Disciplina: Cálculo III - MA63A
Turmas S23, S43 e S71
Data: 10/Fevereiro/2009
Prof. Fabio Antonio Dorini
Lista 1 - revisão (para aquecer)
1. Determine as equações das esferas com centro em P (2, −3, 6) e tangência
(a) no plano z = 0, (b) no plano y = 0 e (c) no plano x = 0.
2. Descreva em palavras a região do R3 representada pela equação ou
inequação:
ˆ 0≤z≤6
ˆ x2 + y 2 + z 2 − 3z < 3
ˆ x2 + y 2 = 1
ˆ xyz = 0
ˆ x2 + y 2 ≤ 2
3. Determine ||~a||, ~a + ~b, ~a − ~b, 2~a e 3~a + 4~b, sendo:
ˆ ~a = (−4, 3) e ~b = (3, 2)
ˆ ~a = (6, 2, 3) e ~b = (−1, 5, −2)
ˆ ~a = −~i + 2~j + 5~k e ~b = 3~i + 4~j − ~k
ˆ ~a = ~i + ~k e ~b = ~i − ~j
4. Ache um vetor que tem a mesma direção que ~u = (−2, 4, 2), mas tem
comprimento 6.
5. Se ~v está no primeiro quadrante e faz um ângulo de π/3 com o eixo
x−positivo e ||~v || = 4, ache as coordenadas de ~v .
6. Determine o produto interno (escalar) de dois vetores cujas normas são
respectivamente 6 e 1/3 e o ângulo entre eles é π/4.
7. Verifique se os vetores do Exercı́cio 3 são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.
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8. Determine o vetor projeção e a projeção escalar de ~b sobre ~a, sendo ~a e
~b os vetores do Exercı́cio 3.
9. Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores ~i + ~j e ~i + ~k. Qual
a área do paralelogramo delimitado por estes dois vetores?
10. Determine o produto vetorial (externo) ~a × ~b e verifique que ele é ortogonal à ~a e ~b.
ˆ ~a = (1, 2, 0) e ~b = (0, 3, 1)
ˆ ~a = (5, 1, 4) e ~b = (−1, 0, 2)
ˆ ~a = 2~i + ~j − ~k e ~b = ~j + 2~k
11. Calcule ~b × ~a no exercı́cio anterior.
12. Diga se as afirmações a seguir fazem sentido. Se não fizerem, explique
por quê. Se fizerem, diga se correspondem a um vetor ou a um escalar.
ˆ ~a.(~b × ~c)
ˆ ~a × (~b.~c)
ˆ ~a × (~b × ~c)
ˆ (~a.~b) × ~c)
~
ˆ (~a.~b) × (~c.d)
~
ˆ (~a × ~b).(~c × d)
13. É verdade que ~a.(~a × ~b) = 0?
14. Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1, 0, −3)
e é paralela ao vetor 2~i − 4~j + 5~k.
15. Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1, 0, 6)
e é perpendicular ao plano x + 3y + z = 5.
16. Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo pontos (1, 0, 6)
e (1, 0, 9).
17. Determine a equação do plano que passa pelo ponto (6, 3, 2) e é perpendicular ao vetor ~u = (−2, 1, 5).
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18. Determine a equação do plano que passa pelo ponto (4, 0, −3) e cujo
vetor normal é ~j + 2~k.
19. Determine a equação do plano que passa pelo ponto (−1, 6, −5) e é
paralelo ao plano x + y + z + 2 = 0.
20. Determine a equação do plano que passa pelos pontos (0, 1, 1), (1, 0, 1)
e (1, 1, 0).
21. Onde a reta que passa pelos pontos (1, 0, 1) e (4, −2, 2) intercepta o
plano x + y + z = 6?
Referência: Cálculo, vol. II, James Stewart, Cengage Learning, SP, 2008.
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