Exercı́cios de Cálculo Numérico
Interpolação Polinomial e Método dos Mı́nimos Quadrados
1. Para a função dada, seja x0 = 0, x1 = 0, 6 e x2 = 0, 9. Construa polinômios
de grau n ≤ 2, para aproximar f (0, 45), e encontre o valor do erro verdadeiro.
(a) f (x) = cos x
(b) f (x) =
q
(1 + x)
(c) f (x) = ln(x + 1)
2. Use o Teorema do Erro, e determine uma cota superior do erro, para as aproximações calculadas no exercı́cio 1
3. Sabendo-se que f (0, 81) = 16, 94410 f (0, 83) = 17, 56492 f (0, 86) = 18, 50515
e f (0, 87) = 18, 82091, calcule um valor aproximado de f (0, 84), usando:
(a) Polinômio interpolador de Lagrange de grau n ≤ 1, 2, 3
(b) Forma de Newton para polinômio interpolador de grau n ≤ 1, 2, 3
(c) Calcule uma cota superior do erro em cada caso, se possı́vel.
4. Seja uma função f tabelada nos pontos xi igualmente espaçados. Seja h o
passo e suponhamos que |f 00 (x)| ≤ M em todo intervalo da tabela. Mostre
que, ao se fazer uma interpolação linear da função f no ponto x tomando
os pontos consecutivos xi xi+1 , com xi < x < xi+1 , o valor absoluto do erro
1
cometido é no máximo ε = M.h2
8
5. Deseja-se construir uma tabela da função f (x) = ex no intervalo [0, 1] com
pontos xi igualmente espaçados. Seja h o passo. Qual o valor máximo de h
para que o erro da interpolação linear em qualquer ponto do intervalo seja
menor ou igual a ² ≤ 1.10−2 .
6. Considere a tabela abaixo:
Altura (cm) 183 173 188 163 178
Peso(kg)
79 69 82 63 73
(a) Usando um Polinômio Interpolador de grau dois, calcule a altura aproximada de uma pessoa com peso de 70 kg.
(b) Dê uma estimativa de erro para o caso anterior.
(c) Determine a melhor função da forma ψ(x) = αsen(x)+β cos(x) que ajusta
estes pontos e calcule a altura aproximada de uma pessoa com peso de
70 Kg.
7. Sabe-se que ao longo da linha vermelha a velocidade máxima permitida é de
90km/h e foram colocados radares para medir a velocidade instantânea dos
carros. Suponha que numa distância d = 1.0km, um motorista conferiu através
do velocı́metro (suponha que o velocı́metro seja exato) as seguintes velocidade:
distância 0 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0
velocidade 80 85 88 92 85 80
Pergunta-se:
(a) Considere um radar colocado na posição d = 0, 4. Usando um polinômio
interpolador de grau dois ou menor, calcule:
i) Velocidade aproximada neste ponto.
ii) Erro da interpolação neste ponto.
iii) Podemos concluir que o carro não será multado?
(b) Usando o Método dos Mı́nimos Quadrados faça uma regressão linear e
calcule a velocidade esperada em d = 1, 1
(c) Usando o Método dos Mı́nimos Quadrados determine o polinômio de
segundo grau ótimo, e calcule a velocidade esperada em d = 1, 1
(d) O jornal “O Globo” publicou a seguinte notı́cia: Em virtude da estimativa de erro do radar ser de 10% então os carros poderiam andar a uma
velocidade máxima de 99km/h sem serem multados. O que você pensa
sobre isto?
8. A tabela abaixo representa a inflação bimestral medida pelo INPC no ano
de 2000.
bimestre janeiro f evereiro marco maio junho
inflação(%)
0, 75
0, 64
0, 24 2, 94 0, 37
(a) Estime qual foi a inflação em abril , utilizando um polinômio interpolador
de grau n ≤ 2.
(b) Calcule o erro da estimativa anterior.
(c) Podemos garantir,usando o resultado do item anterior, que a inflação
semestral foi menor que 6%?.
(d) Determine a inflação do mês de julho, usando um polinômio de grau
n ≤ 2.
9. A tabela abaixo representa o número oficial aproximado de pessoas com DENGUE,
ou seja, infectados pelo virus (Aëdes aegypti) no Rio de Janeiro:
data
1999 2000 2001 20021 20022
números 4.300 2.200 36.500 41.600 42700
Os dados relativos 20021,2 correspondem ao número de casos registrados nos
meses de janeiro e fevereiro.
(a) Usando uma reta, estime o número de infectados no mês de março de
2002, pelo método dos mı́nimos quadrados.
(b) Estime qual foi o número de infectados pelo virus em fevereiro de 2001,
utilizando um polinômio interpolador de grau n ≤ 2.
(c) Estime o erro na aproximação calculada no item c.
10. Qual é a diferença entre interpolação polinomial e o ajuste de curvas pelo
método dos mı́nimos quadrados? É possı́vel obter um mesmo polinômio que
interpola e faz o ajuste de curvas pelo método dos mı́nimos quadrados?
11. O número de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após
x horas é dado na tabela abaixo:
número de horas
0 1 2 3
4
5
6
número de bactérias 32 47 65 92 132 190 275
(a) Ajuste os dados acima a curva y = aebx pelo método dos mı́nimos quadrados.
(b) Quantas horas seriam necessárias para que o número de bactérias por
unidade de volume ultrapasse 2000?
12. Dada a tabela abaixo, faça o gráfico de dispersão dos dados e ajuste uma curva
da melhor maneira possı́vel.
x 0, 5 0, 75 1 1, 5 2, 0 2, 5 3, 0
y −2, 8 −0, 6 1 3, 2 4, 8 6, 0 7, 0
13. Interpolação em duas variáveis
Seja Ω um retângulo R = {(x, y); a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d} e as seguintes
partições: Rx : a = x0 < x1 < · · · < xn = b e Ry : c = y0 < y1 < · · · < ym = d.
Considere os polinômios de Lagrange {Li (x) : 0 ≤ i ≤ n} e {Lj (y) : 0 ≤ j ≤
m} de grau n e m respectivamente. Definindo
P (x, y) =
n,m
X
f (xi , yj ).Lij (x, y)
i=j=0
obtemos um polinômio interpolador de grau n em x e m em y, onde
Lij (x, y) = Li (x)Lj (y)
Considere a tabela abaixo:
Altura (cm)
183 173 188 163 178
Peso(kg)
79 69 82 63 73
Velocidade(km/h) 15 16 14 14 15
Determine, a velocidade aproximada de uma pessoa, que mede 175 cm e pesa
75 kg, usando um polinômio interpolador de grau 2 em cada variável.
Gabar ito da Lista de Inter polação e Método dos Mínimos Quadrados
Exer cício 1:
(a) f(x) = cos(x)
Primei ra for ma: Interpolação de Lagrange
P2 ( x ) = L 0 ( x ) f ( x 0 ) + L1 ( x ) f ( x 1 ) + L 2 ( x ) f ( x 2 )
onde :
L0 ( x ) =
( x − x 1 )( x − x 2 )
(0,45 − 0,6)(0,45 − 0,9)
= 0,125 ; f(0) = cos(0) = 1
⇒ L 0 ( 0,45) =
( x 0 − x 1 )( x 0 − x 2 )
(0 − 0,6)(0 − 0,9)
L1 ( x ) =
( x − x 0 )( x − x 2 )
(0,45 − 0)(0,45 − 0,9)
= 1,125 ; f(0,6) = cos(0,6) ≈ 0,825
⇒ L1 ( 0,45) =
( x 1 − x 0 )( x 1 − x 2 )
(0,6 − 0)(0,6 - 0,9)
L2( x ) =
( x − x 0 )( x − x 1 )
(0,45 − 0)(0,45 − 0,6)
⇒ L 2 ( 0,45) =
= -0,25 ; f(0,9) = cos(0,9) ≈ 0,622
( x 2 − x 0 )( x 2 − x 1 )
(0,9 - 0)(0,9 - 0,6)
Portanto,
f(0,45) ≈ P2 (0,45) = 0,125 ⋅ 1 + 1,125 ⋅ 0,825 − 0,25 ⋅ 0,622 = 0,897625
Erro :
f(x) - P2 (x) = cos(0,45) − P2 (0,45) ≈ 2,822 ⋅ 10 −3
Segunda for ma: Diferenças Divididas de Newton
P2 ( x ) = d 0 + d1 ( x − x 0 ) + d 2 ( x −x 0 )( x − x 1 )
onde :
d0 = f [ x 0 ]
d1 = f [ x 0 , x 1 ] =
f [ x1 ] − f [ x 0 ]
x1 − x 0
d 2 = f [ x 0 , x1 , x 2 ] =
f [ x1 , x 2 ] − f [ x 0 , x1 ]
x2 − x0
Vamos montar a seguinte tabela:
x
x0 = 0
dd0
f[x 0 ] = 1 = d 0
x1 = 0,6
f[x1] = 0,825
dd1
dd2
f[x 0 , x 1 ] = −0,292 = d 1
f[x 0 , x 1 , x 2 ] = −0,428 = d 2
f[x 1 , x 2 ] = −0,677
x2 = 0,9
f[x2] = 0,622
P2 (0,45) = 1 + ( −0,292)(0,4 5 − 0) + ( −0,428)(0,4 5 − 0)(0,45 − 0,6) = 0,89749
Exer cício 2:
Cota Super ior do Err o:
E n (x) = f(x) − Pn (x) ≤
M n +1
(x − x 0 )(x − x 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ (x − x n )
(n + 1) !
onde :
M n +1 = máx f
(n +1)
(x) para x ∈ [x 0 , x n ]
Então ,
E 2 ( x ) = f ( x ) − P2 ( x ) ≤
f ′′′( x ) máx
3!
( x − x 0 )( x − x 1 )( x − x 2 )
′ = sen(x)
f(x) = cos(x) ⇒ f ′′(x)
′ = 0 ; f ′′(0,6)
′
′
f ′′(0)
≈ 0,565 ; f ′′(0,9)
≈ 0,7833
Máximo
E 2 (0,45) ≤
0,7833
(0,45 − 0)(0,45 − 0,6)(0,45 − 0,9) ≈ 3,965 ⋅ 10 −3
3!
Exer cício 3:
(a) Devemos neste item construir por Lagrange P1(x), P2(x), P3(x) tais que:
P1(x) = L0 (x)f(x 0 ) + L1(x)f(x1 )
onde :
L0 (x) =
x − x0
x − x1
; L1(x) =
; com x0 = 0,83 e x1 = 0,86
x 0 − x1
x1 − x 0
P2 (x) = L 0 (x)f(x 0 ) + L1 (x)f(x 1 ) + L 2 (x)f(x 2 )
onde :
L 0 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 )
(x − x 0 )(x − x 2 )
(x − x 0 )(x − x 1 )
; L1 (x) =
; L 2 (x) =
(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )
(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
com x 0 = 0,83 , x 1= 0,86 e x 2 = 0,87 (lembrando que escolhemos para x 0 o valor mais próximo de x)
P3 (x) = L0 (x)f(x0 ) + L1(x)f(x1 ) + L2 (x)f(x 2 ) + L3 ( x ) f ( x 3 )
onde :
L0 (x) =
(x − x1 )(x − x 2 )(x - x 3 )
(x − x0 )(x − x 2 )(x - x 3 )
(x − x0 )(x − x1 )(x - x 3 )
; L1(x) =
; L2 (x) =
(x0 − x1 )(x0 − x 2 )(x0 − x 3 )
(x1 − x0 )(x1 − x 2 )(x1 − x 3 )
(x 2 − x0 )(x 2 − x1 )(x 2 − x 3 )
com x0 = 0,81 , x1= 0,83, x 2 = 0,86 e x 3 = 0,87
(b) Usando Diferenças Divididas de Newton:
Devemos neste item construir P1(x), P2(x), P3(x) tais que:
P1 ( x ) = d 0 + d1 ( x − x 0 )
P2 ( x ) = d 0 + d1 ( x − x 0 ) + d 2 ( x − x 0 )( x − x 1 )
P3 ( x ) = d 0 + d1 ( x − x 0 ) + d 2 ( x − x 0 )( x − x 1 ) + d 3 ( x − x 0 )( x − x 1 )( x − x 2 )
e usar tabelas como usamos no exercício 1.
(c) Se a função f(x) é dada na forma de tabela, o valor absoluto do erro |En(x)| só pode ser estimado.
Isto porque, neste caso, não é possível calcular Mn+1; mas, se construirmos a tabela de diferenças
divididas até ordem n+1, podemos usar o maior valor (em módulo) destas diferenças como uma
M n +1
aproximação para
no intervalo [x0 , xn].
( n + 1)!
Neste caso, dizemos que:
E n (x) ≈ (x − x 0 )(x − x 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ (x − x n ) ⋅ (máx diferenças divididas de ordem n + 1 )
Então, neste exercício:
E 1 (x) ≈ (x − x 0 )(x − x 1 ) ⋅ (máx dd 2 )
E 2 (x) ≈ (x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 ) ⋅ (máx dd 3 )
E 3 (x) ≈ (x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 ) ⋅ (máx dd 4 )
Pela tabela:
x
0,81
dd0
16,94410
0,83
17,56492
0,86
18,50515
0,87
18,82091
dd1
dd2
dd3
31,041
6 = máx|dd2|
31,341
-2,0873
5,875
31,576
Assim,
E1 (0,84) ≈ (0,84 − 0,83)(0,84 − 0,86) ⋅ (6 ) = 1,2 ⋅ 10 −3
E 2 (0,84) ≈ (0,84 − 0,83)(0,84 − 0,86)(0,84 − 0,87) ⋅ ( − 2,0833 ) = 1,24998 ⋅ 10 −5
Não é possível determinar |E3(x)| porque não temos as diferenças divididas de ordem 4.
Exer cício 4:
Neste exercício, temos pontos xi igualmente espaçados. Sendo h o passo, temos:
x 1 − x 0 = x 2 − x 1 = ⋅ ⋅ ⋅ = x n − x n −1 = h
Cota superior para o erro na interpolação linear:
E 1 ( x ) = f ( x ) − P1 ( x ) ≤
f ′′( x ) máx
2!
( x − x 0 )( x − x 1 )
′ ≤ M ; x 0 = x i ; x 1 = x i +1
Também são dados do exercício : f ′(x)
Para achar ( x − x i )( x − x i +1 ) máx , basta verificarmos que como se trata de uma parábola, a coordenada
 x + x i +1
que contém o valor máximo para w(x) = ( x − x i )( x − x i +1 ) é (x vértice , y vértice ) =  i
, y vértice
2

Então ,
h
E1 ( x ) ≤
M
2!
 x i + x i +1

− xi
2

 x i + x i +1
 M

− x i +1  =
2
2


 x i +1 − x i

2

Aplicar o resultado do exercício anterior.
Também é vál i do aqui o segui nt e cor ol ár i o par a o T eor ema do Er r o:
Par a pont os i gual ment e espaçados, ou seja: x 1 − x 0 = x 2 − x 1 = ⋅ ⋅ ⋅ = x n − x n −1 = h
onde h é o passo, t emos:
h n +1 M n +1
4(n + 1)
h
 x i − x i +1  M x i +1 − x i x i − x i +1
Mh 2

 =
=
2
2
2
2
8


Exer cício 5:
E n (x) = f(x) − Pn (x) <



Exer cício 6:
(a) Vamos ordenar a tabela por peso:
Altura(cm)
Peso (Kg)
163
63
173
69
178
73
183
79
188
82
Usando P2 ( x ) = d 0 + d1 ( x −x 0 ) + d 2 ( x −x 0 )( x − x1 ) , temos:
x
63
dd0
163
dd1
69 = x 0
173 = d 0
73 = x 1
178
79 = x 2
183
82
188
dd2
dd3
dd4
5/3
-1/24
0
5/4 = d 1
29/53352
-1/24 = d 2
5/6
29/2808 = máx|dd3|
5/54
5/3
P2 (70) = 173 +
5
1
(70 − 69) −
(70 − 69)(70 − 73) = 174,375 cm
4
24
(b) Estimativa do erro:
E 2 (70) ≈ (70 − 69)(70 − 73)(70 − 79) ⋅ (29 / 2808 ) ≈ 0,27885
(c) A curva que aproximaremos para os pontos da tabela é da forma:
Ù
[
= Â sen(x) +
à cos(x)
Vamos ajustá-la aos dados da tabela através do Método dos Mínimos Quadrados, fazendo:
S(Â ,
4
à = ∑ [f(x i ) −  sen(x i ) − à cos(x i ) ] 2
i =0
onde :
4
∂S
=0 ⇒ 2
[f(x i ) −Â sen(x i ) −
∂Â
i =0
∑
4
∂S
=0 ⇒ 2
[f(x i ) −Â sen(x i ) −
∂Ã
i =0
∑
à cos(x i ) ] ⋅ [-sen(x i ) ] = 0 (1)
à cos(x i ) ] ⋅ [-cos(x i ) ] = 0 (2)
Rearrumand o (1) e (2), temos :
4
2α
∑ sen
i =0
4
2
( xi ) + β
4
∑ sen ( 2x ) = 2∑ f ( x )sen ( x )
i
i =0
i
i =0
i
(3)
4
α
∑
4
sen ( 2x i ) + 2β
i =0
∑
4
∑ f (x
cos 2 ( x i ) = 2
i =0
i
) cos( x i )
(4)
i =0
Formamos a seguinte tabela:
x
79
69
82
63
73
y = f(x)
183
173
188
163
178
SOMAS
sen2(x)
0,964
0,872
0,981
0,794
0,915
4,526
cos2(x)
0,036
0,128
0,019
0,206
0,085
0,474
sen(2x)
0,375
0,669
0,276
0,809
0,559
2,688
ysen(x)
179,638
161,509
186,170
145,234
170,222
842,773
ycos(x)
34,918
61,998
26,165
74,000
52,042
249,123
Assim, temos o sistema:
9,052 α + 2,688 β = 1685,546
2,688 α + 0,948 β = 498,246
Resolvendo esse sistema, achamos :
α ≈ 190,717
β ≈ -15,187
Portanto, a melhor função que ajusta estes pontos é :
ψ (x) = 190,717 sen(x) - 15,187 cos(x)
Agora, vamos usar essa equação para achar a altura aproximada de uma pessoa de 70 Kg :
ψ (70) = 190,717 sen(70º ) - 15,187 cos (70º ) ≈ 174,021 cm
Exer cício 10:
Dados :
( x i , f ( x i )) , i = 0,1,..., m (Tabela de f)
ϕ 0 ( x ), ϕ1 ( x ), ..., ϕ n ( x ) (Funções quaisquer contínuas)
Determinar uma função do tipo :
g(x) = c 0 ϕ 0 ( x ) + c 1ϕ1 ( x ) + ... + c n ϕ n ( x )
onde c i ∈ R , i = 0,1,..., n
que se ajuste à tabela dada por (x i , f ( x i )) , i = 0, 1, ..., m
A idéia mais ingênua e natural que nos ocorre para ajustar g à f é impormos a condição de
que g coincida com f nos pontos dados; ou seja, g(xi) = f(xi), i = 0,1,..., m.
Teríamos então:
f ( x0 )
c 0 ϕ 0 ( x 0 ) + c 1ϕ 1 ( x 0 ) + ... + c n ϕ n ( x 0 ) =

f ( x1 )
c 0 ϕ 0 ( x 1 ) + c 1ϕ 1 ( x 1 ) + ... + c n ϕ n ( x 1 ) =
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

c 0 ϕ 0 ( x m ) + c 1ϕ1 ( x m ) + ... + c n ϕ n ( x m ) = f ( x m )
que é um sistema de m + 1 equações e n + 1 incógnitas c 0 , c 1 ,..., c n .
( a ) Quando m = n, ϕ i ( x ) = x i e os pontos x i ' s são distintos teremos um problema de INTERPOLAÇ ÃO
POLINOMIAL
(b) Quando m > n teremos um sistema com mais equações do que incógnitas e um dos métodos mais usados
neste caso é o MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ).
É possível obter um mesmo polinômio que interpola e faz o ajuste de curvas pelo MMQ se o modelo ajustar
m
exatamente os dados. Dessa forma, o mínimo de S(c 0 , c 1 ,..., c n ) =
∑[ f (x
k
) − g ( x k ) ] 2 será zero e, portanto,
k =1
a interpolaç ão é um caso especial dentro do MMQ.
Exer cício 13:
Por ordem de peso, a tabela fica:
Peso(Kg)
Altura(cm)
Velocidade(km/h)
63
163
14
69
173
16
73
178
15
79
183
15
O exercício pede para usar um polinômio bidimensional de grau 2. Então:
P2 (x, y) = f(x 0 , y 0 )L 0 (x)L 0 (y) + f(x 0 , y1 )L 0 (x)L1 (y) + f(x 0 , y 2 )L 0 (x)L 2 (y) +
f(x 1 , y 0 )L1 (x)L 0 (y) + f(x 1 , y1 )L1 (x)L1 (y) + f(x 1 , y 2 )L1 (x)L 2 (y) +
f(x 2 , y0 )L 2 (x)L 0 (y) + f(x 2 , y1 )L 2 (x)L1 (y) + f(x 2 , y 2 )L 2 (x)L 2 (y)
Para a variável x : x 0 = 73, x1 = 79, x 2 = 82
L 0 (75) = 14/27 ; L1 (75) = 7/9 ; L 2 (75) = −8/27
82
188
14
Para a variável y : y 0 = 73, y1 = 79, y 2 = 82
L 0 (175) = 12/25 ; L1 (175) = 16/25 ; L 2 (175) = −3/25
Então, fazendo agora L ij (x, y) = L i (x)L j (y), temos :
L 00 (75,175) = 56/225, f(x 0 , y 0 ) = 16
L 01 (75,175) = 224/675, f(x 0 , y1 ) = 15
L 02 (75,175) = −14/225, f(x 0 , y 2 ) = 15
L10 (75,175) = 28/75, f(x 1 , y 0 ) = 16
L11 (75,175) = 112/225, f(x 1 , y1 ) = 15
L12 (75,175) = -21/225, f(x 1 , y 2 ) = 15
L 20 (75,175) = -32/225, f(x 2 , y 0 ) = 16
L 21 (75,175) = -128/675, f(x 2 , y1 ) = 15
L 22 (75,175) = 8/225, f(x 2 , y 2 ) = 15
Observação: na hora de calcular f(xi , yj), colocamos xi como ponto fixo (que não varia).
Depois, verificamos o valor de f(xi , yj) , a velocidade representada neste exercício, no ponto
yj .
Portanto,
56
224
14
28
112
21
32
128
+ 15 ⋅
+ 15 ⋅ −
+ 16 ⋅
+ 15 ⋅
+ 15 ⋅ −
+ 16 ⋅ −
+ 15 ⋅ −
+
225
675
225
75
225
225
225
675
8
+ 15 ⋅
= 15,48 km/h.
225
P2 (75,175) = 16 ⋅