Mecânica dos Fluidos I
Aula prática 12
(Semana de 9 a 12 de Dezembro de 2008)
EXERCÍCIO 1
Considere o escoamento potencial num diedro de ângulo interno π/2, em que uma das paredes é o eixo real e o potencial complexo em z = 1
é w1 = a/2, com a > 0 (se quiser calcular valores numéricos utilize a = 1).
1. Escreva a equação de uma linha de corrente com função de corrente ψ = ψ0 .
2. Desenhe, no primeiro quadrante, a forma da linha de corrente ψ = 0 e
esboce algumas outras linhas de corrente.
3. Determine as componentes horizontal e vertical, vx e vy , da velocidade.
Analise de forma análoga o escoamento potencial num diedro de ângulo interno
π/4, em que o eixo real seja uma linha de corrente e o potencial complexo em
z = 1 seja w1 = b/4, com b > 0 (se quiser calcular valores numéricos utilize b = 1).
4. Escreva a equação de uma linha de corrente genérica.
5. Desenhe a forma das linhas de corrente no primeiro quadrante.
6. Determine as componentes horizontal e vertical, vx e vy , da velocidade.
O escoamento cujo potencial é dado por (w = w1 + w2 ) representa o escoamento
numa cavidade em que uma das paredes é curva.
7. Localize os pontos de estagnação do escoamento no primeiro quadrante.
8. Determine, no primeiro quadrante, as linhas de corrente cuja função de corrente é ψ = 0. Em particular, determine a direcção assimptótica da linha
de corrente ψ = 0 que passa pela zona da diagonal do primeiro quadrante.
9. Utilize um desenho sobreposto das linhas de corrente de w1 e de w2 para
obter uma imagem, com alguma base quantitativa, das linhas de corrente
do escoamento w = w1 + w2 .
10. Localize os pontos em que as linhas de corrente têm a direcção vertical.
11. Trace aproximadamente as linhas de corrente na parte inferior do primeiro
quadrante, no domı́nio 0 < x < 3, 0 < y < 3, delimitadas por valores de
ψ = 0.
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12. Calcule a componente da força de pressão
√ que actua perpendicularmente à
linha de corrente no ponto (x = 1, y = 2). Pretende-se a força de pressão
por unidade de volume, nesse ponto.
13. Utilize o resultado anterior para calcular o raio local de curvatura naquele
ponto.
Soluções:
Para o primeiro diedro, de ângulo π/2, o potencial complexo é w1 = a z 2 /2, a
equação de uma linha de função de corrente ψ é ψ = (a x y), ou, em coordenadas polares, ψ = 21 a r2 sen(2 θ).
Como se conclui da resposta anterior, verifica-se que as linhas de corrente são
hipérboles cujas assı́mptotas são os eixos xx e yy, como se pedia no enunciado.
As componentes da velocidade são: vx = a x = a r cos(θ) e vy = −a y = −a r sen(θ).
A figura da esquerda representa algumas linhas de corrente do primeiro quadrante do diedro com uma abertura de π/2. A traço mais forte, a linha de corrente
com função de corrente ψ = 0.
Para o segundo diedro, de ângulo π/4, o potencial complexo é w2 = b z 4 /4, a
equação de uma linha de função de corrente ψ é ψ = b x y (x2 − y 2 ), ou, em
coordenadas polares, ψ = 41 b r4 sen(4 θ).
As linhas de corrente têm como assı́mptotas os eixos coordenados (x = 0 e y = 0)
e as diagonais (y 2 = x2 ). No primeiro quadrante, o escoamento desce pela diagonal em direcção à origem e é deflectido a 45◦ para a horizontal (eixo dos xx) e
para cima (eixo dos yy), como se indica na figura da direita.
Essa figura representa algumas linhas de corrente do primeiro quadrante deste
escoamento; a linha de corrente com função de corrente ψ = 0 está desenhada
com um traço mais forte.
As componentes da velocidade são: vx = b x3 −3 b x y 2 = b r3 cos(3 θ) e
vy = b y 3 −3 b x2 y = b r3 sen (3 θ).
Os pontos de q
estagnação do q
escoamento composto, w = w1 + w2 , situam-se em
z = 0, z = + −a/b, z = − −a/b, localizando-se os dois primeiros pontos no
primeiro quadrante. As coordenadas destes dois pontos são: (0, 0) e (0,
q
a/b).
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A equação de uma linha de corrente cuja função de corrente seja igual a ψ é
ψ = x y [a + b (x2 − y 2 )]. Portanto, a linha de corrente ψ = 0 passa por x = 0
(eixo das abcissas), y = 0 (eixo das ordenadas) e por [a + b (x2 − y 2 )] = 0, ou seja,
y 2 = a/b + x2 .
As linhas de corrente são verticais quando a componente horizontal da velocidade
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for nula. Isto é, vx = (a
q + b x − 3 b y ) x = 0, o que sucede em x =q0 (eixo das ordenadas) e em x = ± (3 y 2 − a/b), ou, equivalentemente, y = ± (x2 + a/b)/3.
A figura seguinte representa algumas linhas de corrente do escoamento composto, w = w1 + w2 . A traço interrompido, o local onde as linhas de corrente são
verticais.
Repare-se que, por razões de clareza do desenho, as linhas de corrente representadas não estão equi-espaçadas em valores da respectiva função de corrente, pelo
que os tubos de corrente que delimitam não têm idêntico caudal.
A força de pressão resultante por unidade de volume é −∇pREL (estamos a falar
da √
pressão relativa à hidrostática local). As componentes da velocidade no ponto
√
(1, 2) são vx = a x + b x3 −3 b x y 2 = −4 e vy = −a y + b y 3 −3 b x2 y = −2 2.
De acordo com a equação de Euler (equação de transporte de quantidade de
movimento para escoamento invı́scido),


∂pREL




 ∂x
∇pREL = 

∂pREL




∂y
∂vx
∂vx
= −ρ vx
+ vy
∂x
∂y
!
∂vy
∂vy
= −ρ vx
+ vy
∂x
∂y
!
= −ρ 32 Pa/m
√
= −ρ 20 2 Pa/m
A linha de corrente é tangente aoqvector q
velocidade,
pelo que o vector unitá
rio com essa direcção é es = − 2/3, − 1/3 (este vector aponta no sentido da velocidade local). A componente do gradiente de pressão tangente à linha q
de corrente (que não era directamente pedida) é ∂pREL /∂s = ∇pREL · es =
ρ 52 2/3. A componente do gradiente de pressão ortogonal à linha de corrente
q
√
é ∂pREL /∂r = (∇pREL )2 − (∂pREL /∂s)2 = ρ 8/ 3. A componente pretendida
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da força de pressão por
√ unidade de volume (simétrica do gradiente de pressão) é
−∂pREL /∂r = −ρ 8/ 3, apontando para cima e para a esquerda, na direcção do
centro local de curvatura.
De acordo com a equação de Euler escrita em coordenadas cilı́ndricas centradas
no centro local de curvatura, ∂pREL /∂r = ρ v 2 /R, em que R é o raio local de curvatura. Usando as componentes
v 2 = |v|2 = 24. Como ∂pREL /∂r é
√
√ da velocidade,
conhecida, vem R = 24/(8/ 3) = 3 3 = 5, 196.
Naturalmente, supõe-se que todos os dados estão expressos em unidades consistentes e, portanto, o resultado vem no sistema de unidades escolhido.