7. MATRIZES
7.1. DEFINIÇÃO
Matrizes são arranjos bidimensionais de números. Têm aplicações, por exemplo, na
resolução de sistemas de equações lineares e no armazenamento de dados.
Definição: Uma matriz m x n, com m e n inteiros positivos, é a tabela retangular de
m linhas e n colunas, conforme a notação
[
a11 a 12
a 21 a 22
⋮
⋮
a m1 a m2
⋯ a 1n
⋯ a 2n
⋱ ⋮
⋯ a mn
]
em que aij é a notação de duplo índice para os elementos da matriz, sendo i o índice
da linha e j o índice da coluna. A notação compacta [aij] pode ser empregada para
representar toda a matriz acima. Também chamamos “m x n” de ordem da matriz.
Exemplos:
a) matriz de ordem 3 x 2 (isto é, com 3 linhas e 2 colunas)
[ ]
1 −3
0,2 4
0 17
b) matriz de ordem 2 x 4 (com 2 linhas e 4 colunas)
[
1/23 2 −5 1
2
−7 8 13
]
c) matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)
[−1 7 0,5]
Matrizes com apenas uma linha são chamadas matrizes linha.
d) matriz de ordem 4 x 1 (4 linhas e 1 coluna)
[]
10
−7
3
1
Matrizes com apenas uma coluna são chamadas matrizes coluna.
e) matriz de ordem 2 x 2 (2 linhas e 2 colunas)
[ ]
7 0
2 4
Matrizes em que o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) são
chamadas matrizes quadradas.
7.2. OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ENTRE MATRIZES
a) Adição e subtração
Se A = [aij] e B = [bij] são matrizes m x n, então A + B = [aij + bij] e A – B = [aij – bij],
ambas também matrizes m x n. Note que matrizes de ordens diferentes não podem ser
somadas ou subtraídas.
Exemplo:
[
1
Se A = −5
−3
7
] eB= [
] , então
−1 −8
2
9
] [
] [
] [
] [
] [
] [
[
1
−3  −1 −8 = 1−1 −3−8 = 0 −11
7
2
9
−52
79
−3 16
[
1
−3 − −1 −8 = 1−−1 −3−−8 = 2
5
7
2
9
−5−2
7−9
−7 −2
A + B = −5
A – B = −5
]e
]
b) Produto de matriz por escalar
Se A = [aij] é uma matriz m x n e k é um escalar (isto é, um número real) então
kA = [kaij], de ordem m x n.
Exemplo:
Se k = ½ e A =
[
[
−1 −8
2
9
]
1 −1 −8
=
9
kA = 2 2
] , então
[ ]
1
−4
2
9
1
2
−
c) Produto de matrizes
Se A = [aij] é uma matriz m x r e B = [bij] é uma matriz r x n, então
AB = [ai1 b1j + ai2 b2j + ... + air brj], de ordem m x n. Isto é, o elemento ij da matriz
produto AB é a soma de produtos dos elementos da linha i da matriz A com os
elementos da coluna j da matriz B.
Note que, para o produto AB existir, o número de colunas da matriz A deve ser igual
ao número de linhas da matriz B. Neste caso, a matriz AB terá como número de
linhas o número de linhas de A e como número de colunas o número de colunas de B.
A multiplicação de matrizes nem sempre é comutativa, isto é, de modo geral AB não
é igual a BA.
Exercício resolvido:
Determine o produto das matrizes abaixo:
[]
−1
0
1
[
1
−3 0
7 1
]
[
1
−3 0
7 1
] eB= [
a) A = −5
b) A = −5
eB=
−1 −8
2
9
]
Resolução:
a) A é de ordem 2 x 3 e B é de ordem 3 x 1. Como há 3 colunas em A e 3 linhas
em B, o produto AB é possível e tem ordem 2 x 1. Assim,
AB =
][
][
−1
1 −3 0 .
1−1  −30  01 = −1  0  0 = −1
0 =
−5 7 1
5 0 1
6
−5−1  7 0  11
1
[
] [
] [ ]
b) A é de ordem 2 x 3 e B é de ordem 2 x 2. Como há 3 colunas em A e 2 linhas
em B, o produto AB não é possível.
7.3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn ,
em que xj são incógnitas (valores desconhecidos) e aij e bj são constantes reais
conhecidas. No exemplo, n é o número de incógnitas e de equações, com i = 1, 2, ... n
e j = 1, 2, ... n.
Os sistemas lineares podem ser classificados como possíveis ou impossíveis. Os
sistemas possíveis possuem solução para o conjunto de incógnitas; neste caso,
podem ter solução única, caso em que são chamados determinados, ou infinitas
soluções, caso em que são chamados indeterminados. Os sistemas impossíveis não
possuem solução para as incógnitas.
Nota: condição necessária, porém não suficiente, para que um sistema de equações
(lineares ou não) tenha solução única é que o número de equações seja igual ao de
incógnitas.
Todo sistema linear pode ser escrito numa forma matricial. Um sistema 2 x 2, por
exemplo,
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2 ,
pode ser posto na forma
[
][ ] [ ] ,
a 11 a 12 x
b
.
= 1
y
a 21 a 22
b2
ou, de forma sucinta,
Au = v,
em que A =
[
a 11 a 12
a 21 a 22
] é a matriz principal do sistema, u = [ ] é a matriz coluna de
x
y
[]
b
incógnitas e v = b 1 é o vetor de constantes independentes.
2
A solução para o sistema 2 x 2 é dado pela fórmula
[] 
1
x =
y
a 11 a 22 −a 21 a12
[
][ ]
a22 −a 12 b1
.
−a 21 a11
b2
Se o denominador a 11 a 22−a 21 a 12 do escalar for nulo (zero), trata-se de um sistema
impossível, isto é, sem solução.
Exercício resolvido:
Obtenha a solução do sistema linear
x – 3y = 5
5x + 2y = 8
Resolução:
Na forma matricial o sistema pode ser escrito como
[
][ ] [ ]
1 −3 x
5
.
=
5 2
y
8
Logo, a solução é dada por
[] 
1
x =
y
1 2−5−3
[
[
][ ]
2
−−3 . 5 =
−5
1
8
][ ]
=
1 2 3 5
.
=
17 −5 1 8
=
1 2 . 5  3. 8
=
17 −5 .5  1 .8
=
1 10  24
=
17 −25  8
=
1 34
=
17 −17
=
[
=
[ ]
[
]
[
]
[ ]
]
34/17
=
−17 /17
2
−1
Logo, a resposta é x = 2 e y = – 1. De fato, substituindo esses valores nas
equações, vemos que elas são satisfeitas:
(2) – 3(–1) = 2 + 3 = 5
5(2) + 2(–1) = 10 – 2 = 8