MENSAGEM FINAL
Procurando Deus...
Deus...
Passei tanto tempo te procurando.
Olhava para o infinito e não te via.
Não sabia onde estavas
E, pensava comigo mesmo:
- Será que Tu existias mesmo .
Não me contentava na busca e prosseguia,
Tentava te encontrar nas religiões
Tentava te encontrar nas igrejas mas, tu não estavas.
Senti-me só, vazio, desesperado e descri. . .
Na descrença, te ofendi
Na ofensa, tropecei
No tropeço, cai
Na queda, senti-me fraco
Na fraqueza, pedi socorro
No socorro, encontrei amigos.
Nos amigos, encontrei carinho,
No carinho, vi, nascer o amor
Com o amor, vi um mundo novo.
No mundo novo, resolvi viver.
O que recebi, resolvi doar, doando-me, alguma coisa recebi.
Recebendo me senti feliz,
Feliz, encontrei a paz
Com a paz, lá enxerguei que dentro de mim é que Tu estavas
E, sem perceber, Te encontrei.
2
87
132. Calcule a soma em cada caso:
5
a)
MENSAGEM INICIAL
5
35 p 2p
p
p 0
Juro a Mim Mesmo
b)
5
p 0
c)
10
p 0
5
p
( 1)p
25 p
10
p
1 p
2
133. Calcule o maior inteiro menor do que log
10
k 0
86
10
k
310 k . 2k
.
A partir de Hoje não mais lamentarei o dia de ontem.
Ele está no passado e o passado nunca mudará.
Só eu posso mudar se for essa minha escolha.
A partir de Hoje não mais me preocuparei com o amanhã.
O amanhã sempre estará lá esperando por mim para torná-lo
o melhor possível.
Mas não posso fazer o melhor pelo amanhã sem primeiro fazer
o melhor Hoje.
A partir de Hoje eu olharei no espelho e verei alguém valioso e
merecedor do meu respeito e admiração.
Alguém com quem gosto de passar minhas horas e a quem conseguirei
conhecer melhor.
A partir de Hoje eu tratarei com carinho cada dia da minha vida.
Eu valorizarei esse presente e o partilharei sem egoísmo com meus
semelhantes.
A partir de Hoje observarei a minha caminhada e superarei
desgostos se houver tropeços.
Eu enfrentarei desafios com coragem e determinação.
Eu superarei barreiras que tentem impedir minha busca pelo
crescimento e auto melhoramento.
A partir de Hoje eu viverei a vida um dia de cada vez e dando
um passo de cada vez.
A partir de Hoje eu terei renovada Fé na raça humana, desprezarei
o que de mal já aconteceu e passou.
Eu acreditarei que há esperança de um brilhante futuro.
3
A partir de hoje eu abrirei minha alma e meu coração.
Darei boas vindas a novas experiências e gostarei de
conhecer novas pessoas.
Eu não pretenderei ser perfeito nem exigirei que os outros o sejam,
pois a perfeição absoluta não existe neste mundo.
Eu aplaudirei as tentativas de fortalecimento do lado fraco
da natureza humana.
A partir de Hoje eu sou o responsável pela minha felicidade e não medirei
esforços para manter-me feliz.
Olharei as maravilhas da Natureza, escutarei minhas canções favoritas,
terei um bichinho de estimação,
tomarei reconfortantes banhos e encontrarei prazer nos mais variados
e simples gestos.
A partir de Hoje eu sempre aprenderei algo novo, experimentarei
coisas diferentes,
saborearei com gosto tudo que a Vida tem para oferecer.
Eu mudarei o que quiser e puder mudar .
O restante deixarei simplesmente passar ...
Eu agradecerei por tudo que tenho de melhor, por ser alguém
que pode ser melhor,
pois sei Agora que isso é possível.
Juro ainda sorrir e sempre estar Sorrindo...
A partir de Hoje e para sempre.
Juro a Mim Mesmo!
Autora: Silvia Schmidt
4
ax 2
128. O termo médio da expansão do binômio
de x, é
a)
1
10
y
b
6
, segundo potências decrescentes
4 6 3
x y . A razão entre a e b, nessa ordem, é:
25
1
2
1
b)
c)
d)
5
5
6
e)
3
5
129. Os números reais x e y são tais que:
x
y
1 e x5
5
x4y
1
5
x3y 2
2
5
x2y3
3
5
4
xy 4
y5
243
Determine o produto xy.
130. Obtenha a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (3x + y)10.
131. A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (5x – 3y3)n é 2048. Determine o valor
de n.
85
HISTÓRICO
124. No desenvolvimento de (x + a)10, ordenado segundo as potências decrescentes de x, o
105 6
quinto termo é igual a
x . Se a > 0, então o valor de a é:
8
1
3
5
a)
b) 1
c)
d)
e) 3
2
2
2
CARDANO: O INTELECTUAL JOGADOR
Hygino H. Domingues
125. O
3º e 4º termos do desenvolvimento do binômio
x-2
3
1
x
O perfil biográfico que dele traçaram vários historiadores o colocaria folgadamente
5
são iguais. O
na galeria dos célebres crápulas da história. Contudo há uma tendência hoje a se considerar
que tais historiadores foram demasiado severos para com ele ou pelo menos que não levaram
maior valor real de x que satisfaz a condição dada é:
na devida conta todo o conjunto de circunstâncias (e infortúnios) de sua vida. Mas num ponto
a) –3
1
c)
3
b) –1
d) 1
e) 3
há unanimidade: Girolamo Cardano (1501 - 1576) merece figurar, por vários motivos, na
companhia dos grandes matemáticos de todos os tempos.
O
próprio
ato
de
nascimento
de
Cardano, em Pávia (Itália), pode ter sido seu
primeiro infortúnio. Segundo parece, seus pais,
126. Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de
1
x
2
- 4x
18
.
que não eram casados, fizeram de tudo para
que ele não nascesse. Pelo menos para o bem da
matemática, não foram felizes nesse intento.
O pai de Girolamo era um intelectual
de certa projeção que se dedicava à medicina, à
advocacia, à matemática e ... às ciências
ocultas.
6
127. No desenvolvimento do binômio (x + a) , segundo as potências decrescentes de x, o
termo central é 540x3. Nessas condições, o valor de a é:
a) –3
b) –2
c) 2
d) 3
e) 4
O
filho
também
enveredou
pela
medicina (depois de Versalius foi o médico mais
renomado da Europa em seu tempo) e pela
matemática. Mas não ficou só nisso...
Um dos “pecados” atribuídos a Cardano foi o vício do jogo. De fato, em sua
autobiografia, De própria vita, ele confessa ter jogado diariamente: xadrez por mais de
quarenta anos e dados por mais de vinte e cinco. Deve-se levar em conta porém que no
84
5
século XVI o jogo era o passatempo dominante. E, como se jogava a dinheiro, iniciou-se
EXERCÍCIOS
nessa atividade ainda estudante universitário para prover sua manutenção.
Outro
“estigma” de Cardano foi sua condição de astrólogo. Ocorre porém que
naquele tempo a astrologia ocupava uma posição muito diferente no panorama cultural. Haja
vista que muitos governantes mantinham astrólogos em suas cortes e que muitos professores
120. No Binômio
2x
y
10
determine o terceiro termo do desenvolvimento feito
b 2
segundo os expoentes crescentes de x.
universitários faziam predições baseadas na astrologia. Mais ainda, era
considerado normal que matemático e as astrônomos se dedicassem a essa pseudociência. O
próprio Johann Kepler (1571-1631) às vezes recorria a ela para complementar seus ganhos.
A obra matemática mais conhecida de Cardano é a Ars magna (a arte maior), onde
aparecem impressas pela primeira vez as soluções gerais das equações cúbica e quártica. Mas
121. No Binômio
2x
y
10
determine o terceiro termo do desenvolvimento feito
b 2
segundo os expoentes decrescentes de x.
ironicamente, como quase tudo em sua vida, um pequeno manual do jogador, intitulado
Liber de ludo aleae (O livro dos jogos de azar), que ele sequer considerava digno de
publicação, pode ter sido sua contribuição maior à matemática.
Na parte técnica do livro, Cardano discutiu equiprobabilidade, esperança (o
montante correto da aposta a ser feita por um jogador que tem probabilidade
importância s), estabeleceu a lei
probabilidade
n
=
n
de ganhar a
, que dá a probabilidade de que um evento de
ocorra independentemente
sucessivas vezes, achou tábuas de
probabilidades para dados e usou a chamada lei dos grandes números (de modo rudimentar)
122. No Binômio
10
2x
y
b 2
determine o sétimo termo do desenvolvimento feito
segundo os expoentes crescentes de b.
- questões em que foi o pioneiro.
É verdade também que Cardano ensinava no livro a trapacear no jogo. Mas o que
importa isso em fase do vanguardismo de sua obra?
123.
No
Binômio
2x
y
10
b 2
determine
o coeficiente
desenvolvimento feito segundo os expoentes crescentes de y.
6
83
do
quinto termo do
No desenvolvimento de (x - a)n temos:
(x
n
a)n [x ( a)]n
(x
a)n = +
n
0
0
xn -
xn +
n
n
1
n
n
( a) x n 1 +
( a)2 xn 2 +...+
2
n
n
ax x 1 +
a2 xn 2 - ... + ( 1)n
1
2
n
n
( a)n
an
Os sinais de cada termo do desenvolvimento são alternados, isto é, os termos de
ordem par (2º., 4º., 6º. ...) são negativos e os de ordem ímpar (1º. , 3º. , 5º. ...) são
positivos.
 FÓRMULA DO TERMO GERAL
Observe o desenvolvimento:
(x
a)n
n
a0 . xn
0


T1
n
a . xn - 1
1

T2
n
a2. xn - 2
2



T3
1º termo T1 = T0 + 1 =
n 0
a . xn
0
2º termo T2 = T1 + 1 =
n 1 n 1
a . x
1
3º termo T3 = T2 + 1 =
n 2
a . xn 2
2


n n 0
a . x
n

Tn 1

(p + 1) ésimo termo Tp + 1 =
n p n p
a .x
p
Portanto, um termo qualquer de ordem (p + 1) é dado por:
Tp + 1 =
n p n p
a .x
p
82
7
Desenvolvendo os binômios abaixo, obtemos uma fórmula geral para desenvolver
todas as potências da forma (x +a)n, n N:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5
Nota que:
- à medida que o expoente aumenta, aumenta o número de termos do
desenvolvimento;
- o número de termos do desenvolvimento do binômio (x + a) n é n + 1. Assim,
(a + b)3 tem quatro termos, (a + b)5 tem seis termos etc;
- as sequências dos coeficientes formam o triângulo de Pascal:
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Percebemos então que para desenvolver (a + b)n devemos usar como coeficientes os
números binomiais da linha n, fazer os expoentes de a decrescerem de n até 0 e os de b
crescerem de 0 até n.
Generalizando, temos:
(a + b)n =
8
n
0
an b0 +
n n 2 2
n
an 1b1 +
a
a0 bn
b +. . .+
2
1
n
n
81
c)
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
=
d)
8
0
8
1
8
2
8
3
8
4
e)
4
4
5
4
6
4
7
4
8
=
4
f)
9
9
10
9
g)
2
0
3
1
h)
6
0
7
1
11
9
8
5
8
6
8
7
=
=
4
2
8
2
5
3
6
4
9
3
ÍNDICE
=
10
4
11
=
5
04. BINÔMIO DE NEWTON
Página
01 - Fatorial de um número natural
11
02 - Análise combinatória
13
03 - Princípio fundamental da contagem
13
04 - Técnicas de contagem
22
05 - Arranjos simples
25
06 - Combinações simples
27
Chama-se de Binômio de Newton toda expressão do tipo ( a + b) n, em que a e b são
números reais e n é um número natural.
( a b )n
(
a b
) .
(
a b
)
. (
a b)
.
. (
a b
)



n fator es
80
9
07) A soma dos elementos de uma diagonal, desde o elemento da primeira coluna
até um determinado elemento, é igual ao binomial situado imediatamente abaixo do último
elemento considerado:
0
0
1
1
0
1
Note que:
1
0
2
2
2
0
1
2
3
3
3
3
0
1
2
3
4
4
4
4
4
0
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5
0
1
2
3
4
5
2
1
1
e
3
2
2
3
n 1
1
n 2
2

EXERCÍCIO
119. Calcule as somas abaixo:
10
a)
8
4
8
5
b)
5
0
5
1
=
5
2
5
3
5
4
5
=
5
79
n p
p
5
3
4
10
2
3
4
5
0
1
2
2
1
3
6
10
Considerando uma diagonal genérica, escrevemos:
n
0
4
3
n p 1
p
5) A soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma potência de base 2
cujo expoente é a ordem da linha (dada pelo numerador).
linha
linha
linha
linha
linha
linha
0
1
2
3
4
5
n
0
Em geral:
n
1
01. FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
1
1+1
1+2+3
1+3+3+1
1+4+6+4+1
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1
n
2
n
n

ANÁLISE COMBINATÓRIA
Sendo n um número natural, maior que 1 (um), define-se fatorial de n, e indica-se
n! à expressão.
Definições especiais:
n ! = n(n - 1) (n - 2) ... 3 . 2 . 1
2n
onde:
6) A soma dos elementos de uma coluna, desde o primeiro até um determinado
elemento, é igual ao binomial situado imediatamente à direita e abaixo do último elemento
considerado.
n
IN e n
n! (lê
0! = 1
1! = 1
1
se : fator ial de n)
 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO:
0
n ! = n(n - 1)! = n(n - 1) (n – 2)! = . . .
0
Observando duas colunas do triângulo,
1
1
0
1
2
2
2
0
1
2
3
3
3
3
0
1
2
3
4
4
4
4
4
0
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5
0
1
2
3
4
5
temos que:
1
1
2
1
3
1
4
1
5
2
1
2
3
4
10
e
2
3
4
5
2
2
2
3
EXERCÍCIOS
01. Assinale a alternativa correta:
a) 10! = 5! + 5!
(
)
b) 10! = 2! . 5!
c) 10! = 11! - 1!
(
(
)
)
1
3
6
10
a) n! = n(n - 1)!
( )
b) n! = n(n - 1) (n - 2)!
( )
c) n! = n(n - 1) (n - 2) (n - 3)! (
)
p 2
p

78
d) (n -1)! = (n - 1) (n - 2)! (
e) (n - 1)! = n(n - 1) ( )
)
03. Calcule:
a)
p 1
p
(
02. Assinale a alternativa falsa:
Para uma coluna genérica podemos escrever:
p
p
10!
)
5 (
2!
e) 10! = 10 . 9 . 8 . 7!
d)
n
p
n 1
p 1
12!
10!
b)
11
7! 5!
5!
)
c)
7!
3!4!
d)
8! 6!
5!
Os outros elementos são obtidos aplicando Stifel:
04. Simplifique:
a)
n!
(n 1)!
 PROPRIEDADES
b)
(n
Propriedades do triângulo de Pascal
2)! n!
[(n 1)!]2
1) Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1, pois
2) O último elemento de cada linha é igual a 1, pois
n
n
n
0
=1
= 1.
3) Numa linha qualquer, dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais:
1
6
15
20
15
6
1
n! (n 1)!
c)
n!
4) Cada binomial
a)
p
, da linha n é igual à soma de dois binomiais da linha (n - 1):
Aquele que está na coluna p
com aquele que está na coluna (p - 1)
(relação de Stiffel).
05. Obtenha n, em:
(n 1)!
n!
n
10
4
1
4
2
5
2
5
3
12
77
5
4
6
4
Linha 1
0
0
1
0
1
1
c)
2
2
2
0
1
2
Linha 3
3
0
3
1
3
2
3
3
Linha 4
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
5
5
5
5
5
5
0
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
0
1
2
3
4
5
6
Linha 2
Linha 5
Linha 6
Coluna n
Coluna 6
.
.
.
Coluna 5
Coluna 4
Coluna 3
Coluna 2
Coluna 1
Coluna 0
Linha 0
b) n! + (n - 1)! = 6(n - 1)!


Linha n
n
0
n
1
n
2
n
3

1
2
1
1
1
3
4
3
6
1
4
1
1
1

5
6

10
15

10
20

5
15

76
6
02. ANÁLISE COMBINATÓRIA
 APRESENTAÇÃO
n
n
Podemos observar que Lo tem 1 elemento, L1 tem 2 elementos, L2 tem 3 elementos
e assim por diante. Desse modo, a linha n tem n + 1 elementos.
Essa disposição de números binomiais recebe o nome de Triângulo de Pascal. Os
valores numéricos, facilmente obtidos, dão ao triângulo a seguinte configuração:
1
1
1
n(n 1)!
(n 2)!
A Combinatória estuda o número de possibilidade de ocorrência de um determinado
acontecimento.
O estudo da Combinatória é de grande interesse nos mais variados campos:
químico o utiliza, ao estudar as possíveis uniões entre os átomos;
diretor de m escola, ao distribuir os professores pelas classes;
linguista, ao estudar os possíveis significados do símbolos de um idioma desconhecido;
diretor de trânsito, as determinar quantos símbolos são necessários para emplacar todos
os automóveis do seu Estado;
Mas geralmente, a Combinatória é utilizada na indústria e na ciência em todos os níveis,
e, associada Probabilidade e estatística, torna-se um instrumento poderoso, responsável,
muitas vezes, por tomadas de decisões até na área governamental.
03. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (P.F.C.)
(DIAGRAMA DA ÁRVORE DE POSSIBILIDADES)
1
6

 EXEMPLOS INTRODUTÓRIOS:
1

EXEMPLO 1
Quantos são os possíveis resultados que se obtém ao jogarmos uma moeda não
viciada duas vezes consecutivas para cima ?
13
117.
K
K
14
14
=
.
2x 3
x 5
Calcule x de modo que se tenha
KK
K
2º lançamento
C
KC
K
CK
C
CC
1º lançamento
C
(As quatro possibilidades são: KK, KC, CK, CC).
EXEMPLO 2
k
118.
Uma fábrica, ao ser instalada num certo país, começou suas atividades produzindo
apenas três tipos de veículo: carros, camionetas e peruas. Esses veículos eram fabricados
nas cores cinza ou preto.
Vamos estabelecer o número de configurações possíveis dos veículos produzidos por
essa fábrica com o auxílio da árvore das possibilidades.
Resolva a equação
1
k
2
1
3
k
2
= 1.
5
Veja:
1ª etapa: FAZER
(3 possibilidades)
Resultados
Parciais
2ª etapa: PINTAR
(2 possibilidades)
Configurações
Possíveis
Cinza
Carro
Preto
Cinza
Camioneta
Preto
03. TRIÂNGULO DE PASCAL
Cinza
Perua
Preto
Observe que obtivemos seis configurações diferentes.
14
Chama-se Triângulo de Pascal, o triângulo obtido pela disposição dos números
binomiais em linhas e colunas. O binomial
n
p
será colocado na linha n e a coluna p, isto é,
o numerador do binomial indica a linha e o denominador indica a coluna.
75
114. Calcular os números binomiais.
a)
5
b)
2
Numa urna existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e amarelas (A). Uma bola é retirada,
tem sua cor observada, e é devolvida à urna. Qual é o número de resultados possíveis em 3
extrações sucessivas ?
6
3
1ª extração
c)
7
d)
4
2ª extração 3ª extração
resultado
9
5
V
V
P
A
VVV
VVP
VVA
3
115.
a)
Calcular o valor de:
20
0
20
20
50
0
V
50
50
b)
30
1
30
29
40
1
40
39
V
P
A
VPV
VPP
VPA
V
P
A
VAV
VAP
VAA
V
V
P
A
PVV
PVP
PVA
P
V
P
A
PPV
PPP
PPA
V
P
A
PAV
PAP
PAA
V
P
A
AVV
AVP
AVA
V
P
A
APV
APP
APA
V
P
A
AAV
AAP
AAA
P
A
P
A
116.
Para que valores de m,
16
m
2
m
e
16
28
6m
são binomiais complementares?
V
A
P
A
74
15
 Exemplo Conclusivo
Demonstração:
Uma garota possui três pares da sandálias de cores diferentes, quatro calças jeans
de cores diferentes e duas camisetas também de cores diferentes. De quantos modos
diferentes esta garota pode ser vestir?
Para resolver este problema, vamos dividir a tarefa de vestir-se em três fases. A
seguir, vamos esquematizar a solução, construindo um esquema chamado de árvore da
possibilidades.
1ª Etapa
2ª Etapa
3ª Etapa
Vestir a
calça jeans
.
C2
Número
de
Possibilidades em
cada fase.
2
4
16
=
n
+
p
1
=
n!
p!(n p)!
n!(p 1 n p)
(p 1)!(n p)!
(p
n!
1)!(n p 1)
(n 1).n!
(p 1)!(n p)!
n!(p 1) n!(n p)
(p 1)!(n p)!
n 1
p 1
Numeradores Iguais
Vestir a
sandália
6 + 1
S1 _____ C1 J1 S1
S2 _____ C1 J1 S2
S3 _____ C1 J1 S3
J1
C1
p
J2
S1 _____ C1 J2 S1
S2 _____ C1 J2 S2
S3 _____ C1 J2 S3
J3
S1 _____ C1 J3 S1
S2 _____ C1 J3 S2
S3 _____ C1 J3 S3
J4
S1 _____ C1 J4 S1
S2 _____ C1 J4 S2
S3 _____ C1 J4 S3
J5
S1 _____ C2 J1 S1
S2 _____ C2 J1 S2
S3 _____ C2 J1 S3
J6
S1 _____ C2 J2 S1
S2 _____ C2 J2 S2
S3 _____ C2 J2 S3
J7
S1 _____ C2 J3 S1
S2 _____ C2 J3 S2
S3 _____ C2 J3 S3
J8
S1 _____ C2 J4 S1
S2 _____ C2 J4 S2
S3 _____ C2 J4 S3
6
4
24 MANEIRAS DIFERENTES
Vestir a
camiseta
n
6
5
7
5
21
Denominadores Consecutivos
EXERCÍCIOS
113. Preencha os espaços pontilhados com a relação de Stifel.
a)
b)
10
3
10
...
...
4
5
...
6
2
3
...
c)
d)
3
73
7


4


n


p

p
1
02. PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS
 NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES
Dois números binomiais complementares são iguais:
n
p
Sabemos que: n =
p
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas
independentes de tal modo que:
p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa
p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa
.
.
.
pk é o número de possibilidade de k ésima etapa,
Se n é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer,
n
=
Existem duas possibilidades para a primeira fase, quatro para segunda e três para a
terceira. O número de maneiras diferentes da garota vestir-se é igual ao produto das
possibilidades em cada fase, isto é, 2 . 4 . 3 = 24. Este é o princípio fundamental da
contagem, que pode ser assim enunciado:
n p
e
n!
p! ( n p)!
Então:
n
n p
=
(n
n!
p)![n (n
p)]!
(n
n!
p)![n n
p]!
n!
(n p)!p!
n = P1 . P2 . . . . . Pk
Portanto, n =
p
n
n p
Nota: Essa questão sugere uma conclusão útil para a resolução de equações:
n
p
=
p q
ou
p q n
n
q
Poderíamos, então, resolver o problema da garota vestir-se da seguinte maneira:
1ª etapa
Isto é, se dois binomiais de mesmo numerador são iguais, eles têm classes iguais ou
são complementares.
Tarefa:
Vestir-se
Número de
possibilidades
em cada fase
2ª etapa
3ª etapa
Vestir a camiseta
Vestir a calça jeans
Vestir a sandália
2
4
3
 RELAÇÃO DE STIFEL
n
p
+
n
p 1
=
n 1
p 1
Pelo princípio fundamental da contagem, o número n de modos diferentes da garota
vestir-se é: n = 2 . 3 . 4
n = 24
72
17
NÚMEROS BINOMIAIS E BINÔMIO DE NEWTON
EXERCÍCIOS
06. Numa empresa há 5 engenheiros, 2 economistas e 4 administradores. Deseja-se formar
uma comissão para estudar um projeto, composta de 1 engenheiro, 1 economista e 1
administrador. De quantos modos a comissão poderá ser formada ?
01. NÚMEROS BINOMIAIS
 Definição
n!
,
p! ( n p)!
Chama-se número binomial de classe p do número n ao número natural
isto é, ao número de combinação simples dos n elementos tomados p a p.
07. Um artista tem 4 cartolas, 5 casacos e 6 bengalas, todos diferentes. Em cada
apresentação ele deve usar uma cartola, um casaco e uma bengala. Quantas
apresentações ele pode fazer sem usar as mesmas três peças ?
Indica-se por n . Assim:
p
n
p
08. Observe o código ao lado:





=
n!
({p, n})
p! ( n p)!
N, p
n)
lê-se binomial de n sobre p
n
p

é o numerador
é o denominador
Trata-se de uma sequência de 10 sinais que podem ser de 2 tipos  ou . O número de
códigos distintos que podem ser formados com 10 sinais,  ou , é:
a)
b)
c)
d)
e)
1010
10!
4096
1024
100
 Consequências da definição
a) n = 1
para n
b) n = n
para n > 1 e n
c) n = 1
para n
o
1
n
09. Um código para leitura ótica é constituído por 6 barras, brancas ou pretas. Nenhum
código tem barras de uma só cor. Veja dois exemplos desses códigos:
Quantos desses códigos, distintos entre si, podem ser formados?
Exemplo:
Calcular E, sendo E = 5 + 3 + 5 + 7
2
18
3
0
71
1
N
N
N
10. Em um ônibus há cinco lugares vagos. Duas pessoas tomam o ônibus. De quantas
maneiras diferentes elas podem ocupar lugar ?
11. Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um
jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, um peão, uma torre, um cavalo e um bispo,
de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De
quantas maneiras as 4 peças poderão ser colocadas?
Na tira do Recruta
Zero,
de
Mort
Walker, suponha que
cada um dos cinco
soldados tenha uma
carta para enviar a
um dos três destinos
destacados.
12.
De quantos modos distintos podem ser distribuídas essas cartas ?
70
19
13.
Seis casas enfileiradas em uma rua devem ser pintadas, cada uma de uma só cor,
dispondo-se de três cores diferentes. Se duas casas vizinhas não devem ter a mesma cor,
de quantos modos essa pintura pode ser feita ?
ÍNDICE
14. Uma bandeira é formada de 7 listras que vão ser pintadas utilizando-se 3 cores
diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras
adjacentes nunca estejam pintadas de mesma cor ?
Página
20
01 - Números binomiais
71
02 - Propriedades dos números binomiais (Binomiais
complementares e relação de Stifel)
72
03 - Triângulo de Pascal-tartaglia
75
04 - Binômio de Newton
80
69
Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, responda às questões 15, 16 e 17:
15. Quantos números de três algarismos podemos formar, podendo repetir algarismos?
16. Quantos números de três algarismos podemos formar, obrigatoriamente repetindo
algarismos ?
17. Quantos números de três algarismos podemos formar, repetindo apenas dois algarismos ?
68
21
04. TÉCNICAS DE CONTAGEM (AGRUPAMENTOS)
Na análise combinatória, vamos trabalhar basicamente com dois tipos de agrupamentos
que podemos formar com determinados elementos dentro de certas condições:
Consideremos uma palavra qualquer que conhecemos. Por exemplo, ROMA. Mudando a
ordem das letras, obtemos palavras com outros significado e até mesmo palavras sem
significado algum, por exemplo: AMOR, MORA, RAMO, MRAO, etc...
Agrupamentos que têm a característica de mudar quando alteramos a ordem dos seus
elementos, como é o caso das letras das palavras, por exemplo, são chamados de arranjos.
Suponhamos agora que dispomos das seguintes frutas: maçãs, bananas, mamões e
abacates. Como desejamos fazer uma salada de fruta, picamos separadamente cada fruta e,
em seguida, misturamos tudo na seguinte ordem: maçã, banana, mamão e abacate, banana e
maçã, obtemos o mesmo resultado. Agrupamentos como este, que têm a característica de
não mudar quando alteramos a ordem de seus elementos, são chamados de combinações.
Resumindo:
Arranjos: são agrupamentos nos quais existe ordem.
Combinações: são agrupamentos nos quais não existe ordem.
Os agrupamentos que se modificam
apenas substituindo seus elementos
são COMBINAÇÕES.
Os agrupamentos que se modificam
substituindo e permutando seus
elementos são ARRANJOS.
CONJUNTOS
SEQUÊNCIAS
O número de combinações de n
elementos tomados p a p é
indicado por
O número de arranjos de n elementos
tomados p a p é indicado por
An,p = A pn
Cn,p = C pn
NÃO SE
DEVERIA
FALAR
“COMBINAÇÃO” DO COFRE,
APENAS
“SEGREDO” DO
COFRE.
22
67
111. Um jogo de crianças consiste em lançar uma caixa de fósforos sobre uma mesa. Ganha
quem conseguir fazer com que a caixa fique apoiada sobre sua menor face. Suponha que
a probabilidade de uma face ficar apoiada sobre a mesa é proporcional à sua área. Se as
dimensões da caixa são 2 cm, 4 cm e 8 cm, qual é a probabilidade de a caixa ficar
apoiada sobre sua face menor ?
EXERCÍCIOS
18. Diga se é arranjo ou combinação (trabalhando sempre com elementos distintos):
a) um ramalhete de flores de tipos diferentes de flores;
b) o segredo de um cofre, chamado normalmente combinação do cofre;
c) a escolha, entre Corinthians, Vasco, Internacional e Atlético, de dois times para um
jogo de futebol;
d) a escolha de 3 números para somar;
112. Num canil há 10 cachorros, 7 de uma raça X e 3 de uma raça Y. Cada cachorro está
numa “jaula”. A probabilidade de um cachorro da raça X latir para um desconhecido é
de 80% e, para a raça Y, essa probabilidade é de
60%. Um visitante chega ao canil, pára ao acaso
diante de uma jaula e vê então o cachorro que está
nela. Qual é a probabilidade de esse cão não latir
para o visitante ?
e) a escolha de 2 números para subtrair o primeiro de segundo;
f) a escolha de 3 letras para serem os dígitos iniciais da placa de um carro;
g) a escolha de 2 números para multiplicar;
h) as coordenadas de um ponto no plano cartesiano;
66
23
19. Dê as respostas às questões seguintes, utilizando as notações An,p ou Cn,p.
a) Com 10 pontos distintos e não alinhados, quantos triângulos podem ser formados ?
109. Escolhem-se três lâmpadas ao acaso, de um grupo de 15 lâmpadas, das quais 5 são
defeituosas. Qual é a probabilidade de ser escolhida ao menos uma lâmpada defeituosa?
b) Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de 4 algarismos distintos podem ser
formados?
c) De quantos modos pode ocorrer a classificação dos 3 primeiros lugares, sem, empate, de
12 atletas que disputam uma prova olímpica?
d) De quantos modos podem ser escolhidas 5 das 100 dezenas da Loto (Loteria de Números)?
110. Considere dois atiradores, A e B, e que a probabilidade de A atingir um alvo é 1 e a
e) De quantos modos podem ser escolhidos o presidente e o relator de uma CPI(Comissão
Parlamentar de Inquérito) entre 10 deputados que disputam os cargos?
3
1
de B é P(B) = . Qual é a probabilidade do alvo ser atingido, se os dois atiradores atiram
2
no alvo?
f) De quantos modos pode ser escolhida, entre 18 professores de um colégio, uma comissão
de 3 professores que representarão o colégio em um congresso?
g) De quantos modos podem ser escolhidas 4 letras distintas da palavra VESTIBULAR para
formar anagramas?
24
65
106. Considere duas sacolas, A e B. Na sacola A, temos 5 bolas brancas e 15 verdes, e na
sacola B temos 7 bolas brancas e 13 verdes. Se escolhermos, ao acaso, uma sacola e, em
seguida, retirarmos uma bola, qual a probabilidade de que esta bola seja verde ?
05. ARRANJOS SIMPLES
Chamamos de arranjos simples de n elementos diferentes tomados p a p (An,p ou
A pn ) os agrupamentos de p elementos distintos.
Neste caso, os arranjos diferem um do outro porque:
 têm pelo menos um elemento diferente;
 têm os mesmos elementos dispostos em ordens diferentes.
Dado o conjunto A = {a, b, c, d}, vamos esquematizar o número de arranjos simples
dos quatro elementos:
107. Gira-se o ponteiro (veja figura) e anota-se o número que ele aponta ao parar; repete-se
a operação. Qual a probabilidade de que a soma dos dois números seja 5 ?

Tomados 2 a 2 :
a
1
3
b
3
2
3
2
b _____ (a, b)
c _____ (a, c)
d _____ (a, d)
a _____ (b, a)
c _____ (b, c)
d _____ (b, d)
12 ARRANJOS
c
a _____ (c, a)
b _____ (c, b)
d _____ (c, d)
d
a _____ (d, a)
b _____ (d, b)
c _____ (d, c)
Logo:
108. Numa indústria, três máquinas, A, B e C, produzem, respectivamente, 40%, 40% e 20%
do número total de peças. Sabe-se que 4% da produção de A, 4% da produção de B e 3%
da produção de C são peças defeituosas. Se uma peça é escolhida aleatoriamente, qual a
probabilidade de:
a) ela ser defeituosa ?
b) ela ser perfeita ?
A4 . 2 = 4 . 3 = 12 arranjos
Quatro grupos de três elementos.
Quatro grupos.
Vejamos como podemos calcular o número total desses agrupamentos no caso geral.
Para isso, vá comparando o que faremos a seguir com o que fizemos no exemplo anterior.
Aplicando o Princípio fundamental da contagem, temos que o número total de
possibilidades é dado por:
Generalizando, temos:
64
An,p = n . (n - 1) . (n - 2) . .... (n - p + 1)
25
Multiplicando e dividindo esse número por
(n
(n
(n
(n
An,p = n.(n - 1) . (n - 2) . ... . (n - p + 1).
103. Uma urna contém 30 bolas verdes, 10 bolas amarelas e 15 bolas brancas. Extraindo-se
uma bola aleatoriamente, qual a probabilidade de ela ser branca ou verde?
p)!
temos:
p)!
n.(n
p)!
=
p)!
1).(n
2).....(n p
(n p)!
1).(n
p)!
n!
(n p)!
Portanto
An,p =
(n
n!
p)!
104. No lançamento de um dado e uma moeda, qual a probabilidade de obtermos cara e
número maior que 3 ?
 PERMUTAÇÕES SIMPLES
Chamamos de permutações simples de n elementos (Pn) os agrupamentos formados
com os n elementos apenas trocando de lugar entre si.
Observações:
 Nas permutações, todos os elementos envolvidos fazem parte de agrupamentos de
mesma natureza.
 Permutações nada mais são do que arranjos. Assim, podemos dizer que permutações
105. Um grupo de 30 pessoas apresenta a composição: 20 italianos e 10 portugueses; 15
homens e 15 mulheres; 5 casados e 25 solteiros. Determine a probabilidade de que uma
pessoa escolhida ao acaso seja um homem casado e português.
simples de n elementos são os arranjos desses n elementos agrupados n a n. Então:
Pn = An,n
Mas An,p =
Logo:
n!
.
(n p)!
Pn = An,n
Pn =
(n
n!
n)!
Pn =
n!
0!
Pn =
n!
1
Pn = n!
An,n = Pn = n!
26
63
06. COMBINAÇÕES SIMPLES
QUAIS OS PRINCÍPIOS
FUNDAMENTAIS DA
PROBABILIDADE ?
O MULTIPLICATIVO DO
EVENTO INTERSECÇÃO.
Em geral, a cada combinação de n elementos tomados p a p correspondente p!
arranjos distintos dos n elementos tomados p a p, obtidos permutando-se os p elementos da
combinação.
Logo,
An,p = Cn,p . p!
n!
An,p
n!
(n p)!
Cn,p =
=
=
P!
p! (n p)!
p!
Cn,p =
n!
p! (n p)!
Cn,p ... lê-se... combinação simples de n elementos tomados p a p.
O ADITIVO DO
EVENTO UNIÃO.
EXERCÍCIOS
O texto à seguir refere-se às questões 20, 21 e 22.
EXERCÍCIOS
102. No lançamento simultâneo de dois dados, a probabilidade de se conseguir dois números
iguais é:
a) 1
6
b) 0
c) 30%
d) 1
2
Mariana gosta de 5 sabores de sorvete: abacaxi, coco, limão
chocolate e graviola. Quantas possibilidades ela tem para
escolher duas bolas entre os cinco sabores, sabendo que:
20. As duas bolas são do mesmo sabor ?
e) 2
21. As duas bolas são de sabores diferentes e não importa a ordem em que elas são
colocadas na casquinha ?
62
27
22. As duas bolas são de sabores diferentes e importa a ordem em que são colocadas na
casquinha ?
06. PROBABILIDADE CONDICIONAL E
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
Seja E um espaço amostral finito e não-vazio e A um evento não-vazio de E.
Suponhamos que o evento A tenha ocorrido e que queiramos saber qual a
probabilidade de ocorrer um outro evento B não-vazio de E.
por P(B A) e dizemos que ela é “a
A
B
probabilidade de B condicionada ao fato de
que A já ocorreu”, ou, simplesmente, que é
B
23. Quantas diretorias de 4 membros podem ser formadas escolhendo-os entre os 10 sócios
de uma empresa ?
a)
b)
c)
d)
e)
Essa nova probabilidade é indicada
E
A
a probabilidade condicional de B em
relação a A.
5040
40
210
320
420
Temos , nesse caso, uma mudança de espaço amostral.
A probabilidade de B será em relação ao espaço amostral A e o elemento procurado
de B deverá pertencer a B
A; portanto, a nova probabilidade é P(B A) = n(B
n(A)
A)
, ou seja:
24. Numa estrada de ferro há 10 estações. Quantos tipos de bilhetes diferentes deverão ser
impressos, de modo que cada um deles contenha as estações de partida e de chegada?
Observe que, se A e B são eventos independentes, ou seja, quando a ocorrência de
um deles não influi na ocorrência do outro, temos P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B) e, daí,
podemos escrever:
P(A
28
B) = P(A) . P(B)
61
101. Numa moeda viciada, a probabilidade de ocorrer cara excede em 15% a probabilidade
de ocorrer coroa. Lançando-a uma vez, qual é a probabilidade de ocorrer coroa ?
Este texto se refere às questões 25 e 26.
Entre 6 livros de autores diferentes, uma pessoa
quer escolher 3 para presentear:
Quantas são as maneiras que essa pessoa tem de
presentear com os livros?
25. Três amigos (um livro para cada amigo).
05. ADIÇÃO DE PROBABILIDADES
Como n(A
26. Um só amigo com os três livros.
Seja E um espaço amostral finito e não-vazio, e A e B dois eventos de E.
B) = n(A) + n(B) - n(A B), então:
n (A B)
n (E)
n (A B)
n (E)
E
n(A)
n (E)
n(B) - n(A B)
ou
n (E)
n(B)
n(A B)
n (E)
n (E)
27. O número de comissões diferentes de 2 pessoas que podemos formar com os n diretores
de firma é k. Se, no entanto, ao formar essas comissões, tivermos que indicar uma das
pessoas para presidente e a outra para suplente, poderemos formar k + 3 comissões
distintas. Calcule n.
A
B
A
n(A)
B
Sendo P(A
Se A
B=
P(A
B) = P(A) + P(B) - P(A
B)
B) a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B.
dizemos que A e B são mutuamente exclusivos.
E
28. Uma pessoa está diante de um tabuleiro de jogo de damas (veja a figura). O tabuleiro de
64 casas está vazio e essa pessoa pretende colocar sobre ele 3 fichinhas iguais, uma em
cada casinha. Quantos são os diferentes posicionamentos para as 3 fichinhas?
Nesse caso, como n(A B) = 0, então
P(A B) = 0.
A
Logo, podemos escrever:
P(A
B
60
B) = P(A) + P(B)
29
29. Resolva o problema anterior, supondo que as 3 fichinhas tenham 3 cores diferentes uma
é vermelha, outra verde e outra amarela.
98. Um evento A de um espaço amostral é tal que n(A) = n e P(A) =
n
4
3
. O maior número
possível de elementos de A é:
a) 4
30. Resolva o problema anterior supondo que se pretenda colocar no tabuleiro 4 fichinhas:
2 brancas e iguais, e 2 pretas e iguais.
d) 5
e) 7
21
A probabilidade de não ocorrer o evento de A é:
21
30
c) 9
99. Um experimento aleatório é realizado. A probabilidade de ocorrer um evento A é 8 .
a) 7
31. Suponha que Fábio tenha uma foto de cada uma de suas 3 ex-mulheres, uma foto de seu
irmão, uma foto de um amigo, uma foto de um ídolo de rock e uma foto do jogador de
futebol favorito. De quantos modos distintos ele poderá dispor tais fotos em 5 portaretratos (3 sobre o aparador e 2 na parede), se deseja que as fotos das ex-mulheres
apareçam juntas sobre o aparador ?
b) 8
b) 8
21
d) 13
c) 1
21
e) 15
21
100. Um dado é viciado de tal modo que, ao ser lançado, é duas vezes mais provável
ocorrer face par que ocorrer face ímpar. Todas as faces pares têm a mesma chance de
ocorrer, o mesmo acontecimento com as faces ímpares. Lançando esse dado uma vez,
qual a probabilidade de ocorrer face par ?
59
95. Três meninos e três meninas sentam-se em fila. Qual a probabilidade de:
a) as meninas sentarem juntas ?
b)meninos e meninas sentarem
em lugares alternados.
Este enunciado refere-se às questões de número 32 até 38.
Considere a palavra ESCOLA e calcule:
32. O total de anagramas com quatro letras cada, que podemos formar com as letras dessa
palavra sem repetir.
33. O total de anagramas dessa palavra.
96. Com as frutas laranja, banana, abacate, mamão, maçã e pêra, preparam-se todas as
saladas de frutas possíveis, que contenham 4 frutas cada uma. Escolhe-se ao acaso uma
delas. Qual é a probabilidade de a salada escolhida conter as frutas:
a) banana, maçã, laranja
e mamão ?
34. O total de anagramas que começam com c.
b) pêra e mamão ?
35. O total de anagramas que começam com consoante.
36. O total de anagramas que começam com consoante e terminam com vogal.
97. Três homens e duas mulheres vão ocupar cinco cadeiras em torno de uma mesa circular.
Sabendo que a disposição será aleatória, calcule a probabilidade de as mulheres ficarem
juntas.
37. O total de anagramas em que E, S, C aparecem juntas, nessa ordem.
38. O total de anagramas em que E, S, C, aparecem juntas.
58
31
39. Um estudante ganhou numa competição cinco diferentes livros de Matemática, três
diferentes de Física e dois diferentes de Química. Querendo manter juntos os da mesma
disciplina, calculou que poderá enfileirá-los numa prateleira de estante, de modos
diversos. Calcule essa quantidade de modos.
Este enunciado é para as questões de 90 a 93.
Numa caixa estão todos os anagramas da palavra AMOR, cada um deles escrito em um
cartão. Escolhe-se um cartão aleatoriamente. Qual a probabilidade de o cartão escolhido
conter:
90. o anagrama ROMA ?
40. Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um
deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir frente e que o vagão restaurante
não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes
de montar a composição é:
a)
b)
c)
d)
e)
91. um anagrama que comece por O ?
92. um anagrama que tenha as letras R e O juntas, nesta ordem ?
120
320
500
600
720
93. um anagrama que tenha as letras R e O juntas, em qualquer ordem?
O texto à seguir refere-se às questões de número 41 à 45.
Num grupo de 13 pessoas, 3 são médicos. De quantos modos podemos formar:
41. Uma equipe de 5 pessoas ?
42. Uma equipe de 5 pessoas onde nenhum seja médico ?
94. Um grupo de seis amigos (A, B, C, D, E e F) pretende realizar um passeio em um barco
onde só há 3 lugares. É feito um sorteio para serem escolhidos os três amigos que
ocuparão o barco. Calcule:
a) a probabilidade de que A
seja escolhido e B não o seja.
b) a probabilidade de A e B
serem escolhidos.
43. Uma equipe de 5 pessoas onde participam todos os médicos ?
32
57
Responda às questões de 84 a 87 baseado no seguinte texto:
Num grupo de 260 pessoas, 160 têm fator RH positivo, 100 têm sangue tipo O e 80 têm fator
RH positivo e sangue tipo O. Escolhe-se uma pessoa aleatoriamente. Qual é a probabilidade
de o sangue dessa pessoa:
84. ter fator RH positivo ?
44. Uma equipe de 5 pessoas onde haja apenas um médico ?
85. não ter tipo O ?
45. Uma equipe de 5 pessoas onde haja pelo menos um médico ?
86. ter fator RH positivo e ser tipo O ?
87. ter fator RH positivo ou ser tipo O ?
46. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos
podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?
88. Considere dois pequenos tetraedros regulares com suas faces numeradas de 1 a 4.
Lançando aleatoriamente os dois tetraedos sobre uma mesa, qual a probabilidade de que
nas faces em contato com a mesa tenhamos a soma 4 ?
47. Você tem 2 anéis distintos e 5 caixas distintas e pretende colocar cada anel em uma
caixa diferente. De quantos modos isso pode ser feito ?
a) 60
b) 40
c) 30
d) 20
e) 10
89. Na questão anterior qual a probabilidade de que tenhamos soma 7 ?
56
33
48. Uma senhora tem 8 amigos, dos quais 2 estão brigados entre si. De quantas maneiras ela
pode convidar 5 dos 8 amigos para jantar, tendo o cuidado de não convidar
simultaneamente os 2 amigos brigados ?
76. Jogando-se dois dados, a probabilidade de obtermos a soma dos pontos menor ou
igual a 7 é:
a)
1
2
b)
1
36
c)
7
12
d)
3
36
e)
1
4
49. Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6
dessas substâncias se, entre as 10, apenas duas não podem ser juntas por produzirem
uma mistura explosiva ?
O texto a seguir refere-se às questões de 77 a 83.
De 120 estudantes, 60 estudam francês, 50 espanhol e 20 francês e espanhol. Escolhe-se um
estudante aleatoriamente. Qual a probabilidade de esse estudante:
77. estudar francês ?
78. estudar espanhol ?
79. estudar só francês ?
80. estudar só espanhol ?
50. Quantos são os anagramas da palavra URUBU?
Trata-se de um caso de
permutação com
elementos repetidos,
indicado por:
E da palavra ARARA ?
P n, , ,
n!
! ! !
81. não estudar francês nem espanhol ?
Este texto refere-se às questões de número 51 à 53.
De quantas maneiras posso arrumar 6 moedas em linha reta, ficando para cima:
82. estudar francês e espanhol ?
51. 1 cara e 5 coroas ?
83. estudar francês ou espanhol ?
52. 2 coroas e 4 caras ?
34
55
53. 3 caras e 3 coroas ?
PROPRIEDADES
P1) A probabilidade do evento certo é sempre igual a 1. (Probabilidade Máxima)
P(E) =
n(E)
n(E)
1
54. O diagrama seguinte representa caminhos em um labirinto. Quantos percursos diferentes
pode fazer o ratinho para cima ou para a direita, se deslocando do ponto que se encontra
e caminhando em direção ao queijo? (Sabendo que o ratinho anda sobre as linhas).
P2) A probabilidade do evento impossível é sempre igual a zero. (Probabilidade Mínima)
P( ) =
P3) Como A
Ee0
n (A)
n( )
n(E)
0
n(E)
0
n(E), é fácil perceber que:
0
P(A)
1
55. Luís deve ir de O(0,0) a B(6,5), passando por C(4,3), deslocando-se 1 unidade de cada
vez para o norte ou para o leste. Desenhe na figura abaixo um trajeto nessas condições.
Quantos caminhos diferentes Luís pode percorrer ?
P4) A soma das probabilidades de um evento e seu evento complementar é sempre igual a
probabilidade do evento certo.
A
A
P(A) + P( A ) = 1
E
De fato, sendo A o complementar de A, então n(A) + n( A ) = n(E)
Dividindo ambos os membros por n(E), temos:
54
n(A)
n(E)
n(A)
n(E)
n(E)
n(E)
P(A)
P(A) 1
35
Resolva as questões 56 e 57 baseando-se na pergunta abaixo.
Quantas soluções inteiras não negativas têm as equações ?
56.
Ou seja:
P(A)
x+y+z=6
número 36de
número
de
modos
modos
de
de
o
A
ocorrer
experiment o
ocorrer
Ou ainda, intuitivamente:
P(A)
57. x + y + z + t = 10
Resolva as questões 58 e 59 com base na pergunta abaixo.
Quantas soluções inteiras positivas têm as equações ?
58. x + y + z = 6
número de casos favoraveis a A
número total de casos possíveis
 CONCEITUALMENTE
Probabilidade é a medida da possibilidade de ocorrência de um certo evento.
O QUE É
PROBABILIDADE ?
59. x + y + z + t = 10
É A MEDIDA DA CHANCE
OU POSSIBILIDADE .
60. Um bar vende 3 tipos de refrigerantes: GUARANÁ, SODA e COLA. De quantas formas uma
pessoa pode comprar 5 garrafas de refrigerante ?
36
53
EVENTOS COMPLEMENTARES: são dois eventos A e A tais que:
A
A = (o evento união é o próprio espaço amostral)
A
A = ( o evento intersecção é o conjunto vazio)
61. Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo,
palmito e atum. De quantas formas uma pessoa
pode comer 5 pastéis?
Exemplo: evento A
ocorrência de número par
= D = {2, 4, 6}
evento A
ocorrência de número ímpar
E = { 1, 3, 5 }
Observe que: A
=
=
{1,
2,
3,
4,
5,
6}
A
A
A =
62. De quantas formas 5 crianças podem ficar uma ao lado da outra para tirar fotografia?
EVENTO ELEMENTAR: é todo evento que é um subconjunto unitário do
espaço amostral.
Exemplo: evento A
ocorrência de número maior que 5
04. PROBABILIDADE (Definições)
63. Cinco pessoas, entre elas Antônio e Pedro, vão posar para
uma fotografia. De quantas maneiras elas podem ser dispostas
se Antônio e Pedro recusam-se a ficar lado a lado ?
 ALGEBRICAMENTE
Se, um fenômeno aleatório, o número de elementos do espaço amostral é n(E) e o
número de elementos do evento A é n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o
número P(A) tal que:
P(A) =
n( A )
n(E)
64. De quantas formas 4 pessoas podem se sentar em volta de uma mesa circular ?
Trata-se de um caso de
permutação circular.
Esta definição é válida, quando o espaço amostral E for equiprobabilístico, isto é,
quando todos os elementos de E tiverem a mesma probabilidade.
Ou seja:
P(A)
númer o de elementos
de A
númer o de elementos
de E
52
37
65. De quantos modos diferentes 5 amigos podem se posicionar formando um círculo ?
 EVENTOS NOTÁVEIS
Considere o experimento aleatório: lançamento de um dado
comum e observação do número voltado para cima.
O espaço amostral será:
66. De quantos modos diferentes podemos escolher seis crianças
dentre oito possíveis para que as escolhidas possam se
divertir em um carrossel acomodando-se apenas uma criança
em cada cavalinho, sabendo que no carrossel existem apenas
seis lugares ?
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
EVENTO CERTO: é o próprio espaço amostral
Exemplo: evento A
ocorrência de um número menor que 8.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
EVENTO IMPOSSÍVEL: é o subconjunto vazio de espaço amostral.
Exemplo: evento B
B=
ocorrência de um número maior que 10
EVENTO UNIÃO: é a reunião de dois eventos.
67. Sobre uma circunferência são determinados 5 pontos distintos. Calcule o número de
polígonos convexos que podemos inscrever nesta circunferência tendo como vértices
estes pontos.
Exemplo: evento A
ocorrência de um número ímpar
E = {1, 3, 5}
evento B
ocorrência de um número par primo
= B = { 2}
evento A B
ocorrência de um número ímpar ou de número par primo
A B = {1, 2, 3, 5}
EVENTO INTERSECÇÃO: é a intersecção de dois eventos.
Exemplo: evento A
ocorrência de um número par
= A = {2, 4, 6}
evento B
ocorrência de um número múltiplo de 4
B={4}
evento A B
ocorrência de um número par e múltiplo de 4
A B={4}
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: são aqueles que têm conjuntos disjuntos.
Exemplo: evento D
ocorrência de número par
= D = {2, 4, 6}
evento E
ocorrência de número ímpar
E = { 1, 3, 5 }
evento D E =
38
51
EXERCÍCIO
75. Considere o experimento aleatório “três lançamentos sucessivos de uma mesma moeda”
e descreva:
68. Sobre uma reta, marcam-se 6 pontos e sobre uma outra reta paralela à primeira,
marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos, unindo 3 quaisquer desses pontos?
69. Em uma circunferência são marcados 5 pontos distintos e em uma reta exterior a ela são
marcados 4 pontos distintos, sabendo que três quaisquer deles estão alinhados apenas se
estiverem na reta. Determine quantos triângulos podemos construir tendo-se por vértice
3 destes pontos.
a) o espaço amostral;
b) o evento “obter duas caras e uma coroa”;
c) o evento “obter nas três vezes a mesma face”;
d) o evento “obter pelo menos uma coroa”;
70. Seis retas paralelas distintas de um plano se interceptam com outras cinco retas
paralelas distintas desse plano (conforme figura). Calcule o número de paralelogramos
cujos lados estão contidos nessa rede.
e) o evento “obter quatro caras”;
f) o evento “obter pelo menos uma cara ou uma coroa”.
50
39
O enunciado abaixo se refere às questões de número 71 à 74.
Quanto aos anagramas da palavra AZEDO pergunta-se:
03. O CONCEITO DE EVENTO:
71. A quantidade destes anagramas.
Considerando um experimento aleatório e E um espaço amostral
associado a ele, chamamos de evento todo subconjunto do espaço amostral E.
Exemplo 1:
72. Em quantos deles as vogais estão em ordem alfabética ?
Seja E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} um espaço amostral associado ao seguinte
experimento: retirar uma etiqueta de uma urna que contém dez etiquetas numeradas de 1 a
10.
Consideremos, então, os seguintes eventos:
73. Em quantos deles as consoantes estão em ordem alfabética ?
a.
A = {1, 3, 5, 7, 9}
A etiqueta tem número ímpar.
b.
B = {2, 3, 5, 7}
A etiqueta tem número primo.
c.
C = {2 }
A etiqueta tem número primo e par.
d.
D = {1, 2, 3, 4, 5}
A etiqueta tem número menor que 6.
e.
F = {5, 10}
A etiqueta tem número múltiplo de 5
f.
G = {1, 2, 4, 8}
A etiqueta tem número divisor de 8.
g.
F G = {1, 2, 4, 5, 8, 10}
A etiqueta tem número múltiplo de 5 ou divisor de 8.
h.
B F={5}
A etiqueta tem número primo e múltiplo de 5.
Exemplo 2:
74. Em quantos deles as vogais e as consoantes estão em ordem alfabética ?
Seja E o evento em que ao jogarmos dois dados de cores diferentes a soma dos
pontos das faces voltadas para cima seja 6.
Ou seja:
E = { (1, 5); (5, 1); (2, 4); (4, 2); (3, 3) }
40
49
02. ESPAÇO AMOSTRAL
O conjunto formado por todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório é chamado espaço amostral do experimento.
Exemplos:
1) Se jogamos um dado e observamos o número na face superior, temos o espaço
amostral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2) Se lançamos uma moeda e observamos a face superior, temos E = {k, c}
(k: ocorrência de cara: c: ocorrência de coroa).
3) Numa partida de futebol, observamos o resultado obtido por uma das equipes;
temos
E = {v, e, d} (v: vitória da equipe observada; d: derrota; e: empate).
Vejamos mais um exemplo: vamos observar a sequência em que são retiradas duas
bolas, uma de cada vez, sem reposição, de uma urna que contém 3 bolas vermelhas (V), duas
amarelas (A) e uma branca (B).
Para encontrar o espaço amostral desse experimento, vamos construir uma árvore
de possibilidades:
1ª bola
V
A
B
2ª bola
Resultados
V
( V, V )
A
( V, A )
B
( V, B )
V
( A, V )
A
( A, A )
B
( A, B )
V
( B, V )
A
( B, A )
B
( B, B )
Possibilidade Impossível
Note que se a primeira bola for branca (B), a segunda bola ou será vermelha (V) ou
amarela (A), pois só há uma bola branca na urna. Assim, o espaço amostral é:
E = { (V, V), (V, A), (V, B), (A, V), (A, A), (A, B), (B, V), (B, A) }
48
41
lançamento de dois dados comuns e leitura
da soma dos números voltados para cima
sorteio de uma carta do baralho
Se esses experimentos forem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não
poderemos prever o seu resultado.
Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas mesmas
condições, apresentarem resultados variados, não sendo possível, portanto, a
previsão lógica dos resultados, são denominados experimentos aleatórios.
Um experimento aleatório apresenta as seguintes características fundamentais:
pode repetir-se várias vezes nas mesmas condições;
é conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis;
não se pode prever qual o resultado.
Para estudar os experimentos aleatórios utilizaremos a Teoria das Probabilidades.
Na ignorância do resultado, procuraremos descobrir as “chances” de ocorrência de cada um
dos possíveis resultados do experimento. Exprimiremos essas “chances” em números e, a
partir daí, teremos uma visão panorâmica do experimento.
42
47
queda livre de um corpo,
desprezando a resistência do ar,
a partir de uma certa altura
no sistema de roldanas abaixo
F=?
t=?
500 m
600N
600 N
e determinar o tempo de queda.
determinar a força exercida pelo homem
ÍNDICE
Conhecidas certas condições, podemos prever a temperatura em que a água entrará
em ebulição e a velocidade com que o corpo atingirá o solo.
Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, isto é, podem ser
determinados antes da sua realização, são denominados experimentos
determinísticos. Os experimentos determinísticos são governados por leis conhecidas
que dão informações precisas sobre o fenômeno em estudo.
 EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS (AO ACASO)
Consideremos também os experimentos:
lançamento de uma moeda e leitura da figura da face voltada para cima
46
Página
01 - Experimentos
45
02 - Espaço amostral
48
03 - O conceito de evento
49
04 - Probabilidade (definição)
52
05 - Adição de probabilidade
60
06 - Probabilidade condicional e multiplicação de probabilidades
61
43
INTRODUÇÃO À TEORIA DAS PROBABILIDADES
01. EXPERIMENTOS
Experimentos
Determinís ticos
Aleatórios
 EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS
Consideremos os seguintes experimentos:
• aquecimento da água contida em
uma panela
• Esguinchar água com uma
mangueira
t=?
=?
e determinar a temperatura
em que a água vai ferver.
44
e determinar o ângulo que
permite o alcance máximo.
45