Universidade dos Açores
CURSO DE SOCIOLOGIA
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Ficha de Exercícios nº 4- Distribuições Importantes
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1. A probabilidade de os doentes de uma determinada doença recuperarem é de 0.4
(40%). Se 15 pessoas têm a mesma doença, determine a probabilidade de:
1.1. Sobreviverem pelo menos 10 pessoas.
1.2. Sobreviverem entre 3 e 8 pessoas.
1.3. Sobreviverem exactamente 5 pessoas.
2. Um casal pretende ter seis filhos. Admitindo que é igualmente provável nascer um
rapaz ou uma rapariga, determine a probabilidade do casal ter:
2.1. Três rapazes e três raparigas.
2.2. Mais raparigas do que rapazes.
3. Um vendedor de seguros vende apólices a 5 homens todos da mesma idade e de boa
saúde. De acordo com as tabelas da seguradora, a probabilidade de um homem dessa
idade estar vivo daqui a 30 anos é 2/3. Determine a probabilidade de estarem vivos
daqui a 30 anos:
3.1. Os cinco homens.
3.2. Pelo menos três.
4. Um autocarro está parado durante 10 minutos cada vez que chega ao ponto de
partida. Cada viagem de ida e volta dura 40 minutos.
4.1. Qual a probabilidade de um indivíduo que não conhece o horário chegar à paragem
e tomar de imediato o autocarro?
4.2. Se o passageiro utilizar habitualmente este autocarro, qual a probabilidade de em 5
dias da semana encontrá-lo, se em cada dia utiliza-o só uma vez?
5. Um estudante que não teve tempo de se preparar para um exame, em cada questão
tinha 6 respostas possíveis, em que 1 única é a correcta, decide responder ao acaso. Se o
exame for constituído por 18 questões:
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5.1. Qual a probabilidade de responder certo a uma questão?
5.2. Qual o número esperado de respostas certas que espera obter?
5.3. Qual a probabilidade de responder certo, a pelo menos 11 das questões?
5.4. Qual a probabilidade de responder certo a um número de questões entre 2 e 5?
6. Suponha que apenas 15% dos alunos que se inscreveram no 1º ano do curso de
Sociologia fizeram a disciplina de Matemática no 12º ano do Ensino Secundário. Se
escolher aleatoriamente uma amostra de 20 alunos, qual a probabilidade de existirem 10
naquelas condições?
7. Uma urna contém vinte bolas, das quais cinco são brancas. Quatro bolas são extraídas
ao acaso da urna. Seja X o número de bolas brancas encontradas na amostra. Defina a
função de probabilidade para a v.a. X nas seguintes condições:
7.1. A extracção das bolas é feita com reposição.
7.2. A extracção das bolas é feita sem reposição.
8. Suponhamos que uma urna contém 1000 bolas, das quais 400 são brancas. Retiram-se
4 bolas ao acaso. Determine a probabilidade da amostra só ter bolas brancas.
9. Numa fábrica de têxteis existem numerosos teares do mesmo tipo. Depois de muitas
observações, chegou-se à conclusão de que avariam em média 3 teares por mês. Admita
que há independência entre as avarias. Determine a probabilidade de que durante um
mês avariem 7 teares.
10. Sabendo que p=0.001 é a probabilidade de uma peça produzida por uma certa
máquina ser defeituosa, qual a probabilidade de num lote de 1000 peças haver pelo
menos uma defeituosa?
11. Entre as 14 e as 16 horas, o número médio de chamadas telefónicas por minuto
numa empresa é 2.5. Considere X, o número de chamadas telefónicas por minuto, como
uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro λ. Determine a
probabilidade de durante um minuto haver quando muito quatro chamadas.
12. Admita que 300 erros de impressão estão distribuídos aleatoriamente em 500
páginas de um livro.
12.1. Determine a probabilidade de uma página conter exactamente dois erros.
12.2. Determine a probabilidade de cinco páginas conterem menos do que seis erros.
13. Um estudo aprofundado sobre o tráfico de uma ponte, com seis faixas de rodagem,
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revelou que o número de veículos que passa em cada faixa de rodagem por minuto nos
dias úteis entre as 20 h e as 7 h é bem descrito por uma distribuição de Poisson de média
dois. Com base nos dados deste estudo, diga qual a probabilidade de num minuto
aleatoriamente seleccionado do período entre as 21 h e as 23 h de um dia útil, terem
passado no máximo dois veículos numa faixa de rodagem da ponte? E na ponte?
14. O número diário de doentes com complicações cardiovasculares que chegam a
determinada unidade de cuidados intensivos tem distribuição de Poisson de média 4. A
unidade de cuidados intensivos pode atender 6 doentes por dia. Caso o número de
doentes exceda esse valor, os doentes são transferidos para outra unidade.
14.1. Qual a probabilidade de, em certo dia, não ser necessário transferir doentes para
outra unidade?
14.2. Qual o número mais provável de doentes a chegarem por dia àquela unidade?
14.3. Qual a probabilidade de, em certo dia, chegarem àquela unidade 5 doentes,
sabendo que no dia anterior chegaram apenas dois doentes?
14.4. Qual a probabilidade de que, em 5 dias, chegarem àquela unidade pelo menos 15
doentes?
15. Suponha que há em média dois suicídios por ano numa população de 50.000
pessoas. Determine a probabilidade de numa população de 100.000 habitantes, num
determinado ano, ter havido:
15.1. Zero suicídios
15.2. Dois ou mais suicídios.
16. Um distribuidor de batatas de semente chegou à conclusão, após numerosos ensaios,
que 5% das batatas não germinam. As batatas são vendidas em sacos de 200 batatas,
garantindo a germinação de 90%. Qual a probabilidade de um determinado saco não
cumprir o garantido?
17. O diâmetro de um cabo eléctrico tem distribuição normal com valor médio µ = 0.8
cm e σ 2 = 0.0004 cm2. Determine a probabilidade de que o diâmetro ultrapasse 0.81
cm.
18. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal com valor médio µ X e
variância σ X2 . Determine o valor da probabilidade: P(µ X − σ X < X < µ X + σ X ) .
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19. Foram medidos os coeficientes intelectuais (Q.I.) de uma população escolar de 2000
alunos e verificou-se que seguiam a lei normal com µ=85 e σ=30. Determine:
19.1. O número de alunos cujo Q.I. é inferior a 100.
19.2. O número de alunos cujo Q.I. é superior a 55.
19.3. O número de alunos cujo Q.I. está entre 70 e 100.
20. As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com
média 1.60 m e desvio padrão 0.30 m. Determine a probabilidade de um aluno medir:
20.1. Entre 1.50 m e 1.80 m.
20.2. Mais de 1.75 m.
20.3. Menos de 1.48 m.
21. Seja X uma v.a. com distribuição normal em que µ X = 2 e σ X = 0.4 . Determine:
21.1. P( X ≥ 2.3) .
21.2. (1.8 ≤ X ≤ 2.1) .
22. Seja X~Nor(0, 1). Calcule o valor de k de tal modo que P( X < K ) = 0.95.
23. O treinador de um atleta especialista no salto em comprimento fez um estudo
estatístico dos saltos dados nos últimos tempos pelo seu atleta e verificou que se
distribuíam normalmente com valor médio de 7.23 metros e desvio padrão de 0.33 m.
23.1. Qual é a probabilidade de ele dar um salto entre os 7 e os 7.5 metros?
23.2. O atleta vai dar o último salto a que tem direito e para se classificar para a fase
seguinte precisa de ultrapassar os 7.55 metros. Qual a probabilidade de o conseguir?
24. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal reduzida. Determine o valor
de k, tal que:
24.1. P(0 ≤ X ≤ K ) = 0.4236 .
24.2. P( X ≤ k ) = 0.7967 .
24.3. P(K ≤ X ≤ 2) = 0.1 .
25. Os salários pagos em certo sector da vida económica têm uma distribuição normal
de média 400 euros e desvio padrão de 50 euros. Para representar o sector escolheramse ao acaso 20 elementos que nele trabalham.
25.1 Qual a probabilidade dos trabalhadores auferirem um salário entre 385 contos e
430 euros?
25.2 Qual a probabilidade de metade deles auferirem um salário entre 385 contos e 430
euros?
25.3 Quantos trabalhadores se espera encontrar com salários entre 385 contos e 430
euros?
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