Geometria Métrica na
Babilônia, Egito, Grécia.
Autor: Christian Fernando Cordeiro Pinheiro
Disciplina de História da Matemática
Universidade Federal de Alfenas
Professora: Andréa Cardoso
Introdução
Geometria Métrica antiga:
Mesopotâmia;
Egito;
Grécia antiga;
Geometria Métrica medieval:
Japão
Geometria
Geometria do grego "geo" (terra)
e "métron" (medida), é o estudo que
relaciona medidas com áreas e volumes.
As primeiras utilização de Geometria
Métricas foram com intuito de medir
terrenos a fim de limitar espaços para as
populações da Mesopotâmia.
Atualmente a geometria é bastante
utilizada em plantas de casas, calculo de
áreas de terrenos, capacidade de
recipientes, noções de objetos no
espaço, dentre diversas aplicações na
física, química e demais áreas.
Geometria Babilônica
Conhecimentos Adquiridos em Geometria
Sistema Numeral Sexagesimal.
Áreas: Retângulo, triângulo
retângulo e triângulo isósceles e
trapézio retângulo.
Volume: Paralelepípedo retoretângulo, prisma reto de base
trapezoidal, tronco de cone e o
tronco de pirâmide quadrangular
regular.
YBC 7302
Se A é a área do circulo de circunferência
S e raio r, então:
I) Área Circulo: A = π·r²
II) Comprimento da Circunferência:
S = 2π·r
De (II) temos que r=S/2π
Substituindo (II) em (I), temos:
A=π (S/2π)² = π (S²/4π²)= S²/4π.
Adotavam π=3,00 ou 3+(1/8).
Volumes – Tronco de Cilindro
Problema: Dado diâmetro 0,05 de
um tronco de cilindro, calcule seu
volume.
“Triplique a linha divisória 0,05 tal
que 0,15 aparecerá. A
circunferência do tronco é 0,15.
Combine (faça o quadrado) de
0,15 tal que 0,03;45 aparecerá.
Multiplique 0,03;45 por 0,05 e
terás 0,00;18;45, á área,
aparecerá.”
Geometria Egípcia
Conhecimentos Adquiridos
Sistema numeral decimal.
Cálculos
de
áreas
de:
Retângulo, triângulo retângulo
e triângulo isósceles e circulo.
Cálculos de volume de:
Paralelepípedo reto e Cilindro
reto.
Adotavam π=3,00.
Área triângulo
Problema: Qual a área de
um triangulo de base 4 e
lado 10.
Resposta: Retire ½ de 4, a
fim de obter seu retângulo.
Multiplique 10 vezes 2; isso
é a área.
E a Pirâmides?
Conhecimentos sobre Pirâmides
Papiro Rhind:
Inclinação dos lados,
Volume do tronco da pirâmide,
Volume de uma pirâmide.
Matemática Pratica x Matemática Racional
Egípcios e Mesopotâmios utilizavam a
matemática pratica.
Gregos utilizavam a matemática racional
preocupando com as explicações.
Geometria Grega
História
Textos originais gregos não preservado.
As referências: manuscritos bizantinos e
traduções árabes .
Ensino: Através da fala, sem escritas.
Escolas restritas.
Motivação para Geometria
I. A duplicação do volume do cubo.
II. A trissecção do ângulo.
III. A quadratura do círculo.
Método de Exaustão -Euclides
Para entender o Método de Exaustão iremos
definir e demonstrar o seguinte lema: Dados
duas grandezas qualquer sendo uma fixa e
outra tamanho n, podemos diminuir minha
grandeza de tamanho n de modo a ficar
menor que minha grandeza fixa.
Método de Exaustão -Euclides
Demonstração - Lema: Sejam a e b medidas
de duas grandezas respectivamente AB e CD.
Se tirarmos uma parte maior ou igual a sua
metade, e assim sucessivamente, então após
certo numero m de repetições iremos obter
uma grandeza menor que CD.
Método Exaustão
Seja AB o lado de um polígono regular de n
lados inscrito em uma circunferência e C o
ponto médio de AB. Seja EF tangente a
circunferência no ponto C. Sabemos que
AC=BC e é o polígono regular de 2n lados.
Área triangulo ACB = ½ área retângulo ABEF.
Área triangulo ACB < Área circular AB < área
Retângulo ABEF.
Fazendo então Área triangulo ACB - Área
circular AB = área. Podemos fazer novamente
o mesmo processo de modo que aproxime
ainda mais com a área do circulo.
Método de Exaustão -Euclides
Através do método da exaustão, podemos
chegar na seguinte demonstração.
“Circulo estão entre si como os quadrados de
seus diâmetros.
Seja a e A, d e D as áreas e diâmetros
respectivamente de círculos c e C então vale:
a/A = d2/D2”
Quadratura do Circulo - Arquimedes
Teorema: Mostre que a área do circulo é
igual a área do triângulo retângulo no
qual, um dos lados que formam o ângulo
reto é igual ao raio e, o outro lado que
forma o ângulo reto é a circunferência
deste circulo.
Demonstração
Sejam C e T área Círculo e do Triângulo, vamos inscrever polígonos regular de lados 2n e 2n+1.
Sejam In polígonos inscrito e Cn polidos circunscritos. Sabemos que: In<In+1<C ou seja In<C.
Por outro lado temos: Cn>Cn+1 ou seja C<Cn.
Com isso temos então que In<C<Cn.
Vamos mostrar que C = T ou seja área circunferência = área do triangulo.
1º Caso: C > T. Se isso acontece então existe um número d = C – T > 0
Lema: Área de um polígono é o produto de sua apótema por seu semi-perímetro.
Apótema: Segmento de reta que liga centro da figura a uma extremidade formando ângulo reto.
Sabemos que aplicando tema no Caso do polígono de 23 lados temos então que: a área do octógono é OI.S (S é semiperimetro). Sabemos também que semi-perimetro S = P/2 onde P perímetro. Então temos que área do octógono é (OI.P)/2.
Isso lembra a área de um triângulo.
Com isso, podemos afirmar que existe um triângulo de lados OI e PN conforme figura:
Com isso, temos ainda que: (OI < r) e (Pn < c). Com isso concluímos então que: In<T<C.
Como área In<C, podemos obter um número Kn= C – área In. Usando método de Exaustão, podemos então concluir que ao
aumentar número de lados do polígono, está quantidade pode ser menor que a quantidade dada, ou seja, para n suficiente
grande podemos obter Kn<d.
Mas como: área(In)<C<T, ou seja, se pegarmos d= C – T < C – área (In) = Kn, o que é uma Contradição. Voltando a
demonstração, isso acarreta que podemos tomar Kn menor do que d no raciocino anterior.
2º Caso: T > C Análogo.
Curiosidades: Japão -Sangaku
O círculo O '(r') toca O (r) a nível interno, e uma
cadeia de círculos contacto ó i(r i ), i = 1, 2, 3,
4, é inscrito na lune formado por O (r) e O
'(r'). Mostre que: 1 / r 1 + 3 / r 3 = 3 / r 2 + 1 / r 4 .
Conclusão
Podemos concluir que os estudos
sobre geometria, teve como ponto
inicial a observação e através deste os
mesopotâmios
e
egípcios
estabeleceram
parâmetros
para
resolver problemas práticos. Depois de
um tempo seu uso começou a ser
demonstrado inicialmente pelos gregos,
que se desempenharam em buscar
explicações de forma a validar os
teoremas. Foram os gregos que
inventaram as demonstrações e
teoremas, e graças a eles que hoje
temos um avanço em geometria.
Referências
História da Matemática na Babilônia, acessado em 05 de abril de 2015 disponível em:
http://www.matematica.br/historia/babilonia.html.
Matemática antiga na Grécia, acessado em 05 de abril de 2015 disponível em:
http://phylos.net/matematica/grecia-antiga/.
Sangaku , acessado em 05 de abril de 2015 disponível em: http://www.cut-theknot.org/pythagoras/1331Sangaku.shtml.
Japanese mathematical votive tablete, acessado em 05 de abril de 2015 disponível em
http://sangaku.info/.
IFRAH, G. Os Números: A História de Uma Grande Invenção.11.ed. Globo Livros, 1989. 367p.
 ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de História da Matemática. SBM, 2012. 269p.
BARBOSA, João Lucas. Geometria euclidiana plana. Coleçãoao Fundamentos da Matemática
elementar. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1985.