o Seu pé direito na medicina
UNIFESP – 14/12/2005
MATEMÁTICA
01. Os segmentos representam, em uma mesma escala, as
populações das cidades A, B, C, D e E nos anos indicados,
em milhares de habitantes.
03. Um número inteiro positivo m dividido por 15 dá resto 7.
A soma dos restos das divisões de m por 3 e por 5 é
a)
b)
c)
d)
e)
A cidade que teve o maior aumento percentual na
população, no período de 1990 a 2000, foi
a) A.
b) B.
c) C.
d) D.
e) E.
2.
3.
4.
5.
6.
Resolução:
Se a divisão de m por 15 dá resto 7, então (m – 7) é divisível por
15 e, por extensão, é também divisível por 3 e por 5 (fatores de
15). Assim:
Resolução:
Da tabela, calculamos
50 − 40 1
=
40
4
100 − 70 3
=
C:
70
7
170 − 120 5
=
E:
170
17
A:
Vx
para todas as cidades:
x0
70 − 50 2
=
50
5
130 − 100 3
=
D:
100
10
B:
02. André aplicou parte de seus R$ 10.000,00 a 1,6% ao mês, e
o restante a 2% ao mês. No final de um mês, recebeu um
total de R$ 194,00 de juros das duas aplicações. O valor
absoluto da diferença entre os valores aplicados a 1,6% e a
2% é
b) R$ 5.000,00.
d) R$ 7.000,00.
Resolução:
Chamando de x o valor aplicado a 1,6% ao mês, temos:
x . 0,016 + (10000 – x) . 0,02 = 194
0,016x + 200 – 0,02x = 194, de onde:
x = 1500 e 10000 – x = 8500
Assim, R$ 8.500,00 – R$ 1.500,00 = R$ 7.000,00.
Alternativa D
CPV
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m–7 5
0
0
q1
q2
Caso, no lugar de (m – 7), façamos a divisão de m, adicionaremos
7 unidades ao dividendo. Fazendo as correções, temos:
m 3
q1 + 2
∴ r1 = 1
m 5
2 q1 + 1
∴ r2 = 2
1
3
Logo, a maior variação corresponde a C: ≅ 43%
7
Alternativa C
a) R$ 4.000,00.
c) R$ 6.000,00.
e) R$ 8.000,00.
m–7 3
04. Se
a)
1
x3 + x + 1
27
84
b)
=
27
64
r1 + r2 = 3
Alternativa B
27
1
, então
é igual a
3
37
x +x+2
c)
27
38
d)
28
37
e)
64
27
Resolução:
1
27
64
37
=
⇒ x3 + x + 1 =
⇒
⇒ x3 + x + 2 =
3
37
27
27
x + x +1
1
x3 + x + 2
=
27
64
Alternativa B
1
2
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o seu pé direito na medicina
05. Se os primeiros quatro termos de uma progressão aritmética
são a, b, 5a, d, então o quociente d/b é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
1/4.
1/3.
2.
7/3.
5.
07. Os números complexos z1, z2 = 2i e z3 = a 3 + ai, onde a é
um número real positivo, representam no plano complexo
vértices de um triângulo eqüilátero. Dado que | z2 – z1 | = 2,
o valor de a é:
a) 2.
d)
b) 1.
3
.
2
e)
c)
3.
1
.
2
Resolução:
Resolução:
Se | z2 – z1 | = 2, z2 = 2i e z1 = x + yi
Temos a PA: (a, b, 5a, d)
então | 2i – x – yi | = 2 ⇒
+r +r +r
( − x )2 + ( 2 − y )2 = 2 ⇒
Como a3 = a1 + 2r, vem: 5a = a + 2r ⇒ r = 2a.
⇒ x2 + (2 – y)2 = 4,
que é a equação de uma circunferência de raio 2 (distância entre os
afixos de z1 e z2 e, indiretamente, o lado do triângulo equilátero).
Assim, a série pode ser expressa por: (a, b, 5a, d)
Então, a distância entre os afixos de z2 e z3 é 2. Portanto:
+2a +2a +2a
Portanto, b = 3a e d = 7a.
Assim,
2
3 − 0 ) + (a − 2 ) = 2 ∴
2
3a2 + a2 – 4a + 4 = 4 ∴ 4a2 – 4a = 0
a = 0 (não convém) ou a = 1
d 7a 7
=
=
b 3a 3
Alternativa B
Alternativa D
06. As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas
em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco
letras em um dicionário. A 73a palavra nessa lista é
a)
b)
c)
d)
e)
(a
PROVA.
VAPOR.
RAPOV.
ROVAP.
RAOPV.
08. A parábola y = x2 – tx + 2 tem vértice no ponto (xt , yt). O
lugar geométrico dos vértices da parábola, quando t varia
no conjunto dos números reais, é
a)
b)
c)
d)
e)
uma parábola.
uma elipse.
um ramo de uma hipérbole.
uma reta.
duas retas concorrentes.
Resolução:
Resolução:
Temos que y = x2 – tx + 2 (1)
−b
t
xv =
⇒ t = 2 . xt (2)
⇒ xt =
2
2a
Colocando em ordem alfabética os anagramas da palavra
PROVA, teremos primeiramente os que começam com a letra A:
Substituindo em (1):
A
4 3 2 1 = 4! = 24 anagramas
yt = xt2 – 2 . xt . xt + 2
yt = – xt2 + 2,
que é a equação de uma parábola.
Portanto, teremos 24 anagramas começando com a letra A e,
analogamente, teremos também 24 começando por O e por P,
totalizando 72 anagramas. Portanto o 73o anagrama será o primeiro
anagrama começando pela letra R, ou seja, a palavra RAOPV.
Alternativa A
09. A expressão sen (x – y) cos y + cos (x – y) sen y e
equivalente a
a) sen (2x + y).
d) sen (2x).
b) cos (2x).
e) cos (2x + 2y).
c) sen x.
Alternativa E
Resolução:
Como sen (A + B) = sen A . cos B + cos A . sen B, temos que:
sen ( x − y ) cos {
y + cos ( x − y ) sen {
y =
1442443
1442443
B
A
= sen ( x − y + y ) = sen x
1444442444443
A+B
CPV
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A
B
Alternativa C
O seu pé direito na medicina
10. Se x e a medida de um arco do primeiro quadrante e se
sen x = 3 cos x, então sen (2x) é igual a
a)
5
5
1+ 5
c)
5
3
b)
5
4
d)
5
3
2
e)
3
Temos que NO = R = 1,8 + 6,4 ⇒ R = 8,2 m
3,6
2
Logo AM =
⇒ AM = 1,8 m
Aplicando Pitágoras no ∆NMA
Temos (8,2)2 = x2 + (1,8)2 ∴ x = 8 m
Alternativa C
Resolução:
12. A figura indica algumas das dimensões de um bloco de
concreto formado a partir de um cilindro circular oblíquo,
com uma base no solo, e de um semicilindro.
Como sen x = 3 cos x, segue:
sen2 x = 9 cos2 x ⇒ 1 – cos2 x = 9 cos2 x ⇒
cos2 x =
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1
+ 10
⇒ cos x =
10
10
1,2 m
Note que, como x está no primeiro quadrante, usamos apenas o
valor positivo.
1,0 m
10 3 10
Logo: sen x = 3 .
=
10
10
solo
Finalmente:
3 10
10
3
⋅
=
sen 2x = 2 . sen x . cos x = 2 .
10
10
5
Alternativa B
11. Na figura, o segmento AC e perpendicular a reta r. Sabe-se
que o ângulo AÔB, com O sendo um ponto da reta r, será
máximo quando O for o ponto onde r tangencia uma
circunferência que passa por A e B.
Dado que o raio da circunferência da base do cilindro
oblíquo mede 10 cm, o volume do bloco de concreto, em
cm3, é
a) 11 000 π.
d) 5 000 π.
b) 10 000 π.
e) 1 100 π.
c) 5 500 π.
Resolução:
A
1,2 m
B
1,0 m
r
O
10 cm
C
Se AB representa uma estátua de 3,6 m sobre um pedestal
BC de 6,4 m, a distância OC, para que o ângulo AÔB de
visão da estátua seja máximo, é
a) 10 m.
d) 7,8 m.
b) 8,2 m.
e) 4,6 m.
c) 8 m.
Acrescentando ao sólido inicial um semicilindro, obtemos um
cilindro de altura 1,2 m, cujo volume é
V1 = π . 102 . 120 = 12 000π cm3
Ao retirar do sólido inicial o semicilindro, obtemos um cilindro de
altura 1,0 m, cujo volume é V2 = π . 102 . 100 = 10 000 π cm3.
Resolução:
Assim, concluímos que o volume do semicilindro é
A
R
N
1,8 m
x
M
1,8 m
B
R
C
x
CPV
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Portanto, o volume do sólido é
V = 10 000π + 1 000π ∴ V = 11 000 π cm3
6,4 m
O
V3 = 1 000 π cm3
Alternativa A
4
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o seu pé direito na medicina
x − y = 2
13. Considere o sistema de equações 
cx + y = 3
onde c é uma constante real. Para que a solução do sistema
seja um par ordenado no interior do primeiro quadrante
(x > 0, y > 0) do sistema de eixos cartesianos ortogonais
com origem em (0, 0), é necessário e suficiente que
a) c ≠ –1.
c) c < –1 ou c > 3/2.
e) –1 < c < 3/2.
b) c < –1.
d) 3/2 < c.
x − y = 2
Escalonando o sistema 
obtemos:
cx + y = 3
5
(c + 1) x = 5 ⇒ x =
c +1
5
Como x > 0:
> 0 ⇒ c + 1 > 0 ⇒ c > –1
c +1
Substituindo x na primeira equação do sistema, temos que:
3 − 2c
5
–y=2 ⇒ y=
c +1
c +1
Como y > 0 e c + 1 > 0:
3
3 − 2c
> 0 ⇒ 3 – 2c > 0 ⇒ c <
2
c +1
3
Juntando as duas condições, obtemos –1 < c <
2
Alternativa E
14. Se P é o ponto de intersecção das retas de equações
1
x – y – 2 = 0 e x + y = 3, a área do triângulo de vértices
2
A(0, 3), B(2, 0) e P é
1
3
b)
5
3
c)
8
3
d)
10
3
e)
20
3
x − y − 2 = 0

Para achar P é necessário resolver o sistema:  1
 x + y=3
2
4
10
e, portanto, y = .
Resolvendo o sistema, temos que x =
3
3
Para achar a área do triângulo ABP basta dividir | D | por 2, onde:
3 1
20
0 1 =
3
4
1
3
Portanto, A∆ABP =
20 1 10
⋅ =
3 2 3
Alternativa D
CPV
f ( x ) , se n = 1
f n (x) =  n − 1
( x )) , se n > 1
f (f
5
Então, f (x) é igual a
x +1
x −1
x
b)
x +1
c) x .
d) x4.
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5
 x + 1
e) 

 x − 1
Resolução:
f ( x ) , se n = 1
Dada a função f n (x) =  n −1
,
( x ) , se n > 1
f f
(
onde f (x) =
)
x +1
, temos que:
x −1
x +1
+1
x −1
 x +1 
f 2 (x) = f (f 1 (x)) = f 
=
=
x +1
 x − 1
−1
x −1
x +1 + x − 1
x −1
=
= x
x +1 − x + 1
x −1
Portanto: f 3 (x) = f (f 2 (x)) = f (x)
Resolução:
0
D= 2
10
3
Para um inteiro positivo n, f n (x) e definida por
a)
Resolução:
a)
15. Se A é o conjunto dos números reais diferentes de 1, seja
x +1
f : A → A dada por f (x) =
.
x −1
f 4 (x) = f (f 3 (x)) = f (f (x)) = x
f 5 (x) = f (f 4 (x)) = f (x) =
x+1
x−1
Alternativa A
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COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
Tratou-se de uma prova bem elaborada, com enunciados claros
e boa distribuição das questões quanto aos assuntos cobertos
e aos graus de dificuldade.
Acreditamos que a Prova de Matemática tenha colaborado
para a seleção dos candidatos mais preparados.
DISTRIBUIÇÃO DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA
Números
Análise
Complexos
Combinatória
6,7 %
6,7 %
Porcentagem
e Juros
13,2 %
Trigonometria
13,2 %
Geometria
Analítica
20 %
PA
6,7 %
Aritmética
Funções
6,7 %
6,7 %
CPV
unifesp 2006
Equações
6,7 %
Geometria
Geometria Plana
Espacial
6,7 %
6,7 %
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5