Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
SOLUÇÕES DO FLUXO DE POTÊNCIA COM RESTRIÇÕES DE INTERCÂMBIO
LÍQUIDO DE POTÊNCIA ATIVA
Sara Einsfeld∗, Roberto Salgado∗
∗
UFSC / CTC/ EEL
Laboratório de Sistemas de Potência
Florianópolis, SC, Brasil
Emails: [email protected], [email protected]
Abstract— This work proposes a methodology to determine power flow solutions taking into account the
constraints on the net interchange of active power between areas. These solutions are obtained by solving the
set of nonlinear power flow equations, augmented by the analytical model of the active power interchange. At
each iteration of the solution process through Newton-Raphson method, the general solution of an undetermined
linear system is obtained. The load is modelled as constant power and the power flow equations are expressed in
rectangular coordinates. Numerical results obtained with the IEEE 118-bus test system illustrate the features of
the proposed methodology.
power flow control, active power interchange, underdetermined linear system, rectangular coor-
Keywords—
dinates.
Resumo— Este trabalho apresenta uma metodologia para a determinação de soluções do fluxo de potência
considerando restrições de intercâmbio lı́quido de potência ativa entre áreas. Este problema é representado
analiticamente por um conjunto de equações algébricas não lineares, no qual as equações do fluxo de potência
convencional são complementadas com o modelo analı́tico das restrições de intercâmbio. As variáveis deste
problema são selecionadas de tal forma que em cada iteração do processo de solução via método de NewtonRaphson, determina-se a solução geral do sistema linear subdeterminado. A carga é modelada como potência
constante e as equações que representam a rede elétrica em regime permanente são expressas em coordenadas
retangulares. Resultados numéricos com o sistema IEEE 118-barras ilustram as caracterı́sticas da metodologia
proposta.
Palavras-chave— Controle de fluxo de potência, intercâmbio de potência ativa, sistema linear subdeterminado, coordenadas retangulares.
1
Em geral, o estudo de transferência de potência requer a execução de três etapas fundamentais
(Echavarren et al., 2011): 1) obtenção da solução do fluxo de potência para um caso base; 2) a
pré-especificação da variação da carga e da área
onde ela ocorre; e 3) a determinação da solução
do fluxo de potência com a programação de intercâmbio incluı́da. Os métodos existentes na literatura para o Controle de Intercâmbio entre Áreas
(CIA) baseiam-se geralmente em duas estratégias.
A primeira consiste em alternar a aplicação de
ajustes na geração de potência ativa com as soluções do fluxo de potência, até que o intercâmbio
alcance o valor desejado. As relações de sensibilidade entre as variáveis do sistema de potência
são utilizadas para estimar a correção da potência ativa gerada em cada área, nas barras previamente selecionadas para esta finalidade. Apesar
desta técnica ser atrativa pela sua simplicidade, os
ajustes na geração de potência ativa são calculados de forma indireta num processo de tentativaerro, o que pode demandar um considerável esforço computacional, sem garantir a determinação
as melhores soluções em termos do nı́vel de potência gerada. A referência (Ibsais e Ajjarapu, 1996)
aborda o problema do limite de intercâmbio de potência devido a restrições de estabilidade de tensão
utilizando uma metodologia baseada na estratégia dos ajustes alternados e no fluxo de potência
continuado. Busca-se o máximo fluxo de potência que pode ser estabelecido entre as áreas, sem
causar problemas de estabilidade de tensão. A se-
Introdução
Sistemas de energia elétrica de grande porte geralmente são divididos em áreas conectadas por linhas de transmissão, através das quais é realizada
a transferência de potência. Durante a operação
desses sistemas, o suprimento de determinados nı́veis de carga em certas regiões é dificultado pela
limitação da capacidade de geração no interior da
própria área e/ou por restrições de transmissão em
determinados elos de interligação. Por esta razão,
é necessário identificar os nı́veis de carregamento
para os quais a solução das equações do fluxo de
potência é compatı́vel com as restrições de intercâmbio programado.
No Brasil o Sistema Interligado Nacional
(SIN) é operado de forma coordenada a fim de
aproveitar ao máximo as diversidades das bacias
hidrográficas do extenso território. Para viabilizar
a transferência de energia entre estas diferentes
regiões, com a consequente otimização dos recursos energéticos existentes, são utilizadas as interligações regionais, tornando assim o sistema elétrico mais robusto e aumentando significadamente
a confiabilidade do atendimento às cargas. Os limites de intercâmbio juntamente com os pontos
de operação do SIN são determinados pelo Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS). Porém,
esta tarefa é realizada geralmente de forma manual, através de aplicativos de fluxo de potência
convencional, o que requer frequentemente tempo
de estudo e esforço computacional elevados.
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critério de geração de potência ativa.
A principal diferença da metodologia proposta com relação aquelas existentes na literatura
(particularmente (Okamura et al., 1975; Santos
et al., 2004; Carhuallanqui e Alves, 2012)) diz respeito a forma como os controles (potência ativa
gerada nas barras reguladoras) são incluı́das na
modelagem do problema de fluxo de potência com
restrições de intercâmbio entre áreas. Usualmente
os controles são selecionados em áreas distintas,
de uma maneira tal que o número de equações do
sistema não linear é igual ao número de variáveis.
Além de restringir a região das soluções viáveis,
isto aumenta o risco de inviabilidade da solução
se os fluxos de intercâmbio não forem adequadamente especificados. Na abordagem apresentada
aqui, a modelagem analı́tica dos controles é estabelecida de forma que o numero de variáveis
é maior do que o número de incógnitas. Consequentemente, a aplicação do método de NewtonRaphson requer a solução de um sistema linear
subdeterminado a cada iteração. Isto aumenta a
região de viabilidade da solução e possibilita determinar nı́veis de geração de potência ativa com
diferentes caracterı́sticas.
O texto apresentado a seguir está organizado
da seguinte forma: a Seção 2 descreve os fundamentos teóricos do problema de fluxo de potência com a inclusão dos intercâmbios programados;
a Seção 3 descreve a metodologia proposta, incluindo os aspectos computacionais; os resultados
numéricos da implementação computacional, obtidos com o sistema IEEE-118 barras são apresentados na Seção 4, e as principais conclusões são
sumarizadas na Seção 5.
gunda estratégia é baseada na inclusão das equações do Controle de Intercâmbio entre Áreas no
conjunto de equações do fluxo de potência. Neste
caso, a geração de potência ativa das barras selecionadas para compensar o desvio de intercâmbio
é incluı́da no conjunto de variáveis a serem determinadas na solução das equações da rede elétrica
em regime permanente. A formulação analı́tica
proposta (Okamura et al., 1975) aborda este problema sob o ponto de vista da resposta dos geradores a uma variação do fluxo de potência nas linhas
de interligação. A potência de saı́da dos geradores
dentro de uma certa área é regulada automaticamente, de modo a manter o intercâmbio programado com as outras áreas. O modelo de fluxo de
potência proposto em (Calovic e Strezoski, 1981),
considera o erro estático de controle de área composto dos desvios de frequência em regime permanente e de fluxo de potência nas linhas de intercâmbio. Esses desvios são calculados explicitamente na solução das equações da rede elétrica em
regime permanente e distribuı́dos entre as barras
de geração que participam do controle secundário, segundo critérios baseados na capacidade de
regulação dos geradores. Em (Santos et al., 2004),
propõe-se o controle do fluxo de potência de intercâmbio baseado na utilização de múltiplas barras
de folga em uma mesma área. Os incrementos
de potência ativa gerada nas barras de folga de
cada área são incluı́dos como variáveis adicionais
no problema de fluxo de potência, e o Controle do
Intercâmbio entre Áreas é representado explicitamente na formulação analı́tica. A geração de potência ativa de cada barra de folga depende do seu
fator de participação no intercâmbio. A inclusão
das equações do CIA no fluxo de potência continuado é proposta em (Carhuallanqui e Alves, 2012).
Uma sequência de soluções do fluxo de potência
desde um caso base até o ponto de carregamento
máximo, considerando as restrições de intercâmbio entre áreas, é determinada. As equações do
fluxo de potência são modificadas conforme sugerido em (Santos et al., 2004), considerando múltiplas barras de folga em uma mesma área. A principal desvantagem das metodologias baseadas na
inclusão das equações de intercâmbio é o risco de
inviabilidade na solução do fluxo de potência, por
efeito de conflito entre as restrições de intercâmbio e a disponibilidade dos geradores selecionados
para a compensação dos desbalanços no fluxo de
potência.
2
2.1
Fluxo de potência com restrições de
intercâmbio entre áreas
Modelo analı́tico
Na formulação do problema de fluxo de potência
convencional, uma barra de geração é escolhida
para regular o balanço de potência total do sistema. Isto dificulta a redistribuição de potência
ativa e reativa gerada, necessária para compensar
os desbalanços de potência causados por eventuais
variações de carga e/ou contingências. Alternativamente, um conjunto de barras de geração (referidas em (Okamura et al., 1975; Calovic e Strezoski, 1981) como barras reguladoras e em (Santos
et al., 2004; Carhuallanqui e Alves, 2012) como
barras de folga), é selecionado para realizar esta
compensação, o que torna o modelo de fluxo de
potência mais realı́stico. Neste caso, a potência
ativa gerada na i-ésima barra reguladora pode ser
determinada através de diversas formas alternativas. Neste trabalho é suposto que um conjunto
de barras reguladoras é previamente selecionando
com base em critérios econômicos e/ou de segurança. A formulação analı́tica da geração de potência ativa é parametrizada segundo a equação,
O presente trabalho propõe uma abordagem
para considerar o intercâmbio de potência entre
áreas no problema de fluxo de potência. Segundo
o ONS, cada área de controle do sistema brasileiro
é operada de tal forma que o seus intercâmbio lı́quido com o SIN coincida com o seu valor programado. Assim, esta metodologia pode ser inserida
no contexto do controle automático de geração
(controle secundário), com o objetivo de manter
a potência de intercâmbio no seu valor nominal,
distribuindo os desvios de intercâmbios entre as
múltiplas barras reguladoras da área, conforme o
Pgi (ρgi ) = Pgref
+ si ∆Pgi
i
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onde PTpgr
e PTj (e, f ) são respectivamente os valoj
res programado e calculado do intercâmbio j. As
variáveis a serem determinadas na solução deste
problema são as componentes real e imaginária
da tensão nas barras e a potência ativa gerada
nas barras reguladoras.
O balanço de potência ativa das barras reguladoras é modelado expressando-se a potência ativa
gerada Pgi segundo a Eq. (1), tal que as variáveis
adicionais são os si correspondentes aos geradores de regulação. As restrições de desigualdade
impostas na formulação do fluxo de potência estendido são os limites de geração de potência ativa
e de potência reativa, isto é,
onde Pgref
é o valor de referência, o parâmetro si
i
determina a parcela de variação na potência ativa
de saı́da da i-ésima barra reguladora, e ∆Pgi é
uma constante que representa a taxa de variação
da potência ativa gerada, a qual é especificada geralmente com base em critérios econômicos e/ou
de segurança. Por exemplo, o uso de fatores iguais
para todos os geradores reguladores supõe que a
variação de potência ativa independe do custo, da
capacidade ou da localização destas unidades. Em
(Carhuallanqui e Alves, 2012), esses fatores são
definidos de acordo com a equação,
Pgref
∆Pgi = P i
Pgi
(2)
iǫΩj
Pgmi ≤ Pgi (si ) ≤ PgM
i
onde Ωj representa
Po conjunto de barras reguladoras da área j, e
Pgi é a potência total gerada
M
Qm
gi ≤ Qgi (e, f ) ≤ Qgi
iǫΩj
M
onde Pgmi , PgM
e Qm
gi , Qgi são respectivamente os
i
limites mı́nimo e máximo de geração de potência
ativa e reativa.
A imposição das restrições de igualdade adicionais relativas a especificação dos intercâmbios
lı́quidos está inevitavelmente associada ao risco de
inviabilização da solução do problema da Eq. (5),
se as unidades reguladoras não forem convenientemente selecionadas ou se as restrições de intercâmbio forem conflitantes com as caracterı́sticas
do sistema de potência. Portanto, para estabelecer o problema representado na Eq. (5), as seguintes suposições são adotadas:
na área j. Este critério é baseado na participação
da i-ésima barra reguladora na geração total da
área em que a mesma está localizada.
Para formular o problema de fluxo de potência com restrições de intercâmbio entre áreas,
supõem-se que o gerador da barra reguladora contribui para a compensação de ambos, a variação
de carga e o controle dos fluxos de intercâmbio.
Assume-se que o mesmo opera com a magnitude
da tensão constante e a potência ativa de saı́da
varia de acordo com a Eq. (1). A geração de
potência reativa dessas unidades é dada por,
Qgi = Qdi + Qdi (e, f )
(3)
• os geradores reguladores disponı́veis para o
ajuste dos intercâmbios entre áreas são previamente selecionados;
onde a demanda de potência na barra i é modelada
como potência constante.
O j-ésimo intercâmbio lı́quido de potência
ativa, denotado PTj , entre as áreas i e k é expresso
de forma semelhante à (Monticelli, 1983),
X
PTj =
Pik (e, f )
(4)
• o número de intercâmbios programados é menor ou igual ao que o número de geradores
reguladores;
ikǫΓj
• considera-se que cada área possui pelo menos
um gerador regulador;
onde Pik é o fluxo de potência na linha de transmissão ik, e Γj é o conjunto de linhas de transmissão que interligam as áreas i e k.
A inclusão das equações que representam o intercâmbio entre áreas na formulação do problema
de fluxo de potência resulta num o sistema de
equações não lineares composto de: 1) a equação
de balanço de potência ativa de todas as barras,
exceto a de referência angular; 2) a equação de
balanço de potência reativa das barras PQ; 3) a
equação quadrática da magnitude da tensão das
barras PV e de regulação; e 4) as equações de especificação dos fluxos nas linhas de intercâmbio
programado. Em termos analı́ticos,
Pgi − Pdi (ei , fi ) − Pi (e, f ) = 0
Qgi − Qdi − Qi (e, f ) = 0
2
Viref − e2i − fi2 = 0
(6)
• o número de intercâmbios programados é menor do que o número de áreas interligadas;
• a parcela da variação de carga atribuı́da a
cada intercâmbio de potência é especificada a
priori;
2.2
Método de Solução
A solução do problema expresso pela Eq. (5) através do método de Newton requer que a cada iteração seja resolvido um sistema linear da forma,
 
∆P
 ∆Q  
 ∆V2  = 
∆T

(5)
PTpgr
− PTj (e, f ) = 0
j
2123
J1
J3
J5
H1
J2
J4
J6
H2

#
Ft "
∆e
0 
∆f
0 
∆s
0
(7)
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onde,
∂P (e, f )
∂e
∂Q (e, f )
J3 =
∂e
2
∂V (e, f )
J5 =
∂e
∂PT (e, f )
H1 =
∂e
J1 =
∂P (e, f )
∂f
∂Q (e, f )
J4 =
∂f
∂V 2 (e, f )
J6 =
∂f
∂PT (e, f )
H2 =
∂f
caso, ns = nt , ou seja, o número de equações é igual ao número de variáveis, tal que
o sistema linear admite uma única solução,
supondo-se que a matriz Jacobiana é nãosingular.
J2 =
3. o número de fluxos de intercâmbio programados é maior do que o número de barras reguladoras. Então, ns < nt , isto é, o número de
equações é maior do que o número de variáveis, tal que a Eq. (7) representa um sistema
linear sobredeterminado. Neste caso, técnicas
baseadas no critério dos mı́nimos quadrados
poderiam ser utilizadas para obter uma solução, a qual seria inútil para as aplicações
práticas, desde que as restrições de igualdade
representadas pelas equações não lineares do
fluxo de potência não seriam necessariamente
satisfeitas.
(8)
e, ∆s é um vetor coluna e Ft é uma matriz esparsa. A ordem e natureza dos elementos de ∆s e
Ft dependem da forma como a geração de potência ativa das barras reguladoras é modelada. Os
aspectos da implementação computacional para o
cálculo das matrizes da Eq. (8) são apresentados
em (Qin, 2008).
Suponha que: nb é o número total de barras
do sistema; nr é o número de barras reguladoras
disponı́veis para o controle do intercâmbio; na o
número de áreas interligadas; e nt é o número de
intercâmbios programados. O número de equações
a serem resolvidas e o número de variáveis a serem
determinadas no problema de fluxo de potência
estendido são respectivamente,
3
Metodologia proposta
As equações que representam o fluxo de potência
estendido podem ser escritas na forma compacta
como
g(x, s) = 0
(9)
onde g(x, s) é um vetor coluna de ordem neq , cujos
componentes são as funções algébricas não lineares
representando as equações de balanço de potência
e os intercâmbios lı́quidos programados.
Fazendo yt = [xt | st ], a linearização da Eq.
(9) no ponto ye e na direção ∆y fornece
neq = 2nb − 2 + nt
nvr = 2nb − 2 + ns
onde ns é a ordem do vetor ∆s, cujas componentes
são as variáveis adicionais incluı́das no problema
de fluxo de potência estendido pelas equações que
representam as restrições de intercâmbio lı́quido
de potência ativa.
O vetor ∆s possui ns = nr componentes ∆si
e a matriz Ft tem dimensão (nb − 1) × nr . A
solução do problema de fluxo de potência estendido fornece nvr = 2nb − 2 + nr variáveis, ou seja,
(2nb − 2) relativas as componentes real e imaginária das tensões nas barras e nr variáveis si para
o ajuste da potência ativa gerada. Os elementos
Ft (i, j) não nulos ocupam as posições em que o
regulador j está localizado na barra i. Esses elementos são os fatores ∆Pgi (desde que a geração
de potência ativa é modelada pela Eq. (1)).
A dimensão do sistema linear da Eq. (7) depende do número de áreas envolvidas, do número
de intercâmbios programados e do número de barras reguladoras disponı́veis para ajustar os intercâmbios. A análise desta equação revela a matriz
Jacobiana tem dimensão (2nb −2+nt)×(2nb −2+
ns ), tal que os seguintes três casos podem ocorrer:
W(ye )∆y = b
(10)
onde W(ye ) é a matriz Jacobiana, de ordem
neq × nvr e b = −g(xe ) é um vetor coluna de ordem neq , ambos calculados no ponto onde é feita
a linearização.
Quando o número de intercâmbios de potência
ativa programados é menor do que o número de
controles (ou áreas com intercâmbio controlado),
a Eq. (10) caracteriza um sistema linear subdeterminado, com infinitas soluções. Neste caso, se
o posto da matriz W(xe ) é neq , o seu espaço nulo
tem dimensão (nvr − neq ) × nvr . Isto significa que
a solução geral da Eq. (10) pode ser expressa num
sub-espaço reduzido, de dimensão (nvr − neq ), em
função de (nvr − neq ) variáveis. No presente estudo, a estratégia utilizada para incorporar as restrições de fluxo de potência ativa nos intercâmbios
consiste em determinar inicialmente uma solução
geral para a Eq. (10), e posteriormente calcular a
solução particular de acordo com um critério préestabelecido, de forma análoga aquela proposta
em (Simões Costa et al., 1985).
A solução geral da Eq. (10) é dada por
(Hanson e Lawson, 1969)
1. o número de fluxos de intercâmbio programados é menor do que o número de barras
reguladoras. Então, ns > nt , isto é, o número de equações é menor do que o número
de variáveis, tal que o sistema linear é subdeterminado e admite infinitas soluções.
∆y = ∆y0 + T0 z
(11)
onde ∆y0 é a solução de mı́nima norma Euclideana, T0 é a matriz de ordem nvr × (nvr − neq ),
de espaço nulo das linhas de W(ye ), isto é,
2. o número de intercâmbios programados é
igual ao número de barras reguladoras. Neste
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no vetor do lado direito da
a inclusão de Pgref
r
Eq. (16), os incrementos obtidos como solução
deste sistema linear possuem considerável magnitude quando comparados com os respectivos componentes da solução de mı́nima norma Euclideana.
Visando determinar uma solução geral mais equilibrada em termos dessas duas componentes, a solução correspondente ao espaço nulo é modificada
pelo fator de passo,
W(ye )T0 = Θ (Θ é uma matriz nula de ordem
neq × (nvr − neq )), e z é um vetor coluna arbitrário de ordem (nvr − neq ).
A solução de mı́nima norma Euclideana é obtida resolvendo-se o problema de otimização
1
∆yt0 ∆y0
2
sujeito a W(ye )∆y0 = b
M aximize
(12)
ou seja,
−1
∆y0 = W(ye ) W(ye )W(ye )t
b
t −1
λ0 = W(ye )W(ye )
b
α=β
t
(13)
1 ref
(P + Ftr ∆s)t (Pref
gr + Ftr ∆s) (14)
2 gr
1. determinação da solução do fluxo de potência
convencional para o caso base;
onde Pref
gr é um vetor coluna de ordem nr , cujos
componentes são os valores de referência da geração de potência ativa nas barras reguladoras; Ftr
a submatriz da matriz Ft definida anteriormente,
correspondente as barras de regulação (e portanto
de dimensão (nr × nr )), e ∆s é um vetor coluna
de ordem nr , com componentes ∆si .
Da Eq. (11),
∆s = ∆y0s + T0r z
(17)
onde β é um escalar especificado pelo usuário. O
||∆y 0 ||
componente
uniformiza as duas soluções
||T0 z||
em termos de magnitude dos componentes. O escalar β pode ser usado controlar diretamente os
incrementos de geração de potência das barras reguladoras e indiretamente a geração de potência
ativa da barra de folga. Assim, β = 0 implica em
desvios de pequena magnitude, distribuı́dos uniformemente como decorrência da natureza da solução de mı́nima norma Euclideana. Na medida
em que este escalar aumenta, mais geração de potência ativa é atribuı́da a barra de folga. Note
ainda, que o fator α tende a zero na convergência
do processo iterativo.
Visando avaliar a solução do problema de
fluxo de potência com restrições de intercâmbio,
o procedimento sumarizado na sequência de passos descrita a seguir foi utilizado.
onde λ0 é o vetor dos multiplicadores de Lagrange
das restrições de igualdade da Eq. (12).
Diversos critérios podem ser utilizados para
calcular a solução particular, definida com o auxı́lio das variáveis z da Eq. (11). Em todos os casos,
a matriz de espaço nulo T0 é suposta conhecida
(no presente trabalho foi utilizado um comando
especı́fico do ambiente MatLab para esta finalidade). Considerando que a potência ativa gerada
varia de acordo com a Eq. (1), a determinação do
vetor z que minimiza os desvios quadráticos da
potência ativa gerada nas barras reguladoras com
relação ao valor de referência pode ser estabelecido
como o objetivo. Neste caso, é necessário resolver
um problema de otimização de porte reduzido, da
forma,
Minimize
||∆y 0 ||
||T0 z||
2. especificação da variação percentual da carga
de cada área e dos intercâmbios de potência
ativa;
3. solução do problema de fluxo de potência estendido expresso pela Eq. (5).
O objetivo dos testes foi observar os seguintes
aspectos:
(15)
onde ∆y0s e T0r são respectivamente o vetor com
as componentes de ∆y0 e a submatriz de T0 , ambos relativos as barras reguladoras. Substituindose a Eq. (15) na Eq. (14) e aplicando-se as condições de otimalidade de primeira ordem, a solução do problema de otimização resultante é obtida
resolvendo-se o sistema linear
1. o processo iterativo com relação a influência
dos diferentes fatores de ponderação atribuı́dos a solução correspondente ao espaço nulo;
2. a qualidade das soluções obtidas com o uso
dos fatores ∆Pgi da Eq. (1) definidos com
base na capacidade máxima de geração de potência ativa da área segundo a Eq. (2).
(Tt0r Fttr Ftr T0r )z = −Tt0r Fttr Ftr (Pref
gr + ∆y0s )
(16)
onde a matriz de coeficientes e o vetor do lado
direito tem dimensões (nr − nt ) × (nr − nt ) e (nr −
nt ) × 1), respectivamente.
O problema de otimização da Eq. (14) é irrestrito e portanto a solução correspondente ao
espaço nulo tende a minimizar acentuadamente
os desvios na geração de potência ativa das barras reguladoras. Isto é compensado pela geração da barra de folga, calculada após a convergência do processo iterativo. Além disso, devido
4
Resultados da simulação
Para a obtenção dos resultados numéricos, o
sistema-teste IEEE 118-barras foi decomposto nas
quatro áreas mostradas na figura 1. A divisão
das áreas de intercâmbio foi proposta em (Lin e
Horng, 2011).
O sistema é composto por 54 geradores distribuı́dos nas quatros áreas: área 1 (15 geradores),
área 2 (11 geradores), área 3 (12 geradores), área
2125
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
Figura 1: Sistema-teste IEEE 118 barras: 4 áreas interligadas
4 (16 geradores). Destes geradores foram determinadas 16 barras de regulação: área 1 (barras
49, 54, 59, 61, 65 e 66), área 2 (barras 12 e 46),
área 3 (barras 10, 25 e 26) e área 4 (barras 80,
89, 100, 103 e 111). Inicialmente foi determinada
a solução do fluxo de potência para o caso base,
a qual é apresentada por área nas tabelas 1 e 2.
Nesta condição, os fluxos de intercâmbio entre as
áreas são: P12 = 503, 14 MW, P13 = 26, 57 MW,
P14 = −269, 66 MW e P23 = −434, 61 MW.
Posteriormente, foi suposto um aumento de
15% na demanda total do sistema, com um aumento de 15% nos fluxos de potência ativa dos
intercâmbios P12 , P13 e P14 o que restringe estes fluxos aos valores 578,61, 30,55 e -310,11 MW,
respectivamente.
A tabela 3 mostra a solução do problema de
fluxo de potência com a inclusão dos intercâmbios programados e aumento de carga, obtida após
18 iterações do método de Newton-Raphson. Durante o processo iterativo a potência ativa das barras de regulação é ajustada de acordo a com a Eq.
(1) até que os desbalanços nos fluxos de intercâmbio programados satisfaçam o critério de convergência adotado (1.0 ×10−3 pu(MW)). Após isto,
o ajuste é feito para satisfazer o desbalanço de potência ativa das barras de regulação, o que requer
em geral duas iterações adicionais para a convergência. Deve ser observado que o número de iterações para a convergência depende mais das restrições impostas do que do porte do sistema elétrico.
Em ternos de CPU, as 18 iterações correspondem
a um esforço computacional de 4,2 segundos.
Pode ser observado que as gerações de potência ativa totais das áreas 1, 2, 3 e 4 aumen-
Tabela 1: Resultado do fluxo de potência - caso
base
2126
Barra
V
delta
Pg
Qg
Área 1
49
54
59
61
65
66
1,02
0,95
0,98
0,98
1,00
1,05
-9,00
-14,70
-10,62
-5,80
-2,28
-2,47
204,00
48,00
155,00
160,00
391,00
392,00
115,69
3,93
105,26
-146,35
101,97
-2,13
Área 2
12
46
0,99
1,00
-17,51
-11,44
85,00
19,00
91,28
-5,25
Área 3
10
25
26
1,05
1,05
1,01
5,87
-1,82
-0,04
450,00
220,00
314,00
-51,04
49,72
9,89
Área 4
80
89
100
103
111
1,04
1,00
1,02
1,00
0,98
-1,00
9,73
-1,92
-5,52
-10,22
477,00
607,00
252,00
40,00
36,00
104,90
-13,66
108,87
41,69
-1,84
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Tabela 2: Fluxos nas Interligações - caso base
De
interligação 1-2
interligação 1-3
interligação 1-4
interligação 2-3
MW
Mvar
46
42
42
45
48
38
Total
25,84
119,00
119,00
36,22
29,30
173,75
503,14
0,38
18,73
18,73
0,21
3,85
-8,53
70
70
24
71
Total
6,24
20,32
26,57
-1,86
-11,95
77
77
79
81
77
80
80
80
80
82
Total
-81,47
-81,47
-46,60
-44,38
-15,73
-269,66
-54,39
-54,39
-28,62
-124,12
21,40
5
5
6
5
16
17
17
20
30
Total
-82,41
-56,05
-34,18
-63,74
4,04
-74,04
-60,42
-12,45
-55,33
-434,61
-26,69
-13,16
-4,49
3,84
5,33
-22,32
25,49
6,70
38,52
47
49
49
49
49
65
4
3
7
11
12
15
18
19
38
Para
Tabela 3: Resultado do fluxo de potência - após a
variação de carga
taram de 1350 MW , 104 MW, 984 MW e 1412
MW para 1480,20 MW, 107,64 MW, 1118,10 MW
e 1585,20 MW, respectivamente. As demandas
totais do caso base das áreas 1(1432 MW e 486
MVAr), 2 (941 MW e 393 MVAr), 3 (372 MW e
138 MVAr) e 4 (923 MW e 421 MVAr) atingiram
os valores 1646,80 MW e 558,90 MVAr (área 1);
1082,10 MW e 451,95 MVAr (área 2); 427,80 MW
e 158,70 MVAr (área 3) e 1061,4 MW e 484,15
MVAr (área 4) na solução obtida após o aumento
de carga.
Os fluxos de potência ativa e reativa nas linhas de intercâmbio após a variação da demanda
são mostrados na tabela 4. Observe que as restrições programadas nos intercâmbios (áreas 1 e 2 ,
áreas 1 e 3 e áreas 1 e 4) são satisfeitas, ou seja, estes fluxos de intercâmbio aumentam em 15% com
relação aos valores do caso base (P12 = 578, 61
MW, P13 = 30, 55 MW, P14 = −310, 02 MW).
Por outro lado, o intercâmbio entre as áreas 2 e 3
tem uma variação de 17% (-434,61/-508,59) em relação ao caso base, o que é atribuı́do a ausência de
restrição correspondente a um valor programado.
Deve ser enfatizado que há um compromisso entre o aumento de carga, a programação do fluxo
de intercâmbio que suprirá este aumento e a geração de potência ativa de cada área. Desde que
o problema de fluxo de potência com restrições
de intercâmbio é resolvido sob o ponto de vista
global, a programação equivocada do intercâmbio
de potência pode facilmente inviabilizar a solução.
Por exemplo, pode haver reserva de potência ativa
numa determinada área, mas a restrição de intercâmbio impede que a mesma seja utilizada.
Na tabela 5 é apresentada a variação na geração de potência ativa na barra de folga do sis-
Barra
V
delta
Pg
Qg
Área 1
49
54
59
61
65
66
1,02
0,95
0,98
0,98
1,00
1,05
-12,12
-19,20
-14,43
-8,70
-3,83
-4,40
220,68
48,89
163,23
168,27
436,23
442,90
145,45
22,20
139,21
-99,75
85,78
17,00
Área 2
12
46
0,99
1,00
-22,78
-15,25
94,88
12,75
110,47
5,69
Área 3
10
25
26
1.05
1,03
1,02
2,15
-2,49
-0,58
465,63
267,51
384,92
-48,66
-34,02
104,36
Área 4
80
89
100
103
111
1,00
1,02
1,03
0,99
0,98
-1,43
9,68
-3,96
-7,88
-13,46
546,61
692,31
269,41
40,45
36,38
-27,94
37,83
155,00
14,82
-1,75
Tabela 4: Fluxos nas Interligações - após a variação de carga
De
MW
Mvar
47
49
49
49
49
65
46
42
42
45
48
38
Total
36,65
138,29
138,29
43,99
34,78
209,47
578,61
0,38
18,73
18,73
0,21
3,85
-8,53
interligação 1-3
70
70
24
71
Total
8,33
22.21
30,55
-1,86
-11.95
interligação 1-4
77
77
79
81
77
80
80
80
80
82
Total
-97,36
-97,36
-52,86
-57,68
-4,74
-310,02
-54,39
-54,39
-28,62
-124,12
21,40
interligação 2-3
4
3
7
11
12
15
18
19
38
5
5
6
5
16
17
17
20
30
Total
-93,51
-65,08
-37,57
-70,10
-0,53
-92,49
-71,43
-18,35
-56,52
-508,59
-26,69
-13,16
4.76
0.21
5,33
-22,31
-25,49
-6,70
-35.52
interligação 1-2
2127
Para
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
tema, devido ao valor especificado de β. Pode ser
observado que o valor de potência ativa gerada aumenta conforme o valor de β é acrescido, passando
de 667,48 MW na solução de mı́nima norma para
750,42 MW (β = 1, 6).
self-regulation characteristics., International
Journal of Electric Power and Energy Systems 3(2): 65–74.
Carhuallanqui, H. A. e Alves, D. A. (2012). Fluxo
de carga continuado considerando o controle
de intercâmbio entre áreas., Anais do XIX
Congresso Brasileiro de Automática, CBA
2012., pp. 1506–1513.
Tabela 5: Variação da Potência gerada na Barra
de folga em Função de β
β
Pgf (MW)
Qgf (MVar)
-1,5
-1,0
0
1,0
1,6
665,85
657,92
667,48
729,17
750,42
-9,73
-97,76
-40,73
-158,11
-31,03
Echavarren, F. M., Lobato, E., Rouco, L. e Gómez, T. (2011). Formulation, computation
and improvement of steady state security
margins in power systems. Part 1: theoretical
framework., Electric Power System Research
33: 340–346.
Hanson, R. J. e Lawson, C. L. (1969). Extensions and applications of the Householder algorithm for solving linear least squares problems, Math. Comput.
Os resultados numéricos apresentados nesta
seção foram obtidos com os fatores ∆Pgi definidos
de acordo com a Eq. (2). Valores unitários também foram testados. Entretanto, verificou-se que
geralmente a especificação dos fluxos nas linhas
de intercâmbio conduz a uma solução do fluxo de
potência na qual estes fatores de distribuição exercem pouca influência.
A análise dos resultados do fluxo de potência
mostra que o nı́vel de tensão das barras do sistemas se manteve dentro dos limites especificados
(0,90 e 1,05 pu), tanto no caso base quanto após
a variação da carga e do intercâmbio. Isto se deve
ao grau de acoplamento reduzido entre as malhas
P δ − QV do sistema-teste. Outro dado importante são as perdas de potência ativa nas linhas de
transmissão, que no caso base foram 132.99 MW
e após a variação de carga atingiram o valor de
177,40 MW. Este aumento de 33,44% é devido a
localização das barras de regulação em cada área.
5
Ibsais, A. e Ajjarapu, V. (1996). Voltage stabilitylimited interchange flow, Electric Power System Research 38: 91–95.
Lin, S. S. e Horng, S. C. (2011). A more general parallel dual-type method and application to state estimation, International Journal of Electrical Power and Energy Systems
33(3): 799–804.
Monticelli, A. J. (1983). Fluxo de Carga em Redes
de Energia Elétrica, Editora Edgard Blücher.
Okamura, M., O-ura, Y., Hayashi, S., Uemura, K.
e Ishiguro, F. (1975). A new power flow model and solution method - including load and
generator characteristics and effects of system control devices., IEEE Transactions on
Power Apparatus and Systems 94(3): 1042–
1050.
Conclusões
Este trabalho aborda o problema da determinação
de soluções das equações da rede elétrica em regime permanente com restrições de intercâmbio
programado. A formulação do fluxo de potência convencional é estendida para incluir o modelo analı́tico das restrições de intercâmbio. A
inclusão da potência ativa gerada nas barras reguladoras como variável do problema de fluxo de
potência resulta num sistema linear subdeterminado na solução através do método de NewtonRaphson. Este tipo de modelagem tem a vantagem de flexibilizar a determinação de diferentes
nı́veis de potência ativa gerada. Os resultados numéricos apresentados para um modelo de potência constante ilustram o potencial da metodologia
proposta em estudos de planejamento da operação
dos sistemas elétricos de potência.
Qin, Z. Yang, Y. (2008). Vectorization implementation of optimal power flow in rectangular
form based on interior point method, Proceedings of the IEEE Power Engineering Soiety
General Meteeing - Delivery of the Electrical
Energy in the 21-st Century, pp. 1–6.
Santos, M. J., Pereira, J. L. R., Passos Filho, J. A.,
Oliveira, E. J. e Silva Jr., I. C. (2004). Uma
nova proposta para o controle de intercâmbio
entre áreas., Revista Brasileira de Automação
e Controle 15(4): 449–458.
Simões Costa, A. J., Seleme Jr., S. I. e Salgado, R. S. (1985). Equality constraints in
power system state estimation via orthogonal
row-processing techniques, Proceedings of the
IFAC Symposium on Planning and Operation
of Electric Energy Systems, pp. 43–49.
Referências
Calovic, M. S. e Strezoski, V. C. (1981). Calculation of steady-state load flows incorporating system control effects and consumer
2128