PROBABILIDADES | Fernando Mori
PROBABILIDADES
ENGENHARIA
Resumo
Introdução a Probabilidade
Fernando Mori
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PROBABILIDADES | Fernando Mori
MÓDULO 2 -
PROBABILIDADE
Unidade 1 - Função de Probabilidade
O conceito de probabilidade está sempre presente em nossas vidas: qual a probabilidade de meu
time ser campeão? Qual a probabilidade de eu me casar com certa mulher?
Probabilidade é uma espécie de medida associada a um evento. No caso do time, o evento é o
nosso time ser campeão e podemos associar a ele um número que expressa a chance disso
acontecer.
Em geral, podemos dizer que a chance disso acontecer está ligado ao número de casos favoráveis
dividido pelo número total de possibilidades de acontecer algo.
Considere o ato de jogar uma moeda para cima. Existem duas possibilidades de resultado: cara ou
coroa. A probabilidade de obtermos cara será dada pelo número de eventos favoráveis( um)
dividido pelo total de possibilidades (duas):
P(cara) 
1
2
Se chamarmos um evento simplesmente de A, então dizemos:
Se A é impossível de ocorrer então P( A)  0
Se A ocorre com certeza, então P( A)  1 .
Observe que a expressão P(A) é lida como a probabilidade de A ocorrer, ou simplesmente
probabilidade de A.
O conjunto de todos os eventos possíveis de certo experimento é chamado de espaço amostral. No
caso das moedas o espaço amostral é cara ou coroa dois possíveis resultados.
No caso de se jogar um dado o espaço amostral terá seis elementos, que correspondem a todas as
possibilidades de resultado do dado. Assim a probabilidade de jogarmos um dado e sair o número
3 será o número de vezes em que o 3 ocorre (uma vez) dividido pelo número de vezes em que
todos os eventos ocorrem: P ( sair 3)  1
6
1
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1.1) Probabilidade do e e do ou
Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os eventos possíveis. O uso do termo conjunto
não foi por acaso. De fato, há uma associação muito grande entre a teoria dos conjuntos (e sua
linguagem) e a de probabilidade.
Chamamos de S o espaço amostral (que equivale a todos os eventos, portanto P(S) =1 e sendo A
um evento desse espaço amostral (isto é, A é um subconjunto de S), uma representação gráfica da
probabilidade de A é mostrada na Figura 1.
Figura 1 - Probabilidade de A no espaço amostral S
A
S
A região em que o conjunto A está representado denota sua probabilidade em relação ao espaço
amostral S. Essa representação gráfica de probabilidade é conhecida como diagrama de Venn.
Um caso particular importante é um exemplo que não está em S (impossível de ocorrer), como o
dado cair no número 7 ou a moeda não dar nem cara nem coroa representado pelo conjunto vazio
(  ), em que, evidentemente, P (  ) = 0.
Pelo diagrama de Venn, podemos verificar uma relação importante: a probabilidade de não-A, ou
seja, o complementar de A, representado por A . O conjunto A é representado por todos os
pontos que pertencem a S, mas não pertencem a A, o que no diagrama de Venn da Figura 1.2 é
representado pela região sombreada.
Figura 1.2 – Probabilidade de
A
no espaço amostral S.
A
2
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S
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A probabilidade de
A
será dada, então por:
Mas como P(S) =1, então:
Ou:
 
P A  P  S   P  A .
 
P  A  P  A  1 .
P A  1  P  A
Assim, a soma da probabilidade de um evento com a de seu complementar é sempre igual a 1.
Suponhamos agora dois eventos quaisquer de S, A e B. A representação no diagrama de Venn é
mostrada na Figura 1.3.
Figura 1.3 – Probabilidade de A e B no espaço amostral S
A
B
S
Dados dois eventos, poderemos ter a probabilidade de ocorrer A e B, isto é, ocorrer A e também B.
Por exemplo, jogar dois dados e dar 6 no primeiro e 1 no segundo; ser aprovado em Estatística e
em Cálculo. Em linguagem de conjuntos, a ocorrência de um evento e também outro é
representada pela intersecção dos dois conjuntos  A  B  .No diagrama de Venn, a intersecção
aparece marcada pela área sombreada da Figura 1.4.
Figura1. 4 – Intersecção de A e B
A
B
S
3
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P A e B  P A  B
Há ainda a probabilidade de ocorrência de A ou B. Isso equivale a ocorrer A, ou B, ou ambos. Em
linguagem de conjuntos equivale à união de A e B  A  B  , representada na Figura 5.
Figura 1.5 – União de A e B
A
B
S
P  A ou B   P  A  B 
Podemos verificar que, se somarmos as probabilidades de A e B, a região comum a ambos (a
intersecção) será somada duas vezes. Para retirar esse efeito, basta subtrairmos a intersecção (uma
vez). Portanto:
P  A ou B   P  A  B   P  A   P  B   P  A  B 
Um caso particular dessa regra é aquele em que A e B jamais ocorrem juntos: são eventos ditos
mutuamente exclusivos (ocorrer um implica não ocorrer outro). Os conjuntos não terão pontos
em comum, portanto a intersecção é o conjunto vazio e A e B são ditos disjuntos, como mostrado
na Figura 6.
Figura 1.6 – A e B mutuamente exclusivos
B
A
S
Nesse caso, não há dúvida: P  A ou B   P  A  B   P  A  P  B  .
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Portanto, a chamada regra do ou pode ser resumida assim:
Se A e B são eventos quaisquer:
P  A  B   P  A  P  B   P  A  B 
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (disjuntos):
P  A  B   P  A  P  B 
1.2) Exemplos:
1.2.1) Qual a probabilidade de, ao jogar um dado, obter-se um número maior que 4?
Número maior do que 4 no dado temos o 5 e 6, portanto:
P(maior que 4) = P(5 ou 6)
Trata-se de eventos disjuntos, já que, se der 5 é impossível dar 6 e vice-versa.
P  5 ou 6   P  5   P  6  
1 1 1
 
6 6 3
1.2.2) Duas crianças gêmeas têm o seguinte comportamento: uma delas, a mais chorosa, chora
65% do dia; a outra chora 45% do dia, e ambas choram, ao mesmo tempo, 30% do dia.
Qual a probabilidade (qual o percentual do dia) de que pelo menos uma chore? E qual a
probabilidade de que nenhuma chore?
A probabilidade de que pelo menos uma chore é a probabilidade de que a primeira chore ou
a segunda chore. Chamando de C1 o evento a primeira criança e C2, a segunda criança
chora, temos:
P  C1 ou C2   P  C1   P  C2   P  C1 e C2   0, 65  0, 45  0,3  0,8
Portanto, pelo menos uma criança estará chorando 80% do tempo. Nenhuma das crianças
chora é o evento complementar:
P  nenhuma chora   1  P  C1 ou C2   1  0,8  0, 2
Assim, os pais dessas crianças terão paz em apenas 20% do tempo.
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1.3) Definições e Teoremas
Vamos definir um pouco mais formalmente o que vimos até agora sobre probabilidade e suas
probabilidades.
Função de probabilidade é uma função P que associa a cada evento de F um número real
pertencente ao intervalo [0,1] satisfazendo:
I) P     1
n
 n

P  Ai   P 
Ai  seA1 , A2 ,
 i 1 
II)


i 1

, An
se forem eventos mutuamente exclusivos.
Pela definição: 0  P  A  1 para todo evento A, A   ,  entendido como o espaço amostral.
Teoremas:
1.3.1) Se os eventos A1 , A2 , , An formam uma partição do espaço amostral, então:
n
 P  Ai   1
i 1
 
1.3.2) Para todo evento A  , P  A   P A  1 , a probabilidade do evento ocorrer mais a
probabilidade do evento não ocorrer é igual a 1.
1.3.3) Sejam A   e B   , então:
A
P A
B   P  A  P  B   P  A
B
Ω
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B
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Unidade 2 - Eventos equiprováveis
Considere o espaço amostral   e1, e2 , e3 , , en  associado a um experimento aleatório.
Chamamos P  ei   pi , i  1, , n
n
Temos

P  ei  
i 1
n
 pi  1
i 1
2.1 Definição:
Os eventos ei , i  1,
, n são equiprováveis quando
quando todos têm a mesma probabilidade de ocorrer.
P  e1   P  e2  
 P  en   p ,
isto é,
Assim se os n pontos amostrais (eventos) são equiprováveis, a probabilidade de cada um dos
1
pontos amostrais é n .
Vamos calcular a probabilidade de um evento A   . Supondo que A tenha k pontos amostrais:
A  e1 , e2 ,
P  A 
, ek  ,
1 k  n
k
k
i 1
i 1
 P  ei    p  k . p  k . n
Logo P  A  
1
k
n
Esta é uma outra forma de definir probabilidade a partir de todas as possibilidades de ocorrência
favoráveis dividia pelo total de possibilidades.
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2.2 – Exemplos:
2.2.1) Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas.
Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas?
Seja A: saída de um rei
Seja B: saída de uma carta de espada.
Temos então aí definidos os dois eventos que queremos. Observe que o espaço amostral
corresponde as 52 cartas do baralho completo. Existem 4 reis no baralho, e existem 13 cartas de
espada. Ficamos então com as seguintes probabilidades:
A=
4
R ; Re , Rc , R p   P  A  52
B=
 Ae , 2e ,
0
, Re   P  B  
13
52
Vamos construir a fórmula para o ou:
A
B 
 Re 
1
52
P A
B 
P A
B   P  A  P  B   P  A
P A
B 
P A
B
4
13
1


52
52
52
16

52
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B
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2.2.2) O seguinte grupo está numa sala: 5 rapazes com mais de 21 anos; 4 rapazes com menos de
21 anos; 6 moças com mais de 21 anos; 3 moças com menos de 18. Os seguintes eventos são
definidos:
A: a pessoa tem mais de 21 anos
B: a pessoa tem menos de 21 anos
C: a pessoa é um rapaz
D: a pessoa é uma moça.
Calcular:
a) P  B
b) P  A
D
C

Resolução:
 
5 R, 4 r , 6 M , 3m 
p 
1
18
11
18
7
B  4 r , 3m  P  B  
18
Espaço amostral:
9
C  5 R , 4 r  P  C  
18
9
D  6 M , 3m  P  D  
18
A  5 R , 6 M   P  A  
Temos então aí definidos os eventos e o espaço amostral.
a)
P B
D  P  B  P  D  P  B
D
3
Como B D  3m temos que P  B D   18
Logo:
PB
D 
7
9
3 13



18 18 18 18
b) Este item é mais complexo e usaremos uma relação ainda não vista:
9
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


C P A
P A

C  1 P A

 1  P  A  P C   P  A
Assim :
Como A C  5 R e P  A

P A
C 

C
C 
5
18

9
5 
3
1
 11
C 1 




18 18  18
6
 18
Como A  B e C  D temos:
A
C B

logo: P A
D  3m

C 
3
1

18
6
2.2.3) Em um congresso científico existem 15 matemáticos e 12 estatísticos. Qual a
probabilidade de se formar uma comissão de 5 membros na qual temos 3 matemáticos e 2
estatísticos?
Neste problema precisaremos usar um pouco de análise combinatória. O espaço amostral
será dado pelo número de combinações possíveis de 27 elementos escolhidos 5 a 5.
Os eventos favoráveis correspondem ao número total de comissões. A combinação de 15
elementos 3 a 3, multiplicada pela combinação de 12 elementos 2 a 2.
 27 
n

 5 
 15   12 
k    .   comissões com 3 matemáticos e 2 estatísticos
 3  2
 15   12 
  . 
3
2
P  A     
 27 


 5 
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Unidade 3 - Probabilidade Condicional
Qual a probabilidade de que o Banco Central aumente a taxa de juros? E qual a probabilidade de
que ele aumente a taxa sabendo-se que ocorreu uma crise que pode ter impacto sobre a inflação?
Qual a probabilidade de seu time ganhar o próximo jogo? E se já é sabido que o adversário jogará
desfalcado de seu principal jogador?
Qual a probabilidade de, jogando dois dados em seqüência, obter-se um total superior a 7? E se, na
primeira jogada, já se tirou um 6?
Você acorda de manhã e o céu está azul e sem nuvens. Você pega o guarda-chuva ou não? É claro
que, de posse dessa informação, a probabilidade estimada para o evento chover diminui. E assim
vale para os três exemplos anteriores. O acontecimento de um evento afeta a probabilidade de
ocorrência do outro.
Um casal que tem três filhos homens espera o quarto filho. Qual a probabilidade de ser, afinal,
uma menina? Infelizmente, para o casal não é diferente daquela que seria caso fosse o primeiro.
Não façamos confusão: é claro que, para um casal que vai ter quatro filhos, a probabilidade de
serem quatro meninas é pequena. Mas se ele já teve três meninas, isso não afeta a probabilidade de
o próximo filho ser menino ou menina (afinal, os pobres espermatozóides não têm a menor idéia
do histórico familiar).
Figura 1 – Probabilidade de A dado B
B
A
S
A pergunta que se faz, seja em um caso ou em outro, é: qual a probabilidade de um evento
sabendo-se que um outro evento já ocorreu (ou vai ocorrer)? Qual a probabilidade de A dado que
B já é um fato da vida?
No diagrama de Venn da Figura, B já ocorreu. A probabilidade de A ocorrer, então, só pode ser
naquele pedaço que A e B têm em comum (a intersecção). Mas a probabilidade deve ser calculada
não mais em relação a S, mas em relação a B, já que os pontos fora de B sabidamente não podem
acontecer (já que B ocorreu). Portanto, a probabilidade de A tendo em vista que B ocorreu (ou
ocorrerá), representada por P  A B  (lê-se probabilidade de O dado B), será dada por:


P AB 
P  A e B
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P  B
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A regra do e, ganha uma nova forma:
ou


.
P  A B   P  B A  P  A
P  AeB   P A B  P  B 
Se o evento B não tiver qualquer efeito sobre a probabilidade do evento A, então teremos:
e
 A B   P  A
P  B A  P  B 
P
A e B são ditos eventos independentes (a probabilidade condicional é igual à não condicional).
Serão eventos dependentes em caso contrário, isto é:
e


.
P  B A  P  B 
P A B  P  A
Então, se A e B forem eventos independentes, vale: P  AeB   P  A  P  B  .
Não confunda: o fato de dois eventos serem independentes não quer dizer que eles sejam
mutuamente exclusivos. Pelo contrário: se dois eventos (não vazios) são mutuamente exclusivos
(disjuntos), eles são, necessariamente, dependentes, já que a ocorrência de um implica a nãoocorrência do outro.
Resumindo, para dois eventos independentes temos:
P  AeB   P  A   P  B 
P  A ou B   P  A   P  B   P  A   P  B 
Para dois eventos disjuntos (mutuamente exclusivos):
P  AeB   0
P  A ou B   P  A   P  B 
Para dois eventos quaisquer:



P  AeB   P  A   P B A  P  B   P A B
P  A ou B   P  A   P  B   P  AeB 
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
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3.1 - Exemplos:
3.1.1) Qual a probabilidade de que, jogando dois dados em seqüência, obtenhamos exatamente 7?
E se na primeira jogada já obtivemos um 6? Para obter um total de 7, temos os seguintes
resultados possíveis: 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4, 4 e 3, 5 e 2, 6 e 1. O resultado de cada dado é
independente do resultado do outro, de modo que:
P 1 e 6   P  2 e 5   P  3 e 4   P  4 e 3  P  5 e 2   P  6 e 1 
1 1
1
 
6 6 36
A probabilidade de que ocorra qualquer um desses resultados, tendo em vista que eles
mutuamente exclusivos, é:
são
P 1 e 6  ou P  2 e 5  ou P  3 e 4  ou P  4 e 3  ou P  5 e 2  ou P  6 e 1  

1
1
1
1
1
1
1






36 36 36 36 36 36 6
Se já deu 6 no primeiro dado, o único resultado possível para somar 7 é que dê 1 no
segundo dado. A probabilidade é
condicional, P  A B  

1
6
P  A e B
P  B
, portanto. De fato, usando a Definição de probabilidade
:

P soma  7 primeiro dado  6 

P  soma  7 e primeiro dado  6 
P  primeiro dado  6 
P  segundo dado  1 e primeiro dado  6 
P  primeiro dado  6 


1
36  1
1
6
6
Note que:


P soma  7 primeiro dado  6  P  soma  7 
Portanto, o evento a soma dar exatamente 7 e o resultado do primeiro dado são independentes.
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3.1.2) No exemplo 1.2, os eventos são independentes? Caso não sejam, qual a probabilidade de
que a primeira criança chore dado que a segunda chora? E qual a probabilidade de que a
segunda criança chore dado que a primeira chora?
Os
eventos
C1
e
C2
não
são
independentes

(são
dependentes),

dado
que:
P  C1   P  C2   0,65  0,45  0,2925 é diferente de: P C1 e C2  0,3 .
Para calcular as probabilidades condicionais, temos:
P  C1 e C 2

 P  C1   P
0, 3  0, 65  P
P
 C2
C1

P  C1 e C 2

 C1
C2

C1
C1


0, 3
 0, 4615
0, 65
 P  C2
0, 3  0, 45  P
P
 C2
 C2
 C1
  P  C1
C2
C2


0, 3
 0, 6923
0, 65
Portanto, se a primeira criança chorar, há uma probabilidade de 46,15% de que a segunda criança
chore e, se a segunda criança chorar, a probabilidade de que a primeira chore é de 69,23%. Como
as probabilidades incondicionais eram de 45% e 65%, respectivamente, percebe-se que o fato de
uma criança chorar aumenta a chance de a outra chorar também.
3.1.3) Por meio do diagrama de Venn da Figura 1.8 (em que os valores marcados correspondem
às probabilidades das áreas delimitadas), verificaremos que, apesar de que
P  A  B  C   P  A  P  B   P  C  , A, B e C não são eventos independentes.
C
0,1
0,15
A
0,1
0,15
0,1
0,05
0,25
0,1
S
14
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B
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No diagrama, temos:
P  A   0,1  0,15  0,1  0, 05  0, 4
P  B   0, 25  0, 05  0,1  0,1  0, 5
P  C   0,15  0,15  0,1  0,1  0, 5
P  A  B   0,1  0, 05  0,15
P  A  C   0,1  0,15  0, 25
P  B  C   0,1  0,1  0, 2
P  A  B  C   0,1
De fato, P  A  B  C   P  A   P  B   P  C  , mas:
P  A  B   P  A  P  B 
P  B  C   P  B   P C 
P  A  C   P  A  P C 
Portanto, A, B e C são dependentes.
3.1.4) Foi feita uma pesquisa com 100 pessoas sobre as preferências a respeito de programas na
televisão. Os resultados obtidos são mostrados na Tabela abaixo:
Futebol
Novela
Total
Preferências por Programas de televisão
Homens
Mulheres
Total
40
20
60
5
35
40
45
55
100
Entre o grupo de entrevistados, qual a probabilidade de preferir novela? E futebol?
40
 0, 4  40%
100
60
futebol  
 0, 6  60%
100
P  novela  
P
Qual a probabilidade de ser mulher e preferir futebol?
P  mulher e futebol  
20
 0, 2  20%
100
15
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Qual a probabilidade de, sendo homem, preferir futebol?
Podemos resolver diretamente, já que, pela tabela, dos 45 homens, 40 preferem futebol:

40
 0,888  88,8%
45

P futebol homen 
Ou, pela definição de probabilidade condicional:

P  homem e futebol 

P futebol homen 
P  homem 

40
100  0,888
45
100
 88,8%
Qual a probabilidade de, se preferir novela, ser mulher?
De novo é possível resolver diretamente pela tabela, tendo em vista que, dos 40 que
preferem novela, 35 são mulheres:


P mulher novela 
35
 0,875  87,5%
40
Ou, pela definição de probabilidade condicional:


P mulher novela 
P  mulher e novela 

P  novela 
35
100  0,875
40
100
 87,5%
Note que a preferência por um tipo de programa ou outro e o sexo não são eventos
independentes, já que:


P  futebol homem   P  futebol 
P mulher novela  P  mulher 
Sejam A   e B   . Definimos probabilidade condicional de A dado que B ocorre como:
P  A/B  
P  B/A  
P A
B
PB
A
P B
P  A
se P  B   0
se P  A   0
Dessa definição temos o teorema do produto. Sejam A   e B   .
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PROBABILIDADES | Fernando Mori
Então:
P  A B   P  B .P  A / B  ou P  A B   P  A.P  B / A
Unidade 4 - Eventos Independentes
Sejam A   e B   . Se A e B são eventos independentes,
P  A / B   P  A e P  B / A =P  B  ou ainda P  A B   P  A.P  B 
Se os eventos A1 , A2 ,
, An são independentes então:
n
 n

P
Ai  
P  Ai 


i 1
 i 1 

n
onde
 P  Ai   P  A1 . P  A2 
i 1
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P  An 
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Unidade 5 - Regra de Bayes
Qual a chance de você sair no fim de semana se chover? E se não chover? Suponha, entretanto que
a pergunta seja invertida: se você saiu no último fim de semana, qual é a probabilidade de ter
chovido? Como responder as perguntas como esta é o que é mostrado no exemplo a seguir.
5.1 - Exemplo
5.1.1) Suponha que, numa eleição para governador em um estado norte americano, temos um
candidato democrata e um republicano. Entre os eleitores brancos, 30% votam no democrata,
proporção que sobe para 60% entre os eleitores negros e é de 50% entre os eleitores de outras
etnias. Sabendo-se que há 70% de eleitores brancos, 20% de negros e 10% de outras etnias, se um
voto democrata é retirado ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha sido dado por um eleitor
negro?
Utilizaremos as seguintes abreviações:
B – branco
D – democrata
N – negro
R – republicano
O – outras etnias
Pelo enunciado, sabemos que:
P  B   0, 7
P  N   0, 2
P  O   0,1
 
P  D B   0,3
P  D O   0,5
P D N  0, 6
.
E pede-se qual a probabilidade de o voto ser de um eleitor negro, dado que o voto é para o
candidato democrata, isto é:




P N D ?
P N D 
P N e D
P  D
A probabilidade de ser negro e democrata é dada por:


P  N e D   P  N   P D N  0,2  0,6  0,12
E a probabilidade de ser democrata será dada pela soma dos votos brancos e democratas, negros e
democratas e outras e democratas:
P  D   P  D e B   P  D e N   P  D e O   0,7  0,3  0,2  0,6  0,1  0,5  0,38
Assim:


P N D 
0,12
 0,3158  31,58%
0,38
Portanto, 31,58% dos votos democratas são de eleitores negros.
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PROBABILIDADES | Fernando Mori
5.1.2) O exemplo anterior partiu de probabilidades condicionais para calcular uma probabilidade
com a condição invertida. A generalização do resultado obtido é conhecida como regra de Bayes,
a seguir enunciada:
Se tivermos as probabilidades condicionais de um evento B, dados todos os eventos
do tipo Ai i  1,2, , n  , e queremos encontrar a probabilidade condicional de certo
evento Aj, dado B, essa será dada por:


P Aj B 


 
P B Aj  P Aj
n
 P B Aj   P  Aj 
i 1
Sejam A1 , A2 , , An eventos que formam uma partição do espaço amostral. Seja B um evento
deste espaço. Então:
P B 
n
 P  Ai . P  B / Ai 
i 1
5.2 Exemplos
5.2.1) Duas bolas são retiradas da urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes.
Qual a probabilidade de que ambas:
a) Sejam verdes?
b) Sejam da mesma cor.
2B
3P
4V
a) A probabilidade de serem retiradas duas bolas verdes é a probabilidade da primeira ser
verde multiplicada pela probabilidade de a segunda também ser verde.
P V
V   P V  . P V / V  
4 3
1
. 
9 8
6
b) A probabilidade de que sejam da mesma cor é a soma das probabilidades das duas
serem brancas, mais a probabilidade das duas serem pretas, mais a probabilidade das
duas serem verdes.
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PROBABILIDADES | Fernando Mori
P  mc   P  B
B  P  P
P   P V
V
 P  B  .P  B / B   P  P  .P  P / P   P V  .P V / V  

2 1
3 2
4 3
20
5
.  .  . 

9 8 9 8
9 8
72
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5.2.2) Lançam-se 3 moedas. Verifique se os eventos são independentes.
a) Saída de cara na 1ª moeda.
b) Saída de coroa na 2ª e 3ª moedas.
P A
Queremos verificar se a seguinte propriedade é verdadeira para este problema:
B   P  A .P  B 
A estrutura dos eventos pode ser pensada na forma de uma árvore. Assim pode sair cara ou coroa
na primeira tentativa, na segunda pode sair cara ou coroa de novo, mas observe um caminho: se
sair cara na primeira tentativa pode sair cara ou coroa na segunda. Se sair cara na segunda, pode
sair cara ou coroa na terceira. Se sair cara na terceira temos então um possível caminho na nossa
arvore de probabilidades que corresponde ao evento (c, c, c).
c
c
c
c
r
c
r
r
r
r
c
r
c
r
Se A for o evento sair cara na primeira moeda, e B for o evento sair coroa na segunda e terceira
moedas temos:


   c, c, c  ,  c, c, r  ,  c, r , c  ,  c, r , r  ,  r , c, c  ,  r , c, r  ,  r , r , c  ,  r , r , r 
espaçoamostral
A :  c, c, c  ,  c, c, r  ,  c, r , c  ,  c, r , r 

P  A 
B:

4
1

8
2
 c, r , r  ,  r , r , r   P  B  
logo P  A  .P  B  
Como A
B 
2
1

8
4
1 1
1
.

2 4
8
 c, r , r 
e P A
B 
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1
8
PROBABILIDADES | Fernando Mori
Temos que A e B são eventos independentes, pois P  A B   P  A.P  B  .
5.2.3) Sejam A e B eventos tais que P  A  0,2; P  B   P; P  A
a. Eventos mutuamente exclusivos
b. Independentes
a) A e B mutuamente exclusivos
0,6 = 0,2 + P – 0  P = 0,4.
 P A
B  0
B   0,6 .
como P  A
Calcular P considerando:
B   P  A  P  B   P  A
b) A e B independentes 
P  A B   P  A  .P  B   0, 2.P
como P  A
B   P  A  P  B   P  A
vem 0,6  0, 2  P  0, 2 P
0, 4  0,8 P  P  0,5
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B
B
vem
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5.2.4) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é
2
5
; a de sua mulher é
2
3
.
Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:
a) Ambos estejam vivos.
b) Somente o homem esteja vivo.
c) Somente a mulher esteja viva.
d) Nenhum esteja vivo.
e) Pelo menos um esteja vivo.
Chamamos de H: o homem estará vivo daqui a 30 anos.
M: a mulher estará viva daqui a 30 anos.
Para resolver este problema usaremos o fato de estes serem eventos independentes, pois o
fato de um estar vivo independe do outro estar vivo ou não.
Calculamos inicialmente os complementares:
5.2.5) Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas
e 2 amarelas. Escolhe-se ao acaso uma urna e dela retira-se também ao acaso uma bola.
Qual a probabilidade que seja branca?
5.2.6) Temos 2 urnas A e B. A urna A tem 3 moedas de ouro e 2 de pratas. A urna B tem 4
moedas de ouro e 1 de prata. Seleciona-se uma urna e dela retira-se uma moeda. A moeda é
de ouro. Qual a probabilidade que a urna A tenha sido escolhida?
5.2.7) Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos (s.m.) 20 que
ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de 10 s.m. Três pessoas desta indústria
são selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo menos uma delas ganhe menos
do que 10 s.m.
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PROBABILIDADES | Fernando Mori
5.2.8) Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75m de altura. 60%
dos estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75m.
Qual a probabilidade que seja homem?
3
1
5.2.9) A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de 4 , da B é de 5 e da
1
1
3
C é de 20 . As probabilidades dos indivíduos comprarem um carro da marca x são 10 , 5 e
3
10
dado que sejam de A, B e C respectivamente. Certa loja vendeu um carro da marca x.
Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B?
5.2.10) Num período de um mês, 100 pacientes sofrendo de determinada doença foram internados
em um hospital. As informações sobre o método de tratamento aplicado em cada paciente e
o resultado final obtido estão no quadro abaixo.
Tratamento
Resultado
Cura total
Cura parcial
Morte
Total
A)
A
B
Total
24
24
12
60
16
16
8
40
40
40
20
100
Sorteando aleatoriamente um destes pacientes, determinar a probabilidade do paciente
escolhido.
I. Ter sido submetido ao tratamento A;
II. Ter sido totalmente curado
III. Ter sido submetido ao tratamento A e ter sido parcialmente curado
IV. Ter sido submetido ao tratamento A ou ter sido parcialmente curado.
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PROBABILIDADES | Fernando Mori
B)
Os eventos “morte” e tratamento A são independentes.
C)
Sorteando dois pacientes, qual a probabilidade que:
i) Tenham recebido tratamento diferente.
ii) Tenham sido curados totalmente.
5.2.11) A urna I tem 3 bolas brancas e 2 pretas, a urna II tem 4 bolas brancas e 5 pretas, a urna III
tem 3 bolas brancas e 4 pretas. Passa-se uma bola escolhida aleatoriamente de I para II.
Feito isso, retira-se uma bola de II e retiram-se 2 bolas de III. Qual a probabilidade de
saírem 3 bolas da mesma cor?
5.2.12) Uma caixa tem 3 moedas: uma não viciada, outra com 2 caras e uma terceira viciada, de
modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é 1 . Uma moeda é selecionada ao
5
acaso na caixa e deu resultado cara. Qual a probabilidade de que a 3ª moeda tenha sido
selecionada?
5.5.13) Considere a tabela abaixo:
A
32
26
58
C
D
Total
B
63
38
101
Total
95
64
159
A) Calcule a probabilidade de ocorrer A, B, C e D.
58
159
95
P C  
159
P  A 
101
159
64
P D 
159
P B 
B) Calcule a probabilidade de ocorrer C ou D.
P C
D   P C   P  D   P C
P C
D 
D
95
64
95  64 



  0,7595
159 159 159  159 
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C) Calcular a probabilidade de ocorrer A e B.
P A
B   P  A. P  B  
58 101
.
 0, 2317
159 159
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