Prof. Lorí Viali, Dr.
[email protected]
http://www.ufrgs.br/~viali/
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Grande Conjuntos de Dados
Organização;
Resumo;
Apresentação.
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Amostra
ou
População
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Defeitos em uma linha de produção
Lascado
Desenho
Torto
Desenho
Torto
Lascado
Torto
Maior
Menor
Desenho
...................
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Menor
Maior
Lascado
Esmalte
Esmalte
Lascado
Desenho
Menor
Maior
Torto
....................
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Distribuição de freqüências
Defeito
Freqüência
%
Desenho
71
14,20
Esmalte
Lascado
Maior
Menor
Torto
Trincado
TOTAL
95
97
70
83
57
27
500
19,00
19,40
14,00
16,60
11,40
5,40
100
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Apresentação
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
I
A
S
Absoluta
SIMPLES
Relativa
ACUMULADAS
Prof. Lorí Viali, Dr. –
Decimal
Percentual
Absoluta
Relativa
Decimal
Percentual
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Freqüências: representação
Valores
fi
Fi
fri
fri
Fri
0
1
2
3
4
5
6
60
50
40
30
10
6
4
60
110
150
180
190
196
200
0,30
0,25
0,20
0,15
0,05
0,03
0,02
30
25
20
15
5
3
2
30
55
75
90
95
98
100
—
1,00 100
TOTAL 200
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
—
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Defeitos em uma linha de produção
11%
5%
14%
20%
Desenho
17%
Esmalte
Lascado
Maior
14%
19%
Menor
Torto
Trincado
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Número de irmãos dos alunos da turma G –
Pro. & Estatística - UFRGS - 2004/01
0
4
3
4
1
1
5
1
1
0
1
1
2
1
2
Prof. Lorí Viali, Dr. –
6
1
1
0
1
UFRGS –
3
1
1
2
1
1
0
1
1
2
3
2
1
4
3
1
2
5
3
0
1
4
5
2
1
0
1
6
2
0
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Distribuição de freqüências por
ponto ou valores da variável:
“Número de irmãos dos alunos
da turma G” da disciplina:
Probabilidade e Estatística UFRGS
- 2004/01.
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
N0 de irmãos
0
1
2
3
4
5
6

Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
N0 de alunos
7
21
8
5
4
3
2
50
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Diagrama de colunas simples da
variável: Número de irmãos dos
alunos da turma G Disciplina:
Probabilidade
e
Estatística,
UFRGS - 2004/01
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
25
20
15
10
5
0
0
1
Prof. Lorí Viali, Dr. –
2
UFRGS –
3
4
5
6
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média Aritmética
Neste caso, a média a dada por:
f 1x1  f 2 . x 2  ...  f k . x k  f i. x i
x

n
f 1  f 2  ...  f k
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Exemplo
xi
0
1
2
3
4
5
6

Prof. Lorí Viali, Dr. –
fi
7
21
8
5
4
3
2
50
UFRGS –
fi x i
0
21
16
15
16
15
12
95
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média será, então:
 f i. x i 95
x

 1,90 irmãos
n
50
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Mediana
Como n = 50 é par, tem-se:
me 
x n / 2  x ( n / 2 ) 1
2

x 50 / 2  x ( 50 / 2 ) 1
2

11
x
25  x 26


 1 irmão
2
Prof. Lorí Viali, Dr. –
2
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Exemplo
xi
0
1
2
3
4
5
6

fi
7
21
8
5
4
3
2
50
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Fi
7
28
36
41
45
48
50
—
Total de
dados
n = 50
(par)
Metade
dos dados
n/2 = 25
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Moda
mo = valor(es) que mais se
repete(m)
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Exemplo
xi
0
1
2
3
4
5
6

Prof. Lorí Viali, Dr. –
fi
7
21
8
5
4
3
2
50
UFRGS –
Pois
A moda
ele seé
repete
igual a
mais
1 (um)
vezes
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Amplitude
h = xmáx - xmín
h = 6 - 0 = 6 irmãos
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
O Desvio Médio
Neste caso, o dma será dado por:
f
1|x1  x |  f 2|x 2  x | ...  f k|x k  x |
dma 

f 1  f 2  ...  f k
 f i. | x i  x |

n
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Exemplo
xi
0
1
2
3
4
5
6

fi
7
21
8
5
4
3
2
50
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
fi|xi - x |
7.|0 – 1,90| = 13,30
21.|1 – 1,90| = 18,90
8.|2 – 1,90| = 0,80
5.|3 – 1,90| = 5,50
4.|4 – 1,90| = 8,40
3.|5 – 1,90| = 9,30
2.|6 – 1,90| = 8,20
64,40
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
O dma será, então:
 f i. | x i  x | 64,40
dma 

 1,29 irmãos
n
50
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Variância
Neste caso, a variância será:
f
1( x1 x )  f 2 ( x 2  x )  ....  f k ( x k  x )

s 
n
2
2
 f i ( xi  x )
 f i xi
2


x
n
n
2
2
2
2
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Exemplo
xi
0
1
2
3
4
5
6

Prof. Lorí Viali, Dr. –
fi
7
21
8
5
4
3
2
50
UFRGS –
fi x i 2
02.7 = 0
12.21 = 21
22.8 = 32
32.5 = 45
42.4 = 64
52.3 = 75
62.2 = 72
299
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A variância será, então:
299
 f i xi
2
2
x 
 1,90 
s 
n
50
2
 2,3700 irmãos
2
2
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
O Desvio Padrão
O desvio padrão será dado por:
s
fi x
2
x 
n
2
i
2,3700 
 1,5395  1,54 irmãos
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
O Coeficiente de Variação
Dividindo a média pelo desvio
padrão, tem-se o coeficiente de
variação:
1,539480
g
 81,03%
1,90
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Idade (em meses) dos alunos
da turma G da disciplina:
Probabilidade
e
Estatística
UFRGS - 2004/01
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UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
276 245 345 240 270 310 368
334 268 288 336 299 236 239 355 330
287 344 300 244 303 248 251 265 246
240 320 308 299 312 324 289 320 264
252 298 315 255 274 264 263 230 303
369 247 266 275 281 230 234
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Distribuição
por
classes
ou
intervalos da variável “idade dos
alunos da turma G” da disciplina:
Probabilidade e Estatística da
UFRGS - 2004/01
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UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Idades
230 |--- 250
250 |--- 270
270 |--- 290
290 |--- 310
310 |--- 330
330 |--- 350
350 |--- 370
Total
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Número de alunos
12
9
8
7
6
5
3
50
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Histograma de freqüências da
variável “Idade dos alunos da turma
G” de Probabilidade e
Estatística
da UFRGS - 2004/01
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
fi / hi
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
2 3 0 |- - - 2 50
2 50 |- - - 2 70
Prof. Lorí Viali, Dr. –
2 70 |- - - 2 9 0
UFRGS –
2 9 0 |- - - 3 10
3 10 |- - - 3 3 0
3 3 0 |- - - 3 50
3 50 |- - - 3 70
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Antes de apresentar as medidas,
i. é, representantes do conjunto, é
necessário estabelecer uma notação
para
alguns
elementos
da
distribuição.
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
xi = ponto médio da classe;
fi = freqüência simples da classe;
lii = limite inferior da classe;
lsi = limite superior da classe;
hi = amplitude da classe.
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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O Ponto Médio da Classe
xi
230 |--250 |--270 |--290 |--310 |--330 |--350 |--
Prof. Lorí Viali, Dr. –
250
270
290
310
330
350
370
UFRGS –
fi
12
9
8
7
6
5
3
50
xi
240
260
280
300
320
340
360
—
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Média da Distribuição
xi
240
260
280
300
320
340
360

Prof. Lorí Viali, Dr. –
fi
12
9
8
7
6
5
3
50
UFRGS –
fi . x i
2880
2340
2240
2100
1920
1700
1080
14260
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Exemplo
A média será:
 f i. x i 14260
x

 285,20 meses
n
50
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Mediana
Neste caso, utilizam-se as
freqüências acumuladas para
identificar a classe mediana, i. é, a
que contém o(s) valor(es)
central(is).
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Exemplo
xi
230 |--250 |--270 |--290 |--310 |--330 |--350 |--
250
270
290
310
330
350
370
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
fi
12
9
8
7
6
5
3
50
Fi
12
21
29
36
42
47
50
—
Total de
dados
n = 50
(par)
Metade
dos dados
n/2 = 25
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Portanto, a classe mediana
é a terceira. Assim i = 3. A
mediana será obtida através da
seguinte expressão:
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
n

 50



21
F
i 1
2

 2

me  li i  h i 
  270  20 
 
8
f
i








 50

 2  21
4
 270  20 
  270  20  280 meses
8
 8 


Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Moda
Neste
caso
é
preciso
inicialmente apontar a classe
modal, i. é, a de maior freqüência.
Neste exemplo é a primeira com fi
= 12. Assim i = 1.
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Exemplo
i
1
2
3
4
5
6
7
—
xi
230 |--250 |--270 |--290 |--310 |--330 |--350 |--
Prof. Lorí Viali, Dr. –
250
270
290
310
330
350
370
UFRGS –
fi
12
9
8
7
6
5
3
50
Classe
modal, pois
fi = 12.
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Portanto a moda poderá
ser obtida através de uma
das seguintes expressões:
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Critério de King:
 f i 1 
 9 

mo  li i  h i 
  230  20.

0  9
 f i1 f i 1 
9 
 230  20.   250 meses
9 
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Critério de Czuber:


f
i  f i 1
m o  li i  h i 
 
 2.f i  (f i 1 f i 1) 


12  0
 230  20.


 2.12  (0  9) 
 12 
 230  20.


24

9


 230  16  246 meses
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Amplitude
h = xmáx - xmín
h = 370 - 230 = 140 meses
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
O Desvio Médio Absoluto
Neste caso, o dma será dado por:
f
1|x1  x |  f 2|x 2  x | ...  f k|x k  x |
dma 

f 1  f 2  ...  f k
 f i. | x i  x |

n
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Exemplo
xi
240
260
280
300
320
340
360

fi
12
9
8
7
6
5
3
50
Prof. Lorí Viali, Dr. –
fi.|xi - x |
12.|240 – 285,20| = 542,40
9.|260 – 285,20| = 226,80
8.|280 – 285,20| = 41,60
7.|300 – 285,20| = 103,60
6.|320 – 285,20| = 208,80
5.|340 – 285,20| = 274,00
3.|360 – 285,20| = 224,40
1621,60
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
O dma será, então:
 f i. | x i  x | 1621,60
dma 


n
50
 32,43 meses
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Variância
Neste caso, a variância será:
f
1( x1 x )  f 2 ( x 2  x )  ....  f k ( x k  x )

s 
n
2
2
 f i ( xi  x )  f i xi
2


x
n
n
2
2
2
2
Prof. Lorí Viali, Dr. –
UFRGS –
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Exemplo
xi
240
260
280
300
320
340
360

Prof. Lorí Viali, Dr. –
fi
12
9
8
7
6
5
3
50
UFRGS –
fi. xi2
12.2402 = 691200
9.2462 = 608400
8.2802 = 627200
7.3002 = 630000
6.3202 = 614400
5.3402 = 578000
3.3602 = 388800
4 138 000
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A variância será, então:
 f i xi
2
x 
s 
n
2
2
4138000
2

 285,20 
50
 1420,96 meses
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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2
Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
O Desvio Padrão
O desvio padrão será dado por:
s
fi x
2
 x  1420,96 
n
2
i
 37,6956  37,70 meses
Prof. Lorí Viali, Dr. –
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Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
O Coeficiente de Variação
Dividindo o desvio padrão pela
média, tem-se o coeficiente de
variação:
37,695623
g
 13,22%
285,20
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Skewness
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Primeiro Coeficiente ( de Pearson)
a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão
Segundo Coeficiente ( de Pearson)
a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão
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Coeficiente Quartílico
CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)
Coeficiente do Momento
a3 = m3/s3, onde m3 = S(X - x )3/n
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Coeficiente = 0
Conjunto Simétrico
Provão 2000
Curso: Odonto
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Coeficiente < 0
Conjunto: Negativamente Assimétrico
Provão 2000
Curso: Jornalismo
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Coeficiente > 0
Conjunto: Positivamente Assimétrico
Provão 2000
Curso: Eng. Elétrica
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(Kurtosis)
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Coeficiente de Curtose (momentos)
a4 = m4/s4, onde m4 = S(X -
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4/n
)
x
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Coeficiente = 3 ou 0
Conjunto: Mesocúrtico
Provão 2000
Curso: Odonto
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Coeficiente > 3 ou (> 0)
Conjunto: Leptocúrtico
Provão 2000
Curso: Matemática
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Coeficiente < 3 ou (< 0)
Conjunto: Platicúrtico
Provão 1999
Curso: Eng. Civil
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Se y = ax +b
Então:
y = ax + b
2
2
2
sy = a sx
s y =| a | s x
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