Elementos de Matemática
Trigonometria Circular - 2a. parte
Roteiro no. 7 - Atividades didáticas de 2007
Versão compilada no dia 28 de Maio de 2007.
Departamento de Matemática - UEL
Prof. Ulysses Sodré
E-mail: [email protected]
Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas construı́das com materiais utilizados em nossas
aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um
roteiro para as aulas e não espero que estas notas venham a substituir
qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros
citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em
português, há pouco material de domı́nio público, mas em inglês existem
diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que
o leitor faça pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘Ai daqueles que nas suas camas maquinam a iniqüidade e
planejam o mal. Quando raia o dia, põem-no por obra, pois está no poder
da sua mão. E cobiçam campos, e os arrebatam, e casas, e as tomam;
assim fazem violência a um homem e à sua casa, a uma pessoa e à sua
herança.’
A Bı́blia Sagrada, Miquéias 2:1-2
CONTEÚDO
1 Cotangente, Secante e Cossecante
1
1.1
Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Ângulos no segundo quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Ângulos no terceiro quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Ângulos no quarto quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
Secante e cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.6
Algumas propriedades da secante e da cossecante . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.7
Relações trigonométricas com secante e cossecante . . . . . . . . . . . . . .
5
1.8
Alguns ângulos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Resolução de triângulos
7
2.1
Lei dos Senos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3
Área de um triângulo em função dos lados . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3 Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade
13
3.1
Fórmulas de arco duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Fórmulas de arco triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3
Fórmulas de arco metade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
CONTEÚDO
4 Funções trigonométricas circulares
iii
16
4.1
Funções reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2
Funções crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3
Funções pares e ı́mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.4
Função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.5
Função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.6
Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.7
Função cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.8
Função secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.9
Função cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5 Funções trigonométricas inversas
29
5.1
Função arco-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.2
Função arco-cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.3
Função arco-tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.4
Função arco-cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
CAPÍTULO
1
Cotangente, Secante e Cossecante
1.1
Cotangente
Seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B = (0, 1).
Esta reta s é perpendicular ao eixo OY . A reta passando pelo ponto M
e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente s no ponto S =
(s0 , 1). A abscissa s0 deste ponto é definida como a cotangente do arco AM
correspondente ao ângulo a.
Assim, a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações
cot(AM ) = cot(a) = cot(a + 2kπ) = m(BS) = s0
Os triângulos OBS e ON M são semelhantes, logo:
BS
ON
=
OB
MN
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1.2. ÂNGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE
2
Como a circunferência é unitária |OB| = 1, logo:
cot(a) =
cos(a)
sen(a)
cot(a) =
1
tan(a)
que é equivalente a
A cotangente de ângulos do primeiro quadrante é positiva.
Quando a = 0, a cotangente não existe, pois as retas s e OM são paralelas.
1.2
Ângulos no segundo quadrante
Se o ponto M está no segundo quadrante, tal que o ângulo a ∈ [π/2, π],
então a cotangente de a é negativa. Observação: cot(π/2) = 0.
1.3
Ângulos no terceiro quadrante
Se o ponto M está no terceiro quadrante e o ângulo a ∈ [π, 3π/2], então a
cotangente é positiva. Quando a = π, a cotangente não existe, as retas que
passam por OM e BS são paralelas.
Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
1.4. ÂNGULOS NO QUARTO QUADRANTE
1.4
3
Ângulos no quarto quadrante
Se o ponto M está no quarto quadrante e o ângulo a ∈ [3π/2, 2π], então a
cotangente de a é negativa. Observação: cot(3π/2) = 0.
1.5
Secante e cossecante
Uma reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M = (x0 , y 0 ) é
perpendicular à reta contendo o segmento OM . A reta r intersecta os eixos
coordenados nos pontos U = (0, u) e V = (v, 0). A abscissa v do ponto V , é
definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a e a ordenada
u do ponto U , é definida como a cossecante do arco AM correspondente ao
ângulo a.
Assim, a secante do ângulo a e a cossecante do ângulo a são dadas pelas suas
várias determinações:
sec(AM ) = sec(a) = sec(a + 2kπ) = m(OV ) = v
csc(AM ) = csc(a) = csc(a + 2kπ) = m(OU ) = u
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1.6. ALGUMAS PROPRIEDADES DA SECANTE E DA COSSECANTE
4
Os triângulos OM V e Ox0 M são semelhantes, deste modo,
OV
OM
=
OM
Ox0
que pode ser escrito como
sec(a) =
1
cos(a)
se cos(a) é diferente de zero.
Os triângulos OM U e Ox0 M são semelhantes, logo:
OM
OU
= 0
OM
xM
que pode ser escrito como
csc(a) =
1
sen(a)
desde que sen(a) seja diferente de zero.
1.6
Algumas propriedades da secante e da cossecante
Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, constatamos as seguintes propriedades:
1. Como os pontos U e V sempre estão fora do cı́rculo trigonométrico,
as suas distâncias até o centro da circunferência são sempre maiores ou
iguais que a medida do raio unitário. Daı́ segue que:
(a) sec(a) ≤ −1 ou sec(a) ≥ 1
(b) csc(a) ≤ −1 ou csc(a) ≥ 1
2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo
no 1o. e no 4o. quadrantes e negativo no 2o. e no 3o. quadrantes.
Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
1.7. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COM SECANTE E COSSECANTE
5
3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo
no 1o. e no 2o. quadrantes e negativo no 3o. e no 4o. quadrantes.
π
4. Não existe a secante de ângulos da forma a = + kπ, onde k ∈ Z, pois
2
π
cos( + kπ) = 0.
2
5. Não existe a cossecante de ângulos da forma a = kπ, onde k ∈ Z, pois
sen(kπ) = 0.
1.7
Relações trigonométricas com secante e cossecante
Valem as seguintes identidades trigonométricas
sec2 (a) ≡ 1 + tan2 (a)
csc2 (a) ≡ 1 + cot2 (a)
que são justificadas por
sen2 (a)
1
=
= sec2 (a)
2
2
cos (a)
cos (a)
2
cos (a)
1
1 + cot2 (a) = 1 +
=
= csc2 (a)
2
2
sen (a) sen (a)
1 + tan2 (a) = 1 +
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1.8. ALGUNS ÂNGULOS NOTÁVEIS
1.8
6
Alguns ângulos notáveis
arco
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
xo
0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
sen(x)
0
√1/2
√2/2
3/2
√1
√3/2
2/2
1/2
0
−1/2
√
−√2/2
− 3/2
−1
√
−√3/2
− 2/2
−1/2
0
cos(x) tan(x)
cot(x)
sec(x)
Inexiste
√1
√0
√
√1
3/3
3
2 √3/3
√3/2
2/2
2
√1
√1
1/2
3
3/3
2
0
Inexiste
Inexiste
√
√0
1/2
− 3
− 3/3
−2
√
√
−√ 2/2
−1
−1
−
√
√
√2
3/2 − 3/3
− 3
−2 3/3
−1
Inexiste
−1
√
√0
√
√
−√3/2
3/3
3
−2 √3/3
− 2/2
− 2
√1
√1
−1/2
3
3/3
−2
0
Inexiste
Inexiste
√
√0
− 3
− 3/3
√1/2
√2
−1
−1
√2/2
√
√
√2
3/2 − 3/3
− 3
2 3/3
1
0
Inexiste
1
csc(x)
Inexiste
√2
√2
2 3/3
√1
2 √3/3
2
2
Inexiste
−2
√
−√ 2
−2 3/3
−1
√
−2 √3/3
− 2
−2
Inexiste
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CAPÍTULO
2
Resolução de triângulos
Os elementos fundamentais de um triângulo são: os lados, os ângulos e a área.
Resolver um triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Tendo
três dentre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações
trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas
relações estão expostas na sequência.
2.1
Lei dos Senos
Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura
com lados a, b e c, respectivamente tendo ângulos opostos A, B e C. O
quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado
é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita
ao triângulo, isto é:
a
b
c
=
=
= 2R
sen(A) sen(B) sen(C)
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2.1. LEI DOS SENOS
8
Demonstração: Para simplificar as notações denotaremos o ângulo que corresponde a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de
vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente
com vértice em A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R.
Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo triângulo
BCA0 , de tal modo que o segmento BA0 seja um diâmetro da circunferência.
Este novo triângulo é retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo,
obtusângulo ou retângulo.
1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A0
são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondendo a um mesmo arco BC. Então:
sen(A0 ) = sen(A) =
isto é,
a
2R
a
= 2R
sen(A)
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2.1. LEI DOS SENOS
9
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obtemos os outros
quocientes
b
c
=
= 2R
sen(B) sen(C)
2. Triângulo obtusângulo: Se A e A0 são os ângulos que correspondem
aos vértices A e A0 , a relação entre eles é dada por A0 = π − A, pois são
ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares
BAC e BA0 C. Então
sen(π − A) =
a
= sen(A)
2R
isto é,
a
= 2R
sen(A)
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obteremos os
outros quocientes
b
c
=
= 2R
sen(B) sen(C)
3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo,
é imediato que
b
sen(B) = ,
a
c
sen(C) = ,
a
π
sen(A) = sen( ) = 1
2
Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
2.2. LEI DOS COSSENOS
10
Como, neste caso a = 2R, temos,
a
b
c
=
=
sen(A) sen(B) sen(C)
2.2
Lei dos Cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a
diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e
o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado
por estes lados.
a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)
b2 = a2 + c2 − 2 a c cos(B)
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(C)
Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo
ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
1. Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto
no vértice A, a relação
a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)
Como cos(A) = cos(π/2) = 0, esta relação recai na relação de Pitágoras:
a2 = b 2 + c 2
2. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo
com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do
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2.2. LEI DOS COSSENOS
11
triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o
Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
a2 = h2 + (c − x)2 = (h2 + x2 ) + c2 − 2cx
(2.1)
x
,
b
ou seja, x = b cos(A). Substituindo estes resultados na equação 2.1,
obtemos:
a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)
No triângulo AHC, temos que b2 = h2 + x2 e também cos(A) =
3. Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o
ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura. Seja
o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo
relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de
Pitágoras no triângulo CHB, temos que:
a2 = h2 + (c + x)2 = (h2 + x2 ) + c2 + 2cx
(2.2)
No triângulo AHC, obtemos a relação de Pitágoras b2 = h2 + x2 e
x
também cos(D) = = cos(π − A) = − cos(A), logo, x = −b cos(A).
b
Substituindo estes resultados na equação 2.2, obtemos:
a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)
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2.3. ÁREA DE UM TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS
12
As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma
b 2 + c 2 − a2
cos(A) =
2bc
2
a + c 2 − b2
cos(B) =
2ac
2
a + b2 − c2
cos(C) =
2ab
2.3
Área de um triângulo em função dos lados
Existe uma fórmula para calcular a área de um triângulo conhecendo-se as
medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a
metade do perı́metro do triângulo, isto é: 2p = a + b + c, então,
p
S = p(p − a)(p − b)(p − c)
A demonstração da fórmula acima está em nosso link Fórmula de Heron:
http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/heron/heron.htm
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CAPÍTULO
3
Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade
Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, podemos
obter estas relações trigonométricas para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que
são consequências imediatas das fórmulas de soma de arcos.
3.1
Fórmulas de arco duplo
Como
sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b)
dividindo membro a membro a primeira expressão pela segunda, obtemos:
sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b)
tan(a + b) =
cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b)
Dividindo todos os 4 termos da fração por cos(a) cos(b), segue a fórmula:
tan(a + b) =
tan(a) + tan(b)
1 − tan(a) tan(b)
Tomando b = a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo:
sen(2a) = sen(a) cos(a) + cos(a)sen(a) = 2sen(a) cos(a)
cos(2a) = cos(a) cos(a) − sen(a)sen(a) = cos2 (a) − sen2 (a)
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3.2. FÓRMULAS DE ARCO TRIPLO
14
de onde segue que
tan(2a) =
tan(a) + tan(a)
2 tan(a)
=
1 − tan(a) tan(a) 1 − tan2 (a)
Substituindo sen2 (a) = 1 − cos2 (a) nas relações acima, obtemos uma relação
entre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco:
cos(2a) = cos2 (a) − sen2 (a) = cos2 (a) − (1 − cos2 (a) = 2 cos2 (a) − 1
Substituindo cos2 (a) = 1 − sen2 (a) nas relações acima, obtemos uma relação
entre o seno do arco duplo com o seno do arco:
cos(2a) = cos2 (a) − sen2 (a) = 1 − sen2 (a) − sen2 (a)) = 1 − 2sen2 (a)
3.2
Fórmulas de arco triplo
Se b = 2a em sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b), então
sen(3a) = sen(a + 2a) =
=
=
=
=
=
sen(a) cos(2a) + cos(a)sen(2a)
sen(a)[1 − 2sen2 (a)] + [2sen(a) cos(a)] cos(a)
sen(a)[1 − 2sen2 (a)] + 2sen(a) cos2 (a))
sen(a)[1 − 2sen2 (a)] + 2sen(a)[1 − sen2 (a)]
sen(a) − 2sen3 (a)) + 2sen(a) − 2sen2 (a))
3sen(a) − 4sen3 (a)
Se b = 2a em cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b), então
cos(3a) = cos(a + 2a) =
=
=
=
=
=
=
cos(a) cos(2a) − sen(a)sen(2a)
cos(a)[2 cos2 (a) − 1] − sen(a)[2sen(a) cos(a)]
cos(a)[2 cos2 (a) − 1] − 2sen2 (a) cos(a)
cos(a)[2 cos2 (a) − 1 − 2(1 − cos2 (a))]
cos(a)[2 cos2 (a) − 3 + 2 cos2 (a)]
cos(a)[4 cos2 (a) − 3]
4 cos3 (a) − 3 cos(a)
As fórmulas do arco triplo são
sen(3a) = 3sen(a) − 4sen3 (a)
cos(3a) = 4 cos3 (3a) − 3 cos(a)
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3.3. FÓRMULAS DE ARCO METADE
3.3
15
Fórmulas de arco metade
Partindo das fórmulas do arco duplo
cos(2a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2sen2 (a)
e substituindo 2a = c, obtemos:
c
c
cos(c) = 2 cos2 ( ) − 1 = 1 − 2sen2 ( )
2
2
Assim
c
1
sen2 ( ) = 1 − cos(c)
2
2
c
1
cos2 ( ) = 1 + cos(c)
2
2
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade
do arco:
c
1 − cos(c)
tan2 ( ) =
2
1 + cos(c)
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma fórmula que
expressa a tangente da metade do arco em função do cosseno do arco.
s
1 − cos(c)
c
tan( ) =
2
1 + cos(c)
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CAPÍTULO
4
Funções trigonométricas circulares
Funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular
e são importantes pela sua periodicidade pois elas representam fenômenos
naturais periódicos, como variações da temperatura terrestre, comportamentos
ondulatórios do som, pressão sanguı́nea no coração, nı́veis de água em oceanos,
etc.
4.1
Funções reais
Para estudar trigonometria, devemos ter um bom conhecimento das definições
e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais.
Função: Uma função de um conjunto não vazio A em um conjunto não vazio
B, denotada por f : A → B, é uma correspondência que associa a cada
elemento de A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado o domı́nio de f, o conjunto B é denominado
contradomı́nio de f . O elemento y ∈ B que corresponde ao elemento x ∈ A
de acordo com a lei f , é a imagem de x por f , indicado por y = f (x).
O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de
A é denominado conjunto Imagem de f.
Uma função f é denominada função real de variável real, se o domı́nio e
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4.2. FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
17
contradomı́nio de f são subconjuntos do conjunto dos números reais.
Função periódica: Uma função real f , com domı́nio em A subconjunto da
reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T , tal que para
todo x ∈ A, vale
f (x + T ) = f (x)
Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor
número T > 0, que satisfaz a esta condição é o perı́odo fundamental.
Exemplo 1. A função real definida por f (x) = x − [x], onde [x] é a parte
inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica
de perı́odo fundamental T = 1.
Função limitada: Uma função f de domı́nio A ⊂ R é limitada, se existe um
número real L > 0, tal que para todo x ∈ A, valem as desigualdades:
−L ≤ f (x) ≤ L
e esta última expressão é equivalente a |f (x)| ≤ L.
2x
é limitada pois
Exemplo 2. A função real f (x) =
1 + x2
x
−1 ≤
≤1
1 + x2
4.2
Funções crescentes e decrescentes
Seja f uma função definida em um intervalo I, sendo x, y ∈ I, com x < y.
Afirmamos que f é crescente, se f (x) < f (y) e que f é decrescente, se
f (x) > f (y).
Exemplo 3. A função real f (x) = 2x + 1 é crescente enquanto que a função
real f (x) = e−x é decrescente.
4.3
Funções pares e ı́mpares
Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domı́nio de
f tem-se que
f (−x) = f (x)
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4.4. FUNÇÃO SENO
18
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY .
Exemplo 4. A função real definida por f (x) = x2 é par.
Função ı́mpar: Uma função f é uma função ı́mpar, se para todo x do domı́nio
de f tem-se que
f (−x) = −f (x)
Funções ı́mpares são simétricas em relação à origem (0, 0) do sistema de eixos
cartesiano.
Exemplo 5. A função real definida por f (x) = x3 é ı́mpar.
4.4
Função seno
Dado um ângulo de medida x, a função seno associa a cada x ∈ R o seno
do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por
f (x) = sen(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x 0 √π/4 π/2 √
3π/4 π 5π/4
3π/2 7π/4
2π
√
√
y 0
2/2 1
2/2 0 − 2/2 −1 − 2/2 0
Gráfico: Na figura, o segmento Oy 0 que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY .
Propriedades da função seno
1. Domı́nio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo
assim Dom(sen) = R.
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4.4. FUNÇÃO SENO
19
2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é
I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}
3. Periodicidade: A função é periódica de perı́odo 2π. Para todo x ∈ R e
para todo k ∈ Z:
sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) = ... = sen(x + 2kπ)
Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
sen(x + 2kπ) = sen(x) cos(2kπ) + cos(x)sen(2kπ)
Como para todo k ∈ Z, tem-se que cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, então
sen(x + 2kπ) = sen(x)(1) + cos(x)(0) = sen(x)
A função seno é periódica de perı́odo fundamental T = 2π. Completamos
o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo
de medida 2π.
4. Sinal
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Seno
positiva positiva negativa negativa
5. Monotonicidade
Intervalo [0, π/2]
[π/2, π]
[π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Seno
crescente decrescente decrescente crescente
6. Limitação: O gráfico de y = sen(x) está contido na faixa do plano
limitada pelas retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R,
temos:
−1 ≤ sen(x) ≤ 1
7. Simetria: A função seno é ı́mpar, pois para todo x ∈ R, tem-se que:
sen(−x) = −sen(x)
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4.5. FUNÇÃO COSSENO
4.5
20
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno denotada por f (x) =
cos(x), é a relação que associa a cada x ∈ R o número real cos(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x 0 √π/4 π/2 √
3π/4 π
5π/4
3π/2 √
7π/4 2π
√
y 1
2/2 0
2/2 −1 − 2/2
0
2/2 1
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento
OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da função cosseno
8. Domı́nio: A função cosseno está definida para todos os valores reais,
assim Dom(cos) = R.
9. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo
I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}
10. Periodicidade: A função é periódica de perı́odo 2π. Para todo x ∈ R e
para todo k ∈ Z:
cos(x) = cos(x + 2π) = cos(x + 4π) = ... = cos(x + 2kπ)
Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
cos(x + 2kπ) = cos(x) cos(2kπ) − sen(x)sen(2kπ)
Para todo k ∈ Z: cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, logo
cos(x + 2kπ) = cos(x)(1) − sen(x)(0) = cos(x)
A função cosseno é periódica de perı́odo fundamental T = 2π.
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4.6. FUNÇÃO TANGENTE
21
11. Sinal
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Cosseno positiva negativa negativa positiva
12. Monotonicidade:
Intervalo
[0, π/2]
[π/2, π]
[π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Cosseno decrescente decrescente crescente crescente
13. Limitação: O gráfico de y = cos(x) está contido na faixa localizada
entre as retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R, temos:
−1 ≤ cos(x) ≤ 1
14. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x ∈ R, tem-se que:
cos(−x) = cos(x)
4.6
Função tangente
π
Como a tangente não tem sentido para arcos da forma (k + 1) para cada
2
k ∈ Z, vamos considerar o conjunto dos números reais diferentes destes
valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este
x ∈ R, a tangente de x, denotada por tan(x).
f (x) = tan(x) =
sen(x)
cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x 0 π/4
π/2
3π/4 π 5π/4
3π/2
7π/4 2π
y 0 1 Inexiste −1 0
1
Inexiste −1 0
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4.6. FUNÇÃO TANGENTE
22
Gráfico: O segmento AT , mede tan(x). Pelo gráfico, observamos que quando
a medida do arco AM se aproxima de π/2 ou de −π/2, a função tangente
está crescendo muito rápido, pois a reta que passa por OM tem coeficiente
angular cada vez maior e vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção
com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
π
+ kπ) = 0 para cada k ∈ Z, temos que
2 π
Dom(tan) = {x ∈ R : x 6= + kπ}
2
2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos
números reais, assim I = R.
1. Domı́nio: Como cos(
3. Periodicidade A função tangente é periódica de perı́odo π
π
Para todo x ∈ R, com x 6= + kπ, sendo k ∈ Z:
2
tan(x) = tan(x + π) = tan(x + 2π) = ... = tan(x + kπ)
Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos
tan(x + kπ) =
tan(x) + tan(kπ)
tan(x) + 0
=
= tan(x)
1 − tan(x) · tan(kπ) 1 − tan(x).0
A função tangente é periódica de perı́odo fundamental T = π.
Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores
da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal:
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
T angente positiva negativa positiva negativa
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4.7. FUNÇÃO COTANGENTE
23
5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos ponkπ
tos x =
, sendo k ∈ Z, onde a função não está definida.
2
6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se
π
aproxima de (2k + 1) , a função cresce (ou decresce) sem controle.
2
7. Simetria: A função tangente é ı́mpar, pois para todo x ∈ R onde a
tangente está definida, tem-se que:
tan(−x) = − tan(x)
4.7
Função cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma kπ onde k ∈ Z, vamos
considerar o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos
a função cotangente como a relação que associa a cada x ∈ R, a cotangente
de x, denotada por:
cos(x)
f (x) = cot(x) =
sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x
0
π/4 π/2 3π/4
π
5π/4 3π/2 7π/4
2π
y Inexiste 1
0
−1 Inexiste
1
0
−1 Inexiste
Gráfico: O segmento Os0 mede cot(x).
O gráfico mostra que quando a medida do arco AM está próxima de π ou de
−π, podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal
e a sua interseção com a reta s vai se tornando muito distante.
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4.7. FUNÇÃO COTANGENTE
24
Propriedades:
1. Domı́nio: Como a função seno se anula para arcos da forma kπ, onde
k ∈ Z, temos Dom(cot) = {x ∈ R : x 6= kπ}.
2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos
números reais, assim I = R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu perı́odo é π. Para todo x ∈ R,
sendo x 6= kπ, onde k ∈ Z:
cot(x) = cot(x + π) = cot(x + 2π) = ... = cot(x + kπ)
A função cotangente é periódica de perı́odo fundamental 2π.
4. Sinal
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
T angente positiva negativa positiva negativa
5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x = kπ, sendo k ∈ Z, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo
se aproxima de kπ/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
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4.8. FUNÇÃO SECANTE
25
7. Simetria: A função tangente é ı́mpar, pois para todo x ∈ R, tem-se
que:
cot(−x) = − cot(x)
4.8
Função secante
π
Como a secante não existe para arcos da forma (2k + 1) onde k ∈ Z, vamos
2
considerar o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos
a função secante como a relação que associa a este x ∈ R, a secante de x,
denotada por sec(x).
1
f (x) = sec(x) =
cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x 0 π/4
π/2
3π/4
π 5π/4
3π/2
7π/4
2π
√
√
√
√
y 1
2 Inexiste − 2 −1 − 2 Inexiste
2 1
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
π
3π
Quando x assume valores próximos de
ou de
, cos(x) se aproxima de
2
2
1
zero e a fração
em valor absoluto, tende ao infinito.
cos(x)
Propriedades
π
1. Domı́nio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma + kπ,
2
π
onde k ∈ Z, temos Dom(sec) = {x ∈ R : x 6= (2k + 1) }.
2
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4.8. FUNÇÃO SECANTE
26
2. Imagem: Para todo x no domı́nio da secante, temos que sec(x) ≤ −1 ou
sec(x) ≥ 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:
Im(sec) = {y ∈ R : y ≤ −1 ou y 6= 1}
3. Periodicidade: A função secante é periódica e de perı́odo é 2π.
Para todo x ∈ R, sendo x 6= (k + 1)π, onde k ∈ Z, tem-se que
sec(x) = sec(x + 2π) = sec(x + 4π) = ... = sec(x + 2kπ)
Por isto, a função secante é periódica de perı́odo é 2π. Podemos então
completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma
ordem em que se apresentam.
4. Sinal
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Secante positiva negativa negativa positiva
5. Monotonicidade
Intervalo [0, π/2]
[π/2, π]
[π, 3π/2]
[3π/2, 2π]
Secante crescente crescente decrescente decrescente
6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se
π
aproxima de (2k + 1) , a função cresce (ou decresce) sem controle.
2
7. Simetria: A função secante é par, pois para todo x ∈ R onde a secante
está definida, tem-se que:
sec(−x) = sec(x)
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4.9. FUNÇÃO COSSECANTE
4.9
27
Função cossecante
Como a cossecante não existe para arcos da forma kπ onde k ∈ Z, vamos
considerar o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos
a função cossecante como a relação que associa a cada x ∈ R, a cossecante
de x, denotada por csc(x)
1
f (x) = csc(x) =
sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x
0
π/4
π
5π/4
2π
√ 3π/2 7π/4
√
√ π/2 3π/4
√
y Inexiste
2 1
2 Inexiste − 2 −1 − 2 Inexiste
Gráfico: A medida do segmento OU mede csc(x).
Quando x assume valores próximos de 0 ou π ou 2π, sen(x) se aproxima de
1
zero e a fração
em valor absoluto, tende ao infinito.
sen(x)
Propriedades
1. Domı́nio: Como a função seno se anula para arcos da forma kπ, onde
k ∈ Z, temos
Dom(csc) = {x ∈ R : x 6= kπ}
2. Imagem: Para todo x pertencente ao domı́nio da cossecante, temos que
csc(x) ≤ −1 ou csc(x) ≥ 1, assim o conjunto imagem da cossecante é
dado pelos conjuntos:
Im(csc) = {y ∈ R : y ≤ −1 ou y ≥ 1}
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4.9. FUNÇÃO COSSECANTE
28
3. Periodicidade: A função é periódica e seu perı́odo é 2π
Para todo x ∈ R, sendo x 6= kπ, onde k ∈ Z:
csc(x) = csc(x + π) = csc(x + 2π) = ... = csc(x + kπ)
por este motivo, a função cossecante é periódica de perı́odo 2π. Podemos
então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na
mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Cossecante positiva positiva negativa negativa
5. Monotonicidade:
Intervalo
[0, π/2]
[π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Cossecante decrescente crescente crescente decrescente
6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo
se aproxima de kπ, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é ı́mpar, pois para todo x ∈ R onde a
cossecante está definida, tem-se que:
csc(−x) = − csc(x)
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CAPÍTULO
5
Funções trigonométricas inversas
Uma função f , de domı́nio D possui inversa somente se f for bijetora, logo
nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domı́nios de
definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domı́nios para gerar novas
funções que restritas a conjuntos menores possuem inversas.
Exemplo 6. A função f (x) = cos(x) não é bijetora em seu domı́nio de
definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x) = 1, podemos tomar
x = 2kπ, onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos
definir a inversa de f (x) = cos(x) em seu domı́nio. Devemos então restringir
o domı́nio a um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.
Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos
onde elas são bijetoras. É usual escolher como domı́nio, intervalos onde o zero
é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu
conjunto imagem.
5.1
Função arco-seno
Consideremos a função f (x) = sen(x), com domı́nio no intervalo [−π/2, π/2]
e imagem no intervalo [−1, 1]. A função inversa de f = sen, denominada arco
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5.2. FUNÇÃO ARCO-COSSENO
30
cujo seno, definida por sen−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2] é denotada por
sen−1 (x) = arcsen(x)
Gráfico da função arco-seno
5.2
Função arco-cosseno
A função f (x) = cos(x), com domı́nio [0, π] e imagem [−1, 1], possui inversa,
denominada arco cujo cosseno e é definida por cos−1 : [−1, 1] → [0, π] e
denotada por
cos−1 (x) = arccos(x)
Gráfico da função arco-cosseno:
5.3
Função arco-tangente
A função f (x) = tan(x), com domı́nio (−π/2, π/2) e imagem em R, possui
uma inversa, denominada arco-tangente definida por tan−1 : R → (−π/2, π/2)
e denotada por
tan−1 (x) = arctan(x)
Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
5.4. FUNÇÃO ARCO-COTANGENTE
31
Gráfico da função arco-tangente:
5.4
Função arco-cotangente
A função f (x) = cot(x), com domı́nio (0, π) e imagem em R, possui uma
inversa, denominada arco-cotangente definida por cot−1 : R → (0, π) e denotada por
cot−1 (x) = arccot(x)
Gráfico da função arco-cotangente:
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