AULA 01 : PROGRASSÃO ARITMÉTICA
Ø
ANOTAÇÕES
DEFINIÇÃO: É qualquer seqüência onde cada termo, a partir
do segundo, é igual ao anterior, somado a uma constante r,
chamada de razão da PA.
Na PA (a1, a2, a3, ..., an
an = an
1
1,
an, ... ),
temos:
, n2
+r
e
n Î IN
Exemplo: (3, 7, 11, 15, ...)
Ø
RAZÃO DE UMA PA
A razão r de uma PA é obtida subtraindo-se de qualquer termo,
a partir do segundo, o termo anterior
113
r = an
an
1
Exemplo: A PA (1, 3, 5, 7, 9, ... ) tem a razão r = 3
Ø
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PA
·
Crescente:
an > an
·
Decrescente:
an < an
·
Constante:
an = an
1
1
1
1=2
(r > 0)
(r < 0)
(r = 0)
Ø
REPRESENTAÇÃO ESPECIAL DE UMA PA
·
Com 3 termos: (x r, x, x + r); razão = r
·
Com 4 termos: (x 3r, x r, x + r, x + 3r); razão = 2r
·
Com 5 termos: (x 2r, x r, x, x + r, x + 2r); razão = r
Ø
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre dois
números a e b, extremos de uma PA, significa obter uma PA
com k + 2 termos: (a .........b)
k termos
Ø
PROPRIEDADES DE UMA PA
·
Em toda PA, qualquer termo a partir do segundo, é média
aritmética dos termos eqüidistantes dele.
·
A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é
igual à soma dos extremos
·
Se ar, as, at e ap são termos de uma PA então
ar
+ as = at + ap Û r + s = t + p
Ø
TERMO GERAL DE UMA PA
Se an e am são termos quaisquer de uma PA, então:
an = am + (n
Exemplo: a8 = a3 + (8
m) . r
3)r Þ a8 = a3 + 5r
Em particular, para m = 1, temos:
an = a1 + (n
1) . r
a1: 1º termo
an: enésimo termo ou termo geral
n: número de termos
r: razão
Exemplo: a10 = a1 + (10
Ø
1)r Þ a10 = a1 + 9r
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA
A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por:
n
å ai = Sn =
i =1
Exemplo: S5 =
(a1 + an ) . n
2
(a1 + a5 ).5
2
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
113
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE SALA
EXERCÍCIOS DE CASA
01. (CEFET-AL/2009) O centésimo número natural ímpar é:
a) 197.
b) 201.
c) 101.
d) 199.
e) 299.
01. (ENEM/2010) Uma professora realizou uma atividade com
seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar
figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A
quantidade de canudos (C) de cada figura depende da
quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A
estrutura de formação das figuras esta representada a seguir.
02. (UNIFOR/2009) Um atleta, após ter feito uma sucessão de
lançamentos de um dardo, observou que a cada arremesso a
distância alcançada pelo dardo aumentara em 2 cm. Sabendo
que o alcance do seu primeiro lançamento foi de 24 m e o do
último foi de 24,30 m, o total de arremessos que ele fez foi
a) 16
b) 15
c) 14
d) 13
e) 12
Figura I
03. (CEDERJ/2009) A seqüência formada por todos os números
naturais cuja divisão por 7 deixa resto 3, dispostos em ordem
crescente, é uma:
a) progressão aritmética de razão 4;
b) progressão aritmética de razão 7;
c) progressão aritmética de razão 3;
d) progressão geométrica de razão 7;
e) progressão geométrica de razão 3.
Figura II
Figura III
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da
quantidade de quadrados de cada figura?
a) C = 4Q
b) C = 3Q + 1
c) C = 4Q 1
d) C = Q + 3
e) C = 4Q 2
02. (ESPM/2009) Uma seqüência numérica (an) é tal que a1 = 1 e
an = n + an1. O centésimo termo dessa seqüência vale:
a) 5050
b) 5500
c) 6500
d) 4950
e) 4650
04. (UNAERP/2010) Ao empilharem-se tubos de PVC na
disposição abaixo, iniciou-se com 10 tubos até atingir o topo
com 1 tubo. Para tanto, foram empilhados:
03. (UDESC/2009) Sejam x, y, z números reais tais que a
seqüência ( x, 1, y, 1/4, z ) forma, nesta ordem, uma
progressão aritmética, então o valor da soma x + y + z é:
21
15
19
3
b)
c)
d) 2
e) a) 8
8
8
8
a) 30 tubos.
b) 60 tubos.
c) 120 tubos.
d) 55 tubos.
e) 100 tubos
04. (UEPB/2010) A quantidade de múltiplos de 7 entre 20 e 1000,
somada com a quantidade de números divisíveis por 3 entre
100 e 400, é igual a
a) 200
b) 240
c) 170
d) 210
e) 300
05. (UEPB/2009) A soma de todos os múltiplos
compreendidos entre 600 e 800, é igual a:
a) 23000
b) 20300 c) 20030
d) 20003
e) 30002
ANOTAÇÕES
de
7,
06. (UEMS/2009) A dívida de uma empresa junto a um de seus
fornecedores foi paga da seguinte maneira: no primeiro ano
foram pagas parcelas mensais de R$ 1.000,00; no segundo
ano, foram pagas parcelas mensais de R$ 950,00 e assim por
diante. A cada ano, as parcelas diminuíam R$ 50,00, até que
no último ano, as parcelas mensais pagas foram de R$ 50,00.
Qual o valor total da dívida paga, em reais?
a) 126.000,00
b) 125.000,00
c) 120.000,00
d) 118.000,00
e) 92.000,00
07. (FGV/2010) Roberto obtém um financiamento na compra de
um apartamento. O empréstimo deverá ser pago em 100
prestações mensais, de modo que uma parte de cada
prestação é o juro pago. Junto com a 1ª- prestação, o juro
pago é de R$ 2000,00; com a 2ª- prestação, o juro pago é R$
1980,00 e, genericamente, em cada mês, o juro pago é R$
20,00 inferior ao juro pago na prestação anterior. Nessas
condições, a soma dos juros pagos desde a 1ª até a 100ª
prestação vale:
a) R$100000,00
b) R$101000,00
c) R$102000,00
d) R$103000,00
e) R$104000,00
08. (FGV/2009) Carlos tem oito anos de idade. É um aluno
brilhante, porém comportou-se mal na aula, e a professora
mandou-o calcular a soma dos mil primeiros números ímpares.
Carlos resolveu o problema em dois minutos, deixando a
professora impressionada. A resposta correta encontrada por
Carlos foi:
a) 512.000
b) 780.324
c) 1.000.000
d) 1.210.020
e) 2.048.000
GABARITO
01.B 02.A 03.C 04.B 05.B 06.A
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
114
07.B 08.C
MATEMÁTICA II
114
Em particular, para m = 1, temos:
AULA 02 : PROGRESSÕES GEOMÉTRICA I
Ø
DEFINIÇÃO: É qualquer sequência onde cada termo, a partir
do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante
q, chamado de razão da PG.
Na PG (a1, a2, a3, ..., an
an = an
1
1,
.q
an, ... ),
temos:
, n2
e
an = a1 . qn
1
a1: 1º termo
an: enésimo termo ou termo geral
n: número de termos
q: razão
n Î IN
Exemplo: a6 = a1 . q6
1
Þ a6 = a1 . q5
Exemplo: (1, 3, 9, 27, ...)
Ø
RAZÃO DE UMA PG
A razão q de uma PG é obtida dividindo-se qualquer termo, a
partir do segundo, pelo termo anterior.
q=
ANOTAÇÕES
115
an
an - 1
Exemplo: (2, 4, 8, 16, ...). A razão da PG é q =
4
=2
2
OBSERVAÇÃO:
·
A sequência (5, 0, 0, 0, . . .) é uma PG de razão q = 0.
·
A sequência (0, 0, 0, 0, . . . ) é uma PG de razão
indeterminada e uma PA de razão nula.
Ø
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PG
·
Crescente:
a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1
·
Decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1
·
Constante:
q=1
·
Oscilante ou alternante: q < 0
(Observe que na PA não existe esse caso.)
Ø
REPRESENTAÇÃO ESPECIAL DE UMA PG
·
Com 3 termos:
·
Com 4 termos:
·
Com 5 termos:
ö
æx
çç , x , xq ÷÷ , razão = q
ø
èq
æ x x
ö
çç 3 , , xq , xq 3 ÷÷ , razão = q²
èq q
ø
ö
æ x x
çç 2 , , x , xq , xq 2 ÷÷ ,
ø
èq q
razão
=q
Ø
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Da mesma forma de PA, interpolar k meios geométricos entre
dois números a e b, extremos de uma PG, significa obter uma
PG com k + 2 termos.
Ø
PROPRIEDADES
·
Em toda PG, qualquer termo a partir do segundo, é média
geométrica dos termos eqüidistantes dele.
·
O produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é
igual ao produto dos extremos
·
Se ar, as, at e ap são termos de uma PG então
ar . as = at . ap Û r + s = t + p
Ø
TERMO GERAL DE UMA PG
Se an e am são dois termos de uma PG, então
an = am . qn
Exemplo: a8 = a5 . q8
5
m
Þ a8 = a5 . q3
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
115
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE SALA
EXERCÍCIOS DE CASA
01. Quantos termos tem a PG (1, 3, ... , 729) ?
01. Determine a razão da PG em que a5 = 32 e a8 = 256
02. (UFCG) As idades de um pai e seus dois filhos são dadas,
respectivamente, por x, y e z, as quais estão, nesta ordem, em
uma progressão geométrica. Se x, 2y e 3z estão, nesta ordem,
em uma progressão aritmética e a idade do pai é
x = 36,
então as idades de seus dois filhos são:
a) 3 e 8.
b) 2 e 5.
c) 4 e 12.
d) 8 e 12.
e) 9 e 15.
03. (FGV/2010) Um capital de R$1000,00 é aplicado a juro
simples, à taxa de 10% ao ano; os montantes, daqui a 1, 2, 3,
..., n anos, formam a seqüência (a1, a2, a3 ... an). Outro capital
de R$2000,00 é aplicado a juro composto, à taxa de 10% ao
ano gerando a seqüência de montantes (b1, b2, b3, bn) daqui a
1, 2, 3, ... n anos. As seqüências (a1, a2, a3 ... an) e (b1, b2, b3,
bn) formam, respectivamente,
a) uma progressão aritmética de razão 1,1 e uma progressão
geométrica de razão 10%.
b) uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão
geométrica de razão 0,1.
c) uma progressão aritmética de razão 10% e uma progressão
geométrica de razão 1,10.
d) uma progressão aritmética de razão 1,10 e uma progressão
geométrica de razão 1,10.
e) uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão
geométrica de razão 1,10.
02. (FEI/2010) Em uma progressão geométrica, o segundo termo
vale 729 e o quinto vale 5832. Assinale a alternativa incorreta
em relação a esta progressão:
a) a razão vale 2.
b) o produto dos três primeiros termos é igual a 318.
729
c) o primeiro termo vale
2
d) a progressão é crescente.
e) o sétimo termo vale 23 338.
04. (FUVEST) Uma PA e uma PG tem ambas o primeiro termo
igual a 4, sendo que os terceiros termos são estritamente
positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da
PA excede o segundo termo da PG em dois. Então, o terceiro
termo da progressão é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
GABARITOS
Exercícios de casa
01. resposta 2
02. c
03. e
04. d
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
116
MATEMÁTICA II
116
AULA 03 : PROGRESSÕES GEOMÉTRICA II
Ø
EXERCÍCIOS DE SALA
01. (UFPB/2007) Cecília jogou na loteria esportiva durante cinco
semanas consecutivas, de tal forma que, a partir da segunda
semana, o valor apostado era o dobro do valor da semana
anterior. Se o total apostado, nas cinco semanas, foi
R$2.325,00, o valor pago por Cecília, no jogo da primeira
semana, foi:
a) R$ 75,00
b) R$ 85,00
c) R$ 100,00
d) R$ 95,00
e) R$ 77,00
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG
A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por:
n
åa
i
= Sn =
i =1
(
)
a1 q n -,1 q ¹ 1
q -1
x x x
x
+ + +
+ L = 40
2 4 8 16
apresenta como resultado um valor x, tal que :
a) 21 x < 22
b) 17 x <18
c) 20 x < 21
d) 18 x <19
e) 19 x < 20
02. (FGV/2009) A equação x +
7
a (q - 1)
Exemplo: S 7 = 1
q -1
Ø
SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG
O limite da soma dos infinitos termos de uma PG é dado por:
S=
a1 ,
1-q
1<q<1
ANOTAÇÕES
ANOTAÇÕES
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
117
MATEMÁTICA II
117
09. (UPE/2010) No primeiro dia de um experimento laboratorial,
exatamente uma gota de uma dada substância é acrescentada
a um balão de ensaio inicialmente vazio. Nos dias seguintes, a
cada dia é acrescentada exatamente uma gota a mais que o
dobro do número de gotas do dia anterior (por exemplo, no 2º
dia, serão adicionadas 3 gotas). Ao final do 10º dia, terão sido
acrescentadas, ao todo, exatamente
a) 1043 gotas.
b) 2086 gotas.
c) 1023 gotas.
d) 2046 gotas.
e) 2036 gotas.
EXERCÍCIOS DE CASA
01. (UEPB/2008) Durante os sete dias destinados às inscrições de
um concurso, o número de candidatos cresceu em PG do
primeiro ao sétimo dia. Sabendo que no primeiro dia se
inscreveram 2 candidatos e no sétimo dia 1.458, concluímos
que o total de candidatos inscritos para o referido concurso foi
de:
a) 2916
b) 1460
c) 2186
d) 1458
e) 1944
02. (UFES/2009.2) Maria fez uma viagem de 8 dias. Em cada dia
da viagem, a partir do segundo dia, ela percorreu metade da
distância percorrida no dia anterior. No sexto dia, ela percorreu
48 km. A distância total, em quilômetros, percorrida durante os
8 dias de viagem foi:
a) 2900
b) 2940
c) 2980
d) 3020
e) 3060
10. (UNESP/2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão
de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende
1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as
taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30
anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse
investimento, o valor aproximado, em reais, que devo
disponibilizar mensalmente é:
Dado: 1,01361 36
a) 290,00.
b) 286,00.
c) 282,00.
d) 278,00.
e) 274,00.
03. (UFJF) Uma pessoa compra um carro, devendo pagá-lo, em
prestações mensais, durante 5 anos. As prestações pagas em
um mesmo ano são iguais, sendo de R$ 400,00 o valor da
primeira prestação, paga em janeiro. A cada ano, a prestação
sofre um aumento de 10%, em relação à do ano anterior.
Sendo assim, o valor da prestação mensal será,
aproximadamente, de:
a) R$ 440,00
b) R$ 480,00
c) R$ 500,00
d) R$ 580,00
e) R$ 670,00
11. (ESPECEX/2011) Um menino, de posse de uma porção de
grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de xadrez, colocou
um grão na primeira casa, dois grãos na segunda casa, quatro
grãos na terceira casa, oito grãos na quarta casa e continuou
procedendo desta forma até que os grãos acabaram, em algum
momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A partir
dessas informações, podemos afirmar que a quantidade
mínima de grãos de arroz que o menino utilizou na brincadeira
é
a) 480
b) 511
c) 512
d) 1023
e) 1024
04. (UFCG) Um estudante prepara-se para uma competição de
natação e corrida na sua escola. No primeiro dia de sua
preparação, ele nada 25 m e corre 1500 m. Sabendo-se que
ele nada sempre o dobro do que nadou no dia anterior, corre
sempre 300 m a mais do que correu no dia anterior e que nos
primeiros N dias, somando-se as distâncias que ele nadou
encontramos 3175 m, podemos afirmar que o estudante correu
durante estes N dias a quantidade de:
a) 17500 m
b) 19500 m
c) 15400 m
d) 13200 m
e) 16800 m
12. (UDESC/2011) Em uma escola com 512 alunos, um aluno
apareceu com o vírus do sarampo. Se esse aluno
permanecesse na escola, o vírus se propagaria da seguinte
forma: no primeiro dia, um aluno estaria contaminado; no
segundo, dois estariam contaminados; no terceiro, quatro, e
assim sucessivamente. A diretora dispensou o aluno
contaminado imediatamente, pois concluiu que todos os 512
alunos teriam sarampo no:
a) 9º dia.
b) 10º dia.
c) 8º dia.
d) 5º dia.
e) 6º dia.
05. (UNEMAT/2010) Lança-se uma bola, verticalmente de cima
para baixo, da altura de 4 metros. Após cada choque com o
solo, ela recupera apenas 1/2 da altura anterior. A soma de
todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados
pela bola até o momento de repouso é:
a) 12 m
b) 6 m
c) 8 m
d) 4 m
e) 16 m
13. (UNESP/2011) Após o nascimento do filho, o pai
comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta
de poupança,os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e
assim sucessivamente, ate o mês em que o valor do deposito
atingisse R$ 2.048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria os
depósitos como de início e assim o faria ate o 21º aniversário
do filho. Não tendo ocorrido falha de deposito ao longo do
período, e sabendo-se que 210 = 1.024, o montante total dos
depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de
a) 42.947,50.
b) 49.142,00.
c) 57.330,00.
d) 85.995,00.
e) 114.660,00.
06. (MACK/2009) A soma dos valores inteiros negativos de x, para
os quais a expressão
é
a) 1
b) 2
2+
x x x
+ + + L é um número real,
2 4 8
c) 3
d) 4
e) 5
07. (PUC-RS/2009.2) Um visitante do MCT recebe informações
sobre colônias de bactérias. Uma bactéria comum dobra sua
população a cada 20 minutos. Supondo uma colônia inicial de
1000 bactérias, que uma hora mais tarde já soma 8000, é
correto prever que depois de 2 horas o número de bactérias
será de:
a) 6000
b) 16000
c) 32000
d) 64000
e) 120000
14. (MACK/2011) Divide-se um segmento de comprimento x em
três partes iguais, retirando-se a parte central. Repete-se o
procedimento
na
parte
retirada.
Procedendo-se
indefinidamente da mesma forma, a soma de todos os
segmentos retirados é 30. O valor de x é:
a) 90
b) 50
c) 55
d) 45
e) 60
08. (UFJF) Uma pessoa compra um carro, devendo pagá-lo, em
prestações mensais, durante 5 anos. As prestações pagas em
um mesmo ano são iguais, sendo de R$ 400,00 o valor da
primeira prestação, paga em janeiro. A cada ano, a prestação
sofre um aumento de 10%, em relação à do ano anterior.
Sendo assim, o valor da prestação mensal será,
aproximadamente, de:
a) R$ 440,00
b) R$ 480,00
c) R$ 500,00
d) R$ 580,00
e) R$ 670,00
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
01.C
08.D
118
02.E
09.E
03.D
10.B
GABARITO
04.E
05.A
11.C
12.B
06.C
13.D
07.D
14.E
MATEMÁTICA II
118
Para transformarmos arcos de uma unidade para outra basta
fazer uma regra de três simples com
AULA 04: TRIGONOMETRIA I
Ø
TRIÂNGULO RETÂNGULO
C
b
180º ® p rad
a
b
.
A
Ø
a
c
B
Da figura, temos:
· hipotenusa: a
· catetos: b e c
· ângulos: a, b e 90º
· relação entre os ângulos agudos: a + b = 90º
· relação entre os lados: a² = b² + c²
REGRA PRÁTICA
I.
Para transformarmos um arco de radiano para grau, basta
substituir p rad por 180º e fazer as operações.
II. Para transformarmos um arco de grau para radiano, basta
p rad
multiplicarmos o arco por
e fazer as operações.
180 º
119
ANOTAÇÕES
Ø
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
· Seno de um ângulo agudo: é a razão entre o cateto oposto a
esse ângulo e a hipotenusa.
· Cosseno de um ângulo agudo: é a razão entre o cateto
adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.
· Tangente de um ângulo agudo: é a razão entre o cateto
oposto e o cateto adjacente a esse ângulo.
Em relação ao triângulo ABC acima, temos:
sen a = b/a
cos a = c/a
tg a = b/c
sen b = c/a
cos b = b/a
tg b = c/b
Conclusões imediatas:
I.
O seno de um deles e o cosseno do outro são iguais
II. A tangente de um deles é o inverso da tangente do outro
sen a
III. tg a =
cos a
IV.
Ø
sen²a + cos²a = 1
ÂNGULOS NOTÁVEIS
30º
sen
cos
tg
Ø
1
3
3
2
45º
2
2
60º
3
2
2
3
2
1
ARCO
Chama-se arco a qualquer
compreendida entre dois pontos.
2
1
2
3
parte
As unidades de medidas de arcos
GRADO. Vamos trabalhar com grau
mais usados.
I. GRAU
é o arco unitário que
circunferência. Assim,
360º.
da
circunferência
são: GRAU, RADIANO ou
e radiano por serem os
corresponde a 1/360 da
uma circunferência tem
SUBMÚLTIPLOS do grau
· MINUTO: é um arco que corresponde a 1/60 do grau.
Assim, 1 grau tem 60 minutos (1º = 60).
· SEGUNDO: é um arco que corresponde a 1/60 do
minuto. Assim, 1 minuto tem 60 segundos (1 = 60).
II. RADIANO: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao
raio da circunferência que o contém. Como o comprimento
da circunferência de raio r é dado por C = 2pr, então, uma
circunferência terá 2p rad.
Ø
CONVERSÃO DE UNIDADES
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
119
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE SALA
EXERCÍCIOS DE CASA
01. (UFRN) A casa central de uma fazenda situa-se a 9 km,
contados ao longo de um caminho perpendicular à estrada reta
que limita a fazenda. Na beira da estrada e a uma distância de
15 km da casa central, o fazendeiro construiu uma casa para
seu filho. O fazendeiro agora quer construir, na beira da
mesma estrada, um escritório que fique igualmente distanciado
da casa do filho e da casa central.
01. No triângulo ABC, retângulo em C, o cateto oposto ao vértice A
mede 8 cm e a hipotenusa mede 12 cm. Determine o seno, o
cosseno e a tangente do ângulo A.
Escritório
9
02. (FUVEST) Dois pontos A e B estão situados na margem de um
rio e distante 40 m um do outro. Um ponto C na outra margem
do rio está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75º e
ângulo ACB mede 75º. Determine a largura do rio.
Casa
do filho
a) 40 m
b) 20 m
c) 20 3 m
03. (PUC-RJ/2010) O valor de
Casa central
a)
A distância comum deverá ser:
a) entre 8 e 9 km
b) entre 11 e 12 km
c) entre 12 e 13 km
d) entre 9 e 10 km
2 m
2 +1
a) 2 km
De acordo com essas informações, é correto
afirmar que o comprimento (L) da rampa é de:
b) 2 2 m
e) 25 m
b) 2
c)
cos 45 º + sen30 º
é:
cos 60 º
2
4
d)
120
2 +1
2
e) 0
04. (PUC-GO/2010) Suponha hipoteticamente que um Zepelim
passou em São José de Coroa Grande e que Leleu teve a
oportunidade de observá-lo de uma certa distância. Tal
momento, histórico para a cidade, pode ser representado pela
seguinte figura, onde o ponto A é a posição do Zepelim e B a
linha de visada de Leleu. Com base na figura abaixo e
sabendo-se que o ângulo de elevação da linha visada (ângulo
)
A B C) é de 30o, pode-se afirmar que a distância de Leleu ao
Zepelim é de:
02. (UFPB/2010) Em parques infantis, é comum encontrar um
brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma superfície
plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e
de uma escada que dá acesso à rampa. No parque de certa
praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e
horizontal, cuja escada tem 2m de comprimento e forma um
ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º
com o piso, conforme ilustrado na figura abaixo.
a)
d) 30 m
15
b) 1 km
c) 3 km
d)
2 Km
d) 4 2 m
e) 5 2 m
c) 3 2 m
ANOTAÇÕES
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
120
MATEMÁTICA II
Ø
Ø
AULA 05: TRIGONOMETRIA II
Ø
CICLO TRIGONOMÉTRICO
É uma circunferência orientada que possui as seguintes
caracteristicas:
Y
(0,1)
+
II Q
IQ
( 1,0)
r=1
GRÁFICO
y
1
p
(1,0)
0
(0, 1)
121
Sinal
Crescimento
IQ
II Q
III Q
IV Q
+
C
+
D
D
C
Ø
PROPRIEDADE
Ø
O PERÍODO DA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA
f(x) = a + b.sen (kx + c) é dado por p =
é o menor dos arcos côngruos
1ª DETERMINAÇÃO POSITIVA
positivos.
Ø
SENO DE UM ARCO
O seno de um arco a é a ordenada do ponto M
M
a
A
2p
|k |
COSSENO DE UM ARCO
O cosseno de um arco a é a abscissa do ponto M
y
y
M
a
A
sen a = OP
0
Q
cos a = OQ
x
x
Usando a definição vamos encontrar o cosseno dos arcos:
p
3p
, p,
e 2p
0,
2
2
y
Usando a definição vamos encontrar o seno dos arcos:
p
3p
, p,
e 2p
0,
2
2
y
p/2
p/2
p
p
0
2p
0
0
1
x
3p/2
a
p
2
0
2p
x
3p/2
a
x
Observações:
· Dm(f) = Â
· Im(f) = [ 1, 1]
· Período: 2p
· Paridade: ímpar
· raio: r = 1
· origem dos arcos: (1, 0)
· sentido positivo: anti-horário
· sentido negativo: horário
· 1º quadrante: (0, p/2)
· 2º quadrante: (p/2, p)
· 3º quadrante: (p, 3p/2)
· 4º quadrante: (3p/2, 2p)
·
ARCOS CÔNGRUOS
são arcos que possuem a mesma
extremidade. Diferem um do outro pelo sentido percorrido ou
pelo número de voltas.
0
2p
-1
IV Q
P
3p/2
p/2
0
x
III Q
Ø
FUNÇÃO SENO
É a função f : IR ® IR definida por f(x) = sen x
p
3p
2
2p
0
-1
0
sen a
O
bserv
e que
o
seno
p
2
p
3p
2
2p
1
0
1
0
1
cos a
Observe que o cosseno varia de 1 a 1, ou seja,
1 £ cos a £ 1
varia de 1 a 1, ou seja,
1 £ sen a £ 1
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
0
121
MATEMÁTICA II
Ø
FUNÇÃO COSSENO
É a função f : IR ® IR definida por f(x) = cos x
EXERCÍCIOS DE CASA
GRÁFICO
01.
y
1
p
0
p/2
3p/2
2p
x
-1
Observações:
· Dm(f) = Â
· Im(f) = [ 1, 1]
· Período: 2p
· Paridade: par
(UNEMAT/2010) Quanto ao arco 4.555°, é correto afirmar.
a) Pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o
ângulo de 55º
b) Pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o
ângulo de 75º
c) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o
ângulo de 195º
d) Pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo
de 3115º
e) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o
ângulo de 4195º
02. (UFVJM/2009) Para a existência da expressão sen q =
2x - 1
,
3
os valores de x estão compreendidos no intervalo:
Ø
PROPRIEDADE
Ø
O PERÍODO DA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA
f(x) = a + b.cos (kx + c) é dado por p =
Sinal
Crescimento
IQ
II Q
III Q
IV Q
+
D
D
C
+
C
a)
1x<1
b)
1<x0
1
d) 1 x 2
3
03. (ENEM/2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos apos
ter atingido sua orbita, esta a r quilômetros de distância do
centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e
mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu,
respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r
5865
em função de t seja dado por r(t ) =
.
1 + 0,15 × cos (0,06 t )
Um cientista monitora o movimento desse satélite para
controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele
precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no
perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que,
periodicamente, S atinge o valor de
a) 12 765 km.
b) 12 000 km.
c) 11 730 km.
d) 10 965 km.
e) 5 865 km.
c) 1 x <
2p
|k |
EXERCÍCIOS DE SALA
01. Determine o domínio, o conjunto imagem e o período das
funções:
a) f(x) = 5 3sen(3px + 1)
b) f(x) = 7 + cos(2x + 3)
02. (CEFET-PI/2009) Não é incomum encontramos na natureza
fenômenos cujo comportamento pode ser descrito por funções
matemáticas. Dentre estes fenômenos, os que têm
características cíclicas ou de repetição continuada podem ser
expressas em função do tempo por funções trigonométricas
periódicas. Considere que o volume de ar, em litros, que tem
no pulmão durante a respiração do porquinho da índia (Cavia
aparea) muito usada como cobaia de laboratório, pode ser,
aproximadamente descrito pela expressão v(t) = 8 + 2sen(pt)
onde t é o tempo dado em minutos. Quando t = 0, o animal se
encontra em repouso sem inspirar nem expirar. Considerando
estas informações, pode-se afirmar que, aproximadamente, o
volume máximo de ar que cabe no pulmão deste animal é, em
litros:
a) 14
b) 8
c) 6
d) 10
e) 12
ANOTAÇÕES
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
122
MATEMÁTICA II
122
Função cotangente: cotg x =
AULA 06: TRIGONOMETRIA III
Ø
TANGENTE DE UM ARCO
A tangente do arco AM é a medida do segmento AP onde P é a
intersecção da reta r com o prolongamento do segmento OM.
y
Ø
I.
r
M
P
+
1
, tg x ¹ 0
tg x
PERÍODO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2p
f(x) = a + b.sen (kx + c), p =
|k |
f(x) = a + b.cos (kx + c), p =
III.
f(x) = a + b.tg (kx + c), p =
IV.
f(x) = a + b.cotg (kx + c), p =
V.
2p
f(x) = a + b.sec (kx + c), p =
|k |
VI.
f(x) = a + b.cossec (kx + c), p =
tg AM = AP
A
0
x
-
Usando a definição vamos encontrar o tangente dos arcos:
p
3p
0,
, p,
e 2p
2
2
2p
|k |
II.
p
|k |
p
|k |
123
2p
|k |
y
p/2
ANOTAÇÕES
p
0
2p
0
x
3p/2
a
p
2
não
existe
0
tg a
0
3p
2
não
existe
p
0
2p
0
Observe que a tangente varia de ¥ a +¥
Ø
FUNÇÃO TANGENTE
É a função f: D ® IR definida por f(x) = tg x, com
p
ü
ì
D = íx Î IR / x ¹ + kp, k Î Zý
2
þ
î
GRÁFICO
y
2p
0
p
2
p
3p
2
x
Observações:
· Dm(f) = {x ÎÂ/ x ¹p/2 + kp, k Î Z}
· Im(f) = Â
· Período: p
· Paridade: ímpar
IQ
Sinal
Crescimento
Ø
+
C
II Q
III Q
IV Q
C
+
C
C
OUTRAS FUNÇÕES
Função secante: sec x =
1
, cos x ¹ 0
cos x
Função cossecante: cossec x =
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
1
, sen x ¹ 0
sen x
123
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE SALA
EXERCÍCIOS DE CASA
01. Determine o domínio, o conjunto imagem e o período da
função f(x) = 3tg(p + x).
01. Quem é maior tg 10º ou tg 365º ? Justifique
02. Ache o período da função f(x) = 5 + 3 tg 7x.
03. Encontre o sinal do produto tg 70º . tg 110º . tg 200º . tg 350º .
124
02. Dê o sinal do produto sen110º.cos350º.tg100º.
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
124
MATEMÁTICA II
AULA 07: TRIGONOMETRIA IV
Ø
Ø
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
Reduzir um arco do 2º, 3º ou 4º quadrante ao 1º quadrante é
relacioná-lo a um arco do 1º quadrante que tenha, em módulo,
o valor do arco dado.
p x
x
REGRA PRÁTICA PARA REDUZIR AO 1º QUADRANTE:
Considerando x um arco do 1º quadrante, temos:
I.
Se o número de p for inteiro (p, 2p, 3p, ...) mantém-se a
função trigonométrica
p 3p 5p
,
, ...) trocaII. Se o número de p for fracionário ( ,
2
2
2
se a função pela co-função.
Em ambos os casos, temos que observar o quadrante do arco
inicial para identificar o sinal da função.
Vejamos alguns exemplos:
125
p+x
2p
sen (p
x) = sen x
cos (p
x) =
tg (p
x) =
· sen (2p + x ) =
· sec (2p x) =
· sec (7p x) =
p
· cos (
+ x) =
2
5p
· tg (
+ x) =
2
7p
· sen (
+ x) =
2
· tg (p x) =
· cossec (p + x) =
3p
· cos (
+ x) =
2
x
cos x
tg x
sen (2p
x) = sen x
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
São fórmulas que relacionam as funções trigonométricas. As
cinco primeiras são as fundamentais e as três últimas são as
decorrentes.
I.
sen² x + cos² x = 1, " x Î Â
sen x
, cos x ¹ 0
II. tg x =
cos x
cos (2p
x) = cos x
III.
cotg x =
IV.
sec x =
V.
cossec x =
VI.
cotg x =
sen (p + x) =
sen x
cos (p + x) =
cos x
Ø
tg (p + x) = tg x
tg (2p
x) =
tg x
Observe que na redução do 2º, 3º ou 4º quadrante para o 1º
quadrante, temos:
y
180º
·
·
·
F
P
F
cos x
, sen x ¹ 0
sen x
1
, cos x ¹ 0
cos x
1
, sen x ¹ 0
sen x
1
, sen x.cos x ¹ 0
tg x
VII. sec²x = 1 + tg²x, cos x ¹ 0
x
360º
VIII. cossec²x = 1 + cotg²x, sen x ¹ 0
Do 2º Q para o 1º Q: o que FALTA para 180º
Do 3º Q para o 1º Q: o que PASSA de 180º
Do 4º Q para o 1º Q: o que FALTA para 360°
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
125
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE CASA
EXERCÍCIOS DE SALA
01. (ESCCAI-MG) O valor de y =
tg x = 3, é:
a) 9
b) 27
01. Determine
sec x - cos x
, sabendo que
cos sec x - sen x
c) 3
d) 1
E=
o
valor
da
expressão
2
sen 330 º + cos 300 º
sen 200 º + cos 70 º + sec 2 240 º
e) 5
02. (UFJF/2010) Seja a um ângulo tal que sen²a
Então tg²a é igual a:
a) 1
b) 0
c) 1
cos²a =
d) 2
1
.
2
e) 3
03. (UFPI/2010) Seja a um número real satisfazendo 0 < a <
p
e
2
tg a
= 2 . É correto afirmar que:
2
a) cosa + sena =
1- 2 2
3
b) seca = 3
c) cosseca é um número racional
d) sena = 1
e) sena cosa = 1
04. (CFS/2010)
obtém-se
a) cossec x
Simplificando-se
b) cos x
a
expressão
c) sec x
tg x + cot g x
,
cos sec x
d) tg x
02. Calcule o valor de sen150º.tg135º + cos270º.tg50º.
ANOTAÇÕES
ANOTAÇÕES
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
126
MATEMÁTICA II
126
AULA 07: TRIGONOMETRIA V
Ø
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
São equações em que a incógnita aparece no arco de alguma
função trigonométrica.
Exemplo:
a) 2 cos x 1 = 0
b) sen x cos x = 1
Não existe um único método para resolver todas as equações
trigonométricas, mas na maioria dos casos elas podem ser
reduzidas às expressões mais simples, chamadas de
equações fundamentais:
sen x = a
Ø
cos x = a
127
tg x = a
INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
São inequações em que a incógnita faz parte do arco de
alguma função trigonométrica.
1
Exemplo:
a) sen x > 2
b) 2 tg² x + tg x ³ 0
A resolução das inequações trigonométricas se dá de forma
semelhante ao da resolução das equações.
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
127
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE CASA
EXERCÍCIOS DE SALA
01. Resolva a equação cos²x
01. Resolva, no intervalo 0 < x < 2p, a equação
sen²x - senx - 2 = 0.
2cosx + 1 = 0 , com x Î [0, 2p].
02. (UFC) Considere a equação cos²x cosx
2 = 0. Pode-se
afirmar que a soma de suas soluções que pertencem ao
intervalo [0, 4p] é
a) 1
b) -1
c) 0
d) 4p
e) 2p
03. (FAAP-SP) Resolver, no intervalo 0 £ x < 2p, a equação
sen x + cos 2x = 0.
1
04. (ESPM-SP) A soma das raízes da equação tg x = 1, para 0 £ x
£ 2p, é :
3p
b) 0
c) 1
d) 2p
e) 3p
a)
2
ANOTAÇÕES
01. (FUVEST) A soma das raízes da equação sen²x 2cos4 x = 0,
que estão no intervalo [0, 2p], é:
a) 2p
b) 3p
c) 3p
d) 6p
e) 7p
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
128
MATEMÁTICA II
128