Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Por definição, Pressão é igual à relação entre
a Força uniformemente distribuída sobre a unidade
de área e atuando sobre ela; e um dos métodos
mais preciosos para medi-la consiste em equilibrar
a coluna de líquido, cujo peso específico é
conhecido, com a pressão aplicada.
Para instrumentos com Coluna de Líquido, o
princípio da medição consiste no fato de que ao se
aplicar a lei D p= D h.. .g, a pressão "p" para ser
medida deve ser comparada com a altura "h" da
coluna de líquido.
DEFINIÇÕES E PRINCÍPIOS PARA
FAZER MEDIÇÕES COM COLUNAS
MANOMÉTRICAS
No mundo contemporâneo, torna-se cada vez
mais necessária a medição e controle de
determinados parâmetros dos processos, com a
finalidade de atender aos mais variados tipos de
especificações técnicas, por este motivo a
PRESSÃO pode ser considerada como uma das
mais importantes grandezas físicas que atua nestes
referidos processos.
Figura 10 – Variação da altura.
Os Instrumentos que empregam tal princípio
são denominados "Manômetros de Coluna" e a
precisão da medição, com auxílio de tais instrumentos,
pode
chegar
até
0,3%.
Para se fazer medições com maior precisão é
necessário que sejam considerados vários fatores, tais
como:
a - Temperatura: realizar cálculos de correção
se a temperatura de medição diferir da temperatura de
referência, pois a variação de temperatura provoca
mudanças na densidade do líquido manométrico.
b - Aceleração da gravidade deve ser
considerada no local da medição com o seu valor de
referência.
c - Impurezas contidas no líquido
manométrico também provocam mudanças na
densidade, conseqüentemente causando erros de
leitura.
d - A influência da Tensão Superficial e sua
mudança causada por efeitos externos, assim como a
compressibilidade do líquido manométrico deve ser
considerada.
A tensão superficial dos líquidos é
apresentada pela forma que apresentam nas paredes do
recipiente. Em tubos de diâmetro pequeno a forma da
superfície total do líquido será curvada, sendo que,
para os líquidos que tiverem baixa tensão superficial, a
superfície terá a forma convexa em relação ao ar.
Com a finalidade de minimizar qualquer
efeito de distorção no aumento da capilaridade em
1
tubos de diâmetros pequenos estes devem
possuir diâmetros constantes.
As unidades de pressão mais usadas na
prática são:
a - Milímetros ou polegadas de
mercúrio ( mmHg ou "Hg )
b - Milímetros ou polegadas de coluna
d'água ( mmH2O ou "H2O )
c - Bar ou milibar ( bar ou mbar )
d - Libra (força) por polegada quadrada
(PSI )
A IOPE fornece escalas com as unidades de
pressão acima citadas e em diversos tamanhos
para atender a vários campos de leitura. Tais
escalas podem ser construídas de materiais tais
como: alumínio, aço inox, etc.., de acordo com a
aplicação do instrumento.
Flanges
Figura 10 – Flanges e tubos.
1
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Viscosidade
™ INTRODUÇÃO:
Ao promover o movimento de uma esfera em
um fluido ideal de viscosidade η em regime
estacionário, as linhas de corrente formam um
desenho perfeitamente simétrico em torno da mesma.
Haverá uma força de arrastamento viscoso.
Jean Louis Poiseuille (1799 – 1869) foi um físico
francês que realizou experimentos
relacionados à viscosidade de fluidos.
Em homenagem a seus trabalhos,
denomina-se a unidade de viscosidade
como Poise.
A Lei de George Stokes da viscosidade
estabeleceu a ciência de hidrodinâmica.
Realizou trabalho sobre esferas e várias
relações de fluxo que variam de mecânicas de onda a
resistência viscosa. Estudou o movimento de fluidos
incompressíveis, a fricção de fluidos em movimento, e
o equilíbrio e movimento de sólidos elásticos. Seus
trabalhos na transmissão de ondas acústicas por
materiais viscosos é de interesse na Física.
Investigando a teoria de onda de luz, nomeou
e explicou o fenômeno de fluorescência, e teorizou
uma explicação de linhas de Fraunhofer no espectro
solar. Ele sugeriu que estes fossem causados através
de átomos nas capas exteriores do Sol que absorve
certos comprimentos de onda.
Porém quando
Kirchhoff publicou depois esta explicação aboliram-se
quaisquer descobertas anteriores.
A seguir analisaremos a força dada pela Lei
de Stokes em fluidos viscosos.
™ TEORIA
A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto
é, das forças de coesão entre moléculas relativamente
juntas. Desta maneira, enquanto que a viscosidade dos
gases cresce com o aumento da temperatura, nos
líquidos ocorre o oposto. Com o aumento da
temperatura, aumenta a energia cinética média das
moléculas, diminui (em média) o intervalo de tempo
que as moléculas passam umas junto das outras,
menos efetivas se tornam as forças intermoleculares e
menor
a
viscosidade.
Para entender a natureza da viscosidade nos
líquidos, suponhamos duas placas sólidas planas, uma
sobre a outra, com um fluído contínuo entre elas.
Aplicando uma força constante a uma das placas, a
experiência mostra que ela é acelerada até atingir uma
velocidade constante (chamada velocidade terminal).
Se a intensidade da força aplicada for duplicada, por
exemplo, a velocidade terminal também duplica. A
velocidade terminal é proporcional à força aplicada.
Pensando que o líquido entre as placas se separa em
lâminas paralelas, o efeito da força aplicada é o de
produzir diferenças de velocidade entre lâminas
2
adjacentes. A lâmina adjacente à placa móvel se
move junto com ela e a lâmina adjacente à placa
imóvel permanece também imóvel. O atrito
entre lâminas adjacentes causa dissipação de
energia mecânica e é o que causa a viscosidade
no líquido.
2
É um fato experimental que o módulo F da
força aplicada, necessária para manter o
movimento da placa com velocidade de módulo
v constante, é diretamente proporcional à área A
da placa e ao módulo da velocidade e
inversamente proporcional à distância L entre as
placas. Assim, podemos escrever:
Fv = η A
dv
dL
definindo o chamado coeficiente de viscosidade
η do fluido, que depende do fluido e da
temperatura. No SI, a unidade correspondente é
pascal x s e no sistema cgs, o poise, de modo
que 1 Pa x s = 10 poise. A tabela abaixo mostra
alguns coeficientes de viscosidade.
Coeficientes de Viscosidade
Líquidos (poise)
Gases (10-4 poise)
Glicerina (20
o
C)
8,3
Ar (0 oC)
1,71
Água (0 oC)
0,0179
Ar (20 oC)
1,81
o
o
Água (100 C) 0,0028 Ar (100 C) 2,18
Água (100
o
C)
Éter (20 oC)
0,0124
Mercúrio (20
o
C)
0,0154 CO2 (15 oC) 1,45
1,32
Os coeficientes de viscosidade dos óleos
lubrificantes automotivos são normalmente
expressos em SAE. Um óleo cuja viscosidade
SAE é 10 a 55 oC, por exemplo, possui
viscosidade entre 1,6
e 2,2
poise.
Ao definirmos o coeficiente de
viscosidade escolhemos o caso em que o fluido,
por efeito do movimento de uma das placas,
separava-se em camadas muito estreitas, com a
camada em contato com cada placa tendo a
velocidade desta placa e as camadas
intermediárias tendo velocidades que variam
linearmente de uma placa para a outra. Tal
escoamento é chamado laminar ou lamelar.
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
O cociente τ = F/A é chamado tensão de
cisalhamento. De modo geral:
τ=A
dv
dL
mostrando a variação da velocidade das camadas de
fluido com a distância à placa parada. Esta expressão
representa a chamada lei de Newton para a
viscosidade e o fluido para o qual ela é verdadeira é
chamado fluido newtoniano. Entretanto, existem
fluidos como os que são suspensões de partículas que
não seguem esta lei. Por exemplo, o sangue, uma
suspensão de partículas com formas características,
como discos, no caso das células vermelhas. As
partículas têm orientações aleatórias em pequenas
velocidades, mas tendem a se orientar a velocidades
mais altas, aumentando o fluxo, com a velocidade
crescendo mais rapidamente do que a força.
™ Equação de Poiseuille
A equação que governa o movimento de um fluido
dentro de um tubo é conhecida como equação de
Poiseuille. Ela leva em consideração a viscosidade,
embora ela realmente só é válida para escoamento
não-turbulento (escoamento laminar). O sangue
fluindo através dos canais sangüíneo não é exatamente
um escoamento laminar. Mas aplicando a equação de
Poiseuille para essa situação é uma aproximação
razoável em primeira ordem, e leva a implicações
interessantes.
A equação de Pouiseuille para a taxa de escoamento
(volume por unidade de área), Q, é dada por:
Q=
π R ∆p
4
8
L
onde P1-P2 é a diferença de pressão entre os extremos
do tubo, L é o comprimento do tubo, r é o raio do
tubo, e h é o coeficiente de viscosidade.
Para o sangue, o coeficiente de viscosidade é de cerca
de 4 x 10-3 Pa s.
A coisa mais importante a ser observada é
que a taxa de escoamento é fortemente dependente no
raio do tubo: r4. Logo, um decréscimo relativamente
pequeno no raio do tubo significa uma drástica
diminuição na taxa de escoamento. Diminuindo o raio
por um fator 2, diminui o escoamento por um fator 16!
Isto é uma boa razão para nos preocuparmos com os
níveis de colesterol no sangue, ou qualquer obstrução
das artérias. Uma pequena mudança no raio das
artérias pode significar um enorme esforço para o
coração conseguir bombear a mesma quantidade de
sangue pelo corpo.
Sob todas as circunstâncias em que se pode checar
experimentalmente, a velocidade de um fluido real
diminui para zero próximo da superfície de um objeto
sólido. Uma pequena camada de fluido próximo às
paredes de um tubo possui velocidade zero. A
velocidade do fluido aumenta com a distância às
paredes do tubo. Se a viscosidade de um fluido for
3
pequena, ou o tubo possuir um grande diâmetro,
uma grande região central irá fluir com
velocidade uniforme. Para um fluido de alta
viscosidade a transição acontece ao longo de
uma grande distância e em um tubo de pequeno
diâmetro a velocidade pode variar através do
tubo.
™ Cálculo da Viscosidade em uma
esfera:
A esfera caindo com velocidade
constante, termos a = 0.
A segunda Lei de Newton fica:
F = ma = P − E − Fv
E
Fv
P
A força viscosa é dada por:
F = 6πηrv
m f g + 6πη rv = mg
m
ρe =
⇒ m = ρ eV e
Ve
mf
ρf =
⇒ mf = ρ fVf
Vf
4
Ve = πR 3
3
Substituindo na equação (1) teremos:
4 3
πR g + 6πηrv = ρ e
3
2
ρ f πR 3 g + 3πηrv = ρ e
3
ρf
(ρ
(ρ
f
f
4 3
πR g
3
2 3
πR g
3
− ρ e )2πR 3 g + 9πηrv = 0
− ρ e )2 R 3 g + 9ηRv = 0
R2g
2
η = (ρ e − ρ f )
9
v
3
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R: Raio da esfera.
v: Velocidade terminal.
Sistemas de Unidades:
M.Kg.S: 1 [ Pa ] = 1 [ N / m2 ]
onde : 1 [ N ]
= [ 1 Kg * m / s2 ]
C. G. S.: 1 [ ba ] = 1 [ din / cm2 ]
M.Kgf.S.: 1 [ Kgf / m2 ]
Outras unidades:
1 atmosfera normal ( 1 atN ) = 760 mm de Hg =
1,033 Kgf / cm2 = 1 atmosfera física.
1 atmosfera técnica ( 1 atT ) = 736 mm de Hg =
1,0 Kgf / cm2 = 0,968 atN = 10 m.c.a.
1 Kpa = 1000 Pa e 1 Mpa = 1000000 Pa
1 ” = 2,54 cm
1 ’ = 1 pé = 12 ”
1 jarda = 1 jd = 3 pé = 3 ’
1 jd = 91,44 cm
1 pé = 30,48 cm
1 libra = 1 lb = 0,45359 Kg
1 litro = 1l = 10-3 m3
C. G. S. : 1 [ poise ] = [ g / cm * s ]
4
4
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
5
Exemplos de Viscosidade - these may help you get a feel for the cP
Hydrogen @20°C
0.008 6 cP
Benzyl ether @ 20°C
5.33 cP
Ammonia @ 20°C
0.009 82 cP
Glycol @ 20°C
19.9 cP
Water vapor @100°C
0.125 5
Soya bean oil @ 20°C
69.3 cP
Air @ 18°C
0.018 2 cP
Olive oil @ 20°C
84.0 cP
Argon @ 20°C
0.022 17 cP
Light machine oil @ 20°C
102 cP
Air @ 229°C
0.026 38 cP
Heavy machine oil @ 20°C
233 cP
Neon @ 20°C
0.031 11 cP
Caster oil @ 20°C
986 cP
Liquid air @ -192.3°C
0.173 cP
Glycerin @ 20°C
1,490 cP
Ether @ 20°C
0.233 cP
Pancake syrup @ 20°C
2,500 cP
Water @ 99°C
0.2848 cP
Honey @ 20°C
10,000 cP
Chloroform@ 20°C
0.58 cP
Chocolate syrup @ 20°C
25,000 cP
Methyl alcohol@ 20°C
0.597 cP
Ketchup @ 20°C
50,000 cP
Benzene @ 20°C
0.652 cP
Peanut butter @ 20°C
250,000 cP
Water @ 20°C
1.002 cP
Tar or pitch @ 20°C
30,000,000,0
00 cP
Ethyl alcohol @ 20°C
1.2 cP
Soda Glass @ 575°C
1,000,000,00
0,000,000 cP
Mercury @ 20°C
1.554 cP
5
5
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6
Perfil de velocidades
Tubo de Pitot e Medidor de Prandtl
Perfil de velocidades – Medidor de Prandtl
™ Introdução e Teoria:
Ludwig Prandtl
(1875-1953)
As contribuições de Ludwig Prandtl à mecânica dos
fluidos incluem seu desenvolvimento da teoria para descrever
o fenômeno de turbulência, e de seus estudos experimentais e
teóricos da dinâmica de gases. Prandtl estudou mecânica e
contribuiu à mecânica de meios contínuos durante toda a
maioria de sua carreira.
Entretanto, sua descoberta da camada do limite é
considerada como uma das descobertas mais importantes da
mecânica dos fluidos e atribuiu a Prandtl o título do pai da
mecânica dos fluidos moderna.
O tubo de Pitot-Prandtl é utilizado para medir a
velocidade do fluido em um escoamento. Em particular, pode
ser utilizado para medir a velocidade de um avião em relação
ao ar.
Outro fenômeno interessante é a condensação causada
pela singularidade de Prandtl-Glauert que pode ser vista no
vôo nivelado constante geralmente em baixas alturas, estando
o ar em condições de umidade. Quando um avião se submete a
certo tipo de manobra, pode causar pressões muito baixas na
superfície superior das asas. As temperaturas correspondentes
serão baixas, de forma que o vapor de água se condensa no
lado superior da asa. Uma característica da condensação é que
haverá muito mais condensação no lado superior da asa do que
no lado mais baixo, e que está associado
geralmente com
voltas de elevadas acelerações g.
Pode-se escrever, na transformação adiabática:
A equação de Bernoulli:
p1 + 12 ρv12 + ρgy1 = p 2 + 12 ρv 22 + ρgy 2
1 2
Chamando de ∆p = p1 − p 2 = ρv
2
2 ∆p
v = 2 g∆h f =
ρf
A figura mostra a seção reta de um duto cilindro,
com a posição dos pontos nos quais se deve medir a
velocidade, conforme a norma americana PIC 11-1946.
Figura 2 – Seção reta do duto do laboratório
conforme a norma americana PIC 11-1946.
37.5 mm
32.6 mm
27.6 mm
21.4 mm
12.3 mm
γ
PV = k ⇔ PV = nRT
γ
0
nRT
⎛ nRT ⎞
⇔ P⎜
V=
⎟ =k
P
⎝ P ⎠
T = cP
γ −1
γ
Para o ar, γ = 1.4, assim: γ − 1 ≈ 0, 28 . Assim, a
γ
temperatura do ar aumentará e diminuirá conforme a pressão
aumenta e diminui. As regiões da alta pressão corresponderão
necessariamente às regiões da alta temperatura e as regiões da
pressão baixa corresponderão às regiões da temperatura baixa.
O fenômeno causa uma aparência como vista na
figura 1:
Figura 1 - Foto de uma nuvem da condensação
de Prandtl-Glauert em um avião com velocidade próxima
à do som no ar.
6
6
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
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Ou
v = 2 g∆h f =
Figura 3 –Estrutura interna do tubo de Pitot instalado
no laboratório:
2 ∆p
ρf
™ Taxa: Seja o volume de fluido dV que atravessa
seus extremos no tempo dt dado por:
dV =
Metal: Latão
Pitot: Inox
Gaveta de Amianto: Alumínio
C oring: 1/8
Parafusos: Ø 3/8
Porca: 2,5"
Gaveta de
Amianto
⇒
A pressão na abertura 1 é estática, p, e em 2 é:
1
p + ρv 2
2
A altura manométrica h3 é proporcional à diferença
entre elas, ou seja: à pressão dinâmica
1 2
ρv . Assim:
2
™ Lei de Poiseuille
Natureza da distribuição de tensão de cisalhamento (pg. 150
livro R. V. Guiles).
p1A
p2A
v
ro
r
vc
r0 r dr
L
Uma vez que o fluxo é constante, a soma das forças
sobre o corpo livre é zero:
p1πr 2 − p 2 r 2 − τ 2πrL = 0 ⇒ τ =
( p1 − p 2 )r
dv ( p1 − p 2 )r
=
dr
2L
v dv
R ( p − p )r
1
2
∫vc dr dv = − ∫r 2Lη dr ⇒
( p − p2 ) R 2 − r 2
v − vc = 1
(
)
4 Lη
( p − p2 ) 2 2
v = vc + 1
R −r
4 Lη
2L
τ = −η
(
)
7
( p1 − p2 ) (
4 Lη
)
R 2 − r 2 ⋅ 2πrdrdt
dV
= v(r ) ⋅ dA ⇒ Q = ∫ v(r )dA
dt
π ∆pR 4
Q=
8 ηL
Perfil de velocidades
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Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
8
Ele tem elevação suficiente acima do fundo para
bloquear o escoamento e é suficientemente longo para que
as linhas de corrente no transbordo se tornem paralelas,
resultando em uma distribuição hidrostática de pressões.
Pode-se aplicar a equação de Bernoulli:
p1 + ρ gh1 +
ρ v12
= p2 + ρ gh2 +
2
ρ v22
2
Ou
p1
γ
Vazão em Vertedores
Introdução
v12
p
v2
= 2 + h2 + 2
2g γ
2g
Com γ = ρg para os pontos (1) e (2) da figura.
Assim:
A forma básica mais comum de medida de descarga
em um canal aberto é a utilização de um vertedor.
Basicamente, um vertedor é um dispositivo colocado num
canal que força o escoamento através de uma abertura
projetada para medir a descarga. É uma obstrução em um
canal aberto sobre o qual escoa um líquido. A descarga sobre
o vertedor é função da geometria e da carga sobre o vertedor.
Vertedores especializados têm sido projetados para
fins específicos; dois tipos são considerados fundamentais: o
de crista larga e o de crista delgada.
Um vertedor projetado de forma apropriada exibirá
um escoamento subcrítico na corrente a montante da estrutura
e o escamento convergirá e acelerará até uma condição crítica
próxima ao topo ou à crista do vertedor. Como resultado,
poderá ser feita uma correlação entre a descarga e uma
corrente de profundidade a montante do vertedor. O transbordo
da corrente a jusante é denominado lâmina, a qual
normalmente é descarregada livremente na atmosfera.
Há uma série de fatores que afetam o desempenho de
um vertedor; os mais significativos entre eles são os padrões
do escoamento tridimensional, os efeitos da turbulência a
resistência do atrito, a tensão superficial e a quantidade de
ventilação abaixo da lâmina. As derivações simplificadas
apresentadas nesse relatório se baseiam na equação de
Bernoulli; outros efeitos podem ser levados em conta por meio
da modificação da descarga ideal com um coeficiente de
descarga Cq; a descarga real é a descarga ideal multiplicada
pelo coeficiente de descarga.
Teoria:
™
+ h1 +
h + Y = h + yc +
2
c
v
⇔ vc = 2 g (Y − yc )
2g
Para um vertedor cuja largura normal ao
escoamento é b, a descarga ideal é:
Q = byc vc = byc 2 g (Y − yc )
™
Vertedor de crista delgada
Um vertedor de crista delgada é uma placa vertical
colocada na direção normal ao escoamento contendo uma
crista de borda delgada, de forma que a lâmina vertente se
comporte como um jato livre.
A figura 2 mostra um vertedor retangular com uma
crista horizontal que se estende por toda a largura do
canal.
Figura 2 - Vertedor de crista delgada.
η
Y= H
Lâmina
crista
v2
(2)
v1
(1)
h
(1)
(2)
Vertedor de crista larga
Um vertedor de crista larga é mostrado na figura 1.
(a) Escoamento ideal
(b) Escoamento real
As contrações laterais não estão presentes por
causa da existência de paredes laterais.
Pode-se definir uma situação idealizada (Figura 2
– (a)), na qual o escoamento no plano vertical não se
contrai a medida que passa sobre a crista, de forma que as
linhas de corrente sejam paralelas e a pressão atmosférica
esteja presente na linha vertente e exista um escoamento
uniforme no ponto (1), com energia cinética desprezível
(v1≈0). A equação de Bernoulli é aplicada ao longo de
uma linha de corrente representativa e resolvida para a
velocidade v2, a velocidade local na lâmina vertente será:
Figura 1 - Vertedor com crista larga.
vc2
2g
LE
Y
ye
h
(1)
(2)
v2 = 2 gη
8
8
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
9
Se b é a largura da crista normal ao escoamento a
descarga ideal é dada por:
Y
M.Kg.S. = [ Pa ] = [ 1 N * m - 2 ] Q = [ L * s - 1
] = [ dm * s - 1]
Viscosidade: [kg][m]-1[s]-1 (MKS) [poise] (CGS)
Y
Q = b ∫ v2 dη = b ∫ 2 gη dη
0
Sistema de Unidades:
3
0
2b
2 gY 3 2
Q=
3
Os experimentos têm mostrado que a magnitude do
expoente é aproximadamente correta; porém deve ser aplicado
um coeficiente de descarga Cq para que seja previsto com
acurácia para o escoamento real, mostrado na figura 2 (b):
Q = Cq
2
2 gbY 3 2
3
A carga H=Y sobre o vertedor é definida como a
distância vertical entre a crista do vertedor e a superfície do
líquido a sua montante de tal forma que se evite a curvatura da
superfície livre do líquido.
A equação básica para a descarga do vertedor é
definida como a integração de:
VdA = Vldh
Aqui V é a velocidade a uma altura h (vertical) da
superfície livre e L=b é a largura do vertedor.
•
Equações de Navier Stokes
As equações de Navier Stokes são equações
diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São
equações a derivadas parciais que permitem determinar os
campos de velocidade e de pressão.
A equação é uma equação diferencial parcial não-linear da
segunda ordem,como segue:
G
G
G G G
G
G
vt + v ⋅∇ v = −∇p + µ∇ 2 v + ρ g
(
)
Onde:
G
v : é um vetor que representa a velocidade de um
elemento infinitesimal da massa em um ponto no espaço
3-D;
p é a pressão escalar no mesmo ponto;
ρ: é a densidade maciça no ponto e é constante
suposta durante todo o meio;
µ: é a viscosidade do meio;
G
g : é a aceleração da gravidade
• Vertedor Retangular:
Q = Cr 2 g LH
3
A equação de N-S refere-se ao movimento de
uma única partícula minúscula do campo fluido, não o
movimento total do líquido.
Entretanto, pode ser usada para calcular o fluxo
de gases e de líquidos incompressíveis de objetos da forma
arbitrária.
É usada na dinâmica dos fluidos e na engenharia
como um modelo padrão para o estudo da turbulência, o
comportamento da camada do limite, a formação de ondas
de choque, e o transporte maciço. Entre outras coisas, é
usado para calcular o teste padrão do fluxo de ar nas asas
de um avião. Foi estudada e aplicada por muitas décadas.
2
L
.
• Vertedor Triangular
θ
Q = Ct
•
θ 5
8
2 g tg H 2
15
2
Vertedor de Parede espessa
Q=
Um problema sobre as equações de Navier-Stokes, que
nunca foi solucionado desde 1900, faz parte da lista dos
Prêmios Clay e a sua resolução vale US$1000000.
2
C e L 2 gH 3
3
9
9
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
• Hidráulica Aplicada à tubulações
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluido
Entende-se por conduto forçado àquele no qual o fluido
escoa à plena seção e sob pressão. Muitas vezes os condutos de
seção circular são chamados de tubos ou tubulações. Um
conduto é dito uniforme quando a sua seção transversal não
varia com o seu comprimento. Se a velocidade do fluido em
qualquer seção do conduto não variar com o tempo, o regime
de escoamento é dito permanente.
A densidade dos líquidos, ao contrário do que se passa
com os gases, varia muito pouco quando se varia a sua pressão
ou temperatura. A título de exemplo, considerando que a água
tem compressibilidade igual a 5.10-5 cm2 / Kgf, isto significa
que em condições normais seria necessário um incremento de
pressão de 20 Kgf /cm2 para que um litro de água se reduza de
1 cm3, ou seja, para que sua densidade aumente um milésimo.
Por isto, do ponto de vista prático, a densidade da água e de
qualquer líquido é independente da temperatura e da pressão.
Diante dessa reduzidíssima variação da densidade, nos
escoamentos de líquidos em regime permanente considera-se
que os mesmos se comportam como incompressíveis. Neste
contexto se incluem querosene, gasolina, álcool, óleo diesel,
água, vinho, vinhoto, leite, e muitos outros, aos quais se
aplicam os conceitos aqui comentados.
É conveniente ressaltar que um escoamento se classifica
também como turbulento ou laminar. No escoamento laminar
há um caminhamento disciplinado das partículas fluidas,
seguindo trajetórias regulares, sendo que as trajetórias de duas
partículas vizinhas não se cruzam. Já no escoamento turbulento
a velocidade num dado ponto varia constantemente em
grandeza e direção, com trajetórias irregulares, e podendo uma
mesma partícula ora localizar-se próxima do eixo do tubo, ora
próxima da parede do tubo.
O critério para determinar se o escoamento é turbulento ou
laminar, é a utilização do número de Reynolds:
Re =
4Q
π Dυ
10
situações especiais, tais como escoamento a baixíssimas
vazões, como ocorre em gotejadores de irrigação, onde o
escoamento é laminar.
Sempre que um líquido escoa no interior de um
tubo de um ponto para outro, haverá uma certa perda de
energia, denominada perda de pressão ou perda de carga.
Esta perda de energia é devido ao atrito com as paredes do
tubo e devido à viscosidade do líquido em escoamento.
Quanto maior for a rugosidade da parede da tubulação,
isto é, a altura das asperezas, maior será a turbulência do
escoamento e, logo, maior será a perda de carga.
Já há cerca de dois séculos estudos e pesquisas
vem sendo realizados, procurando estabelecer leis que
possam reger as perdas de carga em condutos. Várias
fórmulas empíricas foram estabelecidas no passado e
algumas empregadas até com alguma confiança em
diversas aplicações de engenharia, como as fórmulas de
Hazen-Williams, de Manning e de Flamant. Mas,
trabalhos de diversos investigadores tem mostrado que,
em sua totalidade, são mais ou menos incorretas. A
incorreção dessas fórmulas é tanto maior quanto mais
amplo é o domínio de aplicação pretendido por seus
autores.
Atualmente a expressão mais precisa e usada
universalmente para análise de escoamento em tubos, que
foi proposta em 1845, é a conhecida equação de DarcyWeisbach:
hf =
8 fLQ 2
π 2 gD5
onde:
hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo
(mca)
f = fator de atrito (adimensional)
L = comprimento do tubo (m)
Q = vazão (m3 / s)
D = diâmetro interno do tubo (m)
g = aceleração da gravidade local (m / s2)
π = 3,1416...
Mas somente em 1939, quase 100 anos depois, é
que se estabeleceu definitivamente o fator de atrito f,
através da equação de Colebrook-White:
⎛
1
k
2,51
= −2log ⎜ 0, 27 +
10 ⎜
D Re f
f
⎝
onde:
Re = Número de Reynolds (admensional)
Q = vazão (m3 / s)
π = 3,1416...
D = diâmetro (m)
ν = viscosidade cinemática do líquido (m2 / s)
⎞
⎟⎟
⎠
onde:
f = fator de atrito (adimensional)
k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m)
D = diâmetro interno do tubo (m)
Re = número de Reynolds (adimensional)
Nas condições normais de escoamento o número de Reynolds
é interpretado conforme segue:
Re > 4000, então o escoamento é turbulento.
Re < 2000, então o escoamento é laminar.
Entre estes dois valores há a zona de transição, onde não se
pode determinar com precisão os elementos do
dimensionamento.
Em geral, o regime de escoamento na condução de
líquidos no interior de tubulações é turbulento, exceto em
10
Obviamente, trata-se de uma equação implícita, isto é, a
variável f aparece nos dois membros da equação, de forma
não ser possível explicitá-la. Mas isto não sugere que seja
impossível resolver equações implícitas. Os métodos
numéricos, embora aproximativos, são capazes de resolver
equações implícitas com a precisão que se desejar. São
métodos basicamente computacionais pois incorrem em
operações matemáticas repetidas. Encontram, contudo,
muita utilidade em hidráulica.
É o caso dos métodos iterativos, nos quais
ordena-se adequadamente a equação, e arbitra-se um valor
10
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
inicial qualquer para a variável procurada que está no seu
segundo membro. Com o valor inicial já arbitrado, calcula-se
um novo valor para esta mesma variável procurada, mas para a
que está no primeiro membro. Se a diferença entre o valor
inicial e o novo valor calculado estiver fora da precisão
desejada, repete-se esta operação, porém colocando como
valor inicial o novo valor calculado. Se a diferença aumentar
diz-se que os valores estão divergindo, e se diminuir diz-se que
os valores estão convergindo para a solução. O número de
repetições, isto é, o número de iterações poderá ser pequeno ou
não, dependendo do método a ser utilizado, e se sucederá até
que a diferença seja suficientemente pequena ou compatível
com a precisão desejada.
Um esquema básico de cálculo, passo-a-passo, seria
algo do tipo:
1- Arbitra-se um valor inicial qualquer para a variável
do segundo membro.
2- Calcula-se novo valor para a mesma variável que
está no primeiro membro.
3- Compara-se a diferença entre o valor calculado e o
valor inicial com a tolerância estabelecida.
4- Se maior, o novo valor passa a ser o valor inicial, e
volta-se para o passso (2). Se menor passa-se para o passo (5).
5- O corrente valor da variável é o valor procurado.
Métodos iterativos como o de Newton são muito
potentes e convergem muito rapidamente, podendo alcançar
resultados altamente precisos com três ou quatro iterações.
Na prática, em termos específicos, a análise do
escoamento em tubos basicamente envolve três gradezas a se
calcular:
•
•
•
o diâmetro
a vazão (ou velocidade)
a perda de carga
Estas são em síntese, as três variáveis principais
envolvidas no cálculo hidráulico, pois as demais (material do
tubo, tipo de líquido, temperatura, etc), são básicas. Por
qualquer método que viermos a empregar, para se determinar
qualquer uma dessas três variáveis, as duas demais deverão ser
conhecidas.
Em que pese a técnica iterativa associada à precisão das
equações dar um pouco de velocidade ao cálculo, contudo
permanece o mesmo sendo realizado manualmente, o que não
deixa de ser cansativo, enfadonho e sujeito a erros. Com o uso
de programas para computadores digitais, tal como o HidroTec
Calculador, a resolução torna-se simples, fácil, automática,
rápida e sem erros.
• Equações explícitas para o fator de atrito de
Darcy-Weisbach
Quando um líquido escoa de um ponto para outro no
interior de um tubo, gerará sempre uma perda de energia,
denominada perda de pressão ou perda de carga. Esta perda de
energia é devido ao atrito com as paredes do tubo e devida à
viscosidade do líquido em escoamento. Portanto quanto maior
for a rugosidade da parede da tubulação e mais viscoso for o
líquido, maior será a perda de carga.
Com o intuito de estabelecer leis que possam reger as
perdas de carga em condutos, já há cerca de dois séculos
11
11
estudos e pesquisas vem sendo realizados. Atualmente a
expressão mais precisa e utilizada universalmente para
análise de escoamento em tubos, e que foi proposta em
1845, é a conhecida equação de Darcy-Weisbach:
hf = f ⋅
L V2
⋅
D 2g
onde:
hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo
(mca)
f = fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional)
L = comprimento do tubo (m)
V = velocidade do líquido no interior do tubo (m / s)
D = diâmetro interno do tubo (m)
g = aceleração da gravidade local (m / s2)
Mas não se encontrou logo uma maneira segura
para determinação do fator de atrito. Somente em 1939,
quase 100 anos depois, é que se estabeleceu
definitivamente uma lei para fator de atrito f, através da
equação de Colebrook-White:
⎛ k
1
2,51
= −2log ⎜
+
10 ⎜ 3, 7 D
f
Re f
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
em que:
k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m)
Re = número de Reynolds (adimensional)
A equação de Colebrook-White tem sido
considerada como a mais precisa lei de resistência ao
escoamento e vem sendo utilizada como padrão
referencial. Mas, apesar disto, e de todo o
fundamentalismo e embasamento teórico agregado à
mesma, tem uma particularidade a alguns pouco
conveniente: é implícita em relação ao fator de atrito, ou
seja, a grandeza f está presente nos dois membros da
equação, sem possibilidade de ser explicitada em relação
às demais grandezas. Sua resolução requer um processo
iterativo.
Isto resultou em motivos para que muitos
pesquisadores, de quase toda parte do mundo, se
empenhassem em encontrar equações explícitas, que
pudessem ser utilizadas como alternativas à equação de
Colebrook-White. Algumas mais compactas e simples,
mais fáceis de serem memorizadas, contudo com grandes
desvios; outras, menos compactas e complexas, mais
difíceis de serem memorizadas, porém com desvios
menores; outras tantas combinando simplicidade e
precisão, com erros até bem reduzidos, em relação ao fator
de atrito calculado com a equação de Colebrook-White.
No presente trabalho seleciona e apresenta a
seguir um pequeno conjunto destas equações explícitas,
considerando apenas aquelas que pesquisadores, conforme
bibliografia consultada, avaliaram e concluíram terem os
menores erros em relação à equação de Colebrook-White:
1- Sousa-Cunha-Marques, 1999 (erro = 0,123%):
11
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
12
ouvidos através do estetoscópio são produzidos pelo fluxo
sanguíneo na artéria e são chamados sons Korotkoff).
Assim, a altura da coluna de mercúrio lida corresponde à
pressão manométrica sistólica. À medida que o ar é
eliminado, a intensidade do som ouvido através do esteie
aumenta. A pressão correspondente ao último som audível
é a pressão diastólica, isto é, a pressão sanguínea, quando
o sangue a baixa pressão consegue fluir pela artéria não
oclusa.
⎛ k
⎛ k
1
5,16
5,09 ⎞ ⎞
= −2log ⎜⎜
−
− 0,87 ⎟ ⎟⎟
log
⎜
10 3,7 D
10
Re
f
⎝ 3,7D Re ⎠ ⎠
⎝
2- Haaland, 1983 (erro = 0,220%):
⎛ ⎛ k ⎞1,11 6,9 ⎞
1
= −1,8log ⎜ ⎜
+
⎟
10 ⎜ 3,7 D ⎟
Re ⎟⎠
f
⎠
⎝⎝
3- Barr, 1972 (erro = 0,375%):
⎛ k
1
5,15 ⎞
= −2log ⎜
− 0,892 ⎟
10 3, 7 D
Re ⎠
f
⎝
4- Swamee-Jain, 1976 (erro = 0,386%):
⎛ k
1
5, 74 ⎞
= −2log ⎜
− 0,9 ⎟
10 3, 7 D
Re ⎠
f
⎝
12
5- Churchill, 1973 (erro = 0,393%):
0,9
⎛ k
⎛ 7 ⎞ ⎞
1
= −2log ⎜
−⎜ ⎟ ⎟
10 ⎜ 3, 7 D
f
⎝ Re ⎠ ⎟⎠
⎝
Um exame superficial mostra que, por mais simples
ou compactas que possam ser estas equações explícitas, as
mesmas requerem também algum esforço computacional com
operações
matemáticas
de
potenciação,
radiciação,
logaritmicas, etc. Contudo, tendo em vista as elevadas
velocidades dos processadores dos computadores atuais,
praticamente será imperceptível a diferença no esforço
computacional do cálculo feito com uma equação implícita e
com uma equação explícita. Então, se o esforço é o mesmo, a
conclusão óbvia é que parece ser mais razoável e lógico usarse logo a equação de Colebrook-White, dado à sua precisão.
•
Hipertensão Arterial
A HAS (Hipertensão Arterial Sistêmica) é uma das
doenças com maior prevalência no mundo moderno e é
caracterizada pelo aumento da pressão arterial, medida com
esfigmomanômetro ("aparelho de pressão"), tendo como
causas a hereditariedade, a obesidade, o sedentarismo, o
etilismo, o stress e outras (veja causas de Hipertensão, mais
abaixo).
: A pressão sanguínea é medida com o esfigmomanômetro,
que consiste de uma coluna de mercúrio com uma das
extremidades ligada a uma bolsa, que pode ser inflada através
de uma pequena bomba de borracha, como indica a Figura 32
(A). A bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível
aproximadamente igual ao do coração, a fim de assegurar que
as pressões medidas mais próximas às da aorta. A pressão do
ar contido na bolsa é aumentada até que o fluxo de sangue
através das artérias do braço seja bloqueado.
A seguir, o ar é gradualmente eliminado da bolsa ao
mesmo tempo em que se usa um estetoscópio para detectar a
volta das pulsações ao braço. O primeiro som ocorre quando a
pressão do ar contido na bolsa se igualar à pressão sistólica,
isto é, a máxima pressão sanguínea. Nesse instante, o sangue
que está à pressão sistólica consegue fluir pela (os sons
12
Hipertensão Arterial é uma situação na qual a
pressão arterial está elevada.
A pressão arterial é a pressão exercida pelo sangue
contra a superfície interna das artérias. A força original
vem do batimento cardíaco. A pressão arterial varia a cada
instante, seguindo um comportamento cíclico. São vários
os ciclos que se superpõe, mas o mais evidente é o
determinado pelos batimentos cardíacos.
Chama-se ciclo cardíaco o conjunto de acontecimentos
desde uma batimento cardíaco até o próximo batimento.
No momento em que o coração ejeta seu
conteúdo na Aorta a energia é a máxima, gerando força
máxima e consequentemente pressão máxima. Esta fase
no ciclo cardíaco chama-se Sístole, sendo que a pressão
neste instante é chamada de Pressão Arterial Sistólica.
Imediatamente antes do próximo batimento cardíaco a
energia é mínima, com a menor força exercida sobre as
artérias em todo o ciclo, gerando portanto a menor pressão
arterial do ciclo cardíaco. Esta fase é chamada de
Diástole, sendo que a pressão neste instante é chamada de
Pressão Arterial Diastólica.
Quando se fala em dois valores de pressão
arterial (140 por 90, por exemplo), estamos dizendo que
neste momento os ciclos cardíacos estão gerando uma
pressão arterial que oscila entre 140 e 90 unidades de
medida, 140 no pico da Sístole e 90 no final da Diástole.
Esta situação aumenta o risco de problemas
cardiovasculares futuros, como Infarto agudo do
miocárdio e Derrame Cerebral, por exemplo.
A pressão normal seria aquela onde o risco destes
problemas seria o mínimo.
Na verdade não existe um nível "seguro". A
possibilidade de problemas é log-linear, ou seja cresce de
maneira contínua em uma escala logarítmica.
O valor normal é um tanto arbitrário, definido
pelos especialistas no assunto, para fins práticos e
operacionais. É semelhante a definição de maioridade,
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
onde para fins práticos se considera 18 anos de idade e não 18
anos e um mês ou 17 anos e 11 meses, por exemplo, embora o
amadurecimento seja possivelmente o mesmo.
Para a maior parte das pessoas o valor de 140/90 mmHg é
relacionado a baixo risco de problemas futuros, sendo
considerado o "normal".
Como é verificada a Pressão Arterial
Para verificar a pressão arterial, o profissional envolve um dos
braços do paciente com o esfigmomanômetro, que nada mais é
do que uma cinta larga com um pneumático interno acoplado a
uma bomba de insuflação manual e um medidor desta pressão.
Ao insuflar a bomba, o pneumático se enche de ar e causa uma
pressão no braço do paciente, pressão esta monitorada no
medidor. Um estetoscópio é colocado sobre a artéria braquial
(que passa na face interna medial do cotovelo). Estando o
manguito bem insuflado, a artéria estará colabada pela pressão
exercida e não passará sangue na artéria braquial. Não haverá
ruído algum ao estetoscópio. Libera-se, então, a saida do ar
pela bomba, bem devagar e observando-se a queda da pressão
no medidor. Quando a artéria deixa de estar totalmente
colabada um pequeno fluxo de sangue inicia sua passagem
pela artéria provocando em ruído de esguicho (fluxo
turbilionar). Neste momento anota-se a pressão máxima
(sistólica). O ruído persistirá até que o sangue passe livremente
pela artéria, sem nenhum tipo de garroteamento (fluxo
laminar). Verifica-se no medidor este momento e teremos a
pressão mínima (pressão diastólica). Em geral, medimos a
pressão em milímetros de mercúrio (mmHg), sendo normal
uma pressão diastólica (mínima) entre 60 e 80 mmHg (6 a 8
cmHg) e pressão sistólica entre 110 e 140 mmHg (11 a 14
cmHg) (cmHg = centímetros de mercúrio).
•
Sintomatologia
A "pressão alta" é considerada uma doença silenciosa,
pois pode não produzir nenhum sintoma no paciente. Alguns
podem queixar-se de dor ou pressão na nuca e cefaléia, mas
não é necessário nenhum sintoma. Esta falta de sintomas pode
fazer com que o paciente esqueça de tomar seu remédio ou até
mesmo questione sua necessidade. Isto faz com que as
complicações ocorram em grande número.
• Complicações da HAS
O aumento contínuo da pressão arterial faz com que ocorram
danos as artérias de diversas partes do organismo vivo. A
Hipertensão Arterial é um fator de risco para Aterosclerose.
Como conseqüência desta, podem acontecer tanto o Acidente
Vascular Cerebral - AVC, como o Infarto agudo do miocárdio
- IAM). Como qualquer artéria do corpo pode ser obstruída
pela aterosclerose, virtualmente todos os orgão podem sofrer
alterações decorrentes da hipertensão.
• Causas de Hipertensão Arterial
Na grande maioria dos casos a Hipertensão Arterial é
considerada essencial, isto é, ela é uma doença por si mesma.
No entanto, devem ser descartadas outras doenças que causam
a hipertensão arterial apenas como um sinal, pois pode então
ser tratada a causa básica melhorando naturalmente a
hipertensão. Dentre estas causas existe a hipertensão
nefrogênica, onde um rim com algum problema em sua
irrigação sanguínea produz substâncias visando aumentar a
pressão e receber mais sangue. Nestes casos tratando este rim a
pressão normaliza. Outro caso é o do feocromocitoma, um
tumor que produz substâncias vasoconstrictoras que aumentam
13
13
a pressão arterial, produzem taquicardia, cefaléia e
sudorese. A retirada deste tumor melhora a pressão..
• Tratamento
Casos iniciais e leves respondem bem à dieta
pobre em sal de cozinha (NaCl) emagrecimento e prática
de esportes. Outros casos necessitarão de medicamentos.
São várias as classes de medicamentos possíveis de ser
usadas, isoladas ou associadas. Entre outras temos os
diuréticos, os bloqueadores adrenérgicos, os bloqueadores
de canais de cálcio, os inibidores de enzima conversora de
angiotensina II e os bloqueadore do receptor da
angiotensina II.
Diuréticos são medicamentos que estimulam a
produção de urina como as tiazidas. Casos mais graves
necessitam de medicamentos inibidores da ECA (IECA)),
como o captopril e enalapril. É interessante notar que o
captopril é uma substância que foi isolada primariamente
do veneno da cobra jararaca
™ Bibliografia:
™ (Mecânica dos Fluidos, Potter M. C., Wiggert D.
C., Cap. 2, pp. 36-37, Editora Thomson).
13
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Bombas e Turbinas
Equação da energia para fluido real
A equação de Bernoulli, quando há uma máquina
entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento do fluido se dá de
(1) para (2) pode ser reescrita da forma, considerando que há
uma perda de carga Hp12 (Energia perdida por unidade de
peso):
h
(2)
h2
G
H2( p2, v2 ,h2)
M
G
H1( p1, v1 ,h1)
(1)
h1
14
Nesse item será retirada a hipótese de fluido ideal;
logo, serão considerados os atritos internos no escoamento
do fluido. São mantidas as hipóteses de regime
permanente,
fluido
incompressível,
propriedades
uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta
última significa que não existe uma troca de calor
provocada propositalmente; no entanto, ao se considerar
os atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginar que
haverá uma perda de calor do fluido para o ambiente
causada pêlos próprios atritos. Como será visto a seguir, a
construção da equação da energia pode ser realizada sem
se falar, explicitamente, dessa perda de calor.
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o fluido
fosse perfeito. H1 = H2
Se, no entanto, houver atritos no transporte do
fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação da
energia, de forma que H1 > H2.
Querendo restabelecer a igualdade, será necessário
somar no segundo membro a energia dissipada no
transporte.
H1 = H 2 + H p12
H p12 : energia perdida entre (l) e (2) por unidade de
H1 + H M = H 2 + H p12
peso do fluido.
Se HM > 0 ⇔ Bomba
P=
ot
PotT
•
Como
Potência da Bomba e rendimento:
Pot = γ QH B ⇔ η B =
cargas totais,
PotT
H p12 = H1 − H 2
H p12
e como H1 E H2 são chamados
é denominado 'perda de carga'.
Se for considerada também a presença de uma máquina
entre (l) e (2), a equação da energia ficará:
Pot
H1 + H M = H 2 + H p12
Se HM < 0 ⇔ turbina
v12 p1
v2 p
+ + z1 + H M = 2 + 2 + z2 + H p12
2g γ
2g γ
Da Equação deve-se notar que, no escoamento de um
fluido real entre duas seções onde não existe máquina, a energia
é sempre decrescente no sentido do escoamento, isto é, a carga
total a montante é sempre maior que a de jusante, desde que não
haja máquina entre as duas.
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente calculável
raciocinando da mesma maneira que para o cálculo da potência
do fluido. A potência dissipada ou perdida por atrito poderá ser
calculada por:
Pot =
PotT
N diss = γQH p12
•
Potência da Turbina e rendimento:
Pot = γ QH B ⇔ ηT =
PotT
Pot
14
14
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
15
Lembrar que a equação deve ser escrita no sentido do
escoamento.
Exemplos:
H 4 + H B = H1 + H p14
Exemplo 1 - Na instalação da figura, verificar se a
máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar a sua
potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a
pressão indicada por um manômetro instalado na seção (2) é
0,16 MPa, a vazão é l0 L/s, a área da seção dos tubos é l0 cm2
e a perda de carga entre as seções (l) e (4) é 2 m.
Não
é
dado
o
sentido
do
escoamento,
v42 p4
+
+ z4
2g γ
H1 = 24m
H4 =
H 4 = 0 ⇔ H p14 = 2
H B = H1 − H 4 + H p14 = 24 − 0 + 2 = 26
γ H 2O = 104 N m3 ; g = 10 m/s2.
Solução:
Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o nível
do reservatório inferior sem incluir a parte interna do tubo,
já que nesta não se conhece a pressão.
Sabe-se que o escoamento acontecerá no sentido das
cargas decrescentes, num trecho onde não existe máquina. Para
verificar o sentido, serão calculadas as cargas nas seções (l) e
(2).
PotB =
γQH B 104 ⋅10 ⋅10−3 ⋅ 26
=
= 3470W = 3, 47 kW
ηB
0, 75
15
Exemplo 2 - Considere que não há perda de carga
(Hp12=0) na figura abaixo:
(1)
(2)
20 m
5m
M
Considere o reservatório grande fornecendo água
para o tanque a 12L/s. Verifique se a máquina instalada é
bomba ou turbina e determine sua potência, se o seu
rendimento é de 85%. Supor fluido ideal. Dados: Atubos =
10 cm2; g = 10m/s2; γa=104N/m3.
Exemplo 3 - Dados:
H p23 = 2m ; H p01 = 0.8m ;η B
A3 = 20cm 2 ; A2 = 1cm 2 ; ρ H 2O = 103
H1 =
kg
m3
;γ
= 104
N
m3
Determinar:
(a) A vazão (L/s).
(b) A área da seção 1 em cm2.
(c) A potência fornecida pela bomba ao fluído.
v12 p1
+ + z1 = 0 + 0 + 24 = 24m
2g γ
(0)
v22 p2
H2 =
+
+ z2
2g γ
v2 =
= 75%
Q 10 ⋅10 −3
=
= 10 m s
A 10 ⋅10 −4
v22 p2
+
+ z2
2g γ
10 2 0,16 ⋅106
H2 =
+
+ 4 = 25m
2 ⋅10
104
H2 =
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento terá o
sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, sendo a
máquina, portanto, uma bomba.
Aplicando-se a equação da energia entre as seções (4) e
(1), que compreendem a bomba.
15
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Máquinas de Fluxo
(Do Livro Franco e Brunetti, Mecânica dos Fluidos,
Ed. Pearson)
As máquinas de fluxo são dispositivos mecânicos que
tanto extraem energia de um fluido (turbina) quanto adicionam
energia ao fluido (bomba). Estas transferências de energia são
propiciadas pelas interações dinâmicas entre o dispositivo e o
fluido. Enquanto o projeto e a construção destes dispositivos
envolvem muita experiência anterior, os seus princípios
operacionais básicos são muito simples. A interação dinâmica
entre um fluido e um sólido normalmente ocorre através do
escoamento e das forças detectadas na interface fluido sólido.
Por exemplo, nós realizamos um trabalho com nossos
músculos quando mexemos uma colher numa xícara de chá. O
movimento da colher através do chá causa uma diferença de
pressão entre a parte da frente e a de trás da colher. Note que
esta diferença de pressão produz uma força sobre a colher que
é vencida por nossos músculos. Esta força atuando numa certa
trajetória requer uma determinada quantidade de trabalho.
Deste modo nós realizamos um trabalho sobre o
fluido, ou seja, nós aumentamos a energia contida no chá.
De modo inverso, o efeito dinâmico do vento
soprando sobre a vela de um barco cria uma diferença de
pressão na vela. Assim, a força do vento na vela propulsiona o
veleiro e o conjunto vela e barco se comporta como uma
máquina que extrai energia do ar.
As máquinas de fluxo operam segundo os princípios
descritos acima. Ao invés de uma colher ou uma vela, um
grupo de pás, aerofólios, canecas, canais de fluxo e passagens
são colocados em torno de um eixo. Note que a energia é
fornecida ao fluido nas bombas (por exemplo, o movimento
das pás da máquina induz um aumento de energia do fluido) e
que a energia é extraída do fluido nas turbinas (por exemplo, o
escoamento transfere energia as pás da máquina).
As máquinas de fluxo podem operar com gases (como
o ventilador de um ar condicionado ou uma turbina a gás) ou
com líquidos (como a bomba d'água de um automóvel ou a
turbina de uma usina hidrelétrica). Mesmo que os princípios
básicos de operação das máquinas que trabalham com gases e
das que trabalham com líquidos sejam os mesmos, podem
existir diferenças importantes na dinâmica dos escoamentos
nestas máquinas. Por exemplo, a cavitação pode ser muito
importante no projeto de dispositivos que envolvem
escoamentos de líquidos e os efeitos da compressibilidade
podem ser importantes no projeto de equipamentos que
envolvem escoamentos com número de Mach significativos.
Muitas máquinas de fluxo apresentam algum tipo de
carcaça ou cobertura que envolve as pás rotativas (rotor). Este
tipo de arranjo forma uma passagem interna por onde o fluido
escoa (veja a Figura A). Outras máquinas, como o moinho de
vento ou o ventilador de teto, não apresentam carcaça.
Algumas máquinas de fluxo também apresentam pás
estacionárias, ou direcionadoras, além das pás móveis do rotor.
Estas pás estacionárias podem ser utilizadas tanto para acelerar
o fluido (operam como bocais) quanto para desacelerar o
escoamento (operam como difusores).
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Figura A - Máquina de fluxo com escoamento
(a) radial e (b) axial.
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A análise da operação de um ventilador
doméstico (bomba) e de um moinho de vento (turbina)
podem fornecer informações sobre a transferência de
energia nas máquinas de fluxo.
Mesmo que os escoamentos reais nestes
dispositivos sejam muito complexos (i.e. tridimensionais e
transitórios), os fenômenos essenciais podem ser
analisados com um modelo simples de escoamento e com
os triângulos de velocidade. Considere o rotor de um
ventilador (veja a Figura B) que apresenta velocidade
angular constante, ω. Note que o rotor mantém esta
rotação porque está acoplado a um motor elétrico. Nós
denominamos a velocidade da pá por U = ω r, onde r é a
distância radial medida a partir do eixo do ventilador. A
velocidade absoluta do fluido (que é vista por um
observador estacionário) é denominada V e a velocidade
relativa (que é vista por um observador solidário às pás) é
denominada W. A velocidade real do fluido (absoluta) é
igual a soma vetorial da velocidade relativa com a
velocidade das pás. Deste modo V = W+ U
A Figura B (b) mostra um esquema simplificado das
velocidades do escoamento que "entra" e que "sai" do
ventilador a uma distância r do eixo do rotor. A superfície
sombreada legendada como a − b − c − d é uma parte da
superfície cilíndrica mostrada na Fig. B (a). Nós vamos
admitir, para simplificar o problema, que o escoamento é
"suave" ao longo da pá, ou seja, a velocidade relativa
do escoamento é paralela a superfície da pá da borda
inicial até a borda final da pá (pontos 1 e 2). Por enquanto,
nós vamos considerar que o fluido entra e sai do
ventilador a mesma distância do eixo de rotação, logo U1 =
U2 = ωr. Nas máquinas de fluxo reais, os escoamentos de
entrada e saída não são necessariamente tangentes às pás e
as linhas de fluxo podem apresentar raios diferentes.
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
¾ A bomba Centrífuga
A bomba centrífuga é uma das máquinas de fluxo
radial mais comuns. Este tipo de bomba apresenta dois
componentes principais: um rotor montado num eixo e uma
carcaça (voluta) que envolve o rotor. O rotor contém uma série
de pás (geralmente curvas) arranjadas de um modo regular em
torno do eixo. A Figura C mostra um esboço das partes
principais de um bomba centrífuga. Conforme o rotor gira, o
fluido é succionado através da seção de alimentação da bomba
e escoa radialmente para fora da bomba. A energia é
adicionada ao fluido pelas pás móveis e tanto a pressão quanto
a velocidade absoluta são aumentadas ao longo do escoamento
no rotor. No tipo mais simples de bomba centrífuga, o fluido é
descarregado diretamente na carcaça. O formato da carcaça
(voluta) é projetado para reduzir a velocidade do escoamento
que é descarregado do rotor.
Note que esta diminuição da energia cinética é
convertida, em parte, num aumento de pressão. O formato da
carcaça (em formato de voluta) é tal que a seção transversal do
canal formado pelo rotor e a carcaça aumenta na direção da
seção descarga. Observe que isto é feito para que a velocidade
do escoamento neste canal seja aproximadamente constante.
Normalmente, as grandes bombas centrífugas, apresentam um
projeto diferente no qual pás direcionadoras de escoamento
envolvem o rotor. Estas pás fixas desaceleram o fluido
conforme ele é direcionado para dentro da carcaça. Este tipo de
bomba centrífuga é conhecida como bomba difusora – Bomba
d’água para limpador de pára-brisa).
Os rotores podem ser classificados em dois tipos
básicos: os abertos e os fechados. A Figura C (a) mostra um
rotor do tipo aberto onde as pás estão arranjadas numa placa
traseira e estão expostas para o lado da carcaça. A Figura D (b)
mostra um rotor fechado. Nesta configuração as pás estão
confinadas entre duas placas.
Os rotores também podem ser classificados como de
simples ou dupla sucção. Para os rotores de sucção simples, o
fluido entra no rotor por um dos lados da bomba. Já nos rotores
de dupla sucção, o rotor é alimentado, ao longo do eixo, pelos
dois lados da bomba. A montagem em dupla sucção diminui a
forca axial sobre o eixo e também reduz as velocidades de
entrada no rotor (desde que a área da seção transversal de
alimentação seja maior).
As bombas podem apresentar um único ou múltiplos
estágios. Para uma bomba de único estágio, somente um rotor
é montado no eixo, enquanto vários rotores são montados no
mesmo eixo nas bombas multi-estagiadas. Os estágios operam
em série, isto é, a descarga do primeiro estágio escoa para o
olho do segundo e assim por diante. A vazão é a mesma
através dos estágios, mas cada estágio fornece um aumento de
pressão. Normalmente, as bombas de multi-estagiadas são
utilizadas nas aplicações onde a pressão na seção de descarga
da bomba é alta.
A variedade de bombas centrífugas comercialmente
disponíveis é imensa mas os princípios básicos de
funcionamento de todas elas são os mesmos. O trabalho é
realizado no fluido pelas pás móveis (que induzem um
aumento significativo da velocidade do escoamento no rotor).
Esta energia cinética é convertida num aumento de
pressão conforme o fluido escoa do rotor para a seção de
descarga da bomba.
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Figura B - Modelo de escoamento num
ventilador: (a) geometria da pá do ventilador; (b)
velocidades nas seções de entrada e de saída do rotor.
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Figura C - Esquema de uma bomba centrífuga.
Figura D – Esquema de rotores.
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
¾ Turbinas
Como foi discutido, as turbinas são dispositivos que
extraem energia de um escoamento. A geometria das turbinas é
tal que o fluido exerce um torque sobre um rotor na direção de
sua rotação. A potência de eixo gerada é disponibilizada para o
uso em geradores elétricos e em outros dispositivos.
Apresentaremos
vários
tópicos
ligados,
principalmente, a operação de turbinas hidráulicas (aquelas
que operam com água) para depois estender a discussão para
as turbinas a gás e a vapor (nas quais a massa específica do
fluido de trabalho pode variar muito da seção de alimentação
para a seção de descarga da turbina).
Figura E – (a) Esquema de uma turbina Pelton, (b)
fotografia da roda de uma turbina Pelton (Cortesia da Voith
Hydro).
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grande carga de velocidade na saída do bocal de
alimentação (ou bocais se for utilizada uma configuração
de múltiplos bocais). Tanto a queda de pressão nas
canecas (pás) quanto a variação na velocidade relativa do
escoamento (isto é, a velocidade do fluido em relação as
canecas) são desprezíveis. Note que o espaço em torno do
rotor não é completamente preenchido com o fluido.
É o impulso dos jatos individuais, que empurram
as canecas, que produz o torque.
Já nas turbinas de reação, o rotor está envolvido
por uma carcaça (ou voluta) e o espaço entre estes dois
componentes está completamente preenchido com o fluido
de trabalho. Nas turbinas de reação nós detectamos tanto
uma queda de pressão quanto uma variação da velocidade
relativa no escoamento através do rotor. Uma turbina de
reação com alimentação radial possui as pás fixas de
alimentação que funcionam como bocais e direcionadores
do escoamento de alimentação. Assim, parte da queda de
pressão ocorre nos bocais fixos e parte no rotor. Sob
muitos aspectos, a operação de uma turbina de reação é
similar a de uma bomba com escoamento invertido (ainda
que este tipo de simplificação possa levar a muitos
enganos).
A operação das turbinas de ação e de reação
podem ser analisadas com a os princípios do momento da
quantidade de movimento. Genericamente, as turbinas de
ação são dispositivos de carga alta e vazão baixa,
enquanto turbinas de reação são dispositivos de
carga baixa e vazão alta.
¾ Turbinas de Ação
Ainda que existam vários tipos de projetos de
turbina, talvez, o mais fácil de entender seja a roda de
Pelton. Lester Pelton (1829-1908), um engenheiro de
minas americano durante a época da mineração de ouro na
Califórnia, foi o criador de muitas das características ainda
utilizadas neste tipo de turbina. Estas turbinas são mais
eficientes quando operadas sob uma grande carga (como
aquela fornecida por um lago localizado muito acima da
seção de alimentação do bocal da turbina).
(b)
Ainda que existam numerosos projetos de turbinas
hidráulicas, a maioria destas turbinas podem ser classificadas
em dois tipos básicos - as turbinas de ação (impulso) e as
turbinas de reação. (A reação está relacionada com a queda
pressão estática que ocorre através do rotor e com a queda
da pressão estática através do estágio da turbina.
Quanto maior a queda de pressão através do rotor, maior o
grau de reação da turbina). A queda de pressão através do rotor
é zero nas turbinas de ação e toda a queda de pressão no
estágio ocorre num bocal fixo. A turbina do tipo Pelton, veja a
Fig. E, é um exemplo clássico de uma turbina de ação. Nestas
máquinas, a carga total do fluido que entra (a soma da carga de
pressão, de velocidade e de elevação) é convertida em uma
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Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Escoamento em canal aberto
Existem muitos modos de classificar o escoamento
em condutos (em desenvolvimento, plenamente desenvolvido,
laminar, turbulento etc.). A existência de uma superfície livre
nos escoamentos em canal aberto permite que existam outras
classificações de escoamento. Note que agora o fluido escolhe"
a posição da superfície livre e a configuração do escoamento
(porque ele não preenche totalmente o tubo ou conduto).
Assim, nós detectamos novos fenômenos nos
escoamentos em canais abertos. Nós apresentaremos a seguir
algumas das possíveis classificações destes escoamentos.
O modo com que a profundidade do escoamento, y, varia com
o tempo, t, e com a distância ao longo do canal, x, podem ser
utilizado para classificar o escoamento. Por exemplo, o
escoamento é transitório quando a profundidade numa dada
posição do canal varia ao longo do tempo. Alguns
escoamentos transitórios podem ser encarados como
escoamentos em regime por cima de um rio é um escoamento
transitório para um observador posicionado na margem do rio
mas é um escoamento em regime permanente para um
observador que se desloca ao longo da margem com
velocidade igual a da frente de onda da pororoca. Existem
escoamentos que são transitórios para qualquer observador. Os
escoamentos nas ondas geradas pelo vento num lago se
enquadram nesta categoria.
Um escoamento em canal aberto é classificado como
uniforme (EU) se a profundidade do escoamento não varia ao
longo do canal (dy/dx = 0). De modo contrário, o escoamento é
não uniforme, ou variado, se a profundidade varia com a
distância ao longo do canal (dy/dx≠ 0).
Escoamentos não uniformes são classificados como
escoamentos com variação rápida (EVR) se a profundidade do
escoamento varia consideravelmente numa distância
relativamente pequena (dy/dx ~ 1). Escoamentos com variação
gradual (EVG) são aqueles em que a profundidade do
escoamento varia pouco ao longo do canal (dy/dx << 1). A Fig.
10.1 mostra alguns exemplos destes tipos de escoamento. É
oportuno observar que a importância relativa dos vários tipos
de forças (pressão, peso, atrito e inércia) são diferentes em
cada um destes tipos de escoamento.
Os escoamentos em canal aberto, dependendo das
várias condições envolvidas, podem ser laminares, de transição
ou turbulentos. O tipo de escoamento no canal é função do
número de Reynolds:
Re =
ρ ⋅ V ⋅ Rh
η
onde V é a velocidade média do escoamento e Rh é o
raio hidráulico do canal. Uma regra geral é: o escoamento no
canal aberto é laminar se Re < 500, turbulento se Re > 12500 e
de transição se 500 < Re < 12500. Os valores que definem os
limites dos regimes são aproximados e é necessário um
conhecimento preciso da geometria do canal para estabelecer
valores limite mais precisos. É incomum encontrarmos
escoamentos em canal aberto laminares porque a maioria
destes escoamentos envolve água (que apresenta uma
viscosidade bem reduzida) e apresentam comprimentos
característicos relativamente grandes. Por exemplo, um
escoamento de água a 20 ºC (⎨ = 1,00 ⋅ 10 6 m2/s) com
velocidade média V = 0,3 m/s num rio que apresenta raio
hidráulico Rh = 3,1 m apresenta Re = VRh /⎨ = 9,3 ⋅105 (o
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escoamento é turbulento). Entretanto, o escoamento numa
lâmina de água sobre uma estrada com velocidade média
V = 0,08 m/s e Rh = 6 mm (nestes casos o raio hidráulico é
aproximadamente igual a profundidade do escoamento,
veja a Sec. 10.4) apresenta Re = 480 (o escoamento é
laminar).
Todos os escoamentos em canal aberto
considerados neste livro são homogêneos, ou seja, o fluido
apresenta propriedades uniformes no campo de
escoamento. Em algumas ocasiões, os escoamentos
estratificados são importantes. Nestas ocasiões nós
encontramos duas ou mais camadas de fluidos que
apresentam massas específicas diferentes escoando no
canal. Uma camada de óleo sobre a água é um bom
exemplo deste tipo de escoamento.
Os escoamentos em canal aberto sempre
apresentam uma superfície livre. Esta superfície pode ser
alterada de uma configuração não perturbada
(relativamente plana) e formar ondas que se deslocam
através da superfície com uma velocidade que depende do
seu tamanho (peso, comprimento) e das propriedades do
canal (profundidade, velocidade do escoamento etc.). As
características de um escoamento em canal aberto
dependem muito de como o fluido se movimenta e como
uma onda típica se desloca em relação ao fluido. O
parâmetro adimensional que descreve este comportamento
é o número de Froude, Fr = V/(gl)1/2, onde l é um
comprimento característico do escoamento.
Figura F – Classificação dos escoamentos em
canal aberto.
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