A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O TRABALHO DE
ENSINO–APRENDIZAGEM NA CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS E DAS
OPERAÇÕES DEFINIDAS SOBRE ELES
Lourdes de la Rosa Onuchic
Unesp - Rio Claro/SP
[email protected]
1 - INTRODUÇÃO
Este mini-curso destina-se a professores de ensino fundamental e médio e
pretende apresentar a metodologia de Ensino-aprendizagem de Matemática através da
Resolução de Problemas. Nesta metodologia o problema constitui-se em ponto de
partida para a construção de novos conceitos e novos conteúdos dentro de um trabalho
colaborativo em sala de aula. O padrão de conteúdo Números e Operações é a unidade
temática do mini-curso. Pretende-se, com ele, contribuir para a formação dos
professores de Matemática que trabalham em sala de aula.
2 – ENSINO-APRENDIZAGEM
DE
MATEMÁTICA:
LINGUAGEM E RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
2.1 - A LINGUAGEM E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NOS PCN
É sabido, por todos, que Português e Matemática são disciplinas trabalhadas em
todas as séries da grade curricular. Uma razão para isso, fácil de ser percebida, é que,
desde os primórdios da civilização, enquanto o homem se preocupava em comunicar-se
no mundo das idéias, simultaneamente ele se preocupava em se comunicar no mundo
das quantidades. Assim, foi criado o alfabeto, uma pequena quantidade de letras usadas
para escrever qualquer palavra e, também, apenas dez dígitos que servem para escrever
qualquer número.
Para nós, Português e Matemática são disciplinas importantíssimas para contribuir
na formação de indivíduos críticos, reflexivos, criativos e participativos dentro da
comunidade em que vivem.
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
2
Nos PCN1 - Ensino Médio – Linguagens, Códigos e suas Tecnologias – podemos
ler, na página 13, que a linguagem é considerada
“como a capacidade humana de articular significados coletivos e
compartilhá-los, em sistemas arbitrários de representação, que variam
de acordo com as necessidades e experiências da vida em sociedade.
A principal razão de qualquer ato de linguagem é a produção de
sentido.”
E, na página 17, podemos perceber que a função e o uso da linguagem permite
“analisar, interpretar e aplicar os recursos expressivos das linguagens, relacionando
textos com seus contextos, mediante a natureza, função, organização das manifestações,
de acordo com as condições de produção e recepção”.
Nos PCN – Matemática – 5a. a 8a. séries, página 15, lê-se que
“os Parâmetros Curriculares Nacionais explicitam o papel da
Matemática no ensino fundamental pela proposição de objetivos que
evidenciam a importância de o aluno valorizá-la como instrumental
para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área do
conhecimento que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de
investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver
problemas”.
Na página 16, está escrito que “os PCN indicam a resolução de problemas como
ponto de partida da atividade matemática e discutem caminhos para ‘fazer matemática’
na sala de aula, destacando a importância da História da Matemática e das Tecnologias
de Comunicação”.
Falando, em 1998, sobre o quadro atual do ensino de Matemática no Brasil, os
PCN – Matemática – 5a. a 8a. séries, página 21, afirmam que
“entre os obstáculos que o Brasil tem enfrentado em relação ao ensino
de matemática, aponta-se a falta de uma formação profissional
qualificada, as restrições ligadas às condições de trabalho, a ausência
de políticas educacionais efetivas e as interpretações equivocadas de
concepções pedagógicas”.
Os PCN – Ensino Médio – Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias, em 1999, na página 81, escrevem que
“à medida que vamos nos integrando ao que se denomina uma
sociedade da informação crescentemente globalizada, é importante
1
Parâmetros Curriculares Nacionais
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
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que a educação se volte para o desenvolvimento das capacidades de
comunicação, de resolver problemas, de tomar decisões, de fazer
inferências, de criar, de aperfeiçoar conhecimentos e valores, de
trabalhar cooperativamente. [...]
Em um mundo onde as necessidades sociais, culturais e profissionais
ganham novos contornos, todas as áreas requerem alguma
competência em Matemática e a possibilidade de compreender
conceitos e procedimentos matemáticos é necessária tanto para tirar
conclusões e fazer argumentações, quanto para o cidadão agir como
consumidor prudente ou tomar decisões em sua vida pessoal e
profissional “.
Como atender e poder cumprir todas essas posições tomadas pelos PCN? Como
dizem os PCN – Ensino Médio, em 1999, página 98,
“entre os maiores desafios para a atualização pretendida no
aprendizado de Ciência e Tecnologia, no Ensino Médio, está a
formação adequada de professores, a elaboração de materiais
instrucionais
apropriados
e
até
mesmo
a
modificação
do
posicionamento e da estrutura da própria escola, relativamente ao
aprendizado individual e coletivo e a sua avaliação”.
Na página 93 são apresentadas competências e habilidades a serem
desenvolvidas em Matemática relativas a três áreas: representação e comunicação,
investigação e compreensão e contextualização sócio-cultural. Em todas elas linguagem
e resolução de problemas ocupam posições de destaque.
Uma questão muito séria, que se coloca sempre aos educadores matemáticos, diz
respeito a que conteúdos matemáticos e que processos de ensino-aprendizagem devem
ser trabalhados, em sala de aula , de modo que os estudantes possam conhecer e ser
capazes de usar ao longo de sua caminhada escolar e de sua vida.
Saber trabalhar Matemática, em sala de aula, é muito importante e saber o quê e
como se deve trabalhar apresenta-se como um desafio para os educadores matemáticos.
Estes aspectos, organizados pelo NCTM2 - National Council of Teachers of
Mathematics, serão discutidos a seguir.
2
O NCTM é uma organização profissional, sem fins lucrativos. Tem mais de 125 000 membros e é a
principal organização para professores de matemática desde K-12 (Pré-primário até a Escola Secundária).
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
4
2.2 - A LINGUAGEM E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NOS PRINCIPLES AND STANDARDS
FOR SCHOOL MATHEMATICS
Principles and Standards for School Mathematics, Princípios e Padrões para a
Matemática Escolar – NCTM, apresenta uma proposta para saber o que deveria ser
considerado importante na Educação Matemática. Essa proposta diz que padrões
ambiciosos são requeridos para se atingir uma sociedade que tem capacidade de pensar
e raciocinar matematicamente e uma fundamentação útil de conhecimento e habilidades
matemáticas.
Os seis princípios apresentados no documento para a matemática escolar são
Eqüidade, Currículo, Ensino, Aprendizagem, Avaliação e Tecnologia.
Apresenta também dez padrões que descrevem um corpo coerente de
conhecimentos e habilidades – uma base abrangente recomendada para todos os alunos,
mais do que um menu a partir do qual se pode fazer escolhas curriculares. Esses padrões
são descrições daquela Matemática que deve ser trabalhada e que levaria os estudantes a
entendê-la e saber trabalhar com ela. Eles especificam a compreensão, o conhecimento e
as habilidades que os alunos deveriam adquirir ao longo de sua escolaridade.
São cinco padrões de conteúdo: Números e Operações, Álgebra, Geometria,
Medida e Análise de Dados e Probabilidade, que explicitamente descrevem o conteúdo
de Matemática que os alunos deveriam aprender.
E são cinco padrões de procedimento: Resolução de Problemas, Raciocínio e
Prova, Comunicação, Conexões e Representação, que destacam meios de se adquirir e
de saber usar o conteúdo do conhecimento construído.
3 – OBJETIVOS DO MINI-CURSO
Neste mini-curso pretendemos trabalhar o primeiro padrão de conteúdo:
Números e Operações , utilizando o primeiro padrão de procedimento: Resolução de
Problemas.
O padrão de conteúdo Números e Operações descreve uma compreensão
profunda e fundamental de e habilidade com contagem, números, aritmética, sistemas
de numeração e suas estruturas. Os conceitos e algoritmos da aritmética elementar são
partes desse padrão como o são as propriedades e características das classes de números
que dão origem à Teoria dos Números.
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
5
No centro deste padrão está o desenvolvimento do sentido de número –
habilidade em decompor números naturalmente; usar números particulares como
referentes; usar as relações entre as operações aritméticas para resolver problemas;
compreender o sistema de numeração decimal; fazer estimativas; dar significado e
sentido aos números; e reconhecer a grandeza relativa e absoluta dos números.
(SOWDER; 1992)
Historicamente o número tem sido a pedra angular de todo o currículo
matemático. Toda a Matemática proposta, desde o pré até o fim do ensino médio, está
fortemente baseada em Números. Os princípios que regem a resolução de equações em
Álgebra são os mesmos que os das propriedades estruturais dos sistemas numéricos. Em
Geometria e Medida os atributos são descritos com números. Toda a área de Análise de
Dados envolve dar sentido aos números. Através da resolução de problemas os
estudantes podem explorar e solidificar sua compreensão de número.
A pesquisa tem mostrado que aprender números e operações é um processo
complexo para os alunos. Nos padrões do NCTM, compreender número e operações,
desenvolver o sentido de número e ganhar fluência em cálculo aritmético forma o
núcleo da Educação Matemática nos graus elementares. Ao avançar do pré até o fim da
escola secundária, o trabalho com os alunos deveria alcançar uma rica compreensão em
números – o que eles são; como são representados com objetos, numerais ou sobre a
reta numerada; como se relacionam uns com os outros; como os números estão
encaixados em sistemas que têm estruturas e propriedades; e como usar números e
operações para resolver problemas. As calculadoras deveriam estar à disposição, em
momentos apropriados, como ferramentas computacionais, particularmente quando
cálculos embaraçosos são necessários para resolver problemas.
O padrão de procedimento Resolução de Problemas é parte integrante de toda a
aprendizagem matemática e, assim, não deveria ser uma parte isolada do programa. A
Resolução de Problemas, como padrão de procedimento, está envolvida nos cinco
padrões de conteúdo.
Resolver problemas significa engajar-se numa tarefa para a qual o método de
solução não é conhecido de saída. Para achar a solução de um problema os estudantes
precisam buscar recursos em seu conhecimento e, através desse processo,
freqüentemente desenvolvem novas compreensões matemáticas.
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
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Ao aprender a resolver problemas, os alunos devem adquirir modos de pensar;
hábitos de persistência e curiosidade; e confiança dentro de situações não familiares que
lhes servirão quando fora da sala de aula de Matemática.
4 - ATIVIDADES COMENTADAS
1a. Atividade: Pedir aos alunos que digam um número.
Quando aplicamos esta atividade é muito comum recebermos como respostas: 2,
3, 5, 4, 7... Quase sempre um número inteiro positivo e, em geral, menor que 10.
Dificilmente dizem 0; mais difícil ainda -5, ou outro inteiro negativo; muito raro (só se
alguém sugerir) dizerem 2 3 , ou qualquer outro número fracionário; dificilmente um
irracional, por exemplo, 2 ; e quase nunca um número complexo.
Problemas de linguagem são problemas sérios. Se quisermos dizer alguma coisa
para alguém e o fizermos por meio de símbolos ou palavras, é preciso que esse alguém
conheça o significado desses símbolos ou palavras para entender aquilo que dissemos.
Se não, estaríamos dizendo uma coisa e esse alguém entendendo outra.
Assim, é preciso que fique muito claro o significado dos símbolos, das notações,
expressões e terminologia que usamos em nossas aulas de Matemática para que nossos
alunos possam entender o que lhes falamos.
O que se pode observar, quando se faz essa atividade é que, aparentemente, para
os alunos, números são apenas números inteiros positivos isto é, os naturais. Foi isto o
que ocorreu quando esta pergunta foi feita a alunos do 1o. ano do ensino médio
Mas durante os oito anos de ensino fundamental, tais alunos já trabalharam com
diferentes conjuntos numéricos: N⊂ Z⊂ Q⊂ R; fizeram cursos de Aritmética e Álgebra,
aprenderam um pouco de Teoria dos Conjuntos e principalmente, conheceram símbolos
e notações que fazem parte da linguagem matemática.
Número é um dos objetos principais de que se ocupa a Matemática. Números
são entes abstratos, desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem contar e
medir, podendo então avaliar as diferentes quantidades de uma grandeza. Número é uma
idéia, idéia da quantidade de objetos que há num conjunto.
Aritmética é a parte da Matemática que trabalha com números, estabelecendo
relações entre eles, definindo operações sobre eles e identificando propriedades válidas
para elas.
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
7
2a. Atividade: Em 47 quantos 7 tenho?
Depende.
Se no número 47, há um 7, no lugar das unidades.
Se na quantidade 47, é procurar quantas vezes a quantidade 7 cabe dentro da
quantidade 47.
Se eu quisesse usar a calculadora para resolver esse problema (O que é um
problema?) não bastaria perguntar a ela: quantas vezes 7 cabe dentro de 47? A máquina
não seria capaz de responder a essas palavras. Eu precisaria identificar que a operação
que resolve esse problema é a divisão.
Se alguém me tivesse dito: a divisão, esse alguém é que teria resolvido o
problema. Eu não teria pensado. Aí, eu apenas executaria um trabalho: 47 7
, que a
calculadora pode fazer facilmente.
Então, o importante é pensar, buscar idéias relacionadas a esse pensar, explorar
essas idéias, trabalhar sobre elas visando responder à questão proposta.
Em uma calculadora que faz divisão aproximada e apresenta quociente e resto,
teríamos 47÷7= 6, e resto 5.
Se eu apenas fizesse
47 7
, mecanicamente, sem compreensão e sem
dar
5 6
significado aos vários termos que aparecem nessa conta, eu apenas teria memorizado
uma regra para fazer a divisão e, então, seria até melhor ter usado a calculadora, porque
ela não erra.
Se a criança, junto com o professor, junto com seus colegas, construiu o conceito
de multiplicação (provavelmente através de várias situações-problema) e conseguiu
identificar que
6 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 42
47 – 42 = 5
então, ao lhe perguntar quantas vezes 7 cabe em 47, ele diria “6 vezes e sobram 5”, ou
seja, que é a operação divisão com resto, operação que desfaz o que a operação
multiplicação fez, que nos leva a responder à questão dada.
O professor poderia levar os alunos a perceberem que esse problema poderia ser
trabalhado de várias formas:
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
47 - 7 = 40
40 – 7 = 33
33 – 7 = 26
26 – 7 = 19
19 – 7 = 12
12 – 7 = 5
8
Nas subtrações
sucessivas vê-se que 7
coube 6 vezes em 47 e
o resto é igual a 5.
Ou, usando a operação divisão, como abaixo:
Dividendo
47
- 42
5
Resto
Divisor
7
6
Quociente
1×7=7
2 × 7 = 14
3 × 7 = 21
4 × 7 = 28
5 × 7 = 35
6 × 7 = 42
7 × 7 = 49
47
Dividendo – o que sofre a ação
Divisor – o que faz a ação
Quociente – diz o número de vezes que a ação foi feita
Resto – o que sobrou depois que a ação foi feita o maior número de vezes
Ou com o conceito de divisão construído
D=q×d+r
3a. Atividade: Da mesma forma, estendendo o conjunto numérico N para Q,
poder-se-ia perguntar em 5 6 quantos 2 3 há?
A idéia é a mesma do problema anterior. O que muda aqui é a técnica operatória
pois os números agora são racionais.
•
Com subtrações sucessivas:
5 2 5 4 1
− = − =
6 3 6 6 6
Como
. . .
1 2
, então,
p
6 3
1
do quê?
6
2
5
só coube uma vez inteira em
. E como termina esse
3
6
problema?
•
Usando as regras da operação divisão:
5 2 5 31 5
÷ = × =
6 3 62 2 4
ou
5
5 × 31 5
6
=
=
2
62 × 2 4
3
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
9
Aqui usando regras, na maior parte das vezes memorizadas, obtivemos
5 5
.
do
4 4
que? Que relação há com a conduta anterior?
•
Usando a calculadora:
5
2
5
÷
=
6
3
4
que é obtido diretamente.
•
5
Usando Álgebra:
2
6
0
3
x
Por que podemos garantir que o resto é zero? Nos racionais a divisão é sempre possível.
Do conceito de divisão vem que x ⋅
2 5
=
3 6
2 3 5 3
Usando a propriedade do inverso multiplicativo x ⋅ ⋅ = ⋅
3 2 6 2
Logo
5 ⋅ 31 5
x=
=
62 ⋅ 2 4
Novamente,
•
5
do quê?
4
Trabalhando usando as mãos:
Demos duas folhas de sulfite a cada aluno. Pedimos que repartissem uma em seis
partes iguais e outra em três. Pedimos para reduzir uma delas a
5
2
do todo e outra a .
6
3
11 =
Depois, foi pedido que verificassem quantas vezes
63
63
2
5
cabem em .
3
6
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GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
Levando
coberto. Mas
10
2
5
2
1
sobre , viram que
cabem 1 vez inteira e sobra
do todo para ser
3
6
3
6
1
1
do todo é igual a da vez.
6
4
2
3
5
do todo
6
do todo
1
4 da vez
Assim
5 2  1
5
÷ = 1 +  de vez = de vez
6 3  4
4
Isso foi um problema? Para quem? Sim! Depende! O que é problema para um,
pode não ser para outro, pois problema é tudo aquilo que não se sabe resolver mas que,
de alguma forma, se está interessado em fazer.
Problema é sempre o ponto de partida. Através dessa atividade colocada
pretendíamos trabalhar (ensinar) a construção do conceito de divisão. Explorando-se as
idéias, dando significado às palavras, buscava-se chegar, com compreensão, ao conceito
de divisão.
4a. Atividade: Uma família, de 27 pessoas, resolveu fazer um passeio a um
Parque Nacional para festejar alguma coisa.Telefonaram para lá, para reservar
acomodação para todos. Souberam que eles alugavam chalés que abrigam quatro
pessoas. Pergunta-se: quantos chalés precisam ser alugados?
Mecanicamente foi feita a divisão
Perguntamos:
27
4
3
6
27 o quê? → 27 pessoas (p)
4 o quê? →
4 pessoas / chalé (p/ch)
6 o quê? →
6 chalés (ch)
3 o quê? →
3 pessoas (p)
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
11
Foi notado que as grandezas utilizadas na operação, feita mecanicamente, eram
diferentes. Na realidade a operação deveria se apresentar assim
27 p
4 p/ch
-24 p
6 ch
3p
Como D
r
D = q×d+r = q×d+r
d
q
p
Nesta atividade vemos
27 p
4 p/ch
p
p
p
6 ch
6 ch . 4 p/ch = 24 p , 27 p – 24 p = 3p e r = 3p
Respondendo ao problema: é preciso alugar 7 chalés, dos quais 6 ficarão cheios e um
deles com 3 pessoas.
Para resolver esse problema utilizou-se quociente e resto.
Se se perguntasse: quantos chalés ficarão completos? , a resposta do problema
utilizaria apenas o quociente.
Se se perguntasse: quantos chalés ficarão com espaço disponível para mais
alguém?, a resposta utilizaria apenas o resto e, nesse caso, haveria lugar para apenas
mais uma pessoa porque o resto, sendo no máximo uma unidade menor do que o
divisor, seria 3 = 4 − 1 .
Nesse simples problema muita Matemática pôde ser feita: análise dimensional;
conceito de divisão; formalização desse conceito; relação fundamental da divisão;
proposição de novos problemas, a partir do original, como por exemplo: Se as 27
pessoas tivessem viajado em carros que comportam 5 pessoas, quantos carros deveriam
conduzi-los?
5 - ESTRUTURA GERAL DO MINI-CURSO
5.1 - PÚBLICO ALVO
Este mini-curso será oferecido a professores de Matemática de ensino
fundamental e ensino médio.
5.2 - MATERIAL NECESSÁRIO
O material destinado ao trabalho dos participantes será entregue em cópias
impressas, constituído de problemas de diferentes níveis e sempre atendendo ao padrão
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
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de conteúdo Números e Operações e ao padrão de procedimento Resolução de
Problemas.
Será necessário utilizar lousa, giz e retroprojetor.
5.3 – DINÂMICA DE TRABALHO
Em cada problema apresentado, os participantes do mini-curso deverão analisar e
responder, sempre que possível o questionário abaixo:
1. Isso é um problema? Por quê?
2. Que tópicos de Matemática poderiam ser iniciados com esse problema?
3. Haveria necessidade de se considerar problemas menores (secundários)
associados a ele?
4. Para que séries você acredita ser esse problema adequado?
5. Que caminhos poderiam ser percorridos para se chegar à sua solução?
6. A solução necessariamente é única?
7. Como observar a razoabilidade das respostas obtidas?
8. Você, como professor, teria dificuldade de trabalhar esse problema?
9. Que grau de dificuldade você acredita que seu aluno possa ter diante desse
problema?
10. Como relacionar o problema dado com aspectos sociais e culturais?
A metodologia de trabalho adotada para o mini-curso será a Metodologia de
Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. Tal
metodologia será empregada no mini-curso e representa uma possibilidade de trabalho
para a sala de aula, que poderia atender ao seguinte roteiro:
1. Formar grupos e entregar uma atividade.
Lembrar que, no mundo real, aprender é muitas vezes um processo
compartilhado. Progredir em direção a um objetivo vem através de esforços
combinados de muita gente. Os estudantes precisam experimentar esse processo
cooperativo e deve-se dar, a eles, oportunidade de aprender uns com os outros.
Assim, deve-se organizar os alunos em pequenos grupos, e muito da
aprendizagem, em sala de aula, será feita no contexto desses grupos.
2. O papel do professor
O papel do professor, dentro dessa forma de trabalho, muda de comunicador do
conhecimento para o de observador, organizador, consultor, mediador,
interventor, controlador, incentivador da aprendizagem. O professor deve lançar
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
13
questões desafiadoras e ajudar os alunos a se apoiarem, uns nos outros, para
atravessar as dificuldades. O professor, ao fazer a intermediação, leva os alunos
a pensar, espera que eles pensem, dá tempo para isso, acompanha suas
explorações e resolve, quando necessário, problemas secundários (coisas que
não sabem porque nunca viram ou porque se esqueceram).
3. Resultados na lousa
Com o trabalho dos alunos terminado, o professor, na lousa, anota os resultados
obtidos pelos diferentes grupos. Anota resultados certos, errados, feitos por
diferentes caminhos, etc...
4. Plenária
O professor chama todos os alunos, de todos os grupos, para uma assembléia
plena. Como todos trabalharam sobre o problema dado, apresentam condições de
participação na exploração dos resultados.
5. Análise dos resultados
Nesta fase os pontos de dificuldades encontrados pelos alunos são trabalhados.
Outra vez surgem problemas secundários que, se não resolvidos, poderão
impedir o “levar o trabalho à frente”. O aspecto exploração é bastante
considerado nesta análise.
6. Consenso
A partir da análise feita, com a devida retirada das dúvidas, busca-se um
consenso sobre o resultado pretendido.
7. Formalização
A partir do consenso, num trabalho conjunto, professor e alunos, com o
professor na lousa, fazem uma síntese daquilo que se objetivava aprender a
partir do problema ou da situação-problema e, formalmente, são colocadas as
definições, identificadas as propriedades, feitas as demonstrações, etc.
6 - PALAVRAS-CHAVE
Números e operações, formação de professores, ensino-aprendizagem de
Matemática através da resolução de problemas.
7
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
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- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – 1o e 2o ciclos (1997).
Brasília, DF.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – 3o e 4o ciclos (1998).
Brasília, DF.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – Ensino Médio (1999).
Brasília, DF.
NCTM. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: National
Council of Teachers of Mathematics, 2000.
ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de
problemas. In: BICUDO, M. A. V. Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo:
Editora UNESP, 1999. cap.12, p.199-220.
ONUCHIC, L. R. Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas e
Modelagem Matemática. Anais da 11a Conferência Interamericana de Educação
Matemática. Universidade Regional de Blumenau: Blumenau, 2003.
SOWDER, J. Estimation and Number Sense. In: GROWS, D .A. Handbook of research
on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan Publishing Company,
1992.
VAN DE WALLE, J. A. Teaching Through Problem Solving. In: VAN DE WALLE, J.
A. Elementary and Middle School Mathematics. New York: Longman, 2001. p.40-61.