Polinómio interpolador
➢ Dados n+1 pontos distintos x0, x1, ..., xn a que associamos valores funcionais
y1, y2, ..., yn, pretende-se determinar um polinómio de grau menor ou igual a
n,
pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
que interpole os dados, isto é tal que
p n ( x i ) = f ( x i ) = y i , i = 0 ,1 ,..., n
➢ Ao conjunto dos pares (xi,yi), i=1,2,...,n chamamos suporte de interpolação.
A nálise N um érica
29
Polinómio interpolador (cont)
➢ Exercício 2.1: Dada a seguinte tabela de uma função determine o seu
polinómio interpolador usando a definição.
A nálise N um érica
i
0
1
2
3
xi
-2
-1
0
1
yi
-15
-1
1
3
30
Polinómio interpolador de Lagrange
➢ Teorema: (Lagrange) Seja Pn o conjunto dos polinómios de grau menor ou
igual a n. Dados n+1 pontos suporte (xi,fi), i=0,1,...,n , existe um e um só
polinómio pn ( x) ∈ Pn tal que pn ( xi ) = f i , i = 0,1,2,..., n ,
n

 pn ( x) = ∑ f i li ( x)
i =0


(x − x j )
l ( x) =
∏
 i
j ≠ i ( xi − x j )
A nálise N um érica
31
Polinómio interpolador de Lagrange (cont)
➢ Exercício: Dada a tabela seguinte obtenha o polinómio interpolador de
Lagrange.
A nálise N um érica
i
0
1
2
3
xi
1
2
3
4
yi
4
15
40
85
32
Erro de interpolação
➢ Erro de interpolação, num certo ponto x:
en ( x) = f ( x) − pn ( x)
➢ Teorema : Seja f uma função real de variável real de classe Cn+1 no intervalo
I x = [x , x0 , x1 ,..., xn ] ( I x designa o menor intervalo fechado que contém os
pontos x0 , x1 ,..., xn , x ).
Então existe um
ξ ∈ Ix
en ( x ) = f ( x ) − pn ( x ) =
tal que
ψ ( x ) ( n +1)
(ξ ) com
f
(n + 1)!
Fórmula para o erro de
interpolação
ψ ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn )
A nálise N um érica
33
Operadores de diferenças finitas
➢ A expressão do polinómio interpolador foi obtida considerando os
polinómios de Lagrange li(x), i = 0,...,n, definidos sobre a partição. A
determinação do polinómio interpolador de uma função usando as funções
li(x) exige um grande esforço computacional e não permite obter o polinómio
interpolador de grau n a partir do conhecimento do polinómio interpolador de
grau n - 1. Estes dois factores levam-nos a considerar outro modo de obter o
polinómio interpolador.
➢ Operadores de diferenças finitas:
● Diferenças descendentes (ou progressivas) ∆
● Diferenças ascendentes (ou regressivas)
∇
(são utilizados quando os pontos xi de um suporte (xi, fi) são
equidistantes.)
● Diferenças divididas (usa-se para pontos xi de um suporte (xi, fi)
não equidistantes.)
A nálise N um érica
34
Diferenças descendente e ascendentes
➢ Suporte (xi , fi)
∆ f(x ) = ∆ f
i
i
= f (xi+1) - f (xi) e, de um modo geral, a diferença de
ordem k (k ≥ 2) de f(x) para x = xi é dada por
(
)
∆k f (xi ) = ∆ ∆k −1 f (xi ) = ∆k −1 (∆f (xi )) = ∆k −1 f ( xi +1 ) − ∆k −1 f ( xi )
∇ f(xi) = ∇ fi
= f (xi) - f (xi-1) e, de um modo geral, a diferença de
ordem k (k ≥ 2) de f(x) para x = xi é dada por
(
)
∇ k f (xi ) = ∇ ∇ k −1 f (xi ) = ∇ k −1 (∇f (xi )) = ∇ k −1 f ( xi ) − ∇ k −1 f ( xi −1 )
A nálise N um érica
35
Diferenças divididas
➢ Para uma função f (x) e um conjunto de pontos distintos {x0, x1,..., xn} temos:
● Diferença dividida de ordem 1 nos pontos {x0, x1}
f [x 0 , x1 ] =
●
f1 − f 0
x1 − x 2
Diferença dividida de ordem 2 nos pontos {x0, x1, x2}
f [x 0 , x1 , x 3 ] =
●
De um modo geral, usamos a notação
D k f ( x i ) = f [x i , x i +1 ,..., x i + k ] para designar a diferença dividida
de ordem k (k≥1) entre os (k +1) pontos {xi, xi+1,..., xi+k}, sendo
D k f ( xi ) =
A nálise N um érica
f [x1 , x 2 ]− f [x 0 , x1 ]
x2 − x0
D k −1 f ( x i + 1 ) − D k −1 f ( x i )
xi + k − xi
36
Tabela de diferenças divididas
Para n = 3
xi
x0
f (xi)
f (x0)
x1
f (x1)
x2
f [.,.]
f [.,.,.]
f ( x1 ) − f ( x0 )
x1 − x0
f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1
f (x2)
f ( x3 ) − f ( x2 )
x3 − x2
x3
f [.,.,.,.]
f [ x1 , x2 ] − f [ x0 , x1 ]
x2 − x0
f [x0,.,.x3]
f [ x2 , x3 ] − f [ x1 , x2 ]
x3 − x1
f (x3)
A nálise N um érica
37
Tabela de diferenças divididas (cont)
➢ Exemplo: Considerar uma função da qual se conhecem os valores dados no
seguinte quadro
xi
f (xi)
1
-1
5/4
0
3/2
2
2
3
5/2
1
Construir a tabela de diferenças divididas
A nálise N um érica
38
Diferenças divididas e derivadas de f
➢ Lema: Para um suporte de pontos igualmente espaçados, de passo h
(xi+1-xi = h , i =0,1,..., n-1), tem-se
∆k f i
f [ xi , xi +1 ,..., xi + k ] =
,k ≥ 0
k! h k
➢ Teorema: Seja f ∈ C n [a,b]. Se {x0, x1, ..., xn} são n +1 pontos distintos de
[a,b], então existe pelo menos um
∈ ]a,b[ tal que
ξ
f ( n ) (ξ )
f [ x0 , x1 ,..., xn ] =
n!
➢ Teorema: Para f ∈ C n e um suporte de n +1 pontos, de passo h, existe pelo
menos um ξ tal que
∆n f ( x) = h n f n (ξ )
A nálise N um érica
39
Polinómio interpolador de Newton nas diferenças divididas
➢ Suporte (xi, f i), i =0,1,...,n.
pn ( x) = f 0 + ∑ f [ x0 ,..., xk ]( x − x0 )...( x − xk −1 )
Uma vez determinado o pn se pretendermos obter pn+1 basta fazer
n
pn +1 ( x) = pn ( x) + f [ x0 ,..., xn +1 ]∏ ( x − xi )
i =0
A nálise N um érica
40
Polinómio interpolador nas diferenças descendentes
∆ j f ( x0 ) j −1
( x − xi )
pn ( x) = f ( x0 ) + ∑
∏
j
j!h i =0
j =1
n
➢ Efectuando a mudança de variável x → s definida por
x =x0 +sh (s = (x - x0 )/h ∈IR+ )
∆2 f 0
∆n f 0
pn ( x) = f 0 + s∆f 0 + s( s − 1)
+ ... + s ( s − 1)( s − 2)( s − n + 1)
2!
n!
s
s
s
pn ( x) = f 0 +  ∆f 0 +  ∆2 f 0 + ... +  ∆n f 0
1
 2
n
s
s ( j)
  =
j!
 j
e
com
s ( j ) = s ( s − 1 )( s − 2 )...( s − ( j − 1 ))
A nálise N um érica
41
Erro de Interpolação
➢ Para o polinómio interpolador de Newton nas diferenças divididas:
● Se apenas conhecermos apenas o suporte (xi,f (xi ))
en ( x ) = f ( x ) − pn ( x ) ≅ ψ ( x ) f [ x , x0 ,..., xn ]
●
Ou se conhecemos também f(x)
en ( x) ≤
A nálise N um érica
( x − x0 )...( x − xn )
(n + 1)!
max f ( n +1) ( x)
x0 ≤ x ≤ x n
42
Erro de interpolação
➢ Paro o polinómio interpolador de Newton nas diferenças descendentes
 s  n +1
∆ f 0
en ( x) = 
 n + 1
ou
 s  n +1 ( n +1)
h f
(ξ ), x0 < ξ < xn
en ( x) = 
 n + 1
A nálise N um érica
43
Polinómio interpolador de Hermite
➢ Seja f uma função em que são conhecidos f (xi) e f ‘ (xi) para i =0,1,...,n.
H 2 n +1 ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x0 , x0 ] + ( x − x0 ) 2 f [ x0 , x0 , x1 ] +
+ ( x − x0 ) 2 ( x − x1 ) f [ x0 , x0 , x1 , x1 ] + ... +
+ ( x − x0 ) 2 ( x − x1 ) 2 ...( x − xn −1 ) 2 ( x − xn ) f [ x0 , x0 ,..., xn , xn ]
A nálise N um érica
44
Aproximação polinomial de mínimos quadrados
Teoria da Aproximação
A função é dada explicitamente, mas
pretende-se aproxima-la por outra mais
simples.
(ajuste de funções)
Dado um conjunto de pontos,
pretende-se determinar a “melhor”
função dentro de uma certa classe
que possa ser usada para representar
os dados.
Se tivermos apenas os valores da função em certos pontos, não vamos exigir que a função
“aproximadora “ interpole a função dada nos pontos. Exigimos apenas que essa função “aproximadora” tome valores (nesses pontos) de forma a minimizar a distância aos valores dados,
no sentido dos mínimos quadrados.
A nálise N um érica
45
Aproximação Polinomial de Mínimos Quadrados
➢ Modelo linear simples
➢ (xi, yi ), i =1,..., n
● y = ax + b (recta de regressão)
a ∑ xi 2 + b∑ xi = ∑ xi yi

a ∑ xi + bn = ∑ yi
a=
n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi
b=
A nálise N um érica
n∑ xi − (∑ xi ) 2
2
∑y
i
− a (∑ xi )
n
46
Aproximação Polinomial de Mínimos Quadrados
Aproximar um conjunto de pontos (xi,yi) i=1,2,...,m por um polinómio de grau n
(n≤ m-1), p n ( x ) =
n
∑
k =0
a k x k , usando a técnica dos mínimos quadrados.
m
m
m
m
 m 0
1
2
n
0
+
+
+
+
=
a
x
a
x
a
x
...
a
x
y i xi
∑
1∑ i
2∑ i
n∑ i
 0∑ i
i =1
i =1
i =1
i =1
 i =1
m
m
m
m
m

1
2
3
n +1
1
a 0 ∑ xi + a1 ∑ xi + a 2 ∑ xi + ... + a n ∑ xi = ∑ y i xi
 i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
...

m
m
m
m
 m n
n +1
n+ 2
2n
n
a 0 ∑ xi + a1 ∑ xi + a 2 ∑ xi + ... + a n ∑ xi = ∑ y i xi
i =1
i =1
i =1
i =1
 i =1
A nálise N um érica
47