Análise e Síntese de Algoritmos
Caminhos Mais Curtos para Todos os Pares
CLRS, Cap. 25
Contexto
• Algoritmos Elementares em Grafos
(CLR, Cap. 22)
– BFS & DFS
– Ordenação Topológica & SCCs
• Árvores Abrangentes de Menor Custo (CLR, Cap. 23)
– Algoritmos de Borůvka, Kruskal e Prim
• Caminhos mais curtos com fonte única (CLR, Cap. 24)
– Algoritmos de Dijkstra e Bellman-Ford
• Caminhos mais curtos entre todos os pares (CLR, Cap. 25)
– Solução Recursiva e Algoritmo de Floyd-Warshall
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Análise e Síntese de Algoritmos
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Resumo
• Caminhos Mais Curtos entre Todos os Pares (APSPs)
– Definições
– Soluções recursivas
• Algoritmo de Floyd-Warshall
– Fecho Transitivo
– Algoritmo de Johnson
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Caminhos Mais Curtos entre Todos
os Pares (APSPs) — Observações
• Encontrar caminhos mais curtos entre todos os pares
de vértices
• Se pesos não negativos
– Utilizar algoritmo de Dijkstra, assumindo cada vértice como
fonte: O(V E lg V)
(que é O(V3 lg V) se grafo é denso)
• Se pesos negativos
– Utilizar algoritmo de Bellman-Ford, assumindo cada vértice
como fonte: O(V2E)
(que é O(V4) se grafo é denso)
• Objectivo: Encontrar algoritmos mais eficientes
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APSPs — Definições
• Representação: utilização de matriz de adjacências
• Pesos dos arcos: matriz (n x n) W = (wij)
se i  j
0

w ij  peso do arco (i, j) se i  j e i, j  E

se i  j e i, j  E

• Representação dos caminhos mais curtos: matriz (n x n)
D = (dij)
– dij é o peso do caminho mais curto entre os vértices i e j
• dij = (vi,vj)
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APSPs — Definições
• Representação de caminhos mais curtos
– Matriz de predecessores  = (ij)
– ij:
• NIL: se i = j ou não existe caminho de i para j
• Caso contrário: predecessor de j num caminho mais
curto de i para j
– Sub-grafo de predecessores de G para i, G, i = (V, i, E, i)
V,i  j  V : ij  NIL 
i
E,i  ij , j : j  V,i  {i}
• Sub-grafo induzido pela linha i de 
– Exemplo
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APSPs — Solução Recursiva
• Sub-caminhos de caminhos mais curtos são também
caminhos mais curtos
• Peso mínimo em caminho de vértice i para vértice j
que contém não mais do que m arcos: d(ijm )
– Com m = 0, existe caminho de i para j se e só se i = j
0 se i  j
0 
dij  
 se i  j
– Para m  1,


dijm   min dijm1, mindikm1  w kj   mindikm1  w kj 
1k n
1k n
wjj = 0
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APSPs — Solução Recursiva
• Calcular sequência de matrizes D(1), …, D(n-1), onde
– D(n-1) contém os pesos dos caminhos mais curtos
– D(1) = W
Extend-Shortest-Paths(D,W)
n = rows[W]
D’: matriz (n x n)
for i = 1 to n
for j = 1 to n
dij'  
for k = 1 to n
dij'  min dij' , dik  w kj 
return D’
• Complexidade: (n3) p/ cada matriz; Total: (n4)
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APSPs — Solução Recursiva
• Genericamente: calcular D(i) em função de D(i-1) (e de W)
• Complexidade para cálculo de D(n): (n4)
• OBS: é possível melhorar complexidade reduzindo
número de matrizes calculadas: (n3lg n)
– A cada iteração, calcular D(2i) em função de D(i) e de D(i)
• Exemplo
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APSPs — Algoritmo de Floyd-Warshall
• Caracterização de um caminho mais curto
– Vértices intermédios de caminho p = v1,v2,,vk, {v2,,vk-1}
• Considerar todos os caminhos entre i e j com
vértices intermédios retirados do conjunto {1,,k} e
seja p um caminho mais curto (p é simples)
– Se k não é vértice intermédio de p, então todos os vértices
intermédios de p estão em {1,,k-1}
– Se k é vértice intermédio de p, então existem caminhos p1 e
p2, respectivamente de i para k e de k para j com vértices
intermédios em {1,,k}
• k não é vértice intermédio de p1 e de p2
• p1 e p2 com vértices intermédios em {1,,k-1}
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APSPs — Algoritmo de Floyd-Warshall
p1
k
i
p2
j
Vértices entre
1 e k-1
• Formulação
k 
dij
se k  0
w ij

k 1 k 1
k 1

 se k  1
min
d
,
d

d
ij
ik
kj

Vértices entre
1ek
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APSPs — Algoritmo de Floyd-Warshall
Floyd-Warshall(W)
n = rows[W]
D(0) = W
for k = 1 to n
for i = 1 to n
for j = 1 to n
dijk   min dijk 1 , dikk 1  dkjk 1 
return D(n)
• Complexidade: (n3)
• Exemplo
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Fecho Transitivo de um Grafo Dirigido
• Dado um grafo G = (V, E) dirigido, o fecho transitivo é
definido por G* = (V, E*) tal que,
E*  i, j : existe caminho de i para j em G
• Aplicação: autorizações de acesso
• Algoritmo:
– Atribuir a cada arco peso 1 e utilizar algoritmo de FloydWarshall
• Se dij  , então (i, j)  E*
• Complexidade: (n3)
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Fecho Transitivo de um Grafo Dirigido
• Outro algoritmo:
– Substituir operações min e + por  e , respectivamente
– Se existe caminho de i para j com todos os vértices
intermédios em {1,2,…,k}, t ijk   1
 
– Caso contrário, t ijk  0
– Formulação:
0 
t ij
0 se i  j e i, j  E

1 se i  j ou i, j  E
– Complexidade: (n3)
– Exemplo
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t ijk   t ijk 1  t ikk 1  t kjk 1  se k  1
(mas constantes menores)
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Fecho Transitivo de um Grafo Dirigido
Transitive-Closure(G)
n = |V[G]|
for i = 1 to n
for j = 1 to n
if i = j or (i, j)  E
t ij0   1
else
t ij0   0
for k = 1 to n
for i = 1 to n
for j = 1 to n
t ijk   t ijk 1  t ikk 1  t kjk 1 
return T(n)
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APSPs — Algoritmo de Johnson
• Utiliza algoritmos de Dijkstra e de Bellman-Ford
• Baseado em re-pesagem dos arcos
– Se arcos com pesos não negativos, utilizar Dijkstra para
cada vértice
– Caso contrário, calcular novo conjunto de pesos não
negativos w’, tal que
• Um caminho mais curto de u para v com função w é
também caminho mais curto com função w’
• Para cada arco (u, v) o peso w’(u, v) é não negativo
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APSPs — Algoritmo de Johnson
• Dado G = (V, E), com função de pesos w e de repesagem h: V  R, seja w’(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)
• Seja p = v0,v1,,vk. Então w(p) = (v0, vk) se e só se
w’(p) = ’(v0, vk) = (v0, vk) + h(v0) - h(vk)
– Existe ciclo negativo com w se e só se existe ciclo negativo
com w’
w' p  wp  hv 0   hv k 
w ' p  


k
 w' v i1, v i 
i 1
k
 w v i1, v i   hv i1   hv i 
i 1
k
 w v i1, v i   hv 0   hv k   w p  hv 0   hv k 
i 1
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APSPs — Algoritmo de Johnson
wp  v 0 , v k   w' p  ' v 0 , v k 
Hipótese: existe pz, caminho mais curto de v0 para vk com w’
Então: w' p z   w' p
wp z   hv 0   hv k   w' p z   w' p  wp  hv 0   hv k 
O que implica w p z   w p
Mas p é caminho mais curto com w; contradição !
OBS: Para quaisquer caminhos p1, p2 entre v0 e vk, verifica-se
w(p1) < w(p2)  w’(p1) < w’(p2)
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APSPs — Algoritmo de Johnson
wp  v 0 , v k   w' p  ' v 0 , v k 
Semelhante:
Admitir pz como caminho mais curto de v0 para vk com w
(ou considerar observação anterior)
Existe ciclo negativo com w se e só se existe com w’
c   v 0 , v1,, v k ; v 0  v k ; wc   0
w' c   wc   hv 0   hv k   wc 
Caminhos mais curtos e ciclos negativos
inalteráveis com mudanças na função de pesos
w’(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)
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APSPs — Algoritmo de Johnson
• Dado G = (V, E), criar G’ = (V’,E’):
– V’ = V  { s }
– E’ = E  { (s, v) : v  V }
– w(s, v) = 0
( v  V, atingível a partir de s)
• Com ciclos negativos:
– Detectados com algoritmo de Bellman-Ford aplicado a G’ !
• Sem ciclos negativos:
– Definir:
– Dado que:
– Verifica-se:
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h(v) = (s, v)
h(v)  h(u) + w(u, v)
w’(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)  0 !
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24.10
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APSPs — Algoritmo de Johnson
• Executar Dijkstra para todo o u  V
– Cálculo de ’(u,v), para u  V
– Mas também,
• ’(u,v) = (u, v) + h(u) - h(v)
• (u,v) = ’(u, v) + h(v) - h(u)
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APSPs — Algoritmo de Johnson
Johnson(G)
Representar G’
if Bellman-Ford(G’,w,s) = FALSE
print “Indicar ciclo negativo”
else
atribuir h(v) = (s, v), calculado com Bellman-Ford
calcular w’(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v) para cada arco (u,v)
foreach v  V[G]
executar Dijkstra(G,w’,u); calcular ’(u, v)
duv = ’(u, v) + h(v) - h(u)
return D
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APSPs — Algoritmo de Johnson
• Complexidade:
– Bellman-Ford: O(V E)
– Executar Dijkstra para cada vértice: O(V (V + E) lg V)
• Assumindo amontoado (heap) binário
– Total: O(V (V + E) lg V)
• Útil para grafos esparsos
• Exemplo
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Revisão
• Caminhos Mais Curtos entre Todos os Pares (APSPs)
–
–
–
–
–
Definições
Solução recursiva
Algoritmo de Floyd-Warshall
Fecho Transitivo
Algoritmo de Johnson
• A seguir:
– Fluxos máximos em grafos
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(CLR, Cap. 26)
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