MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
INTRODUÇÃO
Esse trabalho abordará alguns conceitos importantes sobre a Matemática no
Ensino Fundamental. Além desse material, indicamos que você leia livros, acesse
sites relacionados à Matemática para concretizar o seu conhecimento. O
aperfeiçoamento de seus estudos fará com que um dia nunca digas como o famoso
Charles Darwin “Lamento profundamente não ter aprofundado suficientemente este
gênero de estudos, a menos de modo a compreender os grandes princípios da
matemática, porque os homens dotados desta compreensão parecem possuir um
sentido suplementar”.
Então, aperfeiçoe seus estudos para que possa ter um
sentido suplementar.
Use o lápis para acrescentar algum comentário, para sublinhar as palavras
mais importantes, para expor a tua indignação ou admiração, ...
Se já conseguistes chegar até aqui, não pares, pois estarás preparado para
enfrentar os obstáculos que lhe vão surgindo pela vida.
Disponível em: <www.prof2000.pt>. Acesso em: 18 out. 2011. (Adaptado)
Desejamos Sucesso ....
OBJETIVO
Possibilitar ao candidato condições para que ele possa fazer uma breve
revisão dos conteúdos no ensino fundamental.
“ Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de
pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência.”
Irene de Albuquerque
1
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NÚMEROS NATURAIS
Operações básicas.
Resolver seguindo a ordem:



Potenciação.
Multiplicação e divisão.
Adição e subtração.
Obs: Em uma expressão, resolver primeiro as operações que estão entre
parênteses, depois os colchetes e, por fim, as chaves.
Pratique resolvendo os exercícios de fixação 1, 2 e 5.
Potenciação e suas propriedades.
5 3 → Base: 5 Expoente: 3 → Resolvendo: 53  5  5  5  125
1) Multiplicação de potências de mesma base.
Ex: 3 2  3 = 3 2  1 = 3 3 = 27
Conservar a base e somar os expoentes.
2) Divisão de potência de mesma base.
Ex: 45 : 43 = 4 5 3 = 4 2 = 16
Conservar a base e subtrair os expoentes.
3) Potência de potência.
 
Ex: 23
2
= 23 x 2 = 2 6 = 64
Conservar a base e multiplicar os expoentes.
4) Expoente zero.
Ex: 20 = 1
Todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um.
5) Expoente um.
Ex: 1021 = 102
Todo número elevado a um é igual a ele mesmo.
6) Base um.
Ex: 112 = 1
Um, elevado a qualquer número, é igual a um.
2
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7) Base zero.
Ex: 0 8 = 0
Zero elevado a qualquer número, diferente de zero, é igual a zero.
Obs: Essas propriedades serão aplicadas somente se as bases forem iguais.
Pratique resolvendo o exercício de fixação 4.
NÚMEROS INTEIROS (NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS)
OPERAÇÕES:
Adição e subtração.

Sinais diferentes.
Ex: - 5 + 7 = + 2

Subtrair e conservar o sinal do maior.
Sinais iguais.
Ex: a) + 2 + 6 = + 8
b) - 2 - 6 = - 8
Somar e conservar o mesmo sinal.
Multiplicação e divisão.

Sinais iguais.
Ex: a) (-25) : (-5) = 5
b) (-3) . (-2) = +6
c) (+25) : (+5) = +5
d) (3) . (+2) = +6

Multiplicação ou divisão de dois fatores de sinais
iguais, o resultado é positivo.
Sinais diferentes.
Ex: a) (-16) : (+2) = -8
b) (+16) : (-2) = -8
c) (-3) . (+4) = -12
d) (+2) . (-6) = -12
Multiplicação ou divisão de dois fatores de sinais
diferentes, o resultado é negativo.
Potenciação.

Base negativa e expoente par, resultado positivo.
Ex: (-2)4 = 16
3
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
Base negativa e expoente ímpar, resultado negativo.
Ex: (-2)3 = -8

Base positiva, o resultado será positivo.
Obs: -24 ≠ (-2)4 → -16 ≠ 16
Pratique resolvendo o exercício de fixação 4.
Raiz qualquer
a → n: índice
Definição: n a  b  bn  a
n
Raiz quadrada (índice 2)
Exemplo:
16
Resolver essa raiz é responder a pergunta: qual número que, multiplicado por ele
mesmo, resulta em 16?
Assim,
16  4 ou  4 . Por definição: 42  16 e  4  16 .
2
Cuidado: Não existe raiz, de índice par, de número negativo no conjunto dos
números reais (R).
 16  ? (Lembre-se de que 42  16 e  4  16 ).
2
Raiz cúbica (índice 3)
3
8  2, porque 23  8.
3
 64  4, porque  4  64.
3
 343  7, porque  7  343.
3
3
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Múltiplos
Ex: 30 é múltiplo de 6.
Pois 30 : 6 = 5 (divisão exata)
Quando o resto da divisão de um número
natural A por um número natural B é igual a
zero, dizemos que A é múltiplo de B.
Obs: B nunca pode ser 0. ( B ≠ 0)
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Para encontrar os múltiplos de um número natural, basta multiplicá-lo por todos os
números naturais. Como se trata de um conjunto infinito, os múltiplos de um
número também são infinitos.
Ex: Calcular os múltiplos de 3.
3  0  0, 3  1  3, 3  2  6, 3  3  9...
M(3) = 0, 3, 6, 9, 12,...
As reticências indicam que o
processo continua infinitamente.
Divisores
Ex: divisores de 30
{1, 2, 3, 5, 6,10, 15, 30}
São todos os fatores exatos de um número natural.
Números primos
Ex: {2, 3, 5, 7, 11,...}
São números que possuem apenas dois divisores, o
número 1 e ele mesmo.
Obs: O menor número primo é o número 2 e é o único par.
Usamos os números primos para trabalhar com a fatoração (MMC).
Números compostos
São números que possuem mais de dois divisores.
Ex: { 4, 6, 8, 9, 12, 15,...}
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC).
O MMC de dois ou mais números naturais não nulos é o menor número múltiplo
deles, diferente de zero.
Ex: a) MMC de 3, 6 e 15
3, 6, 15
3, 3, 15
1, 1, 5
1, 1, 1
2
3
5
2 .3 . 5 = 30
b) MMC de 12, 36 e 45
12, 36, 45
6, 18, 45
3, 9, 45
1, 3, 15
1, 1, 5
1, 1, 1
2
2
3
3
5
22.32.5 = 4 . 9 . 5 = 180
5
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Pratique resolvendo o exercício de fixação 3.
FRAÇÕES:
Exemplo:
3
5
Nessa fração, o número 3 é o numerador da fração, enquanto o número 5 é o
denominador.
O denominador indica a quantidade de partes em que o inteiro foi dividido.
O numerador indica a quantidade de partes que foi “tomada” do inteiro.
Obs: Para existir fração, as partes devem ter o mesmo tamanho.
Representando:
→
3
4
Obs: Toda fração é uma divisão.
4
7
4
→
3
→
1
3
3
3:4
4
2
5
4
 4:7
7
4
 4:3
3
5
8
Operações:
Adição e subtração.

Ex: a)
b)
Denominadores iguais.
1
3
1 3
4
+
=
=
5
5
5
5
3 2
1
32
=
=
5 5
5
5
Conserva-se o denominador,
subtrai os numeradores.
soma
ou
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
Denominadores diferentes.
Exemplo:
a)
2 1
 
5 2
Passo I - Reduzir as frações ao mesmo denominador através do MMC.
MMC (2, 5)
2 1
 
5 2
2, 5 2
1, 5 5
1, 1 2  5  10
10
Passo II - Dividir o MMC encontrado pelos denominadores.
10 : 5 = 2
10 : 2 = 5
Passo III - Multiplicar esse resultado pelo numerador.
22  4
5 1  5
Passo IV – Conservar o denominador e resolver a operação de soma ou subtração
entre os numeradores.
2 1
45
9
 

5 2
10
10
b)
8
3
5
2 1
=
=
3 4
12 12
12
Obs: Nas comparações de frações deve reduzi-las ao mesmo denominador e
comparar os numeradores. Dessa forma, a fração de maior valor será aquela de
maior numerador.
Ex:
1
1
1
3
2
1
e
→

logo

2
6
6
2
3
3
8
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1
1
3
2
é equivalente a
e
é equivalente a
2
6
6
3
Multiplicação
Ex: a)
b)
4
2
1 4
1 4
.
=
=
=
6 5
30
15
65
8
2 4
24
.
=
=
3 3
9
33
Multiplicar numerador com numerador e
denominador com denominador, simplificando
o resultado sempre que possível.
Obs: Simplificação: É a divisão do numerador e do denominador pelo mesmo
número.
Ex:
5
5:5
1


10
10 : 5 2
Divisão.
Ex: a)
Conservar a primeira fração e multiplicar pelo
inverso da segunda fração.
14
2
3
2 7
:
=
.
=
5
7
5 3
15
Obs: Fração inversa: Trocar o numerador com o denominador.
Ex: a)
5
2
 fração inversa 
2
5
b) 3  fração inversa 
1
3
Potenciação:
2
4
22
2
Ex: a)   = 2 =
9
3
3
Elevar o numerador e o denominador.
Obs: As propriedades da potenciação dos números naturais também se aplicam às
frações.
Radiciação:
Ex:
36
=
25
36
25
=
6
5
Tirar a raiz do numerador e do denominador.
Obs: Lembre-se de que não existe raiz quadrada de números negativos no
conjunto dos números reais (R).
9
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Pratique resolvendo os exercícios de fixação 6 ao 10.
NÚMEROS DECIMAIS
Soma e subtração
Ex: a) 5,02 + 0,018
b) 12,003 – 4,5
5,020
+ 0,018
5,038
12,003
- 4,500
7, 503
Para somar ou subtrair números decimais,
é preciso colocar vírgula em baixo de
vírgula e completar as casas decimais com
zero, quando necessário.
Multiplicação
Ex: a) 0,08 . 5,3
0,08→ 2 casas
x 5,3 → 1 casa
024
+ 040
0,424 → 3 casas
b) 18,324 . 0,3
x
Multiplicam-se os números como
se esses fossem naturais
(desprezamos
as
vírgulas).
Depois coloca-se a vírgula no
resultado, separando, da direita
para a esquerda, o total de
casas decimais dos dois fatores.
18,324
0,3
5,4972
Divisão
Ex: a) 63,072 : 3,6
63,072 3,6
63,072 3,600
63072
- 3600
27072
- 25200
18720
- 18000
7200
- 7200
0
b) 1,3 : 0,25 =
3600
17,52
Igualar as casas decimais no dividendo e
no divisor, completando-as com zero.
Eliminar a vírgula.
Dividir os números como se fossem
números naturais.
1,3 0,25
1,30 0,25
130 25
- 125 5,2
50
- 50
00
10
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Pratique resolvendo o exercício de fixação 11.
ÁLGEBRA:
Parte da matemática que envolve letras e números. As letras são chamadas de
incógnitas ou variáveis.
Monômios: 3x; - 9f; a³; 35c².
Coeficiente : 3
3x  
Parte literal : x

Coeficiente :  9
 9f  
Parte literal : f ;

Coeficiente : 1
a3  
Parte literal : a 3

Coeficiente : 35
35c 2  
Parte literal : c 2

Obs: monômios que apresentem a mesma parte literal são chamados de monômios
semelhantes: 6x e x; 3b² e -7b²; 6x³ya² e a²x³y.
Binômios: 2x + y; x² + x; 6a³b² - a³b²y.
Trinômios: 7x³ - x + 12x²; a + b – c.
Polinômios: x 5  x 2  x 3  x 4 ; 3a3  ab2  x 2  9m3  ab2m4 x .
Operações:
Adição e subtração.
Ex: a) x + 2x = 3x
b) 3x³ – x³ = 2x³
Agrupar por monômios semelhantes.
c) 5x² + y – 3x² + 2y =
5x² – 3x² + y + 2y = 2x² + 3y
Multiplicação e divisão.
Ex: a) x . y = xy
b) y² . y = y³
Se as incógnitas forem iguais, aplicar as propriedades da
potenciação.
2x 2 y
2 : 2 x2 y
1 x y
1 x  y xy
c)


    

3
6x
6:2 x 1
3 1 1
3  1 1
Pratique resolvendo o exercício de fixação 12.
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EQUAÇÕES DO 1º GRAU
3x  2  5


1º membro
2 º membro
Resolução:
Ex: a) 3x – 9 = 6
I ) Separar as incógnitas (com seus coeficientes) no 1º membro,
Separar os termos independentes (números sem incógnita) no 2º membro.
Obs: Toda vez que um termo mudar do 1º membro para o 2º, ou vice-versa,
inverter a operação.
OPERAÇÃO
Soma
Subtração
OPERAÇÃO
INVERSA
Subtração
Soma
OPERAÇÃO
OPERAÇÃO
INVERSA
Multiplicação
Divisão
Divisão
Multiplicação
OPERAÇÃO
Potência
Raiz
OPERAÇÃO
INVERSA
Raiz
Potência
Logo:
a)
O número 3 está multiplicando a incógnita x no 1º
3x – 9 = 6
3x = 6 + 9
membro e passa para o 2º membro dividindo.
3x = 15
15
x=
→x=3
3
b) –2x = 5
5
x=
2
5
x= 
2
c) 3.(x + 2) = 5x
3 . x + 3 . 2 = 5x
3x + 6 = 5x
3x – 5x = -6
–2x = –6
6
x=
2
x=3
O número – 2 está multiplicando a incógnita x no 1º
membro e passa para o 2º membro dividindo.
Aplicar a propriedade distributiva multiplicando o
número 3 por x e por 2.
Agrupar os termos semelhantes, deixando a incógnita
(com seu coeficiente) no 1º membro e o termo
independente no 2º membro.
O número –2 está multiplicando a incógnita x no 1º
membro e passa para o 2º membro dividindo.
Pratique resolvendo o exercício de fixação 13.
12
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GRÁFICOS.
y
2º quadrante
Eixo das ordenadas
1º quadrante
x
3º quadrante




Eixo das abscissas
4º quadrante
No 1º quadrante, a abscissa e a ordenada (par ordenado ou coordenada)
são positivas ( x , y) → (+ , +).
No 2º quadrante, a abscissa é negativa e a ordenada é positiva (– , +).
No 3º quadrante, a abscissa e a ordenada são negativas (– , –).
No 4º quadrante, a abscissa é positiva e a ordenada é negativa (+ , –).
Pratique resolvendo o exercício de fixação 18.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Dica: Ao se aumentar (ou diminuir) uma grandeza, a outra também aumenta (ou
diminui).
Em toda grandeza diretamente proporcional vale: “O produto dos meios é igual ao
produto dos extremos”.
Na prática: Depois de montar a proporção, multiplicar cruzado (o de cima multiplica
o debaixo, o debaixo multiplica o de cima).
Ex: Comprando-se 5 canetas, paga-se R$ 6,25. Quanto pagará uma pessoa que
comprar 8 canetas?
5 6,25

8
x
5 6,25
50

 5x  8  6,25  5x  50  x 
 x  10
8
x
5
R: Ao comprar 8 canetas, a pessoa pagará R$ 10,00.
De fato, ao substituir o valor de x na proporção temos:
5 6,25

 5  10  8  6,25  50  50
8
10
“O produto dos meios é igual ao produto
dos extremos”.
13
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Também podemos ver grandezas diretamente proporcionais no Teorema de Tales
e nas escalas, entre outros.
Pratique resolvendo o exercício de fixação 16.
14
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GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Dica: Se uma grandeza aumenta, a outra diminui. Se uma grandeza diminui, a outra
aumenta. Por isso elas são inversas.
Em toda grandeza inversamente proporcional vale: O produto entre as grandezas é
igual a uma constante.
Na prática: Depois de montar a proporção, multiplicar direto (o de cima multiplica o
de cima, o debaixo multiplica o debaixo).
Exemplo 1: Um carro, viajando com velocidade média de 80 km/h, percorreu uma
distância de 400 km em 5 horas. Quantas horas gastaria esse carro para percorrer
essa mesma distância com velocidade média de 100 km/h?
Montando a proporção:
tempo


80
5
400

 100  x  80  5  100x  400  x 
x4
100
x
100
velocidade
Observe que ao aumentar a velocidade média, o tempo para o mesmo percurso
diminui.
Exemplo 2: Para pintar um galpão, 6 pintores gastam 15 dias. Se fossem utilizados
apenas 5 pintores, quantos dias seriam necessários para pintar esse galpão?
p int ores
6
5
dias
15
90

 5  x  6  15  5x  90  x 
 x  18
x
5
Observe que ao diminuir os pintores, o tempo necessário para pintar o galpão
aumenta.
Pratique resolvendo o exercício de fixação 27.
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
A inequação do 1º grau é uma expressão matemática assim como a equação, só
que, em vez de usarmos a igualdade, usamos a desigualdade.
 maior.
 menor.
 menor ou igual.
 maior ou igual.
15
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Ex: a) 4x – 5  – 2x + 7
4x + 2x  7 + 5
6x  12
12
x
6
x > 2.
b) 2x – 1  4x + 5
2x – 4x  + 5 + 1
– 2x  6
2x  – 6
6
x
2
x–3
Agrupar os termos semelhantes deixando os coeficientes
com as incógnitas no 1º membro e o termo independente
no 2º membro.
O número 6 está multiplicando a incógnita x no 1º
membro e passa para o 2º membro dividindo.
Após agrupar os termos semelhantes, se o primeiro
membro estiver negativo, devemos multiplicar toda a
inequação por –1, invertendo o sinal da desigualdade.
Pratique resolvendo o exercício de fixação 18.
SISTEMA.
A matemática usa o símbolo  para indicar que duas ou mais equações formam
um sistema.
xy4
Ex: a) 
x  y  2

2x  y  9
b) 
x  y  4

Método da substituição
I x  y  4

II x  y  2
I) x + y = 4
x=4–y
1. Escolher uma equação e isolar uma variável.
II) x – y = 2
2. Substituir a equação isolada em I na II equação.
III) 4 – y – y = 2
– 2y = 2 – 4
– 2y = – 2
2
y=
2
y=1
3. Resolver a nova equação.
16
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MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
IV) x = 4 – y
x=4–1
x=3
Ao encontrar o resultado: substituí-lo na equação
isolada em I e encontrar o segundo valor.
Método de adição
x  y  4
x  y  2

xy4
I -
x  y  2

2x = 6
Somar as equações.
6
2
x=3
x=
II) x + y = 4
3+y=4
y=4–3
y=1
Substituir o valor encontrado em I (em qualquer das
equações) para se encontrar o outro valor.
Pratique resolvendo o exercício de fixação 14.
PRODUTOS NOTÁVEIS
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
Observe que um produto notável é uma potência.
Quadrado da soma de dois termos:
Ex: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
O 1º termo é a e o 2º termo é b.
Quadrado da diferença de dois termos:
Ex: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Produtos da soma pela diferença de dois termos:
(a + b) (a – b) = a2 – b2
GEOMETRIA
Reta: É formada por infinitos pontos.
Classificação das retas:
Retas paralelas:
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São retas que estão no mesmo plano e não possuem pontos em comum.
Ex:
r__________
u
t
s__________
Retas concorrentes:
São retas que possuem um único ponto em comum.
Ex:
Retas perpendiculares:
São retas que têm um único ponto em comum e formam ângulos de 90°.
Ex:
ÂNGULOS
Os ângulos são medidos em graus (°).
Ex: 30° (lê-se 30 graus)
Classificação dos ângulos.
Reto:
ângulo que mede 90°
Agudo:
ângulos que medem menos de 90°.
60°
18
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Obtuso:
130º
ângulos que medem mais que 90° e
menos que 180°.
Raso:
180º
ângulo que mede 180º.
Obs:
x + y = 180° (ângulo raso).
x
y
TRIÂNGULOS
São figuras geométricas que possuem 3 ângulos e 3 lados.
Obs: A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
β
α
γ
α + β + γ = 180°
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos.
Acutângulo: possui 3 ângulos agudos.
Obtusângulo: possui 2 ângulos agudos e 1 ângulo obtuso.
Retângulo: possui 1 ângulo reto.
Classificação dos triângulos quanto aos lados:
Triângulo eqüilátero: possui 3 lados iguais.
Triângulo isósceles: possui 2 lados iguais.
19
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
Triângulo escaleno: possui 3 lados diferentes.
Pratique resolvendo os exercícios de fixação 21 e 22.
QUADRILÁTEROS
São figuras geométricas que possuem 4 lados.
Quadrado: possui 4 lados iguais, 4 ângulos iguais (90º), lados opostos
paralelos.
Retângulo: possui lados opostos paralelos iguais, 4 ângulos iguais (90º cada).
Losango: possui 4 lados iguais, lados opostos paralelos e ângulos opostos
iguais.
Paralelogramo: possui lados paralelos de mesma medida e ângulos opostos iguais.
Obs: a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.
TRAPÉZIO
O trapézio não é um paralelogramo, pois possui apenas um par de lados paralelos.
Ele pode ser:
Trapézio retângulo: possui 1 ângulo reto.
Trapézio escaleno: possui todos os lados diferentes.
Trapézio isósceles: os dois lados não paralelos são iguais.
Obs: A diagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que liga dois
vértices não consecutivos.
ÁREA E PERÍMETRO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS.
Quadrado:
ℓ
A = ℓ2
A = área
ℓ = lado
ℓ
20
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
Retângulo:
h
A=b.h
A = área
b = base
h= altura
Paralelogramo:
b
h
A = área
b = base
h = altura
A=b.h
b
Trapézio:
A = área
B = base maior
b = base menor
h = altura
b
A = (B + b) . h
2
h
B
Obs: O perímetro de uma figura é a soma de seus lados.
Pratique resolvendo o exercício de fixação 17.
CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
Raio de uma circunferência é a distância de um ponto da circunferência ao centro.
r
r = raio
Diâmetro: O dobro do raio.
d
d = 2r
Comprimento da circunferência é o tamanho de seu contorno.
Ao se dividir o comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro, encontra-se
o número Lê  se : Pi. Esse número é uma constante e vale, aproximadamente,
3,14159. Para efeito de cálculos, usa-se   3,14.
21
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
Fórmula para cálculo do comprimento:
Onde:
C = comprimento
  3,14
r = raio
Fórmula para cálculo da área do círculo:
C2r
A = área
  3,14
r = raio
A=.r
2
Pratique resolvendo o exercício de fixação 23.
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
Calcula-se a média aritmética de um conjunto de valores somando-se todos esses
valores e dividindo, essa soma, pelo número de elementos do conjunto.
Ex: Um professor de matemática distribuiu, em um bimestre, 4 notas.
Avaliação
7
Trabalhos Participação
5
3
Atividades diversas
5
Qual foi a média das notas distribuídas nesse bimestre?
7  5  3  5 20

5
4
4
Obs: A média aritmética simples deve ser um valor compreendido entre o
maior e o menor valor dado.
Pratique resolvendo o exercício de fixação 15.
PORCENTAGEM
Porcentagem é uma fração de denominador 100.
(% lê-se, por cento).
25% é igual a
25
1
  0,25.
100 4
Ex: 42% de R$ 84,00 é
42
de 84.
100
0,42 . 84 = R$ 35,28
0,42
x 84
168
+ 336
35,28
22
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
LUCRO E PREJUÍZO
Ex: a) Para lucrar 11%, por quanto devo vender uma mercadoria que me custou
R$ 130,00?
130
Outra forma:
x
0,11
O preço de venda = preço de compra + lucro
11% de 130 =
(100% + 11%)
130
+ 130
11
preço de venda = 111% do preço da
. 130 =
14,30
100
compra.
preço de venda = 1,11 x preço de
compra.
preço de venda = 1,11 x 130 = 144,30
0,11 . 130 = 14,30 → lucro
130 + 14,30 = 144,30 → preço de venda
Pratique resolvendo os exercícios de fixação 24, 25 e 26.
TEOREMA DE TALES
Retas paralelas cortadas por transversais formam segmentos proporcionais
r
A
s
B
C
D
A C

B D
ou
A B

C D
Ex:
r
s
12
x
4
6
4 12

6
x
4x = 6 . 12
4x = 72
72
x=
4
x = 18
TEOREMA DE PITÁGORAS
Nesse triângulo retângulo temos:
a
b
a = hipotenusa
b e c = catetos
23
c
Hipotenusa ao quadrado é igual a soma
do quadrado dos catetos.
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
TEOREMA: a2 = b2 + c2
Obs: Hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto (90°).
Ex:
5 2 = x2 + 4 2
25 = x2 + 16
5
x2 = 25 – 16
x
x2 = 9
x= 9
4
x=3
Pratique resolvendo os exercícios de fixação 29 e 30.
VOLUME
Volume do cubo
V = a3
a
V = volume do cubo
a = aresta
a
a
Exemplos
a) Um cubo tem aresta de 5 centímetros. Qual o seu volume?
V = a³ → V= 5³ → V = 5 . 5 . 5 → V = 125 cm³.
b) O volume de um cubo é de 512 cm³. Quanto mede sua aresta?
V = a³ → 512 = a³ →
3
a3  3 512 → a = 8 cm (8³ = 8 . 8 . 8 = 512)
Volume do paralelepípedo
a
b
c
V = volume do paralelepípedo
a = comprimento do paralelepípedo
b = altura do paralelepípedo
c = largura do paralelepípedo
V=a.b.c
Exemplo
24
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
Uma piscina, em forma de um paralelepípedo, tem 7 metros de largura, 10 metros
de comprimento e 2 metros de profundidade. Sabendo que 1 m³ corresponde a
1000 litros, qual o volume, em litros, dessa piscina?
V = a . b . c → V = 7 x 10 x 2 → V = 140 m³.
1 m³ = 1000 litros → 140 x 1000 = 140.000 litros.
Resposta: O volume dessa piscina é de 140.000 litros.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Calcule o valor das expressões:
a) 18 + 12 : 6 – 5 =
b) 4 . 6 – 3 .(12 : 4 – 2) + 36 : 6 =
c) 75 – 3 . [ 29 – (45 – 36)] =
d)
64 . 3 - 23 . 30 + 16 =
e) { 26 – [ 12 + (7 . 4 – 32) + 15 ] : 18 } =
2) Resolva os problemas, aplicando as operações fundamentais.
a) Um carro que custava R$ 22.848,80, à vista, foi vendido em 36 prestações
mensais de R$ 878,80. Qual é o preço desse carro à prazo?
b) Um grupo de 185 alunos e 6 professores irá participar de uma excursão. A
escola providenciará ônibus com 42 lugares. Quantos ônibus a escola deverá
contratar para que todos viajem sentados? Quantos lugares sobrarão?
3) Calcule o mínimo múltiplo comum (MMC) de:
a) 14, 20 e 70.
b) 7, 14, 16 e 32.
c) 4, 8 e 12.
d) 7 e 12.
4) Resolva as expressões numéricas.
a) (3 – 15 : 3) . (- 5 ) =
b) – 4 . [ - 5 . 4 + 36 : ( - 4)] =
25
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
c) [ -15 : ( - 7 + 4) + 34 ] : ( - 1)3 =
d) ( - 2)5 : 42 – 3 . ( - 4)2 =
e)
81 + ( - 5) . ( - 3) : ( 5)1 – 170 =
5) Resolva os problemas:
a) Um elevador se encontra no andar térreo de um edifício. Ao entrar nesse
elevador, Marcos “confunde” os botões de controle. Assim, o elevador subiu 9
andares e, logo após, desceu 3. Marcos aciona o botão novamente e o elevador
desce 4 andares. Em qual andar Marcos parou?
b) Um termômetro marca uma temperatura de 12° graus negativos. Em certa hora
do dia, a temperatura sobe 9° graus. Ao final desse dia, a temperatura cai 5° graus.
Qual é a temperatura final registrada no termômetro?
6) Assinale as opções apresentadas em que os pares de frações são equivalentes.
a) ( )
1
5
e
30
.
150
c) ( )
3
120
b) ( )
5
7
e
7
.
5
d) ( )
4
7
e
e
1
.
40
28
.
14
7) Resolva as expressões e simplifique os resultados quando possível.
a)
3
1
4

 
5 15 9
b)
2 1 4
  
7 7 7
c)
5 5 1
  
3 2 2
 1 1 3 2
d)        
8 4 2 5
 1 2  1 2
e)    .  2   
3 4  3 5
4  1
1
f) 1 .  2  3  
5  3
2
g)
3 9
: 
8 4
h)
2 3 5
: . 
5 7 2
 1 5 4  25

i) 1    .  :
9
2 3 7
8) Coloque as frações apresentadas em ordem crescente.
26
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
a)
2 4 1 4 1
, , , e
3 7 5 3 2
b)
5 7 1 5
,
, e
4 12 2 6
9) Coloque as frações apresentadas em ordem decrescente.
1 1 2 3
a) 2 , , e
3 4 7 2
b)
3 1 3 5
, , e
5 4 4 3
10) Compare as frações apresentadas, usando os sinais de =, > ou <.
a)
5 _______ 4
3
3
c)
12 _______ 2
3
5
b)
2 _______ 3
7
8
d) 2
1 _______
2
3
11) Resolva as expressões numéricas.
a) 3,21 + 0,8 – 2,074 =
b) ( 10,3 – 5,987) . 3,2 =
c) 12,4 + 2,71 + 1,68 : 0,7 =
d) 0,35 : 0,4 – 0,178 + 3,2 =
e) 18,1 – ( 43 – 29,85) . 0,32 =
12) Reduza os termos semelhantes nas expressões algébricas apresentadas.
a) 2x2 – 4y + x + 3x2 – 2x =
b) 5ab – 3a + ab – 2ab =
c) 2x + (–3y) – 2y – (–3x) + 4 =
d) ( 3x2 – 7y) – ( 3y – 3x2) =
27
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
13) Resolva as equações do 1° grau.
a) 3x – 6 = 21
d) 5( y – 2) = 6y – 16
f)
x
3x

1
2
5
g)
2x  1
x 1
x
3
5
b) 4 – 10x = 36
e) 3x – 1,5x = 15
2y
c)
–4=5
3
14) Resolva os sistemas apresentados.
3x  y  10
a) 
x  2 y  5

4x  5y  10
b) 
x  2y  5

15) Resolva os problemas.
a) Um atleta, ao treinar salto com vara, atinge as seguintes marcas: 2,48m; 2,45m;
2,53m e 2,6m. Qual é a altura média que o atleta atingiu?
b) A tabela, a seguir, mostra o número de inscrições de alguns cursos mais
escolhidos no vestibular de 2005 de uma universidade em BH.
CURSOS
Engenharia
Medicina
Ciências da Computação
Administração
Odontologia
NÚMERO DE INSCRIÇÃO
6.524
8.210
5.326
3.820
4.200
Com base nesses dados, calcule a média de inscrições nesse vestibular.
16) Resolva os problemas.
a) Com 8 kg de farinha um padeiro produz 10 pães. Quantos pães ele produzirá
com 322 kg dessa mesma farinha?
b) Uma máquina produz embalagens de plástico para armazenar óleo. Ela
consegue produzir 1.296 embalagens em 3 horas. Quantas embalagens essa
máquina produzirá em 8 horas de funcionamento?
17) Calcule a área e o perímetro das figuras apresentadas.
28
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
a)
o
⊡
⊡
b)
3 cm
⊡
c)
2,2 cm
1,2 cm
⊡
⊡
5,5 cm
2,2 cm
2 cm
4 cm
2 cm
18) Dê as coordenadas dos pontos a seguir.
y
B
Ponto Coordenadas
A
B
C
D
E
F
G
H
I
D
E
A
C
x
F
H
I
G
19) Resolva as inequações.
a) 4x – 5 < 0
b) 2x + 6 ≤ 12
c) 5x + 7 > 3x + 9
d)
2x  1
> 4x
2
20) Determine os valores de x e y.
a)
b)
120°
c)
x
70°
x
30°
y
y
d)
e)
f)
x
80°
120°
x
60°
x
y
29
40°
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
21) Classifique os triângulos quanto aos ângulos.
a)
b)
100°
c)
60°
60°
45°
30°
35°
60°
60°
22) Classifique os triângulos quanto aos lados.
a)
5
5
b)
3
c)
4
5
5
6
6
9
23) Calcule a área e o comprimento de uma circunferência de
a) raio igual a 10 cm.
b) diâmetro igual a 30 cm.
24) Calcule:
a) 40% de 300.
b) 32% de 250.
25) Um aparelho de som é vendido, à vista, com um desconto de 20%. Quanto
pagarei à vista por um aparelho que custa R$ 450,00?
26) Um comerciante compra uma mercadoria por R$ 5,20 e, ao vendê-la, obtém um
lucro de 30%. Qual é o preço de venda dessa mercadoria?
27) Dois pedreiros constroem um muro em 10 dias. Em quantos dias cinco
pedreiros gastarão para fazer um muro igual ao primeiro?
30
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
28) Em um restaurante são consumidos 800 kg de feijão em 20 dias. Quantos
quilos de feijão serão consumidos em 15 dias, supondo que será servida a mesma
quantidade de refeição?
29) Usando o teorema de Pitágoras, determine o valor de x nos triângulos
apresentados.
8
x
a)
b)
9
15
6
x
c)
d)
24
15
x
10
x
39
30) Calcule a diagonal do retângulo apresentado.
4m
3m
d
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Questão 1
a) 18 + 12 : 6 – 5 =
Resolver a divisão
= 18 + 2 – 5 = 20 – 5 = 15.
b) 4 . 6 – 3 . (12 : 4 – 2) + 36 : 6 =
Para eliminar os parênteses, resolver
primeiro a divisão
31
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
= 4 . 6 – 3 . (3 – 2) + 36 : 6 =
= 4 . 6 – 3 . 1 + 36 : 6 =
Eliminar os parênteses.
Resolver a multiplicação e a divisão.
= 24 – 3 + 6 = 21 + 6 = 27.
c) 75 – 3 . [29 – (45 – 36)] =
= 75 – 3 . [29 – 9] =
= 75 – 3 . 20 =
Eliminar os parênteses.
Eliminar os colchetes.
Resolver primeiro a multiplicação.
= 75 – 60 = 15.
d)
64 . 3 – 23 . 30 + 16 =
Resolver a raiz quadrada.
= 8 . 3 – 23 . 30 + 16 =
= 8 . 3 – 8 . 1 + 16 =
Resolver as potências.
Resolver as multiplicações.
= 24 – 8 + 16 = 16 + 16 = 32.
e) { 26 – [ 12 + (7 . 4 – 32) + 15 ] : 18 } =
Resolver as potências.
={ 64 – [ 12 + (7 . 4 – 9) + 15 ] : 18 } =
= 64 – [ 12 + (28 – 9) + 15 ] : 18 } =
= { 64 – [ 12 + (19) + 15 ] : 18 } =
Para resolver os parênteses, resolver
primeiro a multiplicação.
Eliminar os parênteses.
Eliminar os colchetes.
= { 64 – 46 : 18 } =
46  
23 

= 64 
 = 64 
 =
18  
9

Igualar os denominadores e tirar o m.m.c.
553
 576  23 
= 
.
 =
9
9


Questão 2
a) 878,80
x 36
527280
+
263640
31.636,80
Número de prestações.
Preço do carro a prazo.
32
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
b) 185
+ 6
191
191
168
23
Alunos.
Professores.
Lugares.
42
4
Para levar todos os passageiros será necessário 5
ônibus com 42 lugares e sobrarão 19 lugares.
33
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
Questão 3
a)
14, 20,
7, 10,
7, 5,
7, 1,
1, 1,
c) 4,
2,
1,
1,
1,
70
35
35
7
1
2
2
5
7
22 . 5 . 7 = 140
b) 7, 14,
7, 7,
7, 7,
7, 7,
7, 7,
7, 7,
1, 1,
8, 12 2
4, 6 2
2, 3 2
1, 3 3
1, 1 23 . 3 = 24
16,
8,
4,
2,
1,
1,
1,
32
16
8
4
2
1
1
2
2
2
2
2
7
25 . 7 = 224
d) 7,12 2
7, 6 2
7, 3 3
7, 1 7
1, 1 22 . 3 . 7 = 84
Questão 4
a) ( 3 – 15 : 3) . (–5) =
Resolver a divisão.
= (3 – 5) . (–5) = (–2) . (–5) = 10.
b) – 4 . [–5 . 4 + 36 : (– 4)] =
= – 4 . [– 20+ (– 9)] =
Para eliminar os colchetes, resolver primeiro a
multiplicação e a divisão.
Aplicar a regra de sinal.
= – 4 . [– 20 – 9] = – 4 . [– 29] = 116.
c) [ -15 : (–7 + 4) + 34 ] : (–1)3 =
Resolver as potências.
= [- 15 : (–7 + 4) + 81] : (–1) =
= [–15 : (–3) + 81] : (–1) =
Resolver a divisão.
= [5 + 81] : (–1) = 86 : (–1) = –86.
d) (–2)5 : 42 – 3 . (–4)2 =
Resolver as potências.
= (–32) : 16 – 3 . 16 =
Resolver primeiro a divisão e a multiplicação.
= –2 – 48 = – 50.
e)
81 + (–5) . (–3) : ( 5)1 – 170 =
= 9 + (–5) . (–3) : 5 – 1 =
= 9 + 15 : 5 – 1 =
Resolver a raiz quadrada e as potências.
Resolver a multiplicação.
Resolver a divisão.
34
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
= 9 + 3 – 1 = 12 – 1 = 11.
Questão 5
a)
subiu 2 andares
desceu 3 andares
desceu 4 andares
b) –12 + 9 = –3
–3 – 5 = –8
parou no 9º andar.
parou no 6º andar.
parou no 2º andar.
Temperatura final –8 graus.
Questão 6
a)
1
30
e
5
150
b)
5
7
e
7
5
c)
1
3
e
40
120
d)
4
e
7
28
14
Simplifique a fração
3
1
1
30
30
=
=
logo
=
.
5
5
15
150
150
5
7
≠
.
7
5
Simplifique a fração
Simplifique a fração
1
1
3
3
=
logo
=
.
40
40
120
120
28
14
28
2
4
=
=
= 2 logo
≠
.
1
7
14
14
7
Questão 7
a)
3
1 4

 =
5 15 9
Os denominadores são diferentes, então deve-se tirar o
m.m.c.
=
b)
2 1 4
  =
7 7 7
=
c)
2
3
1 4
10
27
3
20
=
= .

 =


5 15 9
45
9
45
45 45
Os denominadores são iguais, então deve-se conservá-los.
2 1 4
2  1 4
1
=  .
  =
7 7 7
7
7
5 5 1
  =
3 2 2
Os denominadores são diferentes, então deve-se
tirar o m.m.c.
=
5 5 1 10 15 3
22
11
=
.
  =

 =
3 2 2
6
3
6
6
6
35
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
 1 1 3 2
d)        =
8 4 2 5
Os denominadores são diferentes, então deve-se
tirar o m.m.c.
1 19
4
 1 2   15
=   
=

 =  
8 10
 8 8   10 10 
Novamente devemos igualar os
denominadores e tirar o m.m.c.
5
76
81
= 
= 
.

40 40
40
 1 2  1 2
e)    .  2   =
3 4  3 5
Transformar a fração mista em fração imprópria.
 1 2  7 2
=   .   =
3 4  3 5
Os denominadores são diferentes, então deve-se
tirar o m.m.c.
2 29
1 29
29
6   35
6  10 29
 4
=
=
= 
=
.




.
 =
12 3
6 3
18
 12 12   15 15  12 15
f) 1
4  1
1
 2  3  =
5  3
2
=
9 7 7
   =
5 3 2
Transformar as frações mistas em frações impróprias.
Os denominadores são diferentes, então deve-se
tirar o m.m.c.
=
9  14 21
9  7


 =    =
5  6
6
5  6
21
3  7
.
   = 
10
5  2
g)
3 9
 =
8
4
Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da
segunda fração.
=
1 4
1 1
1
3 4
 =  =  = .
6
8 3
2 3
8 9
36
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
h)
2 3 5
  =
5 7 2
Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da
segunda fração.
1 7 1 7
= 275 = 271 =   = .
1 3 1 3
5 3 2
1 3 2
 1 5 4
25
I) 1      
=
9
2 3 7
 1 5 4 5
= 1       =
2 3 7 3
Resolver a raiz quadrada.
Resolver a multiplicação.
 1 20  5
= 1      =
Igualar os denominadores através do m.m.c.
 2 21  3
 21 40  5
61 5
   = 1 
= 1  
 = Ver divisão de fração.
42 3
 42 42  3
61 3
61 1
= 1
 = 1   = Simplificando frações.
42 5
14 5
1 61
= 
= Igualar os denominadores através do m.m.c.
1 70
70 61 9
logo
.


70 70 70
8-a)
2 4 1 4 1
Para comparar as frações, deve-se achar suas
, , , e
3 7 5 3 2
equivalências, por meio do m.m.c dos denominadores (3, 7, 5, 3, 2).
2 140
,

3 210
1 42
,

5 210
4 120
,

7
210
4 280
,

3 210
1
42 105 120 140 280
, logo




5
210 210 210 210 210
b)
5 7 1 5
, , e
4 12 2 6
5 15
 ,
4 12
1
2


1 105

2 210
4
7

2
3

4
.
3
Para comparar as frações, deve-se achar suas
equivalências, por meio do m.m.c dos denominadores (4, 12, 2 e 6)
7
7
1 6
5 10
 ,
 ,

,
6 12
12 12
2 12
1
6
7 10 15
, logo



12 12 12 12
2

7
12

5
6

5
.
4
37
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
1 1 2 3
9-a) 2 , , e
3 4 7 2
Transformar a fração mista em fração imprópria
2
1 7
 .
3 3
Para comparar as frações, deve-se achar suas equivalências por meio de m.m.c
dos denominadores (3, 4, 7, 2)
7 196
,

3 84
1 21
,

4 84
196 126 24 21
7


 , logo
84
84 84 84
3
b)
3 1 3 5
, , e
5 4 4 3
3
2

2
7

1
4
Para comparar as frações, deve-se achar suas
100 45 36 15
5
, logo



60 60 60 60
3
5
3

equivalências por meio de m.m.c dos denominadores (5, 4, 4, 3)
1 15
3 45
5 100
,
,
.



4 60
4 60
3 60
3 36
,

5 60
10-a)
3 126
.

2 84
2 24
,

7 84
4
3


3
4

3
5

1
.
4
Os denominadores são iguais, então compara-se os
numeradores.
b)
2
7

3
8
Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los
e tirar o m.m.c.
2 16
3 21
,


7 56
8 56
2
3
16 21
, logo
.


56 56
7
8
c)
12
5

2
3
12 36
,

5 15
Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los e
tirar o m.m.c.
2 10

3 15
36 10
12
 , logo
15 15
5

2
.
3
38
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
d) 2
1
3

7
2
3
1 7
Transformar a fração mista em fração imprópria 2  .
3 3
2
Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los e tirar o
m.m.c.
7 7
 ,
3 3
2 6

1 3
7 6
1
 , logo 2
3 3
3

2
11-a) 3,21 + 0,8 – 2,074 =
3,21
+ 0,80
4,010
- 2,074
4,01
1,936
Não se esqueça: vírgula debaixo de vírgula!
b) (10,3 – 5,987) . 3,2 =
10,300
- 5,987
4,313
Resolver os parênteses.
4,313
x 3,2
+ 8626
12939
13,8016
c) 12,4 + 2,71 + 1,68 : 0,7 =
1,68 0,70
168
70
140 2,4
280
280
0
4 casas depois da vírgula.
Resolver a divisão e a adição aplicando as
propriedades.
12,40
+ 2,71
2,40
17,51
d) 0,35 : 0,4 – 0,178 + 3,2 =
0,35 0,40
35
40
350 0,875
320
300
280
200
200
0
Resolver a soma e a subtração na ordem em que
aparecem aplicando as propriedades.
-
0,875
0,178
0,697
Resolver a divisão, a subtração e a adição
aplicando as propriedades.
+
0,697
3,200
3,897
39
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
e) 18,1 – (43 – 29,85) . 0,32 =
Resolver os parênteses, depois a multiplicação e
a subtração aplicando as propriedades.
-
43,00
29,85
13,15
13,15
x 0,32
2630
+
3945
4,2080
18,1000
- 4,2080
13,8920
12-a) 2x2 – 4y + x + 3x2 – 2x =
Ordenar termos semelhantes (parte literal).
= 2x2 + 3x2 + x – 2x – 4y = Agrupar termos semelhantes.
= 5x2 – x – 4y
b) 5ab - 3a + ab – 2ab =
Ordenar termos semelhantes (parte literal).
= 5ab + ab – 2ab – 3a = Agrupar termos semelhantes.
= 4ab – 3a
c) 2x + ( - 3y) – 2y – ( -3x) + 4 =
= 2x – 3y – 2y + 3x + 4 =
= 2x + 3x – 3y – 2y + 4
5x – 5y + 4
d) ( 3x2 – 7y) – ( 3y – 3x2) =
= 3x2 – 7y – 3y + 3x2 =
= 3x2 + 3x2 – 7y – 3y
Trabalhar as regras dos sinais e agrupar as
partes literais dos monômios.
Trabalhar as regras dos sinais e agrupar as
partes literais dos monômios.
6x2 – 10y
13-a) 3x – 6 = 21
3x = 21 + 6 Termo independente no 2º membro. Inverter a operação.
3x = 27
27
x=
x=9
3
b) 4 – 10x = 36
– 10x = 36 – 4
– 10x = 32
32
x=
 10
c)
2y
-4=5
3
x= 
16
5
Igualar os denominadores das frações, tirar o m.m.c. e
posteriormente eliminar os denominadores.
40
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
2 y 12 15


3
3
3
2y – 12 = 15
2y = 15 + 12
27
2
Resolver a propriedade distributiva.
2y = 27
y=
d) 5( y – 2) = 6y – 16
5y – 10 = 6y – 16
5y – 6y = – 16 + 10 Incógnitas no 1º membro e termo independente no 2º.
–y=–6
Multiplica a equação por –1.
y=6
e) 3x – 1,5x = 15
1,5x = 15
15
x
1,5
x = 10.
f)
x
3x

1
2
5
Igualar os denominadores das frações, tirar o o m.m.c. e
posteriormente eliminar os denominadores.
5x
6 x 10


10
10 10
5x = - 6x + 10
5x + 6x = 10
g)
11x = 10
2x  1
x 1
x
3
5
52 x  1 15 x 3x  1


15
15
15
x
10
.
11
Igualar os denominadores das frações tirar o m.m.c. e
posteriormente eliminar os denominadores, resolver a
propriedade distributiva, agrupar os trmos semelhantes
mudando a operação quando necessário.
5(2x – 1) – 15x = 3(x + 1)
10x – 5 – 15x = 3x + 3
10x – 15x – 3x = 3 + 5
– 8x = 8
x
8
8
x=–1
3x  y  10 (1ª)
14-a) 
 x  2 y  5 (2ª)
Resolução pelo método da substituição.
Isolando a incógnita x da 2ª equação obtém-se
x + 2y = 5
(3ª)
41
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
x = 5 – 2y
Substituindo o valor de x da 3ª equação na 1ª equação obtém-se
3x – y = 10
3 . (5 – 2y) – y = 10
Encontra-se uma equação do 1º grau com uma
incógnita.
Resolver a propriedade distributiva, agrupar os termos
semelhantes e mudar a operação quando necessário.
15 – 6y – y = 10
– 6y – y = 10 – 15
– 7y = – 5
y
x
10
7
35  10
7
y
5
7
Substituir esse valor na (3ª) equação.
5
x=5–2.  
7
x=5–2.y
x=5–
5
7
Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los e
tirar o m.m.c.
25
 25 5 
.
x
S , 
7
 17 7 
4 x  5 y  10 (1ª)
b) 
 x  2 y  5 (2ª)
Resolução pelo método da substituição.
Isolando a incógnita x da 2ª equação obtém-se
x – 2y = 5
x = 5 + 2y (3ª)
Substituindo o valor de x da 3ª equação na 1ª equação obtém-se
4x = 5y + 10
4. (5 + 2y) = 5y + 10
Encontra-se uma equação do 1º grau com uma
incógnita.
20 + 8y = 5y + 10
Resolver a propriedade distributiva, agrupar os termos
semelhantes e mudar a operação quando necessário.
8y – 5y = 10 – 20
3y = – 10
y
 10
3
Substituir esse valor na (3ª) equação.
x = 5 + 2y
  10 
x+5+2. 
Resolver a multiplicação.

 3 
20
x5
Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los
3
e tirar o m.m.c.
15  20
5
 5 10 
.
x
x
S    , 
3
3
 3 3 
42
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
15-a) O problema está pedindo a altura média, então usa-se a média aritmética
para resolvê-lo.
2,48  2,45  2,53  2,6
4

10,06
 2,515 .
4
b) O problema está pedindo a média de inscrições no vestibular, então usa-se a
média aritmética para resolvê-lo.
6.524  8.210  5.326  3.820  4.200 28.080

 5.616 .
5
5
16-a) Este problema apresenta uma proporção com duas grandezas: “farinha e
pães”, então, para resolver usa-se a regra de três simples, e diretamente
proporcional.
8 kg
10 pães
Montar a razão e/ou proporção e aplicar as
322 kg
x
propriedades.
8
10

322
x
8. x = 322 . 10
x
8x = 3.220
3.220
8
x = 402,5
b) Este problema aperesenta uma proporção com duas grandezas: “embalagens e
horas”, então, para resolver usa-se a regra de três simples e diretamente
proporcional.
1.296 embal.
x
1.296 3

x
8
17-a)
3 horas
8 horas
3 . x = 1.296 . 8
Área
Perímetro
A
P
A=b.h
A = 5,5 . 3
A = 16,5 cm2
b)
Área
 Perímetro
Montar a razão e/ou proporção e aplicar as
propriedades.
10.368
3x = 10.368
x = 3.456
x 
3
base
altura
b
h
Perímetro = soma de todos os lados de um polígono.
P = 5,5 + 3 + 5,5 + 3
P = 2 . 5,5 + 2 . 3
P = 11 = 6
P = 17 cm.
A
P
lado

A = .Perímetro = soma de todos os lados de um polígono.
A = 2P = 2,2 + 2,2 + 2,2 + 2,2
A = (2,2)2
P = 4 . 2,2
2
A = 4,84 cm
P = 8,8 cm
43
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
c)
Área
Perímetro
A
A
P
B
b
h
B  b  h
2
8  4  1,2
A
2
A
12  1,2
2
base maior
base meor
altura
A
14,4
2
A = 7,2 cm2
Perímetro: Usar Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa no triângulo.
x
x² = 1,2² + 2²
x² = 1,44 + 4
x² = 5,44
1,2
2
⊡
x  5,44
x  2,33
Perímetro: 4 + 2,33 + 8 + 2,33 = 16,66.
18) Os pontos A, B e C estão no 1º quadrante, então as coordenadas x e y dos
pontos serão positivas.
A (1, 2),
B (2, 4),
C (4, 1).
Os pontos D e E estão localizados no 2º quadrante, então x será negativo e y
será positivo .
D (–3, 3)
E (–5, 2)
Os pontos F e G estão localizados no 3º quadrante, então as coordenadas x e
y dos pontos serão negativas.
F (–1, –1)
G (–4, –4)
Os pontos H e I estão localizados no 4º quadrante, então x será negativo e y
será positivo.
H (3, –1)
I (1, –3)
19) Para resolver uma inequação do 1º grau, deve-se partir do mesmo princípio de
solução de uma equação de 1º grau.
a) 4x – 5 < 0
Agrupar os termos semelhantes e, quando necessário
mudar a operação.
4x < 0 + 5
4x < 5
b) 2x + 6 ≤ 12
x<
5
.
4
Agrupar os termos semelhantes e, quando necessário
mudar a operação.
44
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
2x  6
2x ≤ 12 – 6
c) 5x + 7 > 3x + 9
x ≤
6
2
x ≤ 3.
Agrupar os termos semelhantes e, quando necessário
mudar a operação.
5x – 3x > 9 – 7
2x > 2
d)
x>
2x  1
 4x
2
2
2
x > 1.
Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los
e tirar o m.m.c., eliminar os denominadores, agrupar os termos
semelhantes e, quando necessário mudar a operação.
2 x  1 8x
2x + 1 > 8x
2x – 8x > 0 – 1
– 6x > – 1

2
2
Multiplica-se a inequação por –1 invertendo o sinal da desigualdade.
6x  1
1
x< .
6
20-a) 120° + x = 180°
Montar uma equação do 1º grau, agrupar os termos
semelhantes e, quando necessário mudar a operação.
x = 180° - 120°
x = 60°.
b) x + 70° = 180°
x = 180° - 70°
x = 110°.
y + x = 180°
y + 110° = 180°
y = 180° - 110°
y = 70°.
c) y + 30° = 180°
y = 180° – 30°
y = 150°.
d) x + 90° = 180°
x = 180° – 90°
x = 90°.
e) A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.
80° + 60° + x = 180°
140° + x = 180°
x = 180° – 140°
x = 40°.
f) 120° + y = 180°
y = 180° - 120°
y = 60°.
y + x + 40° = 180°
60° + x + 40° = 180°
x + 100° = 180°
x = 180° –100°
x = 80°.
21-a) Identificar os ângulos
45
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
45  

35  
100 
ângulos agudos
Triângulo obtusângulo.
ângulo obtuso
30  

b) 60  
90 
c) 60º
ângulos agudos
Triângulo retângulo.
ângulo reto
ângulo agudo
Triângulo acutângulo.
22-a) Os Três lados têm medidas iguais
Triângulo equilátero.
b) Os Três lados têm medidas diferentes
Triângulo escaleno.
c) Dois lados com medidas iguais e o terceiro lado com medida diferente
Triângulo isósceles.
23 -a) Área da circunferência
A    r2
Comprimento da circunferência
C  2r
C  2r
C = 2 . 3,14 . 10
C = 6,28 . 10
C = 62,8 cm.
A    r2
A = 3,14 . 102
A = 3,14 . 100
A = 314 cm2.
b) diâmetro = 30 cm
C  2r
C = 2 . 3,14 . 15
C = 6,28 . 15
C = 94,2 cm.
A    r2
A = 3,14 . 152
A = 3,14 . 225
A = 706,5 cm2.
24-a) 40% de 300 =
b) 32% de 250 =
raio = 15 cm.
40 300

 120 .
100 1
32 250

 80 .
100 1
25) 20% de 450 =
20 450

 90 .
100 1
450,00 – 90,00 = 360,00.
46
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
26) 30% de 5,20 =
30 5,20

 1,56
100
1
27) 2 pedreiros
5 pedreiros
5,20 + 1,56 = 6,76.
Grandezas inversamente proporcionais.
Ao se aumentar a quantidade de
pedreiros, o muro ficará pronto em
menos tempo.
10 dias
x
2 10

5
x
5 . x = 2 . 10
5x = 20
x=
28) 800 kg
x
20 dias
15 dias
20 . x = 800 . 15
20x = 12.000
29-a) x2 = 62 + 82
x2 = 36 + 64
x2 = 100
x =  100
20
x = 4 dias.
5
Para resolver esse problema deve-se
usar a regra de três simples e
diretamente proporcional.
x=
12.000
20
x =  10
x = 600 kg.
x = 10.
Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor –10.
b) 152 = x2 + 92
225 = x2 + 81
225 – 81 = x2
x2 = 144
x =  144
x =  12
x = 12.
Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor –12.
c) x2 = 242 + 102
x2 = 576+ 100
x2 = 676
x =  676
x =  26
x = 26.
Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor –26.
d) 392 = x2 + 152
1.521 = x2 + 225
1.521 – 225 = x2
x2 = 1.296
x =  1.296
x =  36
x = 36.
Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor –36.
30)
4m
A diagonal dividiu o retângulos em dois
triângulos retângulos, então pode-se
aplicar o teorema de Pitágoras.
47
MATERIAL DE APOIO
MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL
3m
d
d2 = 3 2 + 4 2
d2 = 9 + 16
d2 = 25
d =  25
d= 5
d = 5m.
Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor –5.
48