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Probabilidade Condicional
Muitas vezes quando realizamos um experimento temos informação extra sobre a ocorrência de um
evento. Neste caso, gostarı́amos de utilizar esta informação extra para realocar probabilidades aos
outros eventos.
Se selecionarmos, ao acaso, um aluno da Unicamp e calculamos qual a Probabilidade dele estar
cursando Cálculo I, uma atribuição razoável seria: número de alunos em Cálculo I/ número de alunos
na Unicamp. Entretanto, se soubermos que o curso no qual está matriculado é Medicina, sabemos
que a probabilidade dele fazer Cálculo I é muito menor.
Exemplo 1.1 Sejam a seguinte distribuição de alunos em ME210/213/223 turma A
Homens (H) Mulheres (F) Total
Cursão (C)
15
4
19
Estatı́stica (E)
16
15
31
Fı́sica (F)
6
0
6
Outros (O)
4
2
6
Total
41
21
62
Seja E: “Selecionar um aluno ao acaso” e defina os eventos:
H: o aluno selecionado é do sexo masculino
C: o aluno selecionado é do Cursão
Note que P(H) = 41/62, P (E) = 19/62, mas dentre os alunos do cursão temos que a probabilidade
dele ser do sexo masculino é: 15/19. Ist é,
P(H|C) = 15/19
Exemplo 1.2 Se dois dados (um vermelho e o outro verde) são lancados, qual a probabilidade da
soma ser 8 dado que o dado verde saiu 3?
Dado que o dado verde teve como resultado 3, temos agora somente 6 resultados possı́veis: (3,1),
(3,2), (3,3), (3,4), (3,5) e (3,6).
1
Como originalmente estes 6 resultados eram equiprováveis, eles ainda deveriam conservar esta
probabilidade.
Definição 1.3 Sejam E e F dois eventos, se P(F ) > 0 então:
P(E|F ) :=
P(E ∩ F )
.
P(F )
Exemplo 1.4 Uma moeda honesta é lana̧da 2 vezes ao acaso. Qual a probabilidade condicional de
ambos os resultados serem caras dado que o primeiro lana̧mento resultou em cara?
1
2
Exemplo 1.5 Uma urna contém 10 bolas brancas, 5 bolas amarelas e 10 bolas pretas. Uma bola é
escolhida ao acaso da urna e verifica-se que não é preta, qual a probabilidade de ser amarela?
A = a bola selecionada é amarela
B = a bola selecionada é preta
P(A|B c ) =
P(A)
5/25
1
P(A ∩ B c )
=
=
= .
c
c
P(B )
P(B )
15/25
3
Teorema 1.6 Teorema da Multiplicação
1. P(A ∩ B) = P(A).P(B|A)
2. P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ) = P(A1 )P(A2 |A1 )P(A3 |A1 ∩ A2 ) . . . P(An |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 )
Exemplo 1.7 Seja um lote formado de 20 lâmpadas defeituosas e 80 não defeituosas. E: Escolhemos
ao acaso duas pea̧s.
1. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?
Sejam os eventos:
A : primeira lâmpada é defeituosa
2
B : segunda lâmpada é defeituosa
C : ambas são defeituosas.
Daı́
A∩B =C e
P(C) = P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) =
20
19
380
×
=
= 0, 3838...
100 99
990
2. Qual a probabilidade da segunda pea̧ ser defeituosa?
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac )
= P(A)P(B|A) + P(Ac )P(B|Ac )
20
19
80
20
20
=
×
+
×
=
100 99
100 99
100
Definição 1.8 Dizemos que os eventos A1 , A2 , . . . formam uma partição de Ω se:
•
A1 ∪ A2 ∪ . . . = Ω
•
Ai ∩ Aj = ∅ se i 6= j.
Teorema 1.9 Lei da probabilidade Total. Se A1 , A2 , . . . formam uma partição de Ω então
P(B) =
∞
X
P(Ak )P(B|Ak ).
k=1
Teorema 1.10 Teorema de Bayes. Se A1 , A2 , . . . formam uma partição de Ω então
P(Ar )P(B|Ar )
P(Ar |B) = P∞
.
k=1 P(Ak )P(B|Ak )
1. Uma caixa contém 3 moedas, duas honestas e uma de duas caras. Retirar uma moeda ao acaso
e jogá-la. Qual a probabilidade condicional da moeda escolhida ter duas caras dado que o
resultado final foi cara?
2. Suponha que a ocorrência de chuva dependa somente das condio̧es de tempo do dia imediatamente anterior. Admita-se que se chove hoje choverá amanhã com probabilidade 0.7 e se
3
não chove hoje choverá amanhã com probabilidade 0.4. Sabendo-se que choveu hoje, qual a
probabilidade de chover depois de amanhã?
0.7 × 0.7 + 0.3 × 0.4 = 0.61
3. Em um teste de múltipla escolha, a probabilidade do aluno saber a resposta é p. Havendo m
escolhas se ele sabe a resposta ele acerta, se não, ele “chuta” qualquer alternativa com igual
probabilidade. Qual a probabilidade do aluno saber a resposta se ele acertou a pergunta?
1
m
p
+p 1−
1
m
4. Um teste de laboratório tem 5% de falsos negativos e 1% de falsos positivos em detectar
diabetes. Se a prevalência de diabetes em uma certa população é de 0.5%, qual a probabilidade
de uma pessoa ter a doença quando o teste deu positivo?
(.95)(.005)
≈ .323
(.95)(.005) + (.01)(.995)
4