Ângulos na Circunferência
1. Numa circunferência de centro O, a corda AB e o diâmetro CD prolongados se interceptam num
ponto J. Se o segmento BJ é igual ao raio e o ângulo BĴD mede αº, qual a medida do ângulo AÔC ?
2. (AFA) Conforme a figura abaixo, s e t são, respectivamente, retas secante e tangente à circunferência de
centro O. Se T é um ponto da circunferência comum às retas tangente e secante, então o ângulo α ,
formado por t e s, é
(A) 10º
(B) 20º
(C) 30º
(D) 40º.
3. Duas circunferências de centro em O e O’ se interceptam em A e B. Se AOC e AO’D são dos
diâmetros destas circunferências, provar que CD é perpendicular a AB e que os pontos C, B e D são
colineares.
4. (Teorema de Pitot) Provar que as somas dos lados opostos de um quadrilátero convexo circunscritível
num círculo são iguais.
5. Dada uma circunferência de centro O e tangente a uma reta num ponto A, marcamos sobre esta reta 2
pontos B e C do mesmo lado de A, e por estes pontos traçamos tangentes á circunferência que a tocam
respectivamente nos pontos M e N. Se o ângulo BÔC = 40º, qual a medida do ângulo NÂM ?
6. Duas circunferências são tangentes no ponto A. Traça-se a tangente comum externa BC. Provar que o
triângulo BAC é retângulo.
7. Duas circunferências são tangentes exteriormente em A. Traça-se a secante comum que corta as
circunferências em B, A e C. Provar que as tangentes em B e C são paralelas.
8. Da extremidade de um diâmetro AB traça-se a tangente BX. De um ponto D desta tangente traça-se a
segunda tangente DE, e a seguir AE até encontrar BX no ponto C. Provar que BD e DC são iguais.
9. De um ponto P exterior a um círculo traçamos uma tangente PA e uma secante PBC (B e C sobre o
círculo) que determina um arco BAC de valor igual a 210º. Sabendo-se que o ângulo PAC mede 105º e
que BC mede 8 cm, pede-se determinar o valor do segmento AC.
.
10. Prolonga-se o raio OA de um círculo de um comprimento AB igual a OA, traça-se uma tangente
ao círculo, sobre a qual levantam-se as perpendiculares AN e BC. Supondo que o ângulo OÂC vale
126º, qual o valor do ângulo AĈB ?
11. Sobre uma circunferência marcam-se dois arcos AB e AC menores que a semi-circunferência e
uma corda DE que liga os pontos médios D e E dos arcos AB e AC determinando-se sobre as
respectivas cordas dois pontos F e G. Provar que AF = AG.
12. Inscreve-se numa circunferência um quadrilátero ABCD. Se M é o ponto médio do menor arco
determinado por CD, e F e G das interseções das retas MA e MB com CD, provar que o quadrilátero
ABFG é inscritível numa circunferência.
13. (IME) Seja ABCD um quadrilátero convexo. Traçam-se as bissetrizes internas dos ângulos
Â, B̂, Ĉ e D̂ que se denominam respectivamente tA, tB, tC e tD e que determinam os pontos M = tA ∩ tB, N
= Tb ∩ tC, P = tC ∩ tD, Q = tA ∩ tD. Prove que:
a) O quadrilátero MNPQ é inscritível.
b) As retas AB, CD e NQ são concorrentes em um ponto U, bem como as retas AD, BC e NP em outro
ponto V.
14. (IME) De um ponto exterior E a um círculo O qualquer traçam-se duas tangentes t e t’ a esse
círculo e os pontos de tangência P e P’. O ângulo P Ê P’ mede 140o. De P traça-se a corda PA cujo
arco mede 10o no sentido do maior arco PP’ sobre o círculo. De A traça-se a corda AB cujo arco mede
30o, no mesmo sentido do arco PA.
Pedem-se:
a) O ângulo E P̂ P’.
b) O ângulo B P̂' E.
c) O número de lados do polígono inscrito no círculo O cujo lado é a corda BP.
15. Prove que um quadrilátero convexo é inscritível se e somente se os ângulos internos opostos são
suplementares.
16. (IME) Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I o ponto de interseção de
suas diagonais. As projeções ortogonais de I sobre os lados AB, BC, CD e DA são, respectivamente,
M, N, P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscritível a um círculo com centro em I.
17. (IME) Quatro retas se interceptam formando quatro triângulos conforme figura abaixo.Prove que
os círculos circunscritos aos quatro triângulos possuem um ponto em comum.
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
3α
40°
8 cm
36 °
a ) 20 °
14. b) 20 °
c) 9
15.
16.
17.