], pois a sua confiabilidade
já foi comprovada anteriormente. Uma das maneiras de verificar a confiabilidade
é se o somatório de cada fator de resposta forem iguais, como ilustra a expressão
abaixo.
52
∞
X
Xm =
m=1
∞
X
Ym =
m=1
∞
X
Zm
(3.143)
m=1
Tabela 3.5: Propriedade das camadas da parede composta
Camada
01
02
03
k(W/mK)
1.15
0.90
1.15
ρ(kg/m3)
2000
1600
2000
Cp (J/kgK)
1000
920
1000
L(m)
0.0250
0.15
0.0250
A seguir a comparação entre os fatores de resposta obtidos com o método de
hittle implementado em FORTRAN e o PRF/RTF Generator
Tabela 3.6: Fatores de resposta obtidos pelo programa PRF/RTF Generator
Fatores
1
2
3
4
5
6
7
8
P
X - Interno (W/m2 )
10.9183979
-18.11672783
8.433344841
-1.023322344
0.020542724
-5.81341E-05
1.97267E-08
-4.52484E-13
0.232177181
Y - Através (W/m2 )
0.001719306
0.061981883
0.129656434
0.037367892
0.001446066
5.0779E-06
9.48544E-10
5.89263E-15
0.232176659
Z - Externo (W/m2 )
6.544345379
-10.08847141
4.202690125
-0.433281094
0.006909766
-1.56075E-05
5.07327E-09
-1.1655E-13
0.23217716
Tabela 3.7: Fatores de resposta obtidos pelo método de hittle implementado no
FORTRAN
Fatores
1
2
3
4
5
6
7
8
P
X - Interno (W/m2 )
1.6018357E+01
-3.0808354E+01
1.8851868E+01
-4.0614751E+00
2.3921002E-01
-1.3996195E-03
1.7753687E-07
-1.3195923E-13
0.238206478
Y - Através (W/m2 )
-3.6899424E+00
9.2491583E+00
-7.3180541E+004
2.1411937E+00
-1.4504201E-01
8.9326608E-04
-1.1362359E-07
8.4966410E-14
0.238206642
Z - Externo (W/m2 )
9.6249127E+00
-1.7718338E+01
1.0433288E+01
-2.2367711E+00
1.3592261E-01
-8.0792887E-04
1.0294546E-07
-7.6710105E-14
0.238206384
Os resultados mostraram concordância entres os dois programas principalmente
quanto aos somatórios de cada fator de resposta.
53
Capı́tulo 4
Resultados e Discussões
Neste capı́tulo serão apresentados os resultados obtidos após simulação das estruturas opacas. De inı́cio serão apresentadas as condições de projeto adotadas para as
simulações, bem como uma abordagem prática da Norma Internacional ISO 13786.
As paredes estudadas estão catalogadas na Norma Brasileira ABNT/CE 02:135.07 bem como suas composições e propriedades termofı́sicas utilizadas no presente trabalho.
Escolheu-se a cidade de Manaus (Latitude=-3.15 S e Longitude= 59.98 W),
adotando como dia tı́pico de projeto dia 21 de Setembro e a orientação geográfica
das paredes para o Norte, assumindo a incidência solar em uma superfı́cie na vertical.
As temperaturas Sol-Ar foram determinadas com o objetivo de determinar o fluxo
de calor a partir destas temperaturas, conforme a figura 4.1 abaixo.
Figura 4.1: Temperaturas Sol-Ar para os dias 20,21 e 22 de Setembro.
54
4.1
Propriedades Térmicas de Paredes
Através da Norma Brasileira obteve-se as propriedades térmicas de paredes das
tipologias mais utilizadas nas construções residenciais. A seguir serão apresentadas
essas propriedades obtidas através do catálogo de Propriedades Térmicas de Paredes
e Coberturas juntamento com a Norma Brasileira.
Na tabela 4.1), são apresentadas as propriedades térmicas das composições de
paredes comumente utilizadas nas práticas construtivas brasileiras.
Tabela 4.1: Propriedades Térmicas para Paredes.
Material
Argamassa de assentamento
Concreto (bloco e parede)
Reboco
Tijolo cerâmico
4.2
Condutividade Térmica
[W/(m.K)]
1.15
1.15
1.15
0.95
Massa especı́fica
[kg/m3 ]
2000
2400
2000
1600
Calor especı́fico
[kJ/(kg.K)]
1.00
1.00
1.00
0.92
Análise da Inércia Térmica de Paredes
Nesta seção são apresentadas as paredes submetidas a simulação bem como os
respectivos valores de inércia térmica comparados com os valores das Normas Brasileira e Internacional.
A primeira parede será uma estrutura em concreto maciço com espessura de
10cm que será classificada neste trabalho como Parede 1.
Figura 4.2: Parede em concreto maciço e=10cm obtida a partir da Noma Brasileira.
A seguir os fatores de resposta para parede de concreto maciço e=10cm, obtidos
através do Método de Hittle.
55
Tabela 4.2: Fatores de Resposta da Parede de concreto maciço e=10cm
Fatores
1
2
3
4
5
6
7
X - Interno (W/m2 )
1.33E+01
-1.88E+01
6.72E+00
-5.80E-01
2.97E-03
-6.41E-08
5.89E-16
Y - Através (W/m2 )
-1.81E+00
4.36E+00
-2.25E+00
3.39E-01
-1.80E-03
4.02E-08
-3.66E-16
Z - Externo (W/m2 )
7.73E+00
-1.00E+01
3.16E+00
-2.65E-01
1.39E-03
-3.03E-08
2.35E-16
Diante dos fatores de respostas obtidos segue a Figura 4.3 apresentando o gráfico
dos fluxos nas superfı́cies externa e interna da Parede 1.
Figura 4.3: Fluxos de Calor nas superfı́cies externa e interna da Parede 1.
4.2.1
Aplicação da Norma Internacional ISO 13786 em uma
parede homogênea.
Com o objetivo de explicitar a forma de obtenção da inércia térmica de uma
parede homogênea é aplicado à parede 1 a metodologia da Norma Internacional.
As matrizes das camadas podem ser obtidas através das Equações 2.18 a 3.12.
56
Z1 =
Zglobal =
0.774897624 + 1.146531468j −0.127321974 − 0.051401425j
6.731234318 − 16.67335175j
0.774897624 + 1.146531468j
!
Ze =
1 −0.04
0
1
!
Zi =
1 −0.13
0
1
!
(4.1)
(4.2)
(4.3)
0.505648251 + 1.813465538j −0.224052151 − 0.333013204j
6.731234318 − 16.67335175j −0.100162838 + 3.314067196j
!
(4.4)
A seguir a tabela 4.3 com o a Caracterı́sticas Dinâmico-Térmicas da Parede 1.
Tabela 4.3: Caracterı́sticas Dinâmico-Térmicas da Parede 1
Elementos
Interna(Y11 )
Externa(Y22 )
Periodica(Y12 )
Internal Areal (k1 )
Externa Areal (k2 )
Fator de decremento
Grandeza
4.451968894 + 1.476893266j
6.711393496 + 4.816220414j
1.390788955 -2.067157502j
0.756
|Grandeza|
4.691 (W/m2 K)
8.261 W/m2 K
2.491 W/m2 K
64.397 kJ/m2 K
119.633 kJ/m2 K
0.756
T imeShif t(h)
1.22
2.38
-3.74
-
De posse destes dados pode-se apresentar um quadro resumo com o valor da
inércia térmica para cada método de obtenção, como mostra a tabela 4.14
Tabela 4.4: Valores de inércia térmica da Parede 1
Grandeza
Inércia Térmica
Norma ISO 13786
-3.74
Método de Hittle
-4.0
Norma ABNT/CE - 02:135.07
-2.7
Os valores de inércia térmica da Norma Brasileira é tabelado, o da Norma ISO
foi resolvido analiticamente e o valor da inércia térmica obtido através do Método
de Hittle pode ser obtido a partir dos pontos máximos das funções fluxo de calor
que pelo gráfico pode-se aferir que, em ( 10h, 30.85 W/m2 ) e (14h, 22.90 W/m2 ) o
=4h.
A Segunda parede será uma estrutura composta por argamassa de assentamento,
revestimento e tijolo cerâmico, classificada neste trabalho como Parede 2.
57
Figura 4.4: Parede composta por tijolo cerâmico e revestido com argamassa e=14cm
Tabela 4.5: Fatores de Resposta da Parede Composta com e=14cm
Fatores
1
2
3
4
5
6
X - Interno (W/m2 )
1.5200E+01
-2.3600E+01
1.0100E+01
-1.1400E+00
9.85E-03
-2.81E-07
Y - Através (W/m2 )
-3.0400E+00
7.1300E+00
-4.1800E+00
7.0500E-01
-6.32E-03
1.83E-07
Z - Externo (W/m2 )
8.7700E+00
-1.2600E+01
4.9600E+00
-5.6000E-01
4.93E-03
-1.41E-07
Abaixo o gráficos dos fluxos de calor sobre as superfı́cies externas e interna da
parede composta 2.
Figura 4.5: Fluxos de Calor nas superfı́cies externa e interna da Parede 2.
58
Para esta parede compostas os valores de inércia térmica obtidos estão listas
abaixo conforme tabela 4.6
Tabela 4.6: Valores de inércia térmica da Parede 2
Grandeza
Inércia Térmica
Norma ISO 13786
-3.73
Método de Hittle
-4.0
Norma ABNT/CE - 02:135.07
-3.3
Em seguida a terceira parede será uma estrutura composta por argamassa de
assentamento, revestimento e tijolo cerâmico sem furos maciço, classificada neste
trabalho como Parede 3.
Figura 4.6: Parede composta por tijolo cerâmico maciço e revestido com argamassa
e=26cm
Os fatores de resposta para esta parede obtidos através do Método de Hittle
encontram-se na tabela 4.13
Tabela 4.7: Fatores de Resposta da Parede Composta com tijolo cerâmico maciço
revestido com argamassa com e=26cm
Fatores
1
2
3
4
5
6
7
X - Interno (W/m2 )
1.5400E+01
-2.4800E+01
1.1400E+01
-1.4700E+00
2.14E-02
-2.49E-06
2.12E-13
Y - Através (W/m2 )
-3.2000E+00
7.5300E+00
-4.6900E+00
8.9200E-01
-1.37E-02
1.63E-06
-1.39E-13
59
Z - Externo (W/m2 )
8.9400E+00
-1.3400E+01
5.7500E+00
-7.4000E-01
1.10E-02
-1.29E-06
1.10E-13
A partir da obtenção dos fatores de respostas, os fluxos de calor externo e internos
são determinados, como mostra o gráfico a seguir.
Figura 4.7: Fluxos de Calor nas superfı́cies externa e interna da Parede 3.
Com o gráfico anterior pode-se determinar a inércia térmica da parede aplicando
o Método de Hittle. abela 4.10
Tabela 4.8: Valores de inércia térmica da Parede 3
Grandeza
Inércia Térmica
Norma ISO 13786
-4.04
Método de Hittle
-4.0
60
Norma ABNT/CE - 02:135.07
-3.8
A quarta parede a ser estudada com o fim da análise de sua inércia térmica é
a parede dupla composta por tijolo cerâmico maciço revestido com argamassa aqui
classificada como parede 4.
Figura 4.8: Parede dupla composta por tijolo cerâmico maciço e revestido com
argamassa e=26cm
Os fatores de resposta para esta parede obtidos através do Método de Hittle
encontram-se na tabela 4.9
Tabela 4.9: Fatores de Resposta da Parede dupla Composta com tijolo cerâmico
maciço revestido com argamassa com e=26cm
Fatores
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X - Interno (W/m2 )
1.94E+01
-4.61E+01
3.83E+01
-1.32E+01
1.75E+00
-6.24E-02
3.24E-04
-7.62E-08
6.78E-13
Y - Através (W/m2 )
-6.38E+00
1.79E+01
-1.77E+01
7.28E+00
-1.10E+00
4.20E-02
-2.21E-04
5.25E-08
-4.68E-13
61
Z - Externo (W/m2 )
1.22E+01
-2.85E+01
2.34E+01
-8.12E+00
1.10E+00
-4.00E-02
2.10E-04
-4.95E-08
4.41E-13
A partir da obtenção dos fatores de respostas, os fluxos de calor externo e internos
são determinados, como mostra o gráfico a seguir.
Figura 4.9: Fluxos de Calor nas superfı́cies externa e interna da Parede 4.
A partir do gráficoCom o gráfico anterior pode-se determinar a inércia térmica
da parede aplicando o Método de Hittle. tabela 4.10
Tabela 4.10: Valores de inércia térmica da Parede 4
Grandeza
Inércia Térmica
Norma ISO 13786
-7.38
Método de Hittle
-8.0
62
Norma ABNT/CE - 02:135.07
-6.6
A próxima parede possui a constituição tı́pica das utilizadas em construções na
cidade de Manaus, pois a cidade conta com um polo oleiro na região metropolitana
que fornece a maior parte dos tijolos utilizadas na cidade. A configuração desta
parede pode ser vista na figura 4.10
Figura 4.10: Parede com constituição tı́pica utilizada na cidade de Manaus.
A seguir será aplicado a metodologia da Norma ISO 1386 para a parede composta
em estudo e a determinação dos elementos da matriz de transferência de calor global
e as caracterı́sticas Dinâmico-Térmicas da parede.
4.2.2
Aplicação da Norma Internacional ISO 13786 em uma
parede composta.
A Norma Internacional ISO 13786 possibilita calcular as caracterı́sticas dinâmicas
térmicas de uma parede quer seja homógena ou com múltiplas camadas.A seguir
será efetuada a aplicação desta metodologia e mais adiante a análise comparativa
dos resultados. As matrizes das camadas são determinadas como segue:
Z1 = Z3 =
0.999739658 + 0.039522168j −0.021737999 − 0.000286395j
0.047902695 − 3.635913282j
0.999739658 + 0.039522168j
!
(4.5)
Z2 =
0.941104001 + 0.592368422j −0.109801821 − 0.021989014j
2.118469445 − 10.57854622j
0.941104001 + 0.592368422j
!
(4.6)
Para as matrizes de convecção adota-se as respectivas resistências térmicas superficiais;
!
Ze =
1 −0.04
0
1
!
Zi =
1 −0.13
0
1
63
(4.7)
(4.8)
Resolvendo o produtório das matrizes das camadas, otem-se a matriz global de
transferência de calor.
Zglobal =
0.322164012 + 2.027552968j −0.215490808 − 0.381491106j
9.058514759 − 16.67143298j −0.493102316 + 3.527981936j
!
(4.9)
Diante da matriz global pode-se obter os elementos da matriz conforme a tabela 4.12.
Tabela 4.11: Elementos da matriz global de transferência de calor de uma parede
composta
Elementos
Z11
Z12
Z21
Z22
Zij
0.322164012 + 2.027552968j
-0.215490808 -0.381491106j
9.058514759 -16.67143298j
-0.493102316 -3.527981936j
|Zij |
2.053
0.438
18.973
3.562
Arg(Zij)
1.4132206
1.056612453
-1.07306877
-1.431927005
T imeShif t(h)
5.40
-7.96
19.90
-17.47
Diante desses valores , é possı́vel obter as caracterı́sticas dinâmico-térmicas da
parede como mostra a tabela 4.12.
Tabela 4.12: Caracterı́sticas Dinâmico-Térmicas da Parede 1
Elementos
Interna(Y11 )
Externa(Y22 )
Periodica(Y12 )
Internal Areal (k1 )
Externa Areal (k2 )
U
Fator de decremento
Grandeza
4.390837703 + 1.635742335j
6.457380837 + 4.940111321j
1.122513108 -1.987225212j
0.741
|Grandeza|
4.686 W/m2 K
8.130 W/m2 K
2.282 W/m2 K
67.096 kJ/m2 K
120.232 kJ/m2 K
3.081W/m2 K
0.741
T imeShif t(h)
1.36
2.49
-4.04
-
Tabela 4.13: Fatores de Resposta da Parede Composta com configuração tı́pica de
Manaus e=15cm
Fatores
1
2
3
4
5
6
7
X - Interno (W/m2 )
1.5400E+01
-2.4800E+01
1.1400E+01
-1.4700E+00
2.14E-02
-2.49E-06
2.12E-13
Y - Através (W/m2 )
-3.2000E+00
7.5300E+00
-4.6900E+00
8.9200E-01
-1.37E-02
1.63E-06
-1.39E-13
64
Z - Externo (W/m2 )
8.9400E+00
-1.3400E+01
5.7500E+00
-7.4000E-01
1.10E-02
-1.29E-06
1.10E-13
Com a aplicação da Norma Internacional determinou-se a inércia térmica da
parede com ∆t = −4.04h, como a inércia térmica da Norma Brasileira está tabelada,
basta agora determinar a inércia térmica da parede utilizando o Método de Hittle
através da figura 4.11.
Figura 4.11: Parede com constituição tı́pica utilizada na cidade de Manaus.
Com os pontos de valores máximos em relação ao tempo são 10h e 4h para o fluxo
de calor externo e interno respectivamente, sendo assim o valor de inércia térmica
calculado é de ∆t = −4h, observa-se que em todos os casos anteriores os valores de
inércia térmica, tanto os obtidos através da Norma Internacional como os do Hittle,
mostram proximidade de grandeza, mostrando coerência nos resultados já que a
Norma Internacional é baseada no trabalho de Hittle, já a Norma Brasileira utiliza
um método simplificado para determinação da inércia térmica, o que fica evidente
na comparação dos resultados. Isto pode ser evidenciado na tabela 4.14 abaixo.
Tabela 4.14: Valores de inércia térmica da Parede Manaus
Grandeza
Inércia Térmica
Norma ISO 13786
-4.04
Método de Hittle
-4.0
65
Norma ABNT/CE - 02:135.07
-3.7
Capı́tulo 5
Conclusões e Sugestões
Este trabalho teve como objetivo a obtenção dos fatores de resposta pra determinação do fuxo de calor externo e interno à superfı́cie de uma estrutura composta
opaca e com isso avaliar o desempenho térmico dessas estruturas através do atraso
térmico, para isso foi desenvolvido um programa na linguagem FORTRAN, para
obtenção destes fatores e fluxos, a valor do atraso térmico foi obtido de três formas
através da metologia da Norma Brasileira, da Norma Internacional ISO e com o
auxı́lio dos gráficos resultantes dos valores de programa.
A simulação de paredes catalogadas na norma técnica permite avaliar o desempenho térmico das mesmas e assim procurar aumentar a eficiência energética da
edificação construı́da com estas paredes no que diz respeito as condições de projeto
visando conforto térmico. Sendo assim a variação das propriedades termofı́sicas das
paredes é de suma importância para poder aproximar através da simulação qual
a parede mais eficiente para uma determinada região, levando em consideração a
orientação geográfica a qual esta parede será exposta.
O código computacional obteve êxito, respondendo com resultados confiáveis
quando comparado com outros programas já estabelecidos.
O comportamento das estruturas compostas opacas merecem uma especial
atenção por conta das diferenças de práticas construtivas existentes no Brasil que
se altera depende da região, por isso a importância desse tipo de estudo que vem
contribuir para um melhor aproveitamento dos recursos naturais.
Para trabalhos futuros sugere-se a implementação neste da solução analı́tica que
determina o atraso térmico e fazer um comparativos com os meios já existentes de
obtenção do atraso térmico. Realizar um estudo de levantamento das práticas construtivas comumente adotadas nas regiões brasileiras e determinar qual a configuração
mais adequada para a região levando com consideração a eficiência energética da edificação.
É conveniente para trabalhos futuros uma análise por menorizada do comportamento das raı́zes da função de transferência em função da configuração da com66
posição da parede, pois dependendo desta composição pode haver perda nas primeiras raı́zes no eixo das abcissas.
E por fim simular uma residência, ambiente por ambiente , levando com consideração o uso e a orientação geográfica e determinar qual a melhor parede para cada
ambiente fazendo assim do código uma ferramenta de projeto.
67
Referências Bibliográficas
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