Mecânica dos Fluidos II (MEMec)
Problemas de Escoamento Potencial
EXERCÍCIO 1 Considere dois escoamentos (a) e (b) nos quais as funções de
corrente são dadas pelas seguintes expressões: (a) ψ = x2 + y 2 ; (b) ψ = x2 − y 2 .
1. Esboçe a forma das linhas de corrente para os dois escoamentos.
2. Verifique se em algum destes escoamentos a função de corrente satisfaz a
equação de Laplace, ∇2 ψ = 0.
3. Para o/os escoamentos em que ∇2 ψ = 0, determine:
(a) As componentes horizontal e vertical, u e v, da velocidade, em coordenadas
cartesianas. Verifique se o escoamento é irrotacional, ∇ × ~u = 0.
(b) As componentes radial e tangencial, vr e vθ , da velocidade, em coordenadas
polares.
(c) O sentido do escoamento nos quatro quadrantes.
(d) o módulo do vector gradiente de pressão ao longo da linha y = x, com
x, y > 0
EXERCÍCIO 2 Considere o escoamento potencial num diedro de ângulo interno
π/2, em que uma das paredes é o eixo real e o potencial complexo em z = 1 é
w1 = a/2, com a > 0.
1. Escreva a equação de uma linha de corrente com função de corrente ψ = ψ0 .
2. Desenhe, no primeiro quadrante, a forma da linha de corrente ψ = 0 e
esboce algumas das outras linhas de corrente.
3. Determine as componentes horizontal e vertical, u e v, da velocidade, em
coordenadas cartesianas. Obtenha as componentes da velocidade em coordenadas
polares vr e vθ .
4. Indique o sentido do escoamento.
EXERCÍCIO 3 Refaça a análise do exercı́cio 2 para o caso de um escoamento
potencial num diedro de ângulo interno π/4, em que o eixo real seja uma linha
de corrente e o potencial complexo em z = 1 seja w1 = b/4, com b > 0.
2
EXERCÍCIO 4 Um vórtice livre é um escoamento irrotacional com linhas de
corrente circulares. Em coordenadas polares a distribuiçãode velocidade é dada
por Vr = 0, Vθ = k/r, onde k = Vθ (0) r(0) é a intensidade do vórtice.
1. Desenhe a forma das linhas de corrente para este escoamento.
2. Determine as componentes horizontal e vertical da velocidade em coordenadas
cartesianas, u e v.
3. Indique o sentido do escoamento.
4. Determine os gradientes de pressão radial e tangencial e analise como varia
o campo de pressão neste escoamento.
EXERCÍCIO 5 O escoamento cujo potencial é dado por w = w1 + w2 = a2 z 2 + 4b z 4 ,
com a, b > 0 representa o escoamento numa cavidade em que uma das paredes é
curva.
1. Localize os pontos de estagnação do escoamento no primeiro quadrante.
2. Determine, no primeiro quadrante, as linhas de corrente cuja função de
corrente é ψ = 0.
3. Utilize um desenho sobreposto das linhas de corrente de w1 e de w2 para
obter uma imagem, com alguma base quantitativa, das linhas de corrente
do escoamento w = w1 + w2 .
4. Localize os pontos em que as linhas de corrente têm a direcção vertical.
5. Trace aproximadamente as linhas de corrente na parte inferior do primeiro
quadrante, no domı́nio 0 < x < 3, 0 < y < 3, delimitadas por valores de
ψ = 0. Para facilitar os cálculos tome a = b = 1.
EXERCÍCIO 6
As linhas de corrente do escoamento na voluta de algumas
turbinas hidraúlicas podem ser modeladas por um vórtice e um poço situados
no eixo da turbina. Analise o escoamento plano em que o caudal por unidade de
largura (na direcção perpendicular ao plano) é q = 80 (m3 /s)/m; o raio exterior
da voluta é R2 = 2 m e o raio interior é R1 = 3/4 m. Pretende-se acelerar o
escoamento de modo a obter um aumento de velocidade |v2 | − |v1 | = 15 m/s.
1. Determine a intensidade do poço.
2. Determine a intensidade do vórtice.
3
3. Calcule os valores numéricos das componentes vr e vθ da velocidade à
entrada da voluta (r = R2 ) e à entrada do rotor (r = R1 ).
EXERCÍCIO 7 Considere o escoamento potencial, incompressı́vel e bi-dimensional,
num diedro caracterizado por um ângulo de abertura de 120o . Determine a expressão
do potencial complexo para este escoamento sabendo que, a uma distância unitária
da origem (localizada no vértice do diedro), a velocidade exibe em módulo o valor
U e a direcção positiva do eixo x.
Considerando agora, sobreposto ao escoamento anterior, o escoamento induzido
por uma fonte situada no vértice do diedro, emitindo para o domı́nio de escomento
definido pelo diedro côncavo um caudal volumétrico Q por unidade de largura:
1. Determinar a posição do(s) ponto(s) de estagnação no escoamento resultante.
2. Achar a equação da linha de corrente de estagnação.
3. Esboçar a forma das linhas de corrente do escoamento resultante, dando
especial atenção à forma da linha de corrente de estagnação.
EXERCÍCIO 8 [Problema 6 das folhas do Prof. António Falcão]. Considere o
escoamento na vizinhança da margem dum rio. A margem é uma parede vertical
plana. O fundo é plano e horizontal (profundidade da água constante e igual a
h. À distância b da margem, existe uma saı́da de esgoto (emissário submarino),
com um caudal Q por unidade de profundidade do rio. Longe do emissário, a
velocidade do rio U é constante. Despreze o efeito devido à presença da outra
margem. Admita que o escoamento é irrotacional e bidimensional e que a massa
especı́fica é uniforme. Estude os vários regimes possı́veis do escoamento.
Sugestão: Utilize o método das imagens para que o eixo real seja uma linha
de simetria, a simular a margem. Para simplicar a análise, localize a saı́da do
esgoto no ponto (0, i b). Utilize como parâmetro adimensional α = Q/(2πU b).
Em particular, localize os pontos de estagnação, e indique para que valores de α
a contaminação devida ao esgoto pode atingir a margem.
EXERCÍCIO 9
Resolva o exercı́cio 7 das folhas do Prof. António Falcão,
Escoamento de Fluidos Perfeitos, Secção de Folhas da AEIST. Pode consultar
a solução detalhada nessas folhas.
EXERCÍCIO 10 Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional,
potencial e incompressı́vel em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um
raio de 1 metro e está centrado na origem do referencial z = x + iy. O escoamento
4
de aproximação uniforme está alinhado com o eixo real, x, e tem uma velocidade
U∞ com um módulo de 10m/s. O cilindro encontra-se a rodar a 60 r.p.m. no
sentido horário e portanto torna-se necessário introduzir circulação no escoamento
com um vórtice colocado na origem do referencial para simular o efeito da rotação.
1. Determine a intensidade do vórtice que deve colocar na origem para simular
a rotação do cilindro.
2. Escreva o potencial complexo que representa o escoamento.
3. Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação.
4. Desenhe qualitativamente o escoamento.
5
Figura 1: Linhas de corrente para os escoamentos (a) e (b).
SOLUÇÕES
√
Ex.1: Escoamento (a): ψ = x2 + y 2 ⇒ y = ± ψ − x2 , ψ = Conste.
(circunferências
centradas na origem). Escoamento (b): ψ = x2 − y 2 ⇒ y =
√ 2
± x − ψ, ψ = Conste. (hipérboles rectangulares com bissectrizes y = x e
y = −x como assimptotas); Escoamento (a): ∇2 ψ = 2 + 2 = 4 6= 0. Escoamento
(b): ∇2 ψ = 2 − 2 = 0; Escoamento (b): u = ∂ψ/∂y = −2y, v = −∂ψ/∂x = −2x;
ωz = ∂v/∂x − ∂u/∂y = −2 − (−2) = 0; ψ(r, θ) = r2 (cos2 θ − sin2 θ) = r2 (1 −
2sin2 θ), vr = (1/r)∂ψ/∂θ = −4rsinθcosθ, vθ = −∂ψ/∂r = −2r(1 − 2sin2 θ);
Usando as equações de Euler: ∂p/∂x = −ρ (u∂u/∂x + v∂u/∂y)
q = −4ρx, ∂p/∂y =
~ = (∂p/∂x)2 + (∂p/∂y)2
−ρ (u∂v/∂x + v∂v/∂y) = −4ρy. Para y = x temos: |∇p|
√
= 4 2ρx.
Ex.2: Para o primeiro diedro, de ângulo π/2, o potencial complexo é w1 = a z 2 /2,
a equação de uma linha de função de corrente ψ é ψ = a x y, ou, em coordenadas
polares, ψ = 21 a r2 sen(2 θ).
Como se conclui da resposta anterior, verifica-se que as linhas de corrente são
hipérboles cujas assı́mptotas são os eixos xx e yy.
As componentes da velocidade são: u = a x = a r cos(θ) e v = −a y = −a r sen(θ),
e vr = 1r ∂ψ
= 1r [ar2 (cosθsenθ)0 ] = ar[1 − 2(senθ)2 ]; vθ = − ∂ψ
= −2arcosθsenθ.
∂θ
∂r
A figura da esquerda representa algumas linhas de corrente do primeiro quadrante
do diedro com uma abertura de π/2. A traço mais forte, a linha de corrente com
função de corrente ψ = 0.
Ex.3: Para o segundo diedro, de ângulo π/4, o potencial complexo é w2 = b z 4 /4,
a equação de uma linha de função de corrente ψ é ψ = b x y (x2 − y 2 ), ou, em
6
Figura 2: Linhas de corrente para os dois escoamentos.
coordenadas polares, ψ = 41 b r4 sen(4 θ).
As linhas de corrente têm como assı́mptotas os eixos coordenados (x = 0 e y = 0)
e as diagonais (y 2 = x2 ). No primeiro quadrante, o escoamento desce pela diagonal
em direcção õrigem e é deflectido a 45◦ para a horizontal (eixo dos xx) e para
cima (eixo dos yy), como se indica na figura da direita.
Essa figura representa algumas linhas de corrente do primeiro quadrante deste
escoamento; a linha de corrente com função de corrente ψ = 0 está desenhada
com um traço mais forte. As componentes da velocidade são:
u = b x3 −3 b x y 2 = b r3 cos(3 θ); v = b y 3 −3 b x2 y = b r3 sen (3 θ),
= br3 cos(4θ); vθ = − ∂ψ
= −br3 sen(4θ).
e vr = 1r ∂ψ
∂θ
∂r
Ex.4: A forma das linhas de corrente é igual à do Ex.1 (a); Em coordenadas
polares: vr = 0, vθ = K/r = Γ/(2πr). Em coordenadas cartesianas: u = −vθ sinθ =
−(K/r)sinθ e v = +vθ cosθ = (K/r)cosθ; O sentido do escoamento é o representado
na figura do Ex.1 (a); A partir das equações de Euler em coordenadas polares
temos: ∂p/∂r = ρvθ2 /r = ρK 2 /r3 , ∂p/∂θ = 0.
Ex.5: Os pontosqde estagnaçãoqdo escoamento composto, w = w1 +w2 , situamse em z = 0, z = + −a/b, z = − −a/b, localizando-se os dois primeiros pontos
q
no primeiro quadrante. As coordenadas destes dois pontos são: (0, 0) e (0, a/b).
A equação de uma linha de corrente cuja função de corrente seja igual a ψ é
ψ = x y [a + b (x2 − y 2 )]. Portanto, a linha de corrente ψ = 0 passa por x = 0
(eixo das abcissas), y = 0 (eixo das ordenadas) e por [a + b (x2 − y 2 )] = 0, ou seja,
y 2 = a/b + x2 .
As linhas de corrente são verticais quando a componente horizontal da velocidade
2
2
for nula. Isto é, vx = (a
q+ b x − 3 b y ) x = 0, o que sucede em xq= 0 (eixo das
ordenadas) e em x = ± (3 y 2 − a/b), ou, equivalentemente, y = ± (x2 + a/b)/3.
A figura seguinte representa algumas linhas de corrente do escoamento composto,
w = w1 +w2 . A traço interrompido, o local onde as linhas de corrente são verticais.
7
Figura 3: Linhas de corrente do escoamento com potencial complexo w = a2 z 2 +
b 4
z .
4
8
Ex.6: A intensidade do poço é q = −80 m2 /s. O potencial complexo do
Γ
q
log(z) − i
log(z), em que Γ é a circulação do vórtice.
escoamento é w =
2π
2π
dw
q
Γ
A velocidade conjugada é
=
−i
dz
2 π z 2 π z
1


[q cos(θ) − Γ sen(θ)]
 vx =
2πr
e as componentes da velocidade são


 v = 1 [q sen(θ) + Γ cos(θ)]
y
2πr

q

v
=
v

x cos(θ) + vy sen(θ) =
 r
2πr
ou, em coordenadas polares,

Γ

 vθ = −vx sen(θ) + vy cos(θ) =
2πr
Como seria de esperar, a componente radial e a componente tangencial são ambas
independentes de θ; o módulo da velocidade é apenas função do raio:
√ 2
q
q + Γ2
2
2
|v| = vr + vθ =
.
2πr
√ 2
1
q + Γ2 1
−
=
Para o aumento de velocidade proposto, |v2 | − |v1 | =
2 π √ R2 R1
15 m/s, substituindo os valores de q, R1 e R2 , vem Γ = ±4 −400 + 81 π 2 =
±79, 9 m2 /s. Ambos os sinais de Γ são possı́veis, dependendo do sentido de rotação
na voluta.
As componentes radial e tangencial à entrada da voluta (raio R2 ) são: vr =
Γ
q
= −6, 37 m/s e vθ =
= ±6, 36 m/s; à entrada do rotor (raio R1 )
2 π R2
2 π R2
q
Γ
são: vr =
= −17, 0 m/s e vθ =
= ±17, 0 m/s.
2 π R1
2 π R1
Ex.7: Para θ = 120o = 2π/3 radianos, temos: θ = kπ/n = 2π/3, n = 3/2,
donde w(z) = na z n = 2a
z 3/2 . Por outro lado |U | = arn−1 = ar3/2−1 = ar1/2 ,
3
donde |U (r = 1)| = a = U , logo w(z) = 23 U z 3/2 . Sobrepondo uma fonte na
origem temos m = 3Q, para θ = 2π
. O potencial complexo resulta então, por
3
3Q
2
3/2
sobreposição, em w(z) = 3 U z + 2π ln(z). Os pontos de estagnação obtêm-se
através de U =
2/3
dw
dz
= U z 1/2 +
2/3
3Q
2πz
3Q
= 0 ⇔ U z 3/2 = − 3Q
⇔ zest = − 2πU
2π
2/3
=
i 2π
3
3Q
3Q
eiπ 2πU
= 2πU
e
i.e. o ponto de estagnação está sobre a superfı́cie
o
do diedro a 120 . Usando a definição de potencial complexo ou os resultados
m
teóricos para os diedros temos: ψ = na rn sin(nθ) + 2π
θ, com a = U , n = 3/2, e
2
3θ
3m
3/2
m = 3Q ⇔ ψ = 3 U r sin( 2 ) + 2π θ. A linha de corrente que passa pelo ponto
de estagnação zest = reiθ , com r =
2
U
3
3Q
2πU
2/3 3/2
na figura.
3Q
2πU
2/3
, e θ = 2π/3 é ψest = ψ(r, θ) =
3
sin(π) + 2π
Q 2π
= Q. A forma das linhas de corrente é indicada
3
9
Figura 4: Escoamento num diedro de ângulo θ = 2π/3.
Figura 5: Cálculo da intensidade da fonte.
Figura 6: Linhas de corrente do escoamento.
10
(a)
(b)
(c)
Q
Figura 7: Escoamento num rio com uma fonte para: (a) α2 = ( 2πU
)2 = 1; (b)
b
Q
Q
α2 = ( 2πU b )2 > 1; (c) α2 = ( 2πU b )2 < 1.
Ex.8: O potencial complexo do escoamento é: w = wesc. unif orme + wf onte +
Q
Q
Q
ln(z − ib) + 2π
ln(z + ib) = U z + 2π
ln(z 2 + b2 ); Os pontos de
wimagem = U z + 2π
Q 2z
estagnação podem obter-se de V = dw
=0⇔
= U + 2π
dz
z 2 +b2
1
2
2
z
b
+ Q z + 12
√ 2πU b b
α2 − 1, com α
= 0, ⇔
z
b
=
Q
− 2πU
b
±
r
Q 2
πU b
− 1, ou seja
zest
b
=
−α ±
= Q/(2πU b). Existem 3 configurações possı́veis consoante
o valore de α2 . Para α2 = 1 temos um ponto de estagnação na recta y = 0, para
xest = −b; Para α2√> 1 temos
dois pontos de estagnação em y = 0, de coordenadas
xest = −b −α ± α2 − 1 ; Para α2 < 1 temos dois pontos de estagnação fora
√
do eixo real: zest
= xest
+ i yest
= −α ± i 1 − α2 . A figura mostra as linhas de
b
b
b
corrente para as 3 situações.
11
Ex.10: A intensidadeRdo vórtice pode obter-se através da circulação calculada
~ = u0 .2πR, onde u0 é a velocidade tangencial em
no raio do cilindro: Γ = u~0 .dl
cima do cilindro. A velocidade angular é ω0 = 60(2π)/60 = 2π rad/s, donde
u0 = ω0 R = 2π m/s, e Γ = −4π 2 m2 /s, uma vez que neste caso o cilindro
roda no sentido horário (Γ < 0); O potencial complexo resulta da sobreposição
de um escoamento uniformecom velocidade
U∞ , um dipolo,
e um vórtice com
1
iΓ
R2
circulação −Γ: w(z) = U∞ z + z + 2π ln(z) = 10 z + z + (2πi)ln(z). Os
pontos de estagnação podem obter-se através de V = dw
= 10 1 − z12 +2πi z1 = 0,
dz
zest = +0.949 − 0.314i e zest = −0.949 − 0.314i. Trata-se de dois pontos sobre o
raio do cilindro fazendo um ângulo de β = arctg(−0.314/0.949) = 18o com o eixo
y = 0.