Avaliando a Confiabilidade de Eixo Traseiro de
Automóvel Utilizando um Experimento Planejado
Enrico Antonio Colosimo, Ph.D. Estatística
email: [email protected]
Fátima G. Pontel, Bacharel em Estatística
email: [email protected]
Marta A. Freitas, M.Sc. Estatística
Doutoranda em Eng. de Produção - DEP - USP
email: [email protected]
Depto. de Estatística, ICEx, / Núcleo de Tecnologia da Qualidade e Inovação (NTQI)
Universidade Federal de Minas Gerais.
CAMPUS PAMPULHA
30161-970, Belo Horizonte, MG
ABSTRACT: Design of Experiments and Reliabiity are two well known statistical tecniques
very useful in efforts towards the improvement of industrial products. Usually these two tools
are applied separately, leading practitioners to believe they are fit to solve problems of a
different matter. This article presents a study planned to estimate reliability figures of a
specific product. The study deals with time to failure of rear axle, when subject to tests to
evaluate fatigue performance.
KEYWORDS: Kaplan Meier, Reliability Figures, Design of Experiments, Log-normal
model, hierarquic model.
RESUMO: Planejamento de Experimentos e Confiabilidade são duas técnicas estatísticas
úteis para promover a melhoria de produtos industriais. É comum, estas técnicas serem
aplicadas de forma separada induzindo o profissional da área industrial a encará-las como
assuntos diferentes. Este artigo apresenta um estudo planejado para estimar figuras de mérito
de confiabilidade. O estudo envolve tempo de até a falha do eixo traseiro de um modelo de
automóvel sob ensaio de fadiga mecânica.
PALAVRAS CHAVE: Kaplan-Meier, Figuras de mérito, Planejamento de Experimentos,
Modelo log-normal, Modelo hierárquico.
1
1 – Introdução
A concorrência e a sobrevivência das montadoras de automóveis no Brasil está cada vez
mais acirrada e difícil. De quatro montadoras de carros de passeio já instaladas, até o final da
década de 90 este número passará a mais de dez. Sem dúvida, para competir nesse ambiente é
preciso que as montadoras inovem em todas as fases do ciclo de desenvolvimento do produto,
i.e., desde a concepção e design do automóvel, passando por fases de escolha dos
subconjuntos que o compõe, até a interação de venda e assistência técnica proporcionada
pelas suas concessionárias ao cliente final.
Dentro deste esforço, o papel dos fornecedores é cada vez mais importante. Mais e mais
atividades que anteriormente eram desenvolvidas pelas montadoras estão sendo transferidas
para os fornecedores de autopeças. Estas empresas que tradicionalmente tinham como
incumbência a produção de componentes segundo o projeto fornecido pela montadora, já
estão sendo, em alguns casos específicos, requisitadas a projetar o componente e não somente
seu processo de fabricação. O desafio destas empresas é portanto, qualificar-se para
desempenhar novas funções e, paralelamente, continuar fornecendo os componentes com
qualidade cada vez melhor a custos cada vez menores.
Quando se pensa em um produto tão complexo como o automóvel, uma questão que vem
imediatamente à tona é a segurança do usuário. Nos últimos anos temos assistido a esforços
no sentido de equipar os veículos com dispositivos que possam aumentar a segurança dos
usuários. Exemplos disso são o cinto de segurança (e as legislações em torno da
obrigatoriedade de seu uso), air-bags e freios tipo ABS.
Entretanto, muitas questões
relacionadas à segurança do usuário estão fortemente atreladas à durabilidade e à
manutenibilidade de partes e componentes do veículo. Durabilidade, manutenibilidade e
segurança são os três aspectos da confiabilidade.
Na literatura, diversos autores apresentam a confiabilidade de forma distinta. Freitas e
Colosimo (1997) advogam que a confiabilidade é parte da qualidade intrínseca do produto.
Condra (1993) define confiabilidade como sendo “qualidade no tempo",
Garvin, (1980) inclui confiabilidade como uma de suas oito dimensões da qualidade. Seja
2
qual for a abordagem, a importância da implementação de ensaios visando o estudo da
confiabilidade de partes e componentes é indiscutível e cada vez mais empresas investem em
estudos nessa direção. Essa tendência também pode ser percebida em um aumento recente de
literatura dedicada à avaliação da confiabilidade (Tobias e Trindade, 1995; Meeker
e
Escobar, 1998) e planejamento de ensaios de confiabilidade (Nelson, 1990; Meeker e
Escobar, 1998).
Neste trabalho, a empresa em questão é fornecedora do eixo traseiro de um determinado
modelo de automóvel e a preocupação é com a confiabilidade deste produto, no que diz
respeito a seu desempenho em relação à fadiga mecânica. Para muitos componentes
mecânicos, o desempenho em relação à fadiga é um aspecto importante da qualidade do
produto (Esterman et all, 1996). Neste caso em particular, a preocupação da empresa é com a
qualidade do processo de soldagem utilizado. Algumas modificações foram implementadas no
processo e desejava-se investigar se estas mudanças haviam provocado uma melhoria
significativa na durabilidade destes eixos, medida em termos do número de ciclos até a falha.
O estudo foi conduzido utilizando-se técnicas de Planejamento de Experimentos e
Confiabilidade.
2 – O Problema
Na indústria de autopeças em questão, o processo de montagem dos eixos é conduzido
em células ou compartimentos, onde se localizam duas mesas e um robô. Um operador que se
coloca em frente à mesa, organiza as peças a serem soldadas. Esta mesa gira, levando as peças
até o robô que localizado no lado oposto, realiza a soldagem. O procedimento é igual para as
duas mesas. Alguns ajustes foram implementados no processo e é de interesse da empresa
estudar a qualidade do processo de soldagem através de ensaios de fadiga mecânica.
Para o estudo, um total de 50 eixos montados foram amostrados da linha de produção, em
dois períodos distintos, conforme será descrito a seguir. Todos os eixos amostrados foram
submetidos a um teste de fadiga mecânica, sob condições de uso mais intensas que as
condições normais e registrou-se o número de ciclos até a falha. Neste contexto, a falha é
definida como uma trinca maior ou igual a 12 mm ao longo do eixo. Um ciclo corresponde ao
ato de subir e descer o eixo, simulando assim os impactos sofridos pelo automóvel durante
3
as suas condições de uso. Todos os eixos foram observados até a falha.
Os dados analisados neste estudo foram coletados sob as seguintes condições:
‰ Seis células, denominadas 10, 11, 12, 13, 14 e 15, foram incluídas no estudo.
‰ Em cada célula, foram amostrados eixos produzidos em ambas as mesas.
‰ A amostragem dos eixos (para cada mesa-célula) foi feita em dois períodos: Período 1
– Março e Abril e Período 2 – Maio, Junho, Julho e Setembro.
‰ Para todos os eixos mediu-se o número de ciclos até a falha no teste de fadiga
mecânica.
A empresa deseja com este estudo:
‰ Comparar os eixos produzidos pelas diversas mesas, células e períodos com relação ao
número de ciclos até a falha. Em outras palavras, deseja-se responder principalmente
às seguintes perguntas:
(1)dado que os períodos considerados marcam duas fazes distintas de ajustes do
processo de soldagem, existe diferença no número médio de ciclos até a falha (ou
tempo médio de vida) para os eixos produzidos nos dois períodos em questão? Em
outras palavras, os ajustes produziram algum efeito na confiabilidade dos eixos?
(2)existe diferença no número médio de ciclos até a falha dos eixos produzidos pelas
diversas células?
(3)dada uma determinada célula, existe diferença entre os eixos produzidos pelas duas
mesas?
‰ Estimar figuras de mérito de confiabilidade nos dois diferentes períodos. Em
particular, é de interesse a estimação do percentil 10 (B10), tempos médio e mediano
de vida. (ou, de maneira equivalente, o número médio e mediano de ciclos até a falha).
Apresentamos na Tabela 1 o cálculo dos números médios de ciclos até a falha por mesa e
célula, nos períodos 1 e 2. Os resultados mostram que no período 2 as diferenças entre as
mesas 1 e 2 são extremamente pequenas e bem menores que no período 1. De um modo geral,
4
a célula 14 no período 1 parece apresentar diferença entre as mesas.
Tabela 1: Cálculo da Média para as Mesas de cada Célula em cada Período.
Período 1
Período 2
Célula
Mesa 1
Mesa 2
Mesa 1
Mesa 2
10
83846
97946
111075
106500
11
103250
87813
116097
119676
13
97967
88827
110067
104661
14
89844
112920
110029
105395
15
-
106152
117446
112338
3 – Metodologia Estatística
Na comparação de células, mesas e períodos com base nos resultados do teste de fadiga
(número de ciclos até a falha), utilizamos Análise de Variância. Isto só foi possível porque
todos os eixos foram observados até a falha. Paralelamente, trabalhamos com técnicas
específicas de Confiabilidade na estimação das figuras de mérito de interesse nos dois
períodos.
3.1 – O Modelo de Análise de Variância utilizado
Estamos interessados em investigar possíveis diferenças no desempenho dos eixos
produzidos por diferentes mesas, células e períodos, em relação ao número médio de ciclos
até a falha. Entretanto, para que possamos utilizar o modelo correto na análise dos resultados
5
é importante entender o tipo de relacionamento existente entre os fatores sob estudo (período,
célula e mesa). Este relacionamento é definido pelo próprio layout da linha de produção e será
explicitado a seguir.
Na empresa existem seis células para montagem dos eixos, cada uma delas com duas
mesas e um robô. Para cada célula, temos duas mesas específicas associadas, ou seja, as
mesas 1 e 2 de uma determinada célula não são as mesma de outra célula. Esta situação está
ilustrada na Figura 1.
Células
Mesas
10
1
11
2
1
12
2
1
13
2
1
15
14
2
1
2
1
2
Figura 1: Layout da Linha de Produção.
Nesta situação, dizemos que o fator mesa está aninhado sob o fator célula ou de maneira
equivalente, que a estrutura dos fatores célula e mesa é hierárquica.
No que diz respeito ao fator período, as células utilizadas no estudo aparecem em ambos
os períodos. Em outras palavras, foram amostrados eixos das células 10 a 15 nos dois
períodos considerados. Sendo assim, a estrutura para os fatores período e célula é fatorial (ou
cruzada). Estamos portanto diante de um design onde alguns fatores estão arranjados de
forma hierárquica (mesa em relação a célula) e outros de forma fatorial (período e mesa). Este
tipo de design é denominado algumas vezes de design hierárquico-fatorial e o modelo
associado é dado por (Montgomery, 1997):
t ijkl = µ + τ i + β j + γ k ( j ) + ( τβ )ij + ε i( jk )l ; i = 1,2; j = 1,..,6, k = 1,2, l = 1,.., nijk
(1)
onde tijkl é o número de ciclos até a falha (ou, de maneira equivalente, o tempo até a falha ou
ainda o tempo de vida ) do l-ésimo eixo produzido pela mesa k da célula j no período i ; µ é
6
o efeito geral da média, τ é o parâmetro que representa o efeito dos diferentes períodos no
tempo até a falha dos eixos. De maneira equivalente, β é o efeito das células, γ é o efeito de
mesa dentro de célula, τβ é o efeito da interação entre período e célula e ε é o erro
experimental.
3.2 – Confiabilidade e Figuras de Mérito
As figuras de mérito em confiabilidade podem ser estimadas de forma paramétrica ou
não-paramétrica. O estimador não-paramétrico de Kaplan-Meier vem sendo bastante utilizado
em confiabilidade. A abordagem paramétrica consiste em encontrar uma distribuição que se
ajuste bem aos dados e estimar as figuras de mérito a partir de propriedades da distribuição
escolhida. Se a distribuição de probabilidade para a resposta for corretamente especificada, as
técnicas paramétricas são mais eficientes que as não-paramétricas. A especificação incorreta
acarreta estimativas viciadas para as figuras de mérito. Estas formas de estimação estão
apresentadas em Freitas e Colosimo (1997) e de forma sucinta a seguir. No estudo em
questão, as duas formas foram empregadas.
3.2.1 - O Estimador de Kaplan-Meier
Trata-se de um estimador não-paramétrico definido da seguinte forma:
1. Supor que existam n itens sob teste e k (≤ n) falhas distintas nos tempos t1 < t2 < ... < tk.
2. Seja di o número de falhas no tempo ti e ni o número de itens sob risco em ti.
O estimador de Kaplan-Meier para a função de confiabilidade R(t) é dado pelo expressão:
R̂( t ) = [( n1 − d 1 ) / n1 ][( n2 − d 2 ) / n2 ]...[( nt − d t ) / nt ]
0
0
0
7
onde t0 é o maior tempo de falha menor que t. O conhecido estimador de Greenwood avalia a
variância do estimador de Kaplan-Meier (Lawless, 1982).
A partir do estimador de Kaplan-Meier podemos estimar e construir intervalos de
confiança para R(t) e estimar percentis da distribuição do tempos de falha, como o B10 e a
mediana. O número médio de ciclos até a falha (MTTF) é possível de ser estimado em
situações sem censura como é o caso do estudo em questão.
3.2.2 - Estimadores Paramétricos
Estes estimadores utilizam famílias paramétricas de distribuições para o tempo até a falha
T dos eixos (número de ciclos até a falha). A seguinte classe denominada modelos de tempo
de vida acelerada é bastante utilizada em confiabilidade:
log t = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ... + β k X k + σε
(2)
onde X1, X2,..., Xk são os fatores de interesse (no caso, “período”, “mesa” etc.), β0,..., βk são os
parâmetros do modelo, ε é o erro experimental com distribuição especificada. Os parâmetros
são usualmente estimados pelo método de máxima verossimilhança (Cox e Hinkley, 1974).
As distribuições mais utilizadas para o tempo até a falha T são a Weibull, log-normal e
gamma entre outras. Assumindo distribuição log-normal para T implica que no modelo (2)
acima, log t tem uma distribuição normal.
Assim como ocorre com o estimador de Kaplan Meier, também é possível estimar as
figuras de mérito de interesse, tal como os tempos médios e medianos até a falha e o B10 , bem
como seus respectivos intervalos de confiança. É importante chamar mais uma vez a atenção
para o fato que, os resultados obtidos através de um modelo do tipo (2) são mais precisos do
que aqueles obtidos através do estimador de Kaplan Meier, pois este último baseia-se apenas
nos dados e não supõe nenhuma distribuição para o tempo até a falha. Consequentemente, é
esperado que os intervalos de confiança com base no modelo (2) tenham menor amplitude
8
quando comparados aos obtidos pelo estimador de Kaplan Meier. Entretanto, esta aparente
“vantagem” dos modelos paramétricos só é válida se a distribuição especificada para o tempo
até a falha for adequada para explicar o comportamento dos dados oriundos do teste. Portanto,
antes de basear as conclusões nos resultados do modelo paramétrico, é imprescindível que se
verifique cuidadosamente a adequação do modelo através de uma análise de resíduos.
4 – Resultados
A variável resposta, tempo até a falha, tem usualmente uma distribuição assimétrica
(Lawless, 1982). A transformação logarítmica é indicada nestes casos para trabalharmos com
uma distribuição mais próxima da simetria. Esta transformação foi utilizada neste estudo.
O modelo linear (1) foi ajustado tomando esta resposta transformada (log t em lugar de
t)e a suposição clássica de distribuição normal para o erro. Isto significa, assumir que a
resposta, número de ciclos até a falha (t), tem uma distribuição log-normal. A distribuição
log-normal é bastante utilizada para este tipo de resposta. Uma análise de resíduos foi
conduzida (Draper e Smith, 1981) confirmando a adequação da distribuição e também das
outras suposições usuais de modelos lineares.
4.2 – Comparação entre Mesas, Células e Períodos
Apresentamos na Tabela 2 os resultados o ajuste do modelo de análise de variância para
os dados do estudo. Existe forte evidência a nível 5% (p=0) de que os eixos produzidos nos
períodos 1 e 2 diferem em relação ao número de ciclos até a falha. Em relação às células,
também existe evidência a nível 5% (p=0,037) de que para pelo menos uma delas, existe
diferença entre os eixos produzidos pelas suas duas mesas. Estes resultados estão confirmando
aquelas hipóteses formuladas na análise exploratória dos dados (Seção 2.).
9
Tabela 2: Análise de Variância para os Dados de Ciclagem dos Eixos.
Fonte de Variação
Graus de
Soma de
Quadrado
Liberdade
Quadrados
Médio
Período
1
0,203920
Célula
4
Mesa (Célula)
F
Valor p
0,203920
29,95
0,000
0,044792
0,011198
1,64
0,187
5
0,092791
0,018558
2,73
0,037
Período*Célula
4
0,028150
0,007037
1,03
0,405
Residual
32
0,217841
0,006808
Total
46
A investigação de que existe diferença entre as mesas de pelo menos de uma célula pode
ser realizado decompondo a soma de quadrados do fator mesa dentro de célula para cada uma
delas. Este procedimento fornece os resultados mostrados na Tabela 3.
Tabela 3– Decomposição da Soma de Quadrados do Fator Mesa dentro de Célula.
Fonte de Variação
Soma de Quadrados
F*
SSM(Ci)
Mesas, Célula 10
0,02831
4,16
Mesas, Célula 11
0,00857
1,26
Mesas, Célula 13
0,03821
5,61
Mesas, Célula 14
0,05288
7,77
Mesas, Célula 15
0,00437
0,64
Chamamos a atenção para o fato de que a soma dos termos não resulta na soma de
quadrados da tabela original pois o experimento não é balanceado (isto é o número de
observações é diferente para cada combinação dos níveis dos fatores). O método de
Bonferroni (Montgomery, 1997) foi utilizado na condução das comparações múltiplas. Para
10
que possamos concluir com um nível de significância de α = 5%, os testes individuais são
0,01
realizados ao nível de 1% ( F1,32
= 7,5 ). Os resultados indicam que somente na célula 14 existe
diferença no número médio de ciclos até a falha dos eixos produzidos nas mesas 1 e 2 uma
vez que F* > 7,5. Em particular, a mesa 1 está produzindo eixos com número médio de ciclos
até a falha inferior aos da mesa 2 como pode ser mostrado na Tabela 1.
4.3 – Estimação das figuras de mérito
Como na análise anterior constatamos que existe diferença entre os períodos vamos obter
as figuras para cada um deles separadamente, utilizando o estimador de Kaplan-Meier e o
modelo log-normal.
4.3. – Estimador de Kaplan-Meier
Utilizaremos o estimador de Kaplan-Meier para estimarmos essas figuras de mérito de
interesse. Isto será feito para cada período como explicado anteriormente. A forma gráfica das
estimativas de Kaplan-Meier é mostrada na Figura 2. Este gráfico confirma os resultados já
estabelecidos, que os tempos de vida dos eixos no período 2 são superiores aos do período 1.
Nonparametric Survival Plot for Ciclagem
Kaplan-Meier Method
Complete Data
1,0
1
2
0,9
0,8
Probability
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
70000
80000
90000
100000
110000
120000
Time to Failure
Figura 2: Curva de Sobrevivência para os Dados do Estudo.
11
Os resultados acima mostram que os tempos de vida médio e mediano são maiores para
os eixos produzidos no período 2. Neste período temos que com 103 900 ciclos, 10% dos
eixos produzidos já falharam, ao passo que no período 1, 10% dos eixos falharam até 80300
ciclos.
Tabela 4: Estimativas das Figuras de Mérito Utilizando o Estimador de Kaplan-Meier.
Estimativas (Intervalo de Confiança)
Período
B10
Média
Mediana
1
80300
93308 (89667; 96948)
90900
2
103900
112624 (107568; 117680)
114000
4.3.2 – Modelo Probabilístico para o Tempo de Falha dos Eixos.
O modelo paramétrico log-normal será utilizado nesta subseção para estimarmos as
figuras de mérito. A escolha deste modelo foi baseado na sua comprovada adequação para
estes dados confirmada pela análise de resíduos. A Tabela 5 mostra as estimativas das figuras
de mérito com seus respectivos intervalos de confiança.
Tabela 5: Estimativas da Figuras de Mérito Utilizando o Modelo Log-normal.
Estimativas (Intervalo de Confiança)
Período
B10
Média
Mediana
1
82200 (78900; 85600)
93200 (90100; 96200)
92700 (90200; 95800)
2
99700 (95000; 104600)
113000( 108100; 117700)
112400(108000; 117000)
12
Novamente, observamos que o tempo até a falha médio e mediano é maior para os eixos
produzidos no período 2. No período 1, 10% dos eixos produzidos já falharam até 82228
ciclos enquanto que no período 2 10% dos eixos produzidos falharam até 99677. Observamos
também que os resultados são similares àqueles obtidos através do estimador de KaplanMeier e, como já era esperado, os intervalos de confiança aqui obtidos são de amplitude
menor.
Levando em conta o grau de concordância dos resultados obtidos pelos dois métodos e a
qualidade do ajuste do modelo log-normal aos dados, podemos basear nossas conclusões nas
estimativas do modelo paramétrico.
5 – Conclusão
A análise dos resultados do teste de fadiga indicou que há diferença entre o número
médio de ciclos até a falha para os eixos produzidos nos
dois períodos considerados.
Também ficou evidenciado estatisticamente que existe diferença entre o tempo médio até a
falha dos eixos produzidos nas mesas 1 e 2 da célula 14. Particularmente a mesa 1 está
produzindo eixos com tempo médio até a falha inferior aos da mesa 2.
As estimativas das figuras de mérito (tempo médio e mediano até a falha e B10) para os
dois períodos de interesse, foram obtidas através de dois métodos, um paramétrico e outro não
paramétrico ; os resultados mostraram-se bastante consistentes ( vide Tabelas 4 e 5).
Tomando como base os resultados obtidos com o modelo log-normal, concluímos que o
valor de B10 para o período 2 é estimado em 99700 ciclos (IC 95% [95000; 104600]), sendo
portanto maior do que o valor estimado para o período 1 ( 82200 ciclos, IC 95% [78900;
85600]). Conclusões similares foram obtidas para os tempos médios e medianos,
evidenciando assim que os ajustes implementados no processo de soldagem surtiram efeito
positivo na confiabilidade dos eixos.
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6 - Referências Bibliográficas
Cox, D.R. e Hinkley, D. V. (1974), Theoretical Statistics, London: Chapman and Hall.
Draper, N. e Smith, H. (1981), Applied Regression Analysis, 2nd edition, 709 p. , New York: Wiley.
Esterman, M., Nevarez, I.M, Ishii, K e Nelson, D. (1996), "Robust design for fatigue performance: shot
peening", Proceedings of the 1996 ASME Design Engineering Technical Conferences and Computers in
Engineering Conference , August 18-22, Irvine, California.
Freitas, M. A. e Colosimo, E. A. (1997), Confiabilidade: Análise de Tempo de Falha e Testes de Vida
Acelerados – Volume 12 da Série Ferramentas da Qualidade, 309p., Belo Horizonte: Fundação Christiano
Ottoni, Universidade Federal de Minas Gerais.
Garvin, D. A. (1988), Managing the quality, New York: Free Press.
Lawless, J. (1982), Statistical Models and Methods for Lifetime Data, 580 p, New York: Wiley.
Meeker , W.Q. e Escobar, L.. A (1998), Statistical Methods for Reliability Data, 680 p. , New York: Wiley.
Nelson, W. (1990), Accelerated Testing, 601p. , New York: Wiley.
Montgomery, D. C., (1997), Design and Analysis of Experiments., 704 p., New York: Wiley.
Tobias, P. A. e Trindade, D.C. (1995), Applied Reliability, 421p. , London: Chapman & Hall.
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