Gabarito 1A - manhã
Área por Integral Dupla A área de uma região D do plano xy é dada por:
Z 1 Z x2
Z 2Z 2 x
A (D) =
dydx +
dydx:
0
0
1
0
01. Esboce o grá…co da região D.
Solução D é a região do primeiro quadrante, delimitada pelo eixo x, pela parábola y = x2 (ou x =
e pela reta y = 2
x (ou x = 2
p
y)
y).
02. Expresse a área A(D) por uma integral iterada na ordem dxdy.
Solução Para inverter a ordem de integração, observamos a região D = D1 [ D2 descrita por:
0
y
p
1 e
Assim,
Z
A (D) =
0
y
x
1Z 2 y
p
2
y:
dxdy:
y
03. Calcule o valor da área A(D).
Solução A área A (D) pode ser calculada por integração dupla em qualquer das ordens dxdy ou dydx:
Temos:
A (D) =
Z
0
1Z 2 y
p
dxdy =
y
Z
1
(2
y
p
0
h
y) dy = 2y
1 2
2y
Volume por Integral Dupla O volume de um sólido
dado por:
vol ( ) =
Z
0
04. Esboce a região D.
1Z
p
p
4 x2
2
x +y
1 x2
2
dydx +
Z
1
2Z
p
i1
2 3=2
y
3
0
=2
1
2
2
3
= 5=6:
acima de uma região D do plano xy é
4 x2
x2 + y 2 dydx:
0
Solução D é a região do primeiro quadrante, entre as circunferências x2 + y 2 = 1 e x2 + y 2 = 4.
05. Expresse vol( ) por uma integral dupla emcoordenadas polares.
Solução Em coordenadas polares, temos x2 + y 2 = r2 e o Jacobiano é J = r. Assim,
vol ( ) =
Z
0
=2 Z 2
r
2
rdrd =
Z
0
1
=2 Z 2
r3 drd :
1
06. Calcule vol( ).
Solução O cálculo do volume pode ser feito usando a intgral dupla em coordenadas cartesianas ou em
coordenadas polares. O cálculo em coordenadas polares torna-se mais simples. Temos:
vol ( ) =
Z
0
=2 Z 2
1
r4
r drd =
2 4
2
3
=
1
15
:
8
A Massa de um Corpo Um corpo de massa M e densidade
formato da região
= x2 + y 2 + z 2
1
tem o
do primeiro octante, interna às superfícies
x2 + y 2 = z 2
e
x2 + y 2 + z 2 = 2z:
Comentário Em primeiro lugar, observamos que as superfícies que determinam o corpo são: o cone
x2 + y 2 = z 2 e a esfera x2 + y 2 + z 2 = 2z, como ilustrado na …gura abaixo.
2
No primeiro octante, temos:
x2 + y 2 = z 2
)
x2 + y 2 + z 2 = 2z
)
p
x2 + y 2
z=
1)2 = 1
x2 + y 2 + (z
)z =1+
1 do 1o quadrante.
e a projeção no plano xy é a porção do disco x2 + y 2
p
x2
1
y2
07. Expresse M por uma integral tripla em coordenadas cartesianas.
Solução Em coordenadas cartesianas a massa M se expressa sob a forma:
M=
ZZZ
(x; y; z) dV =
Z
0
p
1Z
1 x2
Z
1+
p
0
p
1 x2 y 2
x2
x2 +y 2
dzdydx
:
+ y2 + z2
08. Expresse M por uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
p
Solução Em coordenadas cilíndricas, o cone z = x2 + y 2 e a esfera se expressam, respectivamente, por
p
1
z = r e z = 1 + 1 r2 . A densidade é (r; ; z) = r2 + z 2
e, sendo assim,
M=
Z
0
=2 Z 1 Z
p
1 r2
rdzdrd
z 2 + r2
r
0
09. Expresse M por uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Solução Em coordenadas esféricas, temos:
cone:
= =4
esfera:
= 2 cos
densidade:
= 1=
2
e a massa se expressa sob a forma:
M=
Z
=2 Z
0
0
=4 Z 2 cos
2 sen
d d d
=
2
0
Z
0
=2 Z
0
=4 Z 2 cos
sen d d d :
0
10. Calcule o valor de M .
Solução O cálculo da massa torna-se mais simples em coordenadas esféricas. Temos:
M
=
Z
0
=
2
=2 Z
Z
0
0
=4
=4 Z 2 cos
sen d d d =
0
2 cos sen d =
2
Z
=4
2
Z
0
=4
[ ]20 cos sen d
sen 2 d =
0
3
4
[ cos 2 ]0
=4
=
=4:
Gabarito 1A - tarde
Área por Integral Dupla A área de uma região D do plano xy é dada por:
A (D) =
Z
0
p
1Z
p
4 x2
dydx +
1 x2
Z
1
2Z
p
4 x2
dydx:
0
01. Esboce o grá…co da região D.
Solução D é a região do primeiro quadrante, entre as circunferências x2 + y 2 = 1 e x2 + y 2 = 4.
02. Expresse a área A(D) por uma integral dupla em coordenadas polares.
Solução Em coordenadas polares, a região D é descrita por: 0
A (D) =
Z
0
=2 Z 2
=2 e 1
r
2 e, portanto,
rdrd :
1
03. Calcule o valor da área A(D).
Solução A área A (D) pode ser calculada por integração dupla em coordenadas cartesianas ou polares.
O cálculo em coordenadas polares é mais simples. Temos
A (D) =
Z
0
=2 Z 2
1
2
r2
rdrd =
2 2
= 3 =4:
1
Volume por Integral Dupla O volume do sólido
da superfície z = x2
y 2 é dado por:
Z 0Z
vol ( ) =
1
1+x
2
x
2
y dydx +
0
Z
0
acima da região D do plano xy e abaixo
1Z 1 x
x2
y 2 dydx:
0
04. Esboce a região D.
Solução A região D e sua imagem R pela transformação T estão expostas nas …guras 1B e 1C, respectivamente.
4
05. Expresse vol( ) por uma integral dupla na ordem dxdy.
Solução Para inverter a ordem de integração, observamos a Fig 1B, onde vemos que 0
y
1
x
1
y: Assim,
vol ( ) =
Z
0
1Z 1 y
x2
y
1 e
y 2 dxdy:
y 1
06. Identi…que e esboce o grá…co da região R do plano uv, imagem de D, pela transformação
T :u=x+y
v=x
e
y.
Solução A Fig. 1C mostra o grá…co da região R, imagem de D, e vemos que ela pode ser descrita por:
R:
1
u
1 e
1
v
u:
07. Expresse vol( ) por uma integral dupla sobre a região R.
Solução Um cálculo direto nos dá:
ux
vx
uy
vy
=
1
1
1
1
=
e, sendo assim, obtemos da Fórmula de Mudança de Variável:
Z
Z 1Z 1 y
vol ( ) =
x2 y 2 dxdy = 21
y 1
0
2
1
1
Z
u
1
juvj dudv:
08. Calcule vol( ).
Solução O cálculo do volume deve feito por etapas, observando o sinal do produto uv. Na porção do 4o
quadrante, em que o produto uv é negativo, a integral que representa o volume correspondente deve ser
precedida do sinal ( ). Logo,
Z 1Z u
1
vol ( ) = 2
juvj dudv =
1
=
1
2
1
2
1
Z
0
1
u3 du +
1
2
Z
0
1
1
2
|
Z
u3
0
1Z u
0
1
2
uvdudv +
{z
}
|
1 o quadrante
u du
1
2
Z
5
0
1
Z
0
1
Z
u
uvdudv
{z
}
1
1
2
3 o quadrante
( u) du =
1
4
1
4
1
4
+
1
2
|
Z
+
0
1Z 0
uvdudv =
{z
}
1
4 o quadrante
1
2
= 1=4:
A Massa de um Corpo Em coordenadas cilíndricas r;
pela seguinte integral tripla:
Z
M=
Z
2
0
p
0
2Z
p
e z, a massa M de um corpo é dada
4 r2
3dzdrd :
r
09. Expresse M por uma integral tripla: (a) em coordenadas cartesianas;
(b) em coorde-
nadas esféricas.
Solução Em primeiro lugar, observamos que a densidade do corpo aparece naturalmente na expressão
da massa:
M=
Z
0
onde vemos que a densidade é
2
Z
0
p
2Z
p
r
4 r2
3
r
rdzdrd
p
(x; y; z) = 1= x2 + y 2 :
p
4 cortada pelo cone z = x2 + y 2 , como ilustra a
= 1=r ou, em coordenadas cartesianas,
O corpo é a porção da esfera sólida x2 + y 2 + z 2
…gura 1D abaixo.
A projeção no plano xy é o disco x2 + y 2
2; de centro na origem e raio 2. Assim,
Z p 2 Z p 2 y 2 Z p 4 x2 y 2
3dzdxdy
p
M= p
p
p
2
2
2
x2 + y 2
2
2 y
x +y
Z 2 Z =4 Z 2 2
Z 2 Z =4 Z 2
3 sen d d d
p
M=
=
3 d d d :
2 sen2
0
0
0
0
0
0
em coordenadas cartesianas:
em coordenadas esféricas:
10. Calcule o valor de M .
Solução O cálculo da massa torna-se mais simples em coordenadas esféricas. Temos:
M=
Z
0
2
Z
0
=4 Z 2
2 2
3 d d d = 3 (2 ) ( =4)
0
6
2
= 3
0
2