ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos
3)
Teoria dos
Potenciais
Introdução
Potenciais são funções do espaço e do tempo associadas aos campos
eletromagnéticos. A utilização dos potenciais na teoria eletromagnética se deve ao
fato de, na maioria das situações, ser mais simples calcular potencial do que
campo. Alem disso, os potenciais têm uma relação muito estreita com a energia
armazenada nos campos eletromagnéticos e isso lhes confere uma importância
destacada na análise física de sistemas reais. O potencial elétrico, por exemplo, é
uma grandeza fundamental na descrição de circuitos elétricos. Trata-se de uma
grandeza escalar, e por isso de fácil manipulação algébrica. Já o potencial vetorial
desempenha papel fundamental na descrição de campos alternados e ondas
eletromagnéticas geradas por fontes variáveis no tempo. Apresentaremos
inicialmente os conceitos e métodos para os potenciais de fontes estáticas e logo
a seguir as extensões para as fontes variáveis no tempo. Esta última descrição é
mais abrangente, porém, consideravelmente mais complexa. Por isso, neste
capítulo, ela será tratada apenas como uma introdução a um tema que será
melhor desenvolvido em capítulos posteriores.
Potencial Elétrico Estático
Na parte da teoria eletromagnética denominada de eletrostática e magnetostática,
as distribuições de carga e corrente não dependem do tempo, ou variam muito
lentamente, de modo que a aproximação para campos estáticos é considerada
válida. No caso de uma distribuição estática de carga, concluímos no Capítulo 2
que o rotacional do campo elétrico é nulo e que esse fato nos permite associar à
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distribuição de carga uma função escalar da posição no espaço, chamada de
potencial elétrico, de tal modo que o campo elétrico seja calculado como o
gradiente dessa função.
r r
r
e( r ) = −∇ϕ( r )
(3.1)
Como vimos no exemplo 2.7, existe um significado físico muito importante no
potencial elétrico. Para entendê-lo melhor neste ponto, podemos realizar a
seguinte análise. Suponha que estamos deslocando uma carga de prova (carga
pontual de pequeno valor) com velocidade constante entre duas posições do
espaço sob a influência do campo elétrico produzido por uma dada distribuição de
carga. Em virtude da força elétrica aplicada na carga de prova, a fim de manter
sua velocidade constante, será necessário exercer uma força externa sobre ela,
de modo que em cada posição ocupada pela carga, a força resultante seja nula.
Portanto, o trabalho realizado por essa força externa em um deslocamento
r
incremental d r é:
r r
r r
(3.2)
f ⋅ d r = − qe ⋅ d r
r r
Assim, o trabalho total realizado no deslocamento entre as posições r1 e r2 é dado
pela seguinte integral:
(3.3)
ΔW =
r
r 2r
r
r
r2
r
r
r
r2
r
f ⋅ d r = − q ∫ e ⋅ d r = q ∫ ∇ϕ ⋅ d r
r∫
r
r
r1
r1
r1
Mas, de acordo com a definição de gradiente de uma função escalar, o último
r
integrando em (3.3) pode ser escrito na forma ∇ϕ ⋅ d r = dϕ . Então, o trabalho
realizado pode ser calculado por:
r
r
ΔW = q[ϕ(r2 ) − ϕ(r1 )]
(3.4)
o que nos leva a conclusão de que a diferença de potencial elétrico entre dois
pontos do espaço é igual ao trabalho necessário que um agente externo deve
realizar para movimentar uma carga unitária do ponto inicial ao final com
velocidade constante. Obviamente a exigência de velocidade constante implica em
que não haja variação de energia cinética da carga e, por isso, todo o trabalho
realizado deve estar armazenado no sistema carga-campo. Potencial elétrico é
103
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medido em Volts (V) no Sistema Internacional de unidades, o que corresponde a
Joule / Coulomb.
Definindo arbitrariamente que o potencial elétrico produzido por uma distribuição
localizada de cargas se anula no infinito, podemos obter uma expressão geral
para o potencial elétrico em qualquer posição finita do espaço na forma:
(3.5)
r ∞r r
ϕ( r ) = ∫ e ⋅ d r
r
Para uma carga pontual na origem do sistema de coordenadas, por exemplo,
podemos seguir uma trajetória radial para a integral de linha em (3.5) e obter o
potencial elétrico na forma:
(3.6)
r
ϕ( r ) =
q
4πε o
∞
r
r
r
q
∫ r 3 ⋅ d r = 4πεor
r
r
Para uma distribuição de cargas descrita por uma densidade de cargas ρv ( r ′) ,
podemos generalizar o resultado anterior somando a contribuição de cada
r
elemento de carga dq = ρ v ( r ′) dv ′ para obter:
r
r
1
ρ( r ′)
ϕ( r ) =
(3.7)
r r dV
4πεo ∫∫∫ r − r ′
V′
Para distribuições superficiais ou lineares de carga, podemos reescrever (3.7) de
maneira conveniente nas respectivas formas:
r
r
1
σ( r ′)
(3.8)
ϕ( r ) =
r r dS
4πε o ∫∫ r − r ′
S′
(3.9)
r
ϕ( r ) =
1
4πεo
r
λ( r ′)
∫ rr − rr ′ dL
′
L
Exemplo 3.1 – Potencial elétrico para uma distribuição retilínea de carga com
densidade uniforme e comprimento L. Usando o sistema cilíndrico com eixo z
coincidindo com a direção da linha de cargas e com a origem posicionada no
ponto médio dessa linha, temos:
(Ex.1)
dL = dz ′
104
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(Ex.2)
r r
r − r ′ = s 2 + ( z − z ′ )2
(Ex.3)
λ
ϕ=
4πε o
(Ex.4)
ϕ=
+L 2
dz ′
−L 2
s 2 + ( z − z ′ )2
∫
⎡ ⎛
s
λ ⎢ ⎜
=
ln⎜
4πε o ⎢ ⎜ ( z − z ′ ) + s 2 + ( z − z ′ )2
⎣ ⎝
+L 2
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎟⎥
⎠⎦ − L 2
⎛ ( z + L 2 ) + s 2 + ( z + L 2 )2 ⎞
λ
⎜
⎟
ln⎜
4πε o ⎜ ( z − L 2 ) + s 2 + ( z − L 2 )2 ⎟⎟
⎝
⎠
Podemos calcular o campo elétrico usando (3.1):
(Ex.5)
⎡
1
1
∂ϕ
λ ⎢
=
−
ez = −
∂z 4πε o ⎢ s 2 + ( z − L 2 )2
s 2 + ( z + L 2 )2
⎣
(Ex.6)
es = −
⎤
⎥
⎥
⎦
λs
∂ϕ
=
⋅
∂s 4πε o
( z + L 2 )⎡( z + L 2 ) + s 2 + ( z + L 2 )2 ⎤ − ( z − L 2 )⎡( z − L 2 ) + s 2 + ( z − L 2 )2 ⎤
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎡s 2 + ( z + L 2 )2 + ( z + L 2 ) s 2 + ( z + L 2 )2 ⎤ ⎡s 2 + ( z − L 2 ) 2 + ( z − L 2 ) s 2 + ( z − L 2 )2 ⎤
⎢⎣
⎥⎦ ⎢⎣
⎥⎦
Estas expressões se simplificam consideravelmente para um fio longo e posições
longe das extremidades, de tal modo que z << L 2 . Nesse caso, temos:
(Ex.7)
ez = 0
(Ex.8)
es =
L
λ
⋅
4πε o s s 2 + (L 2 )2
Além disso, para pontos bem próximos do fio, tal que s << L 2 , obtemos:
(Ex.9)
es =
λ
2πε o s
Este foi exatamente o resultado obtido no Capítulo 1 e capítulo 2 usando
respectivamente a lei de Coulomb e a lei de Gauss para um fio infinito. O
importante caso de dois fios paralelos carregados com cargas opostas é
representado na Figura 3.1. Para a geometria indicada nessa figura, podemos
estender o resultado (Ex.4) para obter:
105
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(Ex.10)
⎛⎡
2
2⎤ ⎡
2
2 ⎤⎞
⎜ ⎢( z + L 2 ) + s1 + ( z + L 2 ) ⎥ ⎢( z − L 2 ) + s 2 + ( z − L 2 ) ⎥ ⎟
λ
⎦⎟
⎦⎣
ln⎜ ⎣
ϕ=
4πε o ⎜ ⎡
2
2⎤ ⎡
2
2 ⎤⎟
⎜ ⎢( z − L 2 ) + s1 + ( z − L 2 ) ⎥ ⎢( z + L 2 ) + s 2 + ( z + L 2 ) ⎥ ⎟
⎦⎠
⎦⎣
⎝⎣
A Figura 3.2 mostra uma família de linhas equipotenciais no plano transversal dos
fios para z << L 2 .
r
s1
+λ
r
s2
−λ
L
2
L
2
Figura 3.1 – Linha de fios paralelos carregados com cargas opostas.
O método das Imagens
Sistemas constituídos por distribuições de carga próximas a superfícies de
contorno com potenciais fixos não podem ser analisados, em geral, por meio da
abordagem mostrada acima, uma vez que não podemos obter corretamente as
distribuições de carga nessas superfícies sem conhecer o campo elétrico
superficial. Consideremos o sistema mostrado na Figura 3.3a, onde uma carga
pontual está localizada próxima a uma superfície condutora de potencial nulo.
Embora o potencial em qualquer lugar da superfície seja independente da posição
da carga pontual, o mesmo não ocorre com a carga distribuída na superfície.
Quanto mais próxima a carga pontual estiver, maior é a densidade de carga na
área da superfície correspondente à posição da carga pontual. Uma vez que o
potencial é constante na superfície, o campo elétrico superficial é perpendicular
106
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em qualquer posição (ver Apêndice 3.5) e todo o fluxo elétrico produzido pela
carga pontual “penetra” na superfície como se existisse uma carga pontual de
sinal contrário localizada na posição exatamente simétrica à carga original. Esta
carga pontual fictícia é denominada de carga imagem e podemos obter o potencial
elétrico em qualquer posição do espaço acima do plano considerando a soma dos
potenciais da carga original com sua carga imagem. Segundo o esquema
mostrado na Figura 3.3b e usando a equação (3.6), o potencial para z > 0 é dado
por:
(3.10)
ϕ=
q
4πε o
⎛1 1⎞
⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ r1 r2 ⎠
-2
-1.5
0
0.5
-0.5
1
-1
-1
1.5
-1.5
-0.5
-2.0
2.0
-2.5
2.5
( cm ) 0
0.5
1
1.5
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
( cm )
Figura 3.2 – Equipotenciais no plano transversal de dois fios paralelos de comprimento infinito,
carregados uniformemente. O valor indicado nas linhas é o potencial normalizado para
λ 4πε o .
Entre linhas consecutivas, a diferença de potencial é de 0.5.
107
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+q
(a)
σ
r
r1
+q
θ
(b)
r
r2
ϕ =0
z
)
z
ϕ =0
0
z
-q ( carga imagem )
Figura 3.3 – Uma carga pontual acima de um plano condutor aterrado. (a) a carga induzida no
plano é indicada pela linha tracejada. (b) A carga imagem representa o efeito da carga distribuída
no plano.
onde r2 = r12 + 4z 2 − 4 r1z cos θ . O campo elétrico em qualquer posição do espaço
para z > 0 pode ser calculado como o negativo do gradiente desse potencial:
(3.11)
r
e = −∇ϕ =
q
4πε o
r ⎞
⎛ rr
⎜ 1 − r2 ⎟
⎜ r3 r3 ⎟
2 ⎠
⎝ 1
r r
)
na superfície do plano aterrado, temos r1 = r2 e r1 − r2 = −2 r1 cos θ z . Assim, o
campo na superfície do plano é dado por:
(3.12)
r
e=−
q cos θ )
z
2πεo r 2
1
108
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Como sabemos (exemplo 2.3), a densidade de carga superficial em um condutor é
igual ao módulo da indução elétrica na superfície. Assim, a carga distribuída na
superfície do plano aterrado é dada por:
(3.13)
σ = εoe = −
q cos θ
2π r 2
1
A Figura 3.4 mostra um gráfico tridimensional desta distribuição de carga.
Figura 3.4 – Distribuição de carga no plano condutor aterrado para uma partícula com carga q
posicionada no centro a uma altura de 1cm.
Exemplo 3.2 - A Figura 3.5 ilustra uma outra situação na qual o método das
imagens pode ser aplicado. Uma carga pontual próxima a uma superfície esférica
condutora aterrada. A carga imagem deve ser posicionada de tal maneira que o
potencial total seja nulo em qualquer posição da superfície da esfera. A escolha
natural para a posição da carga imagem é algum ponto sobre o eixo que liga a
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carga externa ao centro da esfera. De acordo com os símbolos usados na Figura
3.4, podemos escrever o potencial na superfície da esfera na forma:
(Ex.11)
ϕ=
⎛ q q′ ⎞
⎜ + ⎟
4πε o ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠
1
a
0
r2
q´
z´
r1
q
z
ϕ=0
Figura 3.5 – Análise do potencial criado pela carga pontual próxima de uma esfera condutora
aterrada.
onde as distâncias r1 e r2 são dadas por:
(Ex.12)
r1 = a2 + z2 − 2 az cos θ
(Ex.13)
r2 = a 2 + z ′2 − 2 az ′ cos θ
Mas, se o potencial na superfície da esfera é sempre nulo, então devemos ter:
(Ex.14)
q q′
+
=0
r1 r2
→
r
q
= − 1 = −k
q′
r2
onde k é uma constante a ser determinada. Podemos determinar o seu valor
substituindo (Ex.12) e (Ex.13) em (Ex.14):
(Ex.15)
r12 = k 2 k 22
→
a 2 + z 2 − 2 az cos θ = k 2 a 2 + k 2 z ′ 2 − 2 k 2 az ′ cos θ
110
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Ignorando o resultado trivial k=1 que não interessa, podemos obter de (Ex.15) as
seguintes relações:
(Ex.16)
ka = z , kz ′ = a ,
k 2 z′ = z
de onde obtemos:
(Ex.17)
k=
z
a
z′ =
a2
z
e
(Ex.18)
Segundo (Ex.14) a imagem tem carga proporcional à carga externa, sendo dada
por:
(Ex.19)
q ′ == −
q
a
=− q
k
z
O potencial elétrico para qualquer ponto fora da esfera, exceto a posição da carga
pontual, pode ser calculado pela superposição dos potenciais da carga externa e
da carga imagem. Usando os resultados obtidos acima, podemos escrever a
seguinte expressão para esse potencial em função da distância r ao centro da
esfera:
(Ex.20)
⎛
1
a
⎜
ϕ=
−
⎜
4πε o ⎜ r 2 + z 2 − 2 r z cos θ
z 2 r 2 + a 4 − 2 r za2 cos θ
⎝
q
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
A Figura 3.6 mostra algumas curvas equipotenciais obtidas de (Ex.20).
Exemplo 3.3 – Um condutor cilíndrico longo é posicionado paralelamente a um
plano aterrado e está ligado a uma fonte de potencial fixo Vo. A Figura 3.7 mostra
este esquema. Vamos calcular o potencial elétrico em todo o espaço acima do
plano e em torno do condutor. Se o condutor estivesse isolado, sua carga estaria
distribuída uniformemente em sua superfície e a carga imagem correspondente
estaria posicionada em seu centro geométrico. Contudo, em virtude da
proximidade com o plano aterrado, a carga superficial no cilindro está concentrada
na face mais próxima do plano e, como mostra a Figura 3.7, a carga imagem está
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2
0
1
(xa)
2
3
4
1
(xa)
10
0
5
2
1
0
-1
0.7
0
0.5
0.1
0.15
0.2
0.3
-2
Figuras 3.6 – Equipotenciais para o problema da carga pontual próxima da esfera aterrada no
plano que contém a carga e o centro da esfera. As distâncias são normalizadas para o raio da
esfera. Os potenciais são normalizados para
q
4πε o a
.
deslocada para a posição z1. Definimos esta carga pela densidade linear λ.
Existem duas condições de contorno a satisfazer: potencial na superfície do
cilindro igual a Vo e potencial nulo no plano aterrado. A fim de satisfazer a
segunda, devemos ter uma carga imagem -λ na posição simétrica em relação ao
plano. Esta posição medida em relação ao centro geométrico do cilindro é dada
por z2 = 2 h − z1 . Para o cálculo do potencial de uma distribuição retilínea e
112
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uniforme de cargas, vamos utilizar a aproximação para uma linha de cargas de
comprimento infinito. Este resultado foi obtido no Capítulo 1 na equação (1.17):
(Ex.21)
r
e=
λ )
s
2πε o s
ϕ = Vo
λ
a
z1
r
+++
s1
h
ϕ =0
____
s2
− λ
z2
Figura 3.7 – Esquema geométrico para cálculo do potencial e campo elétrico no problema do
condutor cilíndrico sobre um plano condutor aterrado usando o método das imagens.
A linha de carga na Figura 3.7 está a uma distância d do plano. Assumindo que o
potencial nessa distância é nulo, obtemos o potencial para outra posição qualquer
integrando a equação (Ex.21):
(Ex.22)
dr
r
ϕ ( d ) − ϕ ( s ) = − ∫ e.ds = −
s
λ d ds
λ
⎛d ⎞
=−
ln⎜ ⎟
∫
2πε o s s
2πε o ⎝ s ⎠
113
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Substituindo ϕ ( d ) = 0 , obtemos:
(Ex.23)
ϕ( s ) =
λ
⎛d ⎞
ln⎜ ⎟
2πε o ⎝ s ⎠
Com base neste resultado podemos escrever o potencial em uma posição
qualquer acima do plano aterrado na forma:
(Ex.24)
ϕ ( s1 , s2 ) =
⎛d ⎞
⎛ d ⎞
⎛s ⎞
λ
λ
λ
ln⎜⎜ ⎟⎟ −
ln⎜⎜ ⎟⎟ =
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
2πε o ⎝ s1 ⎠ 2πε o ⎝ s2 ⎠ 2πε o ⎝ s1 ⎠
Onde s1 e s2 são as distâncias em relação às cargas imagens λ e -λ,
respectivamente. De acordo com a Figura 3.7, essas distâncias podem ser
escritas em relação ao centro geométrico do cilindro na forma:
(Ex.25)
s1 = r 2 + z12 − 2 r z1 cos θ
(Ex.26)
s2 = r 2 + z22 − 2 r z2 cos θ
A equação (Ex.24) mostra que a condição de contorno no plano aterrado é
satisfeita, pois para qualquer posição no plano, s1 = s2 , e com isso, (Ex.24)
resulta em potencial nulo. Na superfície do cilindro o potencial é Vo. Então
podemos escrever:
(Ex.27)
Vo =
⎛s ⎞
λ
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
2πε o ⎝ s1 ⎠ r = a
Isso nos leva à condição:
(Ex.28)
⎛ s2
⎜⎜
⎝ s1
⎞
⎟⎟
=K
⎠r =a
onde K é uma constante a determinar. Substituindo (Ex.25) e (Ex.26) em (Ex.28),
resulta:
(Ex.29)
a 2 + z22 − 2a z2 cos θ = k 2 a 2 + k 2 z12 − 2 k 2 a z1 cos θ
de onde obtemos as seguintes relações:
ka = z2
(Ex.30)
kz1 = a
2
k z1 = z2
→
z1 z2 = a 2
k=
a z2
=
z1
a
114
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2
A fim de determinar o valor de z1 podemos substituir z2 = a
obtido acima na
z1
equação z2 = 2 h − z1 . Fazendo isso, resulta:
(Ex.31)
z12 − 2 hz1 + a 2 = 0
A solução válida para z1 é:
(Ex.32)
z1 = h − h 2 − a 2
Com isso, substituindo nas relações (Ex.30), obtemos também z2 e k:
a2
= h + h2 − a2
(Ex.33)
z2 =
(Ex.34)
h
⎛h⎞
k=
= + ⎜ ⎟ −1
⎝a⎠
h − h2 − a2 a
2
h− h −a
2
2
a
A densidade da carga imagem é obtida de (Ex.27) com a substituição de (Ex.28):
(Ex.35)
λ=
2 πεo
ln (k )
Vo =
2 πεo
⎡
⎤
2
h
⎛h⎞
⎢
ln
+ ⎜ ⎟ −1 ⎥
⎢a
⎥
⎝a⎠
⎣
⎦
Vo
Voltando a expressão (Ex.24) do potencial em uma posição qualquer acima do
plano e substituindo a densidade de carga imagem, teremos:
(Ex.36)
ϕ( s1 , s2 ) =
Vo
⎡
2
h
⎛h⎞
⎢
+ ⎜ ⎟
ln
⎢a
⎝a⎠
⎣
⎛s
ln⎜⎜ 2
⎤ ⎝ s1
−1⎥
⎥
⎦
⎞
⎟⎟
⎠
onde s1 e s2 são dadas em (Ex.25) e (Ex.26). A Figura 3.8 mostra a distribuição de
campo elétrico no espaço em torno do condutor cilíndrico para um potencial
unitário aplicado. Note que o campo é perpendicular às superfícies do cilindro e do
plano aterrado.
115
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2
1.5
1
(xa)
0.5
a
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
(xa)
Figura 3.8 – Linhas equipotenciais e vetores de campo elétrico no problema do cilindro condutor
sobre um plano condutor aterrado. As distâncias estão normalizadas para o raio do cilindro.
Equação de Laplace
Um dos problemas centrais da eletrostática é o cálculo do potencial elétrico
quando a distribuição de cargas não é conhecida a priori, mas o potencial em
certas regiões de contorno do espaço é especificado. Como vimos nos exemplos
anteriores, o método das imagens é uma abordagem possível para sistemas com
geometrias relativamente simples. Um método de aplicação mais geral é baseado
na obtenção de soluções para o sistema de equações diferenciais formado pela lei
de Gauss e pela equação (3.1). Substituindo o campo elétrico na lei de Gauss
pela sua expressão como o gradiente do potencial elétrico, obtemos:
(3.10)
∇ 2ϕ = −
ρ
εo
116
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onde o operador Laplaciano é obtido como ∇ 2 ϕ = ∇ ⋅ (∇ϕ) . Esta equação é
denominada de equação de Poisson. Na ausência de cargas livres no meio, ou
seja, onde a densidade macroscópica de cargas seja nula, obtemos um caso
particular de grande importância, denominado de equação de Laplace:
(3.11)
∇2ϕ = 0
As condições de contorno para a obtenção de soluções particulares para o
potencial elétrico em todos os pontos internos de um volume são definidas pelos
potenciais nas suas superfícies limítrofes. A forma geométrica dessas superfícies
determina, em geral, o sistema de coordenadas mais adequado a ser usado na
representação do operador laplaciano. Como (3.11) é uma equação diferencial
linear, suas soluções particulares podem ser combinadas linearmente para obter
novas soluções, ou seja: se ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., são soluções da equação de Laplace,
então, a combinação linear dessas funções na forma:
(3.12)
ϕ = ∑ a n ϕn
n
também é uma solução. Os coeficientes an são constantes. Por outro lado, podese demonstrar que uma solução da equação de Laplace que satisfaça as
condições de contorno especificadas é única, ou seja, não existe duas soluções
diferentes para o mesmo conjunto de condições de contorno.
Equação de Laplace em coordenadas retangulares:
Em coordenadas retangulares a equação de Laplace é dada por:
(3.13)
∂ 2ϕ
∂x 2
+
∂ 2ϕ
∂y 2
+
∂ 2ϕ
∂z 2
=0
Uma solução geral em coordenadas retangulares pode ser obtida com o método
de separação de variáveis. Supondo que podemos encontrar três funções
independentes X(x), Y(y) e Z(z), tal que:
(3.14)
ϕ( x, y, z ) = X( x ) Y( y ) Z( z )
seja uma solução da equação de Laplace, podemos substituir esta expressão em
(3.13) para obter:
117
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(3.15)
YZ
d2 X
dx 2
+ XZ
d2 Y
dy 2
+ XY
d2 Z
dz 2
=0
Dividindo toda a expressão por XYZ, obtemos:
(3.16)
1 d2 X 1 d2 Y 1 d2 Z
+
+
=0
X dx 2 Y dy 2 Z dz 2
Como cada termo nesta equação depende apenas de uma coordenada, para que
a soma seja nula em qualquer posição do espaço, cada termo deve ser igual a
uma constante,
isto é, podemos separar (3.16) em três outras equações
independentes:
1 d2 X
= k 2x
X dx 2
(3.17)
1 d2 Y
= k 2y
Y dy 2
1 d2 Z
= k 2z
2
Z dz
onde kx, ky e kz são denominadas de constantes de separação e devem satisfazer
a seguinte relação:
(3.18)
k 2x + k 2y + k 2z = 0
Consideremos a equação na coordenada x e vamos avaliar as possibilidades de
solução. Uma solução geral pode ser obtida pelo método habitual, substituindo
X = X o e αx . Fazendo isso, encontramos que o coeficiente α deve satisfazer a
relação α 2 = k 2x . Assim, temos as seguintes possibilidades:
Se k 2x = 0 , α é nulo mas a solução geral é:
(3.19)
X = ax+b
onde a e b são constantes;
Se k 2x > 0 , α é um número real que admite dois valores: α = ±k x . Então, a
solução geral é dada por:
(3.20)
X = X1 e k x x + X 2 e −k x x
118
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Se k 2x < 0 , α é um número imaginário que admite dois valores: α = ± jβ x , onde
β x = k x . Então, a solução geral é dada por:
X = X1 e jβ x x + X 2 e − jβ x x
(3.21)
Esta última equação pode ser reescrita em uma forma mais conveniente usando a
equação de Euler: e jφ = cos φ + j senφ . Fazendo isso, obtemos:
X = (X1 + X 2 )cos(β x x ) + j(X1 − X 2 )sen(β x x )
(3.22)
Uma vez que X representa uma grandeza física, esta equação deve fornecer um
valor real. Para que isso ocorra, os coeficientes X1 e X2 devem ser números
complexos conjugados. Então, (3.22) pode ser escrita na forma:
X = A 1 cos(β x x ) + A 2 sen(β x x )
(3.23)
onde A1 e A2 são coeficientes reais.
Para que (3.18) seja satisfeita, devemos ter um ou dois termos negativos.
Digamos que k 2x < 0 e k 2y < 0 . Neste caso k 2z = −k 2x − k 2y > 0 .
As soluções
possíveis são:
(3.24)
X = A 1 cos(β x x ) + A 2 sen(β x x )
(3.25)
Y = B1 cos(β y y ) + B 2 sen(β y y )
(3.26)
Z = C1 e α z + C 2 e −α z
onde β x = k x , β y = k y e α = β 2x + β 2y .
z
Exemplo 3.4 – Dois planos condutores infinitos e paralelos em z = − o
z
z= o
2
2
e
estão ligados a potenciais fixos V1 e V2 . O potencial entre os planos é
independente das coordenadas x e y. Assim, a solução de (3.18) é
k x2 = k y2 = k z2 = 0 e a solução da equação de Laplace é:
(Ex.37)
ϕ = az + b
119
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z
Aplicando as condições de contorno ϕ⎛⎜ − o ⎞⎟ = V1 e
2⎠
⎝
a = (V2 − V1 )
zo
e b = (V2 + V1 )
z
ϕ⎛⎜ o ⎞⎟ = V2 , obtemos
⎝ 2⎠
. Assim, o potencial em todos os pontos entre os
2
planos é dado por:
(Ex.38)
ϕ=
(V2 − V1 )
(V + V1 )
z+ 2
zo
2
O campo elétrico neste espaço é uniforme e perpendicular aos planos:
(Ex.39)
r
(V − V1 ) )
e = −∇ϕ = − 2
z
zo
Exemplo 3.5 – Na Figura 3.9 os planos x = 0 e x = a estão no potencial nulo e o
plano z = 0 está no potencial Vo . Uma vez que o volume se estende a infinito na
direção z, o termo exponencial crescente em (3.26) deve ser eliminado pela
escolha de C1 = 0 . Os planos são infinitos na direção y, por isso o potencial não
varia nessa direção e β y = 0 . Assim, a solução geral para o potencial assume a
forma:
(EX.40)
ϕ = [A1 cos( β x x ) + A2 sen( β x x )] e −α z
onde α = β x . As condições de contorno restantes são: ϕ( x = 0 , z ≥ 0 ) = 0 ,
ϕ( x = a, z ≥ 0 ) = 0 e ϕ( 0 ≤ x ≤ a, z = 0 ) = Vo . Para que o potencial se anule no
plano x=0, o coeficiente A1 deve ser nulo. Por outro lado, para que o potencial se
anule no plano x=a, devemos ter:
(Ex.41)
sen( β x a ) = 0
→
βx =
nπ
a
onde ‘n’ é qualquer número inteiro. Esta equação mostra que existem infinitas
soluções particulares que satisfazem as condições de contorno nos planos x=0 e
x=a. Uma solução geral, então, pode ser obtida pela superposição dessas
soluções particulares na forma (3.12):
(Ex.42)
ϕ = ∑ an sen(
n
− nπz
nπ
a
x) e
a
120
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x
ϕ=0
a
ϕ = Vo
ϕ=0
0
z
Figura 3.9 – Cálculo do potencial no espaço entre três planos condutores. Os planos são infinitos
na direção y. Não há contato entre o plano z=0 e os planos x=0 e x=a.
A fim de satisfazer a última condição de contorno, devemos ter:
(Ex.43)
Vo = ∑ an sen(
n
nπ
x)
a
Para obter os coeficientes an que satisfazem esta equação, podemos utilizar o
método da série de Fourier (Apêndice 3.1). Neste caso, basta multiplicar ambos os
lados de (Ex.43) por sen(
mπ
x ) , onde ‘m’ é um número inteiro, e integrar na
a
variável x nos limites de 0 a ‘a’:
a
(Ex.44)
∫ Vo sen(
0
a
mπ
nπ
mπ
x ) dx = ∑ an ∫ sen( x )sen(
x ) dx
a
a
a
n
0
Para integral no lado direito temos:
a
(Ex.45)
∫ sen(
0
⎧ a se n =m
nπ
mπ
x )sen(
x ) dx = ⎨ 0 2se n ≠ m
a
a
⎩
Com isso, o coeficiente an é dado por:
(Ex.46)
an =
2Vo 1 − cos( nπ )
2a
nπ
∫ Vo sen( x ) dx =
a0
a
n
π
Vemos que apenas os termos pares são não nulos nesta série, ou seja:
(Ex.47)
4Vo
para n = 1,3 ,5 ,...
nπ
an = 0 para n = 0 ,2 ,4 ,..,.
an =
121
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Assim, a solução para o potencial é obtida na forma:
ϕ=
(Ex.48)
− nπz
4Vo
1
nπ
a
sen( x ) e
∑
a
π n ímpar n
A Figura 3.10 mostra um conjunto de linhas equipotenciais normalizadas obtidas a
partir desta equação.
1
x(a)
0.8
0.6
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
z(a)
Figura 3.10 – Linhas equipotenciais normalizadas para
4Vo
obtidas na análise dos planos
π
condutores. As distâncias estão normalizadas para a separação ‘a’ entre os planos
perpendiculares ao eixo x. Foram usadas apenas as funções com índice de 1 a 11.
Exemplo 3.6 – A Figura 3.11 mostra uma situação mais realista do que a análise
anterior. Neste caso os planos são limitados na direção y e existem planos de
potencial nulo em y=0 e y=b. A solução geral neste caso é semelhante a (Ex.40)
mas devemos acrescentar a dependência na coordenada y:
(EX.49)
[
]
ϕ = [A1 cos( β x x ) + A2 sen( β x x )] B1 cos( β y y ) + B2 sen( β y y ) e − α z
A fim satisfazer as condições de contorno:
ϕ( x = 0 ,0 ≤ y ≤ b , z ≥ 0 ) = 0
e
ϕ( 0 ≤ x ≤ a , y = 0 , z ≥ 0 ) = 0 , devemos ter A1 = 0 e B1 = 0 . De modo análogo ao
122
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que foi feito no exemplo anterior, a fim satisfazer as condições de contorno:
ϕ( x = a ,0 ≤ y ≤ b , z ≥ 0 ) = 0 e ϕ( 0 ≤ x ≤ a, y = b, z ≥ 0 ) = 0 , devemos ter:
x
a
ϕ=0
ϕ = Vo
ϕ=0
y
ϕ=0
b
ϕ=0
0
z
Figura 3.11 – Cálculo do potencial entre 5 planos condutores. Não há contato entre os planos em
x=0, x=a, y=0, y=b e o plano z=0.
(Ex.50)
sen( β x a ) = nπ
→
βx =
nπ
a
(Ex.51)
sen( β y b ) = mπ
→
βy =
mπ
b
onde n e m são inteiros. De acordo com (3.18), a constante α é dada por:
2
(Ex.52)
⎛n⎞
⎛m⎞
α = β 2x + β 2y = π ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝b⎠
⎝a⎠
2
Como vimos antes, a solução geral pode ser escrita na forma de uma série. Neste
caso temos uma série dupla nas variáveis x e y:
(Ex.53)
ϕ = ∑ ∑ anm sen(
nm
Finalmente,
para
nπ
mπ
x ) sen(
y ) e − αz
a
b
satisfazer
a
condição
de
contorno
final,
ϕ( 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b, z = 0 ) = 0 devemos ter:
(Ex.54)
Vo = ∑ ∑ anm sen(
nm
nπ
mπ
x ) sen(
y)
a
b
123
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Usando o mesmo método aplicado anteriormente, devemos multiplicar ambos os
lados da equação anterior por sen(
pπ
qπ
x ) sen( y ) e integrar nos limites 0 a ‘a’ em
a
b
x e 0 a ‘b’ em y. Fazendo isso, obtemos:
ba
∫ ∫ Vo sen(
(Ex.55)
00
pπ
qπ
x ) sen( y )dxdy =
a
b
⎡a
⎤ ⎡b
⎤
pπ
nπ
mπ
qπ
y ) sen( y )dy ⎥
∑ ∑ anm ⎢ ∫ sen( x ) sen( x )dx ⎥ ⎢ ∫ sen(
a
a
b
b
nm
⎣0
⎦ ⎣0
⎦
As integrais têm os seguintes resultados:
a
(Ex.56)
∫ sen(
0
b
(Ex.57)
∫ sen(
0
⎧ a se p = n
pπ
nπ
x ) sen( x )dx = ⎨ 0 2se p ≠ n
a
a
⎩
⎧ b se q = m
qπ
mπ
y ) sen(
y )dy = ⎨ 0 2se q ≠ m
b
b
⎩
ba
∫ ∫ Vo sen(
00
(Ex.58)
mπ
nπ
x ) sen(
y )dxdy =
b
a
⎧V 4 ab se n e m ímpar
ab [1 − cos( nπ )] [1 − cos( mπ )] ⎪ o π 2 nm
Vo
= ⎨ 0 se n ou m par
n
m
π2
⎪
⎩
Com estes resultados em (Ex.55), obtemos os valore de anm na forma:
(Ex.59)
⎧V 16 para n e m ímpar
⎪ o π 2 nm
anm = ⎨ 0 para
n ou m par
⎪
⎩
E o potencial em todos os pontos internos do volume definido na Figura 3.11 é
dado por:
(Ex.60)
ϕ = Vo
16
π2
∑
∑
n
m
ímpar ímpar
1
nπ
mπ
sen( x ) sen(
y ) e − αz
nm
a
b
As Figuras 3.12 e 3.13 mostram as distribuições de potencial em dois planos neste
volume: o plano z=0 e o plano z=a, sendo a=b. Nos cálculos referentes a estas
figuras, a série (Ex.60) foi truncada no termo com n=11 e m=11. Observe que,
devido ao truncamento, o potencial uniforme Vo no plano z=0 é aproximado por
124
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uma função oscilatória no plano xy. Aumentando o número de termos na série
truncada, a resposta obtida deve se aproximar cada vez mais de um potencial
uniforme no valor Vo.
ϕ ( x ,y ,z = 0 )
x(a)
y(a)
Figura 3.12 – Distribuição de potencial no plano z=0 representada pelos termos de n=1 e m=1 a
n=11 e m=11 na série (Ex.60). As distâncias estão normalizadas para a largura a (a=b) dos planos
x e y. O potencial está normalizado para
Vo .
ϕ ( x , y , z = 0 .1a )
x(a)
y(a)
Figura 3.13 – Distribuição de potencial no plano z=0.1a representada pelos termos de n=1 e m=1 a
n=11 e m=11 na série (Ex.60). As distâncias estão normalizadas para a largura a (a=b) dos planos
x e y. O potencial está normalizado para
Vo .
125
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Equação de Laplace em coordenadas cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas, a equação de Laplace é descrita pela expressão:
1 ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ 1 ∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ
+
=0
⎜s ⎟ +
s ∂s ⎝ ∂s ⎠ s 2 ∂φ 2 ∂z 2
(3.27)
Procedendo à separação de variáveis, teremos:
ϕ( s, φ, z ) = F( s, φ) Z( z )
(3.28)
Substituindo em (3.27) e dividindo todos os termos por FZ, obtemos:
1 ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂F ⎞ 1 ∂ 2F ⎤ 1 d2 Z
=0
⎥+
⎢
⎜s ⎟ +
F ⎢⎣ s ∂s ⎝ ∂s ⎠ s 2 ∂φ 2 ⎥⎦ Z dz 2
(3.29)
O segundo termo deve ser igual a uma constante. Temos então:
d2 Z
(3.30)
dz
2
= k 2Z
e o primeiro termo pode ser reescrito na forma:
(3.31)
s
∂ ⎛ ∂F ⎞ ∂ 2F
+ k 2 s 2F = 0
⎜s ⎟ +
∂s ⎝ ∂s ⎠ ∂φ 2
Aplicando novamente a separação de variáveis, substituímos F( s, φ) = S(s) Φ( φ) e
obtemos:
(3.32)
1 ⎡ d ⎛ dS ⎞⎤ 1 d2 Φ
s ⎜s
+ k 2s2 = 0
⎟⎥ +
⎢
2
S ⎣ ds ⎝ ds ⎠⎦ Φ dφ
O segundo termo deve ser uma constante. Por conveniência, em virtude da
necessária periodicidade em relação ao ângulo azimutal, podemos atribuir a esta
constante um valor negativo a priori. Com isso, temos as equações separadas:
(3.33)
(3.34)
d2 Φ
dφ
s2
2
= −n 2 Φ
d2 S
ds
2
+s
dS
+ (k 2 s 2 − n 2 )S = 0
ds
onde, a fim de haver periodicidade na coordenada azimutal, n deve ser real e
inteiro. Vamos obter agora as soluções para as funções S, Φ e Z. As soluções
126
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para (3.30) e (3.33) são bem conhecidas. Neste estudo, iremos tratar apenas de
situações nas quais a constante k é real. Então, para as funções Φ e Z, temos:
(3.35)
(3.36)
Z = az + b
se
k2 = 0
Z = A 1e kz + A 2 e − kz
se
k2 > 0
Φ = B1 cos(nφ) + B 2 sen(nφ)
Por outro lado, a solução de (3.34) tem três possibilidades:
1) k=0 e n=0; Neste caso (3.34) pode ser reescrita na forma:
(3.37)
s
d2 S
ds 2
+
dS
d ⎛ dS ⎞
=0 →
⎜s
⎟=0
ds
dt ⎝ ds ⎠
cuja solução geral é:
(3.38)
S = C1 ln (s) + C 2
2) Se k=0 mas n≠0, temos:
(3.39)
s2
d2 S
ds 2
+s
dS
− n2S = 0
ds
Cuja solução geral é dada por:
(3.40)
S = C1 sn + C 2 s −n
E, finalmente, para k diferente de zero, (3.34) é a equação diferencial de Bessel
(Apêndice 3.2), cujas soluções são Jn (ks) e Nn (ks) , as funções de Bessel de
primeira e segunda espécie de ordem n, respectivamente. A solução geral de
(3.34) pode, então, ser escrita na forma:
(3.41)
Sn (s) = C1n Jn (ks) + C 2n Nn (ks)
Exemplo 3.7 – Um cabo coaxial tem seu condutor externo (raio b) aterrado e seu
condutor interno (raio a) ligado a um potencial Vo (Figura 3.15). Se o cabo é muito
longo e estamos interessados no potencial longe das extremidades, definindo o
eixo z como sendo o eixo de simetria axial dos condutores, podemos verificar que
o potencial não depende das coordenadas z e φ. Assim, temos k=0 e n=0. A
solução para o potencial é, então, dada por:
(Ex.61)
ϕ( s ) = C1 ln (s ) + C2
127
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2b
2a
Vo
Figura 3.15 – Análise de um cabo coaxial longo.
Aplicando as condições de contorno ϕ( a ) = Vo e ϕ( b ) = 0 , teremos:
(Ex.62)
Vo = C1 ln (a ) + C2
0 = C1 ln (b ) + C2
Resolvendo para os coeficientes C1 e C2, obtemos:
C1 =
(Ex.63)
Vo
ln a
( b)
V ln( b )
C2 = − o
ln a
b
( )
Com isso, a solução para o potencial dentro do cabo coaxial é dada por:
(Ex.64)
ϕ( s ) =
Vo
ln a
Vo
V ln( b )
=
ln( s )
ln( s ) − o
b
a
a
ln
ln
b
b
b
( )
( )
( )
Exemplo 3.8 – A Figura 3.16 mostra uma calha semi-cilíndrica condutora de
comprimento infinito ligada a um potencial fixo Vo e apoiada, mas sem contato
elétrico, em um plano condutor aterrado. Se posicionarmos o eixo z paralelamente
ao comprimento da calha saberemos que o potencial elétrico não dependerá da
coordenada z. Portanto temos k=0. Uma vez que o potencial é finito em qualquer
128
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posição do espaço, a solução da equação de Laplace dentro da calha deve
envolver apenas as potências positivas da coordenada s e para fora da calha
apenas as potências negativas de s. Temos então:
∞
(Ex.65)
ϕ( s , φ ) = ∑ [c n cos (nφ) + bn sen(nφ)]s n
(Ex.66)
ϕ( s , φ ) = ∑ [c n cos (nφ) + bn sen(nφ)]s − n
para s ≤ a
n =1
∞
n =1
para s ≥ a
ϕ =Vo
s
a
φ
ϕ=0
Figura 3.16 – Calha semicircular condutora ligada a um potencial fixo sobre um plano condutor
aterrado.
Aplicando agora as condições de contorno
para o potencial sobre o plano:
ϕ( 0 ≤ s ≤ a, φ = 0 ) = 0 e ϕ( 0 ≤ s ≤ a , φ = π ) = 0 , verificamos que os coeficientes cn
devem ser nulos. Aplicando a condição para a calha, ϕ( s = a,0 < φ < π ) = Vo ,
obtemos as relações:
(Ex.67)
(Ex.68)
∞
Vo = ∑ bn a n sen(nφ)
n =1
para s ≤ a
∞
Vo = ∑ bn a − n sen (nφ) para s ≥ a
n =1
Usando o método da série de Fourier, os coeficientes bn podem ser calculados
pelas expressões:
129
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(Ex.69)
⎧ 2Vo 1 se n ímpar
⎪ nn
V
bn = o ∫ sen( nφ ) dφ = ⎨ 0πase n par
n
πa 0
⎪
⎩
para s ≤ a
(Ex.70)
⎧ 2Vo 1 se n ímpar
⎪ −n n
V
bn = o ∫ sen( nφ ) dφ = ⎨ 0πase n par
πa − n 0
⎪
⎩
para s ≥ a
π
π
Com isso, as soluções na forma de série de Fourier são dadas por:
(Ex.71)
2V
⎛ s ⎞ sen(nφ)
ϕ( s , φ ) = o ∑ ⎜ ⎟
n
π n ímpar ⎝ a ⎠
(Ex.72)
ϕ( s , φ ) =
n
2Vo
⎛s⎞
∑ ⎜ ⎟
π n ímpar ⎝ a ⎠
−n
para s ≤ a
sen (nφ)
para s ≥ a
n
A Figura 3.17 mostra uma distribuição de linhas equipotenciais no plano
transversal à calha, obtidas a partir das equações acima com truncamento da
série no termo n=99.
2
(xa)
0.4
0.3
1
1
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-2
-1
0
1
2
(xa)
Figura 3.17 – Linhas equipotenciais no problema da calha semicircular. Os potenciais estão
normalizados para Vo e as distâncias para ‘a’.
130
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Exemplo 3.9 – A Figura 3.18 mostra uma cavidade cilíndrica condutora na qual
todas as superfícies menos a tampa superior estão aterradas. A tampa superior,
por sua vez, está no potencial Vo. Usando convenientemente a simetria azimutal
em torno do eixo do cilindro, verificamos que a solução geral deve assumir o valor
n=0 para a função da coordenada φ. Além disso, como a região de análise envolve
a origem, s=0, a função radial deve conter apenas funções de Bessel de primeira
espécie. A expressão para o potencial tem, então, a forma geral:
(Ex.73)
(
)
ϕ( s , z ) = A1 e kz + A2 e −kz J o ( ks )
z
ϕ = Vo ← z = L
ϕ=0
s
ϕ=0
←z=0
Figura 3.18 – Condições de contorno para cálculo do potencial dentro de uma cavidade cilíndrica
Aplicando a condição de contorno ϕ( 0 ≤ s ≤ a , z = 0 ) = 0 , teremos:
(Ex.74)
0 = (A1 + A2 ) J o ( ks )
→
A2 = − A1
Então, o potencial pode ser escrito na forma:
(Ex.75)
(
)
ϕ( s , z ) = A1 e kz −e −kz J o ( ks ) = A senh( kz ) J o ( ks )
Aplicando a condição de contorno ϕ( s = a , 0 ≤ z < L ) = 0 , teremos:
131
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(Ex.76)
0 = A senh( kz ) J o ( ka )
→
x
k m = om
a
Como existem infinitas funções que satisfazem as condições de contorno
anteriores, podemos propor que a solução geral é a combinação linear dessas
funções:
(Ex.77)
∞
⎛x
⎞ ⎛x
⎞
ϕ( s , z ) = ∑ c m senh⎜ om z ⎟ J o ⎜ om s ⎟
⎝ a
⎠ ⎝ a ⎠
m =1
Aplicando agora a condição ϕ( 0 ≤ s ≤ a, z = L ) = Vo , teremos:
(Ex.78)
∞
⎛x
⎞ ⎛x
⎞
Vo = ∑ c m senh⎜ om L ⎟ J o ⎜ om s ⎟
⎝ a
⎠ ⎝ a ⎠
m =1
Comparando com a expressão geral da expansão em série de funções de Bessel
(A.100) e (A.101) no Apêndice 3.2, concluímos que os coeficientes cm devem ser
calculados por:
(Ex.79)
⎛x
c m senh⎜ om
⎝ a
a
2 Vo
⎞
⎛x
⎞
L⎟=
s J o ⎜ om s ⎟ ds
∫
2
2
⎝ a ⎠
⎠ a J1 ( x om ) 0
Consultando uma tabela de integrais de funções de Bessel verificamos que:
∫ x J o ( x ) dx = x J1 ( x ) . Com isso, temos:
a
⎛ x om ⎞
s ⎟ ds =
∫ s Jo ⎜
x om
⎝ a
⎠
0
a
(Ex.80)
a
⎡
a2
⎛ x om ⎞⎤
sJ
s
=
J1 (x om )
⎜
⎟
1
⎥
⎢
⎝ a
⎠⎦ 0 x om
⎣
Assim, substituindo este último resultado em (Ex.79), obtemos cm na forma:
(Ex.81)
cm =
2 Vo
⎛x
⎞
x om J1 ( x om ) senh⎜ om L ⎟
⎝ a
⎠
e a solução para o potencial em (Ex.77) torna-se:
(Ex.82)
⎞
⎞ ⎛x
⎛x
senh⎜ om z ⎟J o ⎜ om s ⎟
∞
⎠
⎠ ⎝ a
⎝ a
ϕ( s , z ) = 2 Vo ∑
x
⎞
⎛
m =1
x om J1 ( x om ) senh⎜ om L ⎟
⎠
⎝ a
A Figura 3.19 mostra a superposição dos 10 primeiros termos da série acima na
composição do potencial na tampa superior da cavidade.
132
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Figura 3.19 – Representação do potencial na tampa superior da cavidade cilíndrica por meio da
série (Ex.82) truncada no termo m=10. O potencial está normalizado para Vo.
Equação de Laplace em coordenadas esféricas
Em coordenadas esféricas a equação de Laplace é escrita na forma:
(3.42)
∂ ⎛ 2 ∂ϕ ⎞
∂ϕ ⎞
1 ∂ ⎛
1 ∂ 2ϕ
=0
⎜r
⎟+
⎜ senθ ⎟ +
∂r ⎝ ∂r ⎠ senθ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ sen 2 θ ∂φ 2
Aplicaremos a separação de variáveis em duas etapas. Inicialmente, escrevemos
o potencial na forma:
(3.43)
ϕ(r, θ, φ) = R(r ) F( θ, φ)
Substituindo em (3.42), teremos:
(3.44)
d ⎛ 2 dR ⎞
2
⎜r
⎟=k R
dr ⎝ dr ⎠
133
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(3.45)
sen θ
∂ ⎛
∂F ⎞ ∂ 2F
2
2
⎜ senθ ⎟ + 2 = −k sen θ
∂θ ⎝
∂θ ⎠ ∂φ
Agora, substituímos a função F em (3.45) por: F(θ, φ) = Fθ Fφ . Obtemos com isso:
(3.46)
(3.47)
d2Fφ
dφ
2
senθ
= −m 2Fφ
(
)
dF ⎞
d ⎛
⎜ senθ θ ⎟ + k 2 sen 2 θ − m 2 Fθ = 0
dθ ⎝
dθ ⎠
A equação radial (3.44) pode ser reescrita na forma:
(3.48)
r
2
d2R
dr
2
+ 2r
dR
− k 2R = 0
dr
e sua solução é dada por:
(3.49)
R(r ) = A1 r n + A 2 r −(n +1)
onde k 2 = n(n + 1) . Esta solução pode ser facilmente verificada por substituição
em (3.48).
A equação na coordenada azimutal tem uma solução bem conhecida e já utilizada
anteriormente. Em virtude da periodicidade nessa coordenada, o valor de m é
necessariamente real e a solução é obtida como a soma de funções sen(mφ) e
cos(mφ). Contudo, neste estudo, trataremos apenas de problemas que
apresentam simetria azimutal. Nesse caso, m=0 e Fφ = cte.
A equação na coordenada polar pode ser reescrita em uma forma geral bem
conhecida com a seguinte substituição em (3.47):
(3.50)
cos θ = x
→
senθ = 1 − x 2
→
d
d
= − 1− x 2
dθ
dx
Com isso, obtemos a equação na coordenada polar na forma:
(3.50)
(
)
⎡ 2
d ⎡
m2 ⎤
2 dFx ⎤
+
−
−
1
x
k
⎢
⎥ Fx = 0
dx ⎢⎣
dx ⎥⎦ ⎣⎢
1 − x 2 ⎦⎥
com k 2 substituído por n(n + 1) , esta equação é denominada de equação
diferencial associada de Legendre e suas soluções são as funções associadas de
134
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Legendre. Contudo, trataremos apenas de casos em que m=0, e assim, (3.50)
pode ser escrita na forma mais simples:
(3.50)
(1− x ) dx 2
2
d2Fx
− 2x
dFx
+ n(n + 1) Fx = 0
dx
cujas soluções são os polinômios de Legendre (Apêndice 3.3).
Exemplo 3.10 – A Figura 3.20 mostra dois hemisférios ligados a potenciais
opostos. Evidentemente, com o ângulo φ sendo medido da forma indicada, a
figura apresenta simetria azimutal. Neste caso, a solução geral para o potencial
em todo o espaço é dada pelo produto da função radial R(r) com o polinômio de
Legendre:
(Ex.83)
[
]
ϕ( r , θ ) = A1 r n + A2 r −( n +1 ) Pn (cos θ )
Mas, como o potencial é finito em qualquer posição do espaço, esta equação deve
ser separada em uma solução interna e noutra solução externa aos hemisférios:
(Ex.84)
ϕ( r , θ ) = An r n Pn (cos θ )
(Ex.85)
ϕ( r , θ ) = An r −( n +1 ) Pn (cos θ )
para
r ≤a
para r ≥ a
A condição de contorno sobre os hemisférios é descrita por:
(Ex.86)
⎧⎪ Vo para 0 ≤ θ < π
2
ϕ( r = a, θ ) = f ( θ ) = ⎨ −V
π
⎪⎩ o para 2 < θ ≤ π
Para a solução interna satisfazer esta condição de contorno é necessário
combinar linearmente infinitas soluções do tipo (Ex.84). Assim, para r ≤ a , temos:
(Ex.87)
∞
f ( θ ) = ∑ An a n Pn (cos θ )
0
De acordo com (A.119) e (A.120) no Apêndice 3.3, podemos obter os coeficientes
An desta série
Pela expressão:
(Ex.88)
An =
2n + 1 1
∫ f ( x ) Pn ( x ) dx
2 a n −1
onde a função f ( θ ) escrita na variável x é dada por:
135
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(Ex.89)
para −1 ≤ x < 0
⎧ −V
f( x) = ⎨ V o
o
para
0 < x ≤1
⎩
Como f(x) é ímpar, apenas os termos ímpares da série (Ex.87) de polinômios de
Legendre tem coeficientes diferentes de zero. Assim, a equação (Ex.88) resulta
em:
(Ex.90)
An =
2n + 1
an
1
Vo ∫ Pn ( x ) dx para n ímpar
0
θ
ϕ = Vo
r
φ
ϕ = −Vo
Figura 3.20 – Hemisférios condutores ligados a potenciais opostos. Solução em coordenadas
esféricas.
Consultando uma tabela de integrais, obtemos:
(Ex.91)
Pn +1 ( x ) − Pn −1 ( x )
∫ Pn ( x ) dx =
2n + 1
Com isso e considerando que Pn (1 ) = 1 , (Ex.90) resulta em:
(Ex.92)
An =
Vo
an
[Pn −1 ( 0 ) − Pn +1 ( 0 )]
para n ímpar
Assim, obtemos a solução para r ≤ a na forma:
(Ex.93)
∞
n
⎛r ⎞
ϕ( r ≤ a, θ ) = Vo ∑ ⎜ ⎟ [Pn −1 ( 0 ) − Pn +1 ( 0 )] Pn (cos θ )
n ímpar ⎝ a ⎠
136
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De maneira análoga pode-se mostrar que para r ≥ a a solução é dada por:
(Ex.94)
∞
⎛r ⎞
ϕ( r ≥ a, θ ) = Vo ∑ ⎜ ⎟
n ímpar ⎝ a ⎠
−( n +1 )
[Pn −1 ( 0 ) − Pn +1 ( 0 )] Pn (cos θ )
A Figura 3.21 mostra algumas curvas de potencial em função do ângulo polar para
diferentes valores do quociente r
a
usando as expansões (Ex.93) e (Ex.94) até o
termo de ordem 19.
Exemplo 3.11 – Uma esfera metálica ligada a um potencial nulo é colocada em
um campo elétrico inicialmente uniforme. Evidentemente, o campo induz cargas
superficiais na esfera e essas cargas produzem um campo adicional que distorce
o campo elétrico. Podemos calcular o potencial final fora da esfera, considerando
as condições de contorno na superfície da esfera e no infinito. Uma vez que o
potencial produzido pela carga superficial se anula no infinito, a condição de
contorno no infinito é a mesma do campo elétrico uniforme, a qual é dada por:
(Ex.95)
∞
) r
ϕ( r → ∞, θ ) = − ∫ E o z ⋅ dr = −E o r cos θ
0
onde escolhemos o eixo z coincidindo com a direção do campo e definimos o
centro da esfera como a posição de potencial nulo. A solução geral para o
potencial fora da esfera é dada por:
(Ex.96)
[
]
ϕ( r , θ ) = A1 r n + A2 r − ( n +1 ) Pn (cos θ )
No infinito, esta expressão se transforma em:
(Ex.97)
ϕ( r → ∞, θ ) = A1 r n Pn (cos θ )
Para satisfazer a condição expressa em (Ex.95), devemos ter n=1 e A1 = −E o .
Além disso, sabemos que P1 (cos θ ) = cos θ . Assim, a solução que satisfaz a
condição de contorno no infinito é dada por:
(Ex.98)
[
]
ϕ( r , θ ) = − E o r + A2 r −2 cos θ
Aplicando agora a condição de contorno na superfície: ϕ( r = a , θ ) = 0 , temos:
(Ex.99)
[
]
0 = − E o a + A2 a −2 cos θ
137
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o que resulta em A2 = E o a 3 . Assim, a solução final para o potencial é dada por:
1.5
1
0.5
ϕ
Vo
r
a
0
0.1
2
-0.5
0.5
1
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
θ ( rad )
3.5
Figura 3.21 – Curvas de potencial normalizado em função do ângulo polar para quatro raios
constantes obtidas na análise dos hemisférios da Figura 3.20 usando a expansão em série de
Legendre até o termo de ordem 19.
(Ex.98)
⎡ a2 r ⎤
ϕ( r , θ ) = E o a ⎢
− ⎥ cos θ
⎢⎣ r 2 a ⎥⎦
A partir daí, podemos obter as componentes radial e polar do campo elétrico fora
da esfera pelas expressões:
(Ex.99)
(Ex.100)
er = −
⎛ a3
⎞
∂ϕ
= Eo ⎜ 2
+ 1 ⎟ cos θ
⎜ r3
⎟
∂r
⎝
⎠
⎛ a3
⎞
1 ∂ϕ
= Eo ⎜
− 1 ⎟ senθ
eθ = −
⎜r3
⎟
r ∂θ
⎝
⎠
Podemos também obter a distribuição de carga na esfera aplicando a lei de
Gauss. De acordo com outros exemplos já analisados, isto nos leva à relação
138
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σ = ε o en , onde en é o campo perpendicular na superfície do condutor, o qual, no
caso da esfera corresponde ao campo radial. Assim, a carga na superfície da
esfera é dada por:
(Ex.101)
σ = ε o er ( r = a ) = 3 ε o E o cos θ
Quando a geometria de um problema é muito complexa para cálculo do potencial
elétrico segundo os métodos apresentados nesta seção e nas seções anteriores,
existe uma alternativa geral baseada na solução da equação de Laplace por
métodos numéricos. O Apêndice 3.4 apresenta os fundamentos do método das
diferenças finitas, uma das abordagens mais utilizadas para este tipo de análise.
Potencial magnético
Analogamente ao que ocorre entre o potencial e o campo elétrico, também o
campo magnético pode ser representado por uma função da posição espacial que
está relacionada a alguma propriedade intrínseca deste campo. Segundo a Lei da
Gauss para o campo magnético, o divergente da indução magnética é sempre
r
nulo. De acordo com a identidade vetorial ∇ ⋅ ∇ × F = 0 , válida para qualquer
r
campo F , podemos sempre encontrar uma função vetorial da posição espacial tal
que a indução magnética seja obtida como o rotacional dessa função, ou seja:
r
r
(3.51) b = ∇ × a
r
Esta função a é denominada de potencial magnético e sua unidade no Sistema
Internacional é Tesla x metro [Tm] . O seu significado físico é muito menos óbvio
do que o significado do potencial elétrico e por ora aceitaremos que o potencial
magnético é apenas uma forma de simplificar o cálculo do campo magnético a
partir de uma distribuição de corrente. Por exemplo, a partir da equação (2.34),
podemos verificar que uma expressão geral para o potencial magnético de uma
distribuição de corrente estática é dada por:
r r
r r
μo
j ( r ′)
(3.52)
a( r ) =
∫∫∫ r r dv ′
4π V′ r − r ′
Além disso, podemos aplicar o rotacional em ambos os lados de (3.51) e obter
com o uso da Lei de Ampere a seguinte expressão:
139
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(3.53)
r
r
r
r
r
∂e
2r
∇ × b = ∇ × ∇ × a = ∇(∇ ⋅ a) − ∇ a = μ j + με
∂t
Contudo, a relação (3.51) não determina univocamente o potencial magnético,
pois de acordo com a identidade ∇ × ∇ϕ = 0 , é sempre possível acrescentar o
gradiente de uma função escalar arbitrária à equação (3.52) e ainda continuar
obtendo o valor correto para a indução magnética, ou seja:
r
r
r
r
(3.54) b = ∇ × (a + ∇φ ) = ∇ × a + ∇ × ∇φ = ∇ × a
A não unicidade na definição do potencial magnético permite que se arbitre um
r
valor conveniente para o ∇ ⋅ a a fim de simplificar o cálculo do próprio potencial
r
r
∂e
= 0 ), se escolhermos ∇ ⋅ a = 0 na
magnético. No caso de campos estáticos (
∂t
equação (3.53), obteremos a seguinte expressão para o laplaciano do potencial
magnético:
(3.55)
r
r
∇ 2a = −μ o j
Em termos das componentes retangulares, esta equação se desdobra nas
seguintes três equações:
∇ 2 a x = −μ j x
(3.56)
∇ 2 a y = −μ j y
∇ 2 a z = −μ j z
Convém ressaltar as semelhanças entre as equações (3.10) e (3.56). Cada
componente ortogonal do potencial magnético depende da correspondente
componente da densidade de corrente, do mesmo modo que o potencial elétrico
depende da densidade de cargas. Assim, não é de se estranhar que as soluções
para essas equações de Poisson para os potenciais elétrico e magnético não
dependentes do tempo, dadas em (3.7) e (3.52), sejam complemente análogas.
Uma extensão simples e muito útil da equação (3.52) para uma corrente em um fio
r
r
com seção transversal muito pequena é obtida pela substituição j dv = i dL . Assim,
para uma corrente filamentar, o potencial magnético pode ser calculado por:
r
r r μo
dL ′
(3.57)
a( r ) =
i∫ r r
4 π L′ r − r ′
140
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Exemplo 3.12 – Consideremos uma corrente circulando em uma espira quadrada.
Vamos calcular o potencial magnético no plano da espira. A Figura 3.22 mostra a
espira no plano z=0 e um sistema de referência onde a origem coincide com o
centro geométrico do quadrado. Consideremos inicialmente o ramo em x = − c .
2
r
r r
Os valores de r , r ′ e dL ′ são dados por:
r
)
)
r = x x +y y
(Ex.102)
(Ex.103)
r
)
c )
r ′ = − x + y′y
2
(Ex.104)
r r
r −r′ = x +c
(Ex.105)
r
)
dL ′ = dy ′ y
(
)
2
2
+ (y − y ′ )
2
( x, y )
yr r
r
d L′
−
c
2
r − r′
c
2
r
r
r
r′
c
2
i
−
x
c
2
Figura 3.22 – Elementos para cálculo do potencial magnético da corrente em uma espira
quadrada.
Levando esses valores em (3.57), teremos:
c
(Ex.106)
r μ ) 2
a= o iy ∫
4 π −c 2
dy ′
(x + c 2 )
2
+ (y − y ′ )
2
141
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A solução desta integral pode ser obtida com o uso de uma Tabela de integrais. O
resultado fornece uma componente y do potencial vetorial da espira:
(Ex.107)
(
(
) (x + c 2 ) + (y + c 2 )
) (x + c 2 ) + (y − c 2 )
⎡
c
μo
⎢y+ 2 +
ay =
i Ln ⎢
4π
⎢ y −c +
2
⎣
2
2
2
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Para o ramo em x = c , basta trocar o sinal da corrente e substituir o termo
2
(x + c 2 ) por (x − c 2 ), isto é:
(Ex.108)
(
(
) (x − c 2 ) + (y + c 2 )
) (x − c 2 ) + (y − c 2 )
⎡
c
μo
⎢y+ 2 +
ay = −
i Ln ⎢
4π
⎢ y −c +
2
⎣
2
2
2
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
O potencial total na direção y é a soma dos potenciais desses ramos. Portanto, a
componente total do potencial magnético na direção y é dada por:
(Ex.109)
(
(
) (x + c 2 ) + (y + c 2 ) (y − c 2 )+ (x − c 2 ) + (y − c 2 )
⋅
c
c
) (x + 2 ) + (y − 2 ) (y + c 2 )+ (x − c 2 ) + (y + c 2 )
⎡
c
μo
⎢y+ 2 +
ay =
i Ln ⎢
4π
⎢ y −c +
2
⎣
2
2
2
2
2
2
2
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
O potencial na direção x pode ser obtido de modo análogo. Para o ramo em
y =c
2
teremos:
(Ex.110)
(
(
e para o ramo em y = − c
(Ex.111)
) (y − c 2 ) + (x + c 2 )
) (y − c 2 ) + (x − c 2 )
⎡
c
μo
⎢ x+ 2 +
ax =
i Ln ⎢
4π
⎢ x −c +
2
⎣
2
(
(
2
2
2
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
teremos:
) (y + c 2 ) + (x + c 2 )
) (y + c 2 ) + (x − c 2 )
⎡
c
μo
⎢ x+ 2 +
ax = −
i Ln ⎢
4π
⎢ x −c +
2
⎣
2
2
2
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Com isso, o potencial total na direção x é dado por:
142
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(Ex.112)
(
(
) (y − c 2 ) + (x + c 2 ) (x − c 2 )+ (y + c 2 ) + (x − c 2 )
⋅
c
c
) (y − 2 ) + (x − 2 ) (x + c 2 )+ (y + c 2 ) + (x + c 2 )
⎡
c
μo
⎢ x+ 2 +
ax =
i Ln ⎢
4π
⎢ x −c +
2
⎣
2
2
2
2
2
2
2
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Uma vez obtido o potencial magnético no plano z=0, podemos calcular a
componente z da indução magnética neste plano através da equação (3.51):
(Ex.113)
∂a y ∂a x
r
bz = (∇ × a )z =
−
∂x
∂y
Este cálculo é deixado como exercício para o leitor.
Exemplo 3.13 – Vamos obter agora o potencial magnético de uma espira circular
plana. Os detalhes geométricos deste exemplo são mostrados na Figura 3.23.
Temos então:
r
)
)
)
r = x x + y y + zz
(Ex.114)
r
)
)
r ′ = a cos φ x + a senφ y
(Ex.115)
r r
)
)
)
r − r ′ = ( x − a cos φ ) x + ( y − a senφ ) y + z z
(Ex.116)
(Ex.117)
(Ex.118)
r r
r − r ′ = x 2 + y 2 + z 2 + a 2 − 2 a ( x cos φ + y senφ )
r
r
)
)
)
dr ′
dL ′ =
dφ = ( − senφ x + cos φ y ) a dφ = a dφ φ
dφ
levando essas expressões na equação (3.57), teremos:
(Ex.119)
r μ i a ) 2π
dφ
a= o φ ∫
4π
0
x 2 + y 2 + z 2 + a 2 − 2 a ( x cos φ + y senφ )
Vemos que o potencial está sempre orientado na direção azimutal. A integral não
tem solução analítica, mas é facilmente resolvida pelo método de integração
numérica apresentado no Apêndice 1.2.
Exemplo 3.14 – Consideremos um cabo coaxial
transportando a corrente i o
constante e vamos calcular a distribuição de potencial magnético no interior do
cabo. A Figura 3.24 mostra o dispositivo. A corrente circula em um sentido no
condutor interno e a mesma corrente circula no sentido inverso no condutor
143
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externo. Como a corrente é constante, ela se distribui uniformemente na área da
seção transversal dos condutores. Portanto, a densidade de corrente no cabo é
dada por:
z
( x,y,z)
r
r
r
r − r′
r
r′
φ
r
)
dL = a dφ φ
y
x
Figura 3.23 – Elementos para cálculo do potencial magnético de uma espira circular.
(Ex.120)
r
i )
j = o2 z
πa
r
j =0
r
io
)
j =−
z
2
2
πc −b
(
)
para s ≤ a
para a ≤ s ≤ b
para b ≤ s ≤ c
A fim de obter o potencial magnético, devemos resolver a equação de Poisson
)
r
)
)
(3.55). Escrevendo o potencial em coordenadas cilíndricas a = a s s + a φ φ + a z z e
aplicando o operador laplaciano, teremos:
) )
r
)
(Ex.121)
∇ 2 a = ∇ 2 (as s ) + ∇ 2 aφ φ + z ∇ 2 a z
( )
)
O vetor unitário axial ( z ) é constante e portanto pode sair do operando. O mesmo
não ocorre com os vetores unitários radial e azimutal, que são variáveis com a
posição. Mas, a densidade de corrente tem componente apenas na direção z. Por
isso, podemos considerar nulas as componentes radial e azimutal do potencial
magnético. Neste caso, a equação (3.55) pode ser escrita na forma escalar:
(Ex.122)
∇ 2 a z = −μ o j
144
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Substituindo o Laplaciano coordenadas cilíndricas, conforme dado no Apêndice
2.1, termos:
(Ex.123)
1 ∂ ⎛ ∂a z ⎞ 1 ∂ 2 a z ∂ 2 a z
+
= −μ o j
⎜s
⎟+
s ∂s ⎝ ∂s ⎠ s 2 ∂φ 2
∂z 2
c
b
s
a
io
z
Figura 3.24 – Cabo coaxial transportando corrente constante. Esquema para cálculo do potencial
magnético.
Contudo, uma vez que estejamos considerando um cabo longo e posições longe
das extremidades, o potencial não varia com z. Além disso, em virtude da simetria
azimutal, o potencial também não varia com o ângulo φ. Assim, a equação anterior
pode ser reescrita na forma:
(Ex.124)
1 ∂ ⎛ ∂a z ⎞
⎜s
⎟ = −μ o j
s ∂s ⎝ ∂s ⎠
Duas integrações em seqüência fornecem a seguinte solução geral para esta
equação:
(Ex.125)
az = −
μo j 2
s + K1 Ln (s ) + K 2
4
Onde K1 e K2 são constantes a determinar. A fim de obter o potencial em cada
região do cabo, devemos substituir o valor correspondente da densidade de
corrente e as condições de contorno adequadas.
Na região s ≤ a o potencial se anula para s=0. Com isso, K1 e K2 são nulos.
Substituindo o valor correto da densidade de corrente para esta região, obtemos:
(Ex.126)
az = −
μo i o 2
s
4 πa 2
145
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Na região a < s < b , a densidade de corrente é nula. Sabendo que o potencial é
contínuo através da superfície do condutor interno, podemos escrever a solução
neste caso em uma forma um pouco diferente:
(Ex.127)
⎛s⎞
a z = K Ln ⎜ ⎟ + a z ( a )
⎝a⎠
Onde a z ( a ) é obtido de (Ex.126). A determinação da constante K deve atender a
condição de continuidade do campo magnético tangencial à superfÍcie do
condutor. No Apêndice 3.5, que trata das condições de continuidade em
interfaces, demonstra-se que em uma interface que não contenha uma corrente
superficial concentrada, o campo magnético tangencial é contínuo. No caso atual,
a corrente no condutor está distribuída em toda a área da seção transversal, por
isso esta condição de continuidade é válida. O campo magnético dentro do
condutor pode ser calculado pelo rotacional do potencial dada em (Ex.126).
Usando a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas dado no Apêndice 2.1
e verificando que o potencial depende apenas da coordenada radial, teremos:
(Ex.128)
r
)
r
i
1
1 ∂a z )
h1 =
∇×a = −
φ= o 2 sφ
μo
μ o ∂s
2 πa
Fazendo o mesmo para o campo no espaço entre os condutores, usando a
expressão (Ex.127), teremos:
(Ex.129)
r
r
1
1 ∂az )
1 K)
∇×a = −
φ=−
φ
h2 =
μo
μ o ∂s
μo s
A condição de continuidade exige que h1 ( a ) = h2 ( a ) . Desse modo, obtemos a
constante K igualando (Ex.128) e (Ex.129):
(Ex.130)
K =−
μo io
2π
Portanto, o potencial na região a < s < b é dado por:
(Ex.131)
az = −
μoio
⎛s⎞ μ i
Ln ⎜ ⎟ − o o
2π
⎝ a ⎠ 4π
Na região b ≤ s ≤ c , com a substituição do valor correto da densidade de corrente,
e com o valor de az ( b ) dado por (Ex.131), podemos escrever o potencial
magnético na forma:
146
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(Ex.132)
az =
μoio
s 2 − b 2 + K ′ Ln
2
2
4 π( c − b )
(
)
⎛s⎞
⎜ ⎟ + az ( b )
⎝b⎠
Novamente, devemos aplicar a condição de continuidade do campo magnético na
interface em s=b. O campo magnético na região a < s < b é obtido a partir de
(Ex.131):
(Ex.133)
r
r
i )
1
1 ∂a z )
∇×a = −
φ= o φ
h2 =
μo
μ o ∂s
2 πs
e na região b ≤ s ≤ c o campo magnético é calculado a partir de (Ex.132):
(Ex.134)
r
r
⎡
io
1
1 ∂az )
K ′ ⎤)
∇×a = −
φ = −⎢
+
h3 =
s
⎥φ
2
2
μo
μ o ∂s
μos ⎦
⎣ 2 π( c − b )
Aplicando a condição h2 ( b ) = h3 ( b ) , obtemos o valor da constante K ′ :
(Ex.135)
K′ = −
μo io c 2
2π c 2 − b2
Com isso, o potencial magnético na região b ≤ s ≤ c é dado por:
(Ex.136)
μ i
az = o o
4π
(
)
⎡ s 2 − b2
2c 2
⎛s⎞
⎛b⎞ ⎤
−
Ln
−
2
Ln
⎜
⎟
⎜ ⎟ −1⎥
⎢ 2
2
2
2
⎝a⎠ ⎦
⎝b⎠
⎣( c − b ) c − b
Substituindo-se (Ex.135) em (Ex.134) e simplificando-se a expressão, obtemos o
campo magnético na região b ≤ s ≤ c :
(Ex.137)
r
i c2 − s2 )
φ
h3 = o 2
2 πs c − b 2
A Figura 3.25 mostra os gráficos das distribuições radiais de densidade de
corrente, potencial magnético e campo magnético no cabo coaxial.
Potenciais Variáveis no Tempo
Trataremos agora dos potenciais associados às fontes que variam com o tempo.
De imediato devemos entender que nem as equações de Poisson nem as
soluções (3.7) e (3.52) descrevem corretamente os potenciais dependentes do
tempo. Para chegar a essa descrição, consideremos o caso geral de uma
distribuição de carga e uma distribuição de corrente em um certo volume do
147
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espaço, ambas dependentes do tempo e correlacionadas pela equação de
continuidade. A cada uma dessas distribuições podemos associar uma parcela do
campo elétrico total em cada ponto do espaço. Se chamamos essas parcelas de
r
r
e q , para a parcela associada a Lei de Coulomb e e a , a parcela associada a Lei de
r
r r
r
Faraday, o campo elétrico total será e = e q + e a . O campo e q é um campo
conservativo e pode ser escrito na forma do gradiente do potencial escalar, ou
r
r
seja, e q = −∇ϕ . O campo e a , por sua vez, tem rotacional não nulo, e de acordo
com a Lei de Faraday, se relaciona com o potencial magnético pela expressão:
r
r
r
r
∂b
∂
⎛ ∂a ⎞
(3.58)
∇ × ea = −
= − (∇ × a ) = −∇ × ⎜ ⎟
∂t
∂t
⎝ ∂t ⎠
-2
−
a z (10 7 Tm )
0
-4
-6
0
0.002
0.004
0.006
0.008
a
0.01
b
0.012
c
0.014
s (m)
h φ ( A / m)
200
150
100
50
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
s (m)
Figura 3.25 – Distribuições de potencial magnético e campo magnético em um cabo coaxial
(a=1mm, b=10mm e c=11mm) onde circula uma corrente constante de valor 1A.
148
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Então, a menos do gradiente de um escalar arbitrário, que pode ser simplesmente
anulado sem maiores implicações, vemos que o campo elétrico induzido pela
variação de fluxo magnético é dado por:
r
r
∂a
ea = −
(3.59)
∂t
Assim, o campo elétrico total pode ser escrito na forma:
r
r
∂a
e = −∇ϕ −
(3.60)
∂t
Voltemos agora à expressão (3.53) e substituímos o campo elétrico dado por
(3.60) para obter:
(3.61)
r
r
r
∂
∂ 2a
2r
∇(∇ ⋅ a) − ∇ a = μ o j − μ o ε o ∇ϕ − μ o ε o 2
∂t
∂t
r
Como temos a possibilidade de arbitrar o valor do ∇ ⋅ a , uma escolha que simplifica
consideravelmente a equação anterior é a chamada condição de Lorentz:
(3.62)
r
∂ϕ
∇ ⋅ a = −μ o ε o
∂t
r
Esta condição aplicada em (3.61) elimina os termos dependentes do ∇ ⋅ a e ∇ϕ ,
de modo que obtemos uma equação desacoplada para o potencial vetorial
magnético na forma:
(3.63)
r
r
r
∂ 2a
∇ a − μ o ε o 2 = −μ o j
∂t
2
Podemos também obter uma equação para o potencial elétrico substituindo (3.60)
na equação da Lei de Gauss.
r
r ρ
∂a ⎞
∂
⎛
(3.64)
∇ ⋅ ⎜ − ∇ϕ − ⎟ = −∇ 2 ϕ − ∇ ⋅ a = v
∂t ⎠
∂t
εo
⎝
r
Usando agora a condição de Lorentz para substituir o ∇ ⋅ a , obtemos para o
potencial elétrico uma equação equivalente à (3.63):
(3.65)
∇2ϕ − μoεo
ρ
∂ 2ϕ
=− v
2
εo
∂t
Portanto, as equações (3.63) e (3.65) determinam as distribuições espacial e
r
temporal dos potenciais magnético e elétrico criados pelas fontes j e ρ v
149
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dependentes do tempo. Trata-se de equações de onda e por isso suas soluções
bem como os campos elétrico e magnético que devem ser obtidos a partir dos
potencias, de acordo com (3.51) e (3.60), são ondas que se propagam no espaço.
Neste ponto, não estamos em condições de obter as soluções dessas equações.
Esta questão será analisada mais tarde junto com o estudo das ondas
eletromagnéticas. A Tabela 3.1 mostra um resumo das relações entre campos e
potenciais.
Tabela 3.1 – Quadro resumo das relações entre campos e potenciais
Campos
Estáticos
Campos
Variáveis
r
e = −∇ϕ
r
r
b = ∇×a
r
r
∂a
e = −∇ϕ −
∂t
r
r
b = ∇×a
r
ϕ( r ) =
r
ρ v ( r ′)
1
∫∫∫ r r dv ′
4πε o V′ r − r ′
rr
r r
μo
j ( r ′)
a( r ) =
∫∫∫ r r dv ′
4π V′ r − r ′
ρ
∂ 2ϕ
=− v
2
εo
∂t
r
r
∂ 2a
2r
∇ a − μ o ε o 2 = −μ o j
∂t
∇2ϕ − μoεo
Energia Eletromagnética
As cargas interagem entre si através das forças elétrica e magnética, por isso,
estabelecer uma distribuição de cargas e/ou de corrente no espaço envolve a
realização de trabalho. Se o sistema considerado é globalmente não dissipativo,
ou seja, se não existem forças de atrito modificando o movimento das cargas, toda
a energia transferida durante a criação dessas distribuições de carga e corrente é
armazenada no sistema formado pelos campos e pelas cargas.
Densidade de energia elétrica
Consideremos inicialmente o trabalho necessário para formar uma configuração
espacial de cargas com determinada densidade volumétrica especificada.
Suponha que estamos construindo essa configuração de cargas trazendo do
150
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infinito até a região do espaço em questão, quantidades incrementais de cargas
δq e espalhando no volume correspondente com uma densidade incremental δρ
(Figura 3.26). Como essas quantidade são muito pequenas, podemos considerar
que a cada passo desse processo, o potencial elétrico em todo o espaço varia
apenas de uma quantidade infinitesimal e, assim, o trabalho realizado para variar
r
a densidade de carga no elemento de volume dv localizado na posição r do
espaço, pode ser calculado pela expressão:
r
r
d(δW ) = ϕ( r )δρ( r ) dv
(3.66)
A integração desta equação resulta no trabalho infinitesimal realizado para
distribuir a carga dq em todo o espaço.
r
r
(3.67)
δW = ∫∫∫ ϕ( r ) δρ( r ) dv
V
δρ dv
V
r
r
r
ϕ( r )
Figura 3.26 – Representação do processo de construção de uma distribuição de cargas trazendo
quantidades infinitesimais de uma distância infinita para um volume especificado.
Note que a carga total pode estar distribuída em um volume finito. Isso não
impede de escrever a integral acima como sendo calculada em todo o espaço,
uma vez que na região externa ao volume efetivamente ocupado pelas cargas a
integral (3.67) se anula. Desde que a carga é continuamente trazido do infinito
para o volume considerado, o trabalho total para construir a distribuição final de
cargas é obtido pela integração de (3.67) no domínio do tempo. Mas, como a
densidade de carga é uma função do tempo, podemos realizar essa integração na
própria variável ρ . Assim, temos:
151
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(3.68)
⎞
⎛ρ
W = ∫∫∫ ⎜ ∫ ϕ δρ ⎟ dv
V ⎝0
⎠
O integrado nesta equação pode ser então considerado uma densidade
volumétrica de energia armazenada no sistema de cargas e campo. Para uma
distribuição de cargas no vácuo, o potencial é proporcional à densidade de carga.
Assim, o integrando em (3.68) tem um resultado simples:
ρ
(3.69)
∫ ϕ δρ =
0
1
ρϕ
2
e, com isso, a energia total armazenada no sistema é dada por:
(3.70)
W =
1
∫∫∫ ρ ϕ dv
2 V
Esta expressão nos faz pensar que a energia é armazenada apenas nas regiões
do espaço onde existem cargas. Contudo, isso não é correto. Podemos obter uma
expressão equivalente em termos do campo elétrico estabelecido pelas cargas
que nos permite reinterpretar esse resultado. Usando a Lei de Gauss e a
r
r
r
identidade vetorial ∇ ⋅ ϕδd = ∇ϕ ⋅ δd + ϕ∇ ⋅ δd , podemos reescrever (3.70) na
( )
forma:
(3.71)
( )
r
r
r
1
δW = ∫∫∫ ϕ ∇ ⋅ δd dv = ∫∫∫ ∇ ⋅ ϕ δd dv − ∫∫∫ δd ⋅ ∇ϕ dv
2 V
V
V
Aplicando agora o teorema de Gauss para transformar a primeira integral em uma
r
integral de superfície e substituindo a relação e = −∇ϕ , válida para campos
estáticos, no segundo integrando, obtemos:
r r
r r
(3.72)
δW = ∫∫ ϕ δd⋅ ds + ∫∫∫ e ⋅ δd dv
S
V
Mas, a superfície de integração deve conter todo o volume que, a princípio, é todo
o espaço. Como não pode haver fluxo para fora de uma superfície infinita e, além
disso, como o potencial deve se anular no infinito, a primeira integral é nula.
Assim, obtemos a expressão da energia em todo o espaço como uma integral de
volume dada por:
(3.73)
⎛d r r⎞
W = ∫∫∫ ⎜ ∫ e ⋅ δd ⎟ dv
V ⎝0
⎠
152
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Esta energia está distribuída em todo o espaço, sendo mais concentrada onde o
campo é mais intenso. O integrando nesta equação pode ser interpretado como a
densidade volumétrica de energia elétrica armazenada no sistema:
r
dr
w e = ∫ e ⋅ δd
(3.74)
0
No vácuo, o campo e a indução elétrica são proporcionais e (3.74) tem uma
solução simples na forma:
r2
r2
1r r 1 d
1
we = d⋅e =
= εo e
(3.75)
2
2 εo
2
Exemplo 3.15 – Uma esfera metálica isolada no ar, de raio R, é conectada a uma
bateria de tensão Vo. Vamos calcular a energia total acumulada no carregamento
da esfera. Por se tratar de um condutor, sabemos que a carga se acumula na
superfície. Se a esfera está isolada, esta carga se distribui uniformemente em sua
superfície e toda a carga está sujeita a um mesmo potencial. Assim, (3.70) tem um
resultado simples dado por:
(Ex.138)
We =
1
1
Q ϕ( R ) = Q Vo
2
2
Trataremos de obter agora uma relação entre a carga total e o potencial na
superfície da esfera. Esta relação define a capacitância da esfera e pode ser
obtida como segue. Como sabemos, a carga distribuída uniformemente na
superfície produz campo elétrico fora da esfera como se ela estivesse toda
concentrada no centro geométrico da esfera. O potencial de uma carga pontual é
dado pela equação (3.6). Assim, o potencial na superfície da esfera condutora
carregada é dado por:
(Ex.139)
ϕ( R ) = Vo =
Q
4 πε o R
→
C=
Q
= 4 πε o R
Vo
Onde C é a capacitância da esfera (A relação entre a carga total e o potencial da
esfera). Substituindo em (Ex.138), obtemos:
(Ex.140)
We =
1
CVo2 = 2 πε o R Vo2
2
153
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Exemplo 3.16 – Um cabo coaxial é carregado por uma diferença de potencial Vo
entre os condutores interno e externo. Vamos calcular a energia acumulada por
unidade de comprimento do cabo. O potencial elétrico entre os condutores em um
cabo coaxial foi calculado no exemplo (3.7), e é repetido aqui por conveniência:
(Ex.141)
ϕ( s ) =
Vo
Ln a
( b)
Ln( s )
b
onde a e b são os raios dos condutores interno e externo, respectivamente. O
campo elétrico entre os condutores pode ser calculado a partir da relação
r
e = −∇ϕ . Isto resulta em:
)
r
Vo s
∂ϕ )
(Ex.142)
e=− s=−
∂s
Ln a s
b
( )
Com isso, a densidade de energia armazenada no cabo, segundo (3.75), é dada
por:
(Ex.143)
we =
r2
ε oVo2
1
εo e =
2
2 Ln 2 a s 2
b
( )
onde supomos que o isolante no cabo tenha permissividade igual à do vácuo. Isto
é apenas uma aproximação, e sempre será necessário calcular uma parcela de
energia adicional devido à polarização do material, mas isto será considerado
apenas no próximo capítulo. Para obter a energia armazenada por unidade de
comprimento do cabo devemos fazer uma integração de (Ex.143) no volume
correspondente a um comprimento unitário. O volume diferencial neste caso pode
ser descrito por dV = 2 πs L ds , onde L é um comprimento arbitrário. A energia é
então dada por:
b
(Ex.144)
We = ∫ 2 πs w e L ds =
a
b ds
πε oVo2
πε oVo2
L
L
=
∫
a s
Ln 2 a
Ln a
b
b
( )
( )
Então, a energia por unidade de comprimento no cabo coaxial é dada por:
(Ex.145)
πε oVo2
We =
Ln a
b
( )
154
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Exemplo 3.17 – Na expressão (Ex.140) a energia total armazenada foi expressa
em função da capacitância do condutor. Este não é um resultado particular. De
fato, em qualquer sistema de dois condutores é possível definir a relação entre a
carga acumulada na superfície e a diferença de potencial entre os condutores
através da capacitância. Como a superfície dos condutores é equipotencial,
qualquer variação de carga dq está associada a uma variação de potencial dV ,
por meio de:
(Ex.146)
dq = C dV
e a variação da energia acumulada é dada por:
(Ex.147)
dWe = V dq = C V dV
A integração desta equação no intervalo de tempo no qual o potencial varia de seu
valor inicial 0 até o valor final Vo leva ao resultado bem conhecido para a energia
armazenada em um capacitor:
(Ex.148)
We =
1
CVo
2
Este resultado é completamente geral e independente da forma dos condutores.
Densidade de energia magnética
Consideremos agora o trabalho que as fontes externas realizam para estabelecer
uma distribuição de corrente. Ao se estabelecer uma distribuição de corrente no
espaço, a variação do fluxo magnético produzido gera força eletromotriz que se
opõem à variação da corrente. Assim, as fontes externas realizam trabalho para
superar o campo elétrico induzido. Consideremos uma distribuição de corrente
representada por espiras elementares conforme mostrado na Figura 3.27. Se, em
uma espira de volume infinitesimal está circulando uma carga δq durante um
intervalo de tempo δt e, em virtude da indução magnética, existe uma força
eletromotriz dϕ nos extremos do circuito, o trabalho infinitesimal realizado pode
ser calculado por:
155
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φm
i
dϕ
r r
j( r )
r
r
V
Figura 3.27 – Representação do processo de construção de uma distribuição de corrente em um
volume especificado.
(3.76)
δ(dW ) = δq dϕ = i dϕ δt = i δ(dφ m )
onde i é a corrente na espira infinitesimal e δ(dφ m ) é a variação do fluxo
magnética nessa espira no intervalo de tempo considerado. Mas, usando o
teorema de Stokes podemos escrever o fluxo magnético como função do potencial
magnético:
(3.77)
r r
r r
r r
φ m = ∫∫ b ⋅ ds = ∫∫ ∇ × a ⋅ ds = ∫ a ⋅ dL
S
S
C
e um fluxo infinitesimal pode, então, ser dado por:
r r
(3.78)
dφ m = a ⋅ dL
r r
Com isso em (3.76) e considerando que i d L = j dv , verificamos que o trabalho
infinitesimal pode ser escrito na seguinte forma em função do potencial vetorial e
da densidade de corrente:
r r r r
(3.79)
δ( dW ) = i δa ⋅ dL = j ⋅ δa dv
Portanto, o trabalho total para estabelecer a distribuição de corrente pode ser
obtido em uma integração nos dois domínios, espaço e tempo, no intervalo de
variação da corrente:
156
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(3.80)
⎛a r r ⎞
W = ∫∫∫ ⎜ ∫ j ⋅ δa ⎟ dv
V ⎝0
⎠
No vácuo, a densidade de corrente e o potencial magnético são proporcionais e a
integral no domínio do tempo tem um resultado simples dado por:
1 r r
(3.81)
W = ∫∫∫ j ⋅ a dv
2 V
Esta equação é análoga à (3.70) para o caso da energia elétrica. Também no caso
magnético podemos obter uma descrição da energia armazenada no sistema a
partir do campo gerado pela distribuição de corrente. Em (3.81), em se tratando de
r
campos estáticos, podemos substituir a densidade de corrente por ∇ × h e aplicar
r
r
r r
r
r r
r
a identidade ∇ ⋅ δa × h = (∇ × δa ) ⋅ h − ∇ × h ⋅ δa para substituir o termo (∇ × h) ⋅ δa .
(
)
(
)
Assim fazendo, obtemos:
r r
r r
r r r
r r
(3.82)
δW = ∫∫∫ (∇ × δa) ⋅ h − ∇ ⋅ (δa × h) dv = ∫∫∫ h ⋅ δb dv − ∫∫ (δa × h) ⋅ ds
[
V
]
V
S
A integral de superfície no último termo desta equação é nula porque os campos
se anulam no infinito. Assim, a energia magnética acumulada no espaço é dada
por:
(3.83)
⎛b r r ⎞
W = ∫∫∫ ⎜ ∫ h ⋅ δb ⎟ dv
V ⎝0
⎠
E podemos interpretar o integrando como uma densidade volumétrica de energia
magnética acumulada:
r
br
w m = ∫ h ⋅ δb
(3.84)
0
No vácuo, o campo magnético e a indução magnética são proporcionais. Assim, a
expressão da densidade de energia magnética é obtida na forma:
r2
b
r
r
r2
1
1
1
wm = b ⋅h =
= μo h
(3.85)
2
2 μo
2
Analogamente ao caso elétrico, esta expressão mostra que existe energia
armazenada no espaço onde existe campo magnético e que a energia é mais
concentrada onde o campo magnético é mais intenso.
157
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Concluindo, podemos entender que a energia transferida para um sistema a fim de
estabelecer distribuições de carga e corrente no espaço é armazenada no volume
desse espaço com densidade proporcional ao quadrado das intensidades dos
campos criados, tendo uma parcela de energia elétrica e uma parcela de energia
magnética. A densidade de energia total é dada por:
r br r
dr
w = ∫ e ⋅ δd + ∫ h ⋅ δb
(3.86)
0
(3.87)
wo =
0
r2
1 r2 1
εo e + μo h
2
2
onde (3.86) aplica-se a qualquer meio e (3.87) somente no vácuo. Contudo, Para
estabelecer campos na matéria, a energia envolvida dependerá ainda do trabalho
realizado na polarização e magnetização do material. Adicionalmente, se o meio
for condutor, haverá uma parcela de energia envolvida com a movimentação das
cargas nesse material. Estes termos de energia serão considerados no próximo
capítulo.
Exemplo 3.18
– No exemplo 3.14 obtivemos as distribuições de potencial e
campo magnético em um cabo coaxial. Podemos usar aqueles resultados para
calcular a energia magnética armazenada por unidade de comprimento do cabo.
Se usarmos a equação (3.81), verificamos que a integração pode ser feita apenas
no volume dos condutores, uma vez que a corrente é nula no restante do espaço.
Contudo, o cálculo da energia através da distribuição de campo é um pouco mais
fácil neste caso, embora exija uma integração em todo o volume interno do cabo.
Usando então (3.85) e substituindo dv = 2 π s ds para um comprimento unitário do
cabo, teremos:
(Ex.149)
b
c
⎡a
⎤
W m = πμ o ⎢ ∫ h12 s ds + ∫ h22 s ds + ∫ h32 s ds ⎥
a
b
⎣0
⎦
Substituindo as expressões dos campos e efetuando as integrações, obtemos:
(Ex.150)
μ o i o2 ⎡
4c 2
⎛b⎞
⎛c⎞ ⎤
Wm =
Ln
⎜ ⎟ − 1⎥
⎢4 Ln⎜ ⎟ + 2
2
16 π ⎣
⎝a⎠ c −b
⎝b⎠ ⎦
Os detalhes deste cálculo são deixados como exercício para o leitor.
158
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Exemplo 3.19 – Uma expressão alternativa muito útil para a energia magnética é
dada em função da indutância do sistema de condutores. A demonstração dessa
expressão é simples uma vez que não depende diretamente da geometria
específica dos condutores. Um sistema de condutores com uma geometria tal que
define uma área fechada estabelece uma relação entre o fluxo magnético total
nessa área e a corrente nos condutores. Essa relação de proporcionalidade é
dada pela indutância:
(Ex.151)
L=
φm
i
Conforme sabemos, quando a corrente varia no tempo, o fluxo magnético variável
induz uma força eletromotriz no sistema. O trabalho realizado pela fonte de
corrente em um intervalo infinitesimal dt pode ser calculado pelo produto da carga
infinitesimal que circula pelos condutores nesse intervalo de tempo com a força
eletromotriz induzida. Usando a lei de Faraday para expressar esta diferença de
potencial, temos:
(Ex.152)
dW = dq ϕ = i ϕ dt = i dφ m = L i di
Onde usamos (Ex.151) para substituir o diferencial de fluxo. Integrando esta
equação do instante inicial, no qual a corrente é nula, até o valor final da corrente,
obtemos:
(Ex.153)
Wm =
1 2
Li
2
159
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__________________________Apêndice 3.1_____________________________
Série de Fourier
O método da série de Fourier consiste em representar funções periódicas por
meio de funções senos e cossenos da mesma variável e com a mesma
periodicidade. Qualquer função f(x) integrável e periódica com período L pode ser
representada pela seguinte série:
f(x) = ao +
(A.81)
A
série
∞
⎡
∑ ⎢⎣an cos(
n =1
converge
[
1
f(x → a + ) + f(x → a − )
2
para
]
2nπ
2nπ ⎤
x ) + b n sen(
x) ⎥
L
L
⎦
f(x)
nos
pontos
de
continuidade
e
para
se x=a é um ponto de descontinuidade de f(x). Os
coeficientes an e bn da série são determinados a partir da verificação da
ortogonalidade das funções seno e cosseno. Esta condição é expressa nas
relações:
x o +L
∫
(A.82)
cos(
2mπ
2nπ
x ) dx =0
x ) sen(
L
L
cos(
⎧ L se m = n
2mπ
2nπ
x ) dx =⎨ 0 2se m ≠ n
x ) cos(
L
L
⎩
sen(
⎧ L se m = n
2mπ
2nπ
x ) dx =⎨ 0 2se m ≠ n
x ) sen(
L
L
⎩
xo
x o +L
∫
(A.83)
xo
x o +L
∫
(A.84)
xo
onde xo é qualquer posição inicial. Assim, ao é obtido pela integração de ambos os
lados de (A.81) no período da função. Isto resulta em:
ao =
(A.85)
1 x o +L
∫ f ( x ) dx
L x
o
os outros coeficientes an são obtidos multiplicando-se ambos os lados de (A.81)
por cos(
2nπ
x ) e integrando-se toda a expressão no período da função. Assim,
L
obtemos:
(A.86)
an =
2nπ
2 x o +L
x ) dx
∫ f ( x ) cos(
L
L x
o
160
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e os coeficientes bn são obtidos multiplicando-se ambos os lados de (A.81) por
cos(
2nπ
x ) e integrando-se toda a expressão no período da função. Isto resulta
L
em:
(A.87)
2nπ
2 x o +L
x ) dx
bn =
∫ f ( x ) sen(
L
L x
o
___________________________Apêndice 3.2____________________________
Funções de Bessel
Substituindo x = ks em (3.34), obtemos uma forma mais geral da equação
diferencial de Bessel:
(A.88)
d2S
dx 2
+
n2
1 dS
+ (1 −
)S = 0
x dx
x2
As soluções desta equação são obtidas na forma de série de potências:
∞
(A.89)
S( x ) = x α ∑ c j x j
j=0
Substituindo em (A.88), agrupando todos os termos de mesma potência e
igualando a zero cada termo, obtém-se as seguintes relações:
α = ±n
(A.90)
j par → c j =
(− 1)
j
2
Γ(α + 1)
⎛ j ⎞! Γ( j + α + 1) 2 j
⎜ 2⎟
2
⎝
⎠
j ímpar → c J = 0
co
onde a função gama é definida por:
∞
(A.91)
Γ(n) = ∫ x n −1e − x dx
0
e tem as seguintes propriedades:
(A.92)
Γ(n + 1) = nΓ(n)
Γ(n + 1) = n! para
n = 0,1,2,... onde 0! = 1
161
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No somatório (A.89) apenas as potências pares de x tem coeficientes não nulos.
Com a escolha do coeficiente inicial
, obtém-se as seguintes
co = 1 α
2 Γ(α + 1)
séries como solução da equação (A.88).
(A.93)
∞
(− 1)m
⎛x⎞
⎛x⎞
Jn ( x ) = ⎜ ⎟ ∑
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ m = 0 m! Γ(m + n + 1) ⎝ 2 ⎠
(A.94)
⎛x⎞
J− n ( x ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
n
−n ∞
2m
(− 1)m
⎛x⎞
∑ m! Γ(m − n + 1) ⎜⎝ 2 ⎟⎠
m=0
2m
Essas são as funções de Bessel de primeira espécie e ordem n e –n,
respectivamente. Para valores não inteiros de n, essas duas funções formam um
conjunto linearmente independente de soluções da equação diferencial de Bessel.
Para valores inteiros de n, de acordo com (A.92), a função de Bessel de primeira
espécie assume a seguinte forma:
∞
(− 1)m ⎛ x ⎞
⎛x⎞
Jn ( x ) = ⎜ ⎟ ∑
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ m = 0 m! (m + n)! ⎝ 2 ⎠
n
(A.95)
2m
e pode-se mostrar que J − n ( x ) = ( −1)n Jn ( x ) , ou seja, as soluções (A.93) e (A.94)
são linearmente dependentes. Nesse caso, define-se uma outra função
linearmente independente denominada de função de Bessel de segunda espécie
de ordem n pela expressão:
(A.96)
Nn ( x ) =
Lim
p →n
int eiro
Jp ( x ) cos(pπ) − J − p ( x )
sen (pπ)
e com isso, a solução geral da equação diferencial de Bessel pode ser escrita na
forma:
(A.97)
Sn ( x ) = S1n Jn ( x ) + S 2n Nn ( x )
A Figura 3.28 mostra o gráfico das primeiras funções de Bessel de primeira
espécie. Essas funções têm um número infinito de raízes, as primeiras das quais
são mostradas na Tabela 3.2 a seguir.
162
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Figura 3.28 – Gráficos das funções de Bessel J0 a J3 no intervalo de 0 a 15.
Tabela 3.2 – Raízes das funções de Bessel de primeira espécie
Ordem de Jn(x)
0
1
2
3
Posição 1 2,405 3,832 5,136 6,380
da
2 5,520 7,016 8,417 9,761
raiz 3 8,654 10,174 11,620 13,015
Tal como ocorre nas séries de Fourier, pode-se demonstrar a ortogonalidade das
funções de Bessel segundo a expressão:
1
(A.98)
(
∫ x Jn x np x
)
0
⎧ J 2 ( x np )
⎪⎪ n +1
se p = t
x Jn (x nt x ) dx = ⎨ 0 se 2p ≠ t
⎪
⎪⎩
onde xnp é o p-ésimo zero de Jn(x). Então, as funções
(
)
x Jn x np x formam uma
base ortogonal para expandir qualquer outra função de x integrável no intervalo de
0 a 1, com a condição adicional que a função se anule em x=1. Os coeficientes
dessa expansão são dados por:
(A.99)
c nm =
1
∫ x f ( x ) Jn (x nm x ) dx
Jn2 +1( x nm ) 0
2
Assim, uma função F(s) definida no intervalo de 0 a a, e que satisfaz a condição
F(a ) = 0 , pode ser expandida em série de funções de Bessel na forma:
163
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(A.100)
∞
⎛x
F(s) = ∑ c nm Jn ⎜ nm
⎝ a
m =1
⎞
s⎟
⎠
com os coeficientes calculados pela expressão:
(A.101)
c nm =
2
a
∫
a 2 Jn2 +1( x nm ) 0
⎛x
⎞
s f (s) Jn ⎜ nm s ⎟ ds
⎝ a ⎠
___________________________Apêndice 3.3____________________________
Polinômios de Legendre
A solução de (3.50) é obtida como uma série de potências. Propondo uma
expressão geral na forma:
(A.102)
∞
P( x ) = x α ∑ c j x j
j=0
Substituindo em (3.50) e anulando independentemente cada termo de potência
diferente de x, obtém-se as seguintes relações envolvendo α e os coeficientes cj
da série:
(A.103)
c o = 0 ou c 1 = 0
(A.104)
se c o = 0 → α = 0 ou α = 1
(A.105)
se c 1 = 0 → α = 0 ou α = −1
(A.106)
c j+ 2 =
(α + j)(α + j + 1) − n(n + 1)
cj
(α + j + 1)(α + j + 2)
A fim de evitar a potência negativa em α e conseqüentemente a singularidade em
x=0, escolhe-se sempre c o = 0 e com isso, de acordo com (A.106), todos os
termos com j par são nulos. Pode-se demonstrar que a série converge para todos
os pontos no intervalo no qual x < 1. Nos extremos desse intervalo ( x = 1) a
convergência é garantida apenas se a série é finita. Segundo (A.106) isto ocorre
apenas se α + j = n . Uma vez que apenas os termos com j ímpar são diferentes
de zero, existem apenas duas possibilidades:
(A.107)
n par → α = 1 → série de potências pares
(A.108)
n ímpar → α = 0 → série de potências ímpares
164
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Obtém-se assim, uma família de funções designadas por polinômios de Legendre,
os quais, por convenção, são normalizados para o valor unitário em x=1. A seguir
uma relação dos polinômios de ordem mais baixa.
(A.109)
Po ( x ) = 1
(A.110)
P1( x ) = x
(A.111)
P2 ( x ) =
1
(3 x 2 − 1)
2
(A.112)
P3 ( x ) =
1
(5 x 3 − 3 x )
2
(A.113)
P4 ( x ) =
1
(35 x 4 − 30 x 2 + 3)
8
(A.114)
P5 ( x ) =
1
( 63 x 5 − 70 x 3 + 15 x )
8
(A.115)
P6 ( x ) =
1
( 231x 6 − 315 x 4 + 105 x 2 − 5)
16
(A.116)
P7 ( x ) =
1
( 429 x 7 − 693 x 5 + 315 x 3 − 35 x )
16
Os polinômios de Legendre podem também ser gerados a partir da fórmula de
Rodrigues:
(A.117)
Pn ( x ) =
1
n
dn
2 n! dx
n
( x 2 − 1)n
Os polinômios de Legendre formam uma base ortogonal para expansão de
funções no intervalo de
− 1 ≤ x ≤ 1. Isto ocorre devido à condição de
ortogonalidade ser satisfeita, de acordo com a expressão:
⎧
⎪ 0 se m ≠ n
∫ Pn ( x ) Pm ( x ) dx = ⎨ 2
se m = n
−1
⎪
⎩ 2n +1
1
(A.118)
Assim, qualquer função integrável no intervalo − 1 ≤ x ≤ 1 pode ser expandida na
forma:
(A.119)
∞
f ( x ) = ∑ anPn ( x )
n=0
onde os coeficientes an são dados por:
165
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(A.120)
an =
2n + 1 1
∫ f ( x )Pn ( x ) dx
2 −1
___________________________Apêndice 3.4____________________________
O Método das Diferenças Finitas
O método das diferenças finitas é um método de resolução de equações
diferenciais que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. As
fórmulas de aproximação das derivadas são obtidas da série de Taylor da função.
Seja uma função f ( x ) contínua e derivável em um intervalo definido em torno de
uma posição x = x o . A expansão em série de Taylor de f ( x ) em torno de x o é
dada por:
(A.121)
f (n ) ( x o )
f ( x) = f ( x o ) + ∑
( x − x o )n
i=1
n!
∞
onde f ( n ) ( x o ) é a derivada de ordem ‘n’ da função f ( x ) calculada na posição
x = x o . Podemos representar uma posição em torno de x o pela distância
Δx = x − x o . Assim, para uma posição anterior a x o , (A.121) fornece a seguinte
expansão:
(A.122)
f ( x o − Δx ) = f ( x o ) − f (1) ( x o ) Δx +
1 (2)
1
1
f ( x o ) Δ2 x − f ( 3 ) ( x o ) Δ3 x + f ( 4 ) ( x o ) Δ4 x + ...
2
3!
4!
enquanto para uma posição posterior a x o , teremos:
(A.123)
f ( x o + Δx ) = f ( x o ) + f (1) ( x o ) Δx +
1 (2)
1
1
f ( x o ) Δ2 x + f ( 3 ) ( x o ) Δ3 x + f ( 4 ) ( x o ) Δ4 x + ...
2
3!
4!
Se subtrairmos (A.122) de (A.123), obteremos:
(A.124)
f ( x o + Δx ) − f ( x o − Δx ) = 2f (1) ( x o ) Δx +
2 (3)
f ( x o ) Δ3 x + ...
3!
Assim, podemos escrever a primeira derivada da função no ponto xo por:
(A.125)
f (1) ( x o )=
f ( x o + Δx ) − f ( x o − Δx )
+ erro (1) ( Δx )
2 Δx
166
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Se tomarmos apenas o primeiro termo como sendo uma aproximação para a
primeira derivada da função estamos cometendo um erro que depende das
derivadas da função e das potências pares de Δx , segundo a expressão:
(A.126)
erro (1) ( Δx ) = −
1 (3)
1
1
f ( x o ) Δ2 x − f ( 5 ) ( x o ) Δ4 x − f ( 7 ) ( x o ) Δ6 x − ...
3!
5!
7!
Por outro lado, se somarmos (A.122) e (A.123), obteremos:
(A.127)
f ( x o + Δx ) + f ( x o − Δx ) = 2f ( x o ) + f ( 2 ) ( x o ) Δ2 x +
2 (4)
f ( x o ) Δ4 x + ...
4!
Então, podemos escrever a segunda derivada da função no ponto xo na forma:
(A.128)
f ( 2) ( x o ) =
f ( x o + Δx ) + f ( x o − Δx ) − 2f ( x o )
+ erro ( 2 ) ( Δx )
Δ2 x
Se tomarmos apenas o primeiro termo como sendo uma aproximação para a
segunda derivada da função estamos cometendo um erro que depende das
derivadas da função e das potências pares de Δx , segundo a expressão:
(A.129)
erro ( 2 ) ( Δx ) = −
2 (4)
2
2
f ( x o ) Δ2 x − f ( 6 ) ( x o ) Δ4 x − f ( 8 ) ( x o ) Δ6 x − ...
4!
6!
8!
Sob a hipótese de estarmos usando Δx suficientemente pequeno para que os
erros possam ser ignorados,
as expressões para as derivadas de primeira e
segunda ordem são:
f ( x o + Δx ) − f ( x o − Δx )
2 Δx
(A.130)
f (1) ( x o )=
(A.131)
f ( 2) ( x o ) =
f ( x o + Δx ) + f ( x o − Δx ) − 2f ( x o )
Δ2 x
Para uma função de duas variáveis, essas derivadas são escritas na forma:
(A.132)
f (1x ) ( x o , y o )=
f ( x o + Δx, y o ) − f ( x o − Δx, y o )
2 Δx
(A.133)
f (1y ) ( x o , y o )=
f ( x o , y o + Δy ) − f ( x o , y o − Δy )
2 Δy
(A.134)
f (2x ) ( x o , y o ) =
f ( x o + Δx, y o ) + f ( x o − Δx, y o ) − 2f ( x o , y o )
Δ2 x
(A.135)
f (2y ) ( x o , y o ) =
f ( x o , y o + Δy ) + f ( x o , y o − Δy ) − 2f ( x o , y o )
Δ2 y
167
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Substituindo as derivadas aproximadas na equação diferencial, obtemos a
equação de diferenças finitas correspondente. Por exemplo, no caso da equação
de Laplace bidimensional, teremos:
(A.136)
f (2x ) ( x i , y j ) + f (2y ) ( x i , y j ) = 0
onde i e j são índices que identificam posições discretas no espaço. As posições
possíveis fazem parte de uma grade de pontos em uma malha de discretização do
espaço. A Figura 3.29 mostra um esquema de discretização possível e o efeito
dos parâmetros de malha Δx e Δy na definição de interfaces. Devemos entender
que a equação de diferenças finitas descreve o fenômeno físico em questão no
espaço discreto, do mesmo modo que a equação diferencial correspondente
descreve o fenômeno no espaço contínuo. Substituindo as derivadas dadas em
(A.134) e (A.135) na equação (A.136), obtemos a seguinte equação de diferenças
finitas:
(A.137)
a f ( x i+1, y j ) + a f ( x i−1, y j ) + b f ( x i , y j+1 ) + b f ( x i , y j−1 ) − c f ( x i , y j ) = 0
Figura 3.29 – Malha de discretização regular bidimensional com a representação aproximada de
uma superfície circular.
168
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onde os coeficientes a, b e c, são dados por:
1
Δ2 x
1
b= 2
Δy
2
2
c= 2 + 2
Δx Δy
a=
(A.138)
No caso de uma malha regular, Δx = Δy , e a equação de diferenças pode ser
escrita na forma simples:
(A.139)
f(xi, y j ) =
f ( x i+1, y j ) + f ( x i−1, y j ) + f ( x i , y j+1 ) + f ( x i , y j−1 )
4
ou seja, o valor da função em cada posição da malha discreta é a média aritmética
dos valores da mesma função nas posições adjacentes. Para cada posição na
malha temos uma equação de diferenças finitas correspondente, relacionando o
valor da função naquele ponto com os valores vizinhos. Esse sistema de
equações lineares deve ser resolvido para se obter a distribuição espacial da
função f ( x i , y j ) no espaço discreto. Entretanto, certas condições de contorno
apropriadas devem ser utilizadas para especificar o valor da função nas posições
limites da malha de discretização. No cálculo do potencial elétrico, por exemplo,
uma superfície condutora é equipotencial. Todos os pontos da malha adjacentes a
essa superfície, terão pelo menos um dos potenciais vizinhos no valor do potencial
da superfície (ver Figura 3.30). Essa condição é chamada de condição de
contorno de Dirichlet. Por outro lado, em certos sistemas é possível prever o
valor da derivada da função na direção perpendicular a uma superfície e, com
isso, estabelecer uma relação entre o valor da função em um ponto da malha
adjacente à superfície e o valor na própria superfície. No cálculo do potencial
elétrico, por exemplo, a sua derivada perpendicular é o próprio campo elétrico
normal na superfície. Como mostra a Figura 3.30, A fixação do campo elétrico
normal em uma superfície, determina uma relação simples entre o potencial da
superfície e do ponto da malha adjacente. Esta condição é denominada de
condição de contorno de Neumann.
169
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en
ϕ s = Vo
ϕ ( i, j )
ϕ ( i, j )
Condição de
contorno de
Dirichlet
ϕs = ϕ(i, j) − enΔx
Δx
Condição de
contorno de
Neumann
Figura 3.30 – Representação das condições de contorno de Dirichlet e Neumann.
___________________________Apêndice 3.5____________________________
Condições de Continuidade em Interfaces
A Figura 3.31 mostra uma interface entre dois meios com propriedades
eletromagnéticas diferentes. Podemos usar as equações de Maxwell para
relacionar os campos em ambos os lados da interface. Consideremos a aplicação
da lei de Gauss à superfície S. Se A é uma área pequena e o comprimento Δz
tende a zero, temos:
r )
r
r )
(A.140)
Lim ∫∫ d ⋅ n ds = (d2 − d1 )⋅ nA = σA
Δz → 0 S
onde σ é a densidade superficial de carga livre na interface. Para uma interface
entre materiais dielétricos, σ = 0 , e (A.140) implica em que a componente normal
da indução elétrica na interface é contínua, ou seja:
(A.141)
d2n = d1n
Se a constante dielétrica é diferente nos dois materiais, o campo elétrico normal
será descontínuo:
(A.142)
ε 2 e 2n = ε1 e1n
Utilizando agora a lei de Gauss para a indução magnética, obtemos:
r )
r
r )
(A.143)
Lim ∫∫ b ⋅ n ds = (b 2 − b 1 )⋅ nA = 0
Δz →0 S
170
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r
d2
Δz
r
d1
)A
n
r
b1
)
n
r
b2
r
e1
r
h1
S
)
t2
)
t1
L
C
(a)
r
e2
Δz
r
h2
(b)
Figura 3.31 – Arranjo geométrico para aplicação das equações de Maxwell na obtenção das
condições de contorno em uma interface. (a) superfície para aplicação da lei de Gauss. (b)
caminho fechado para aplicação das leis de Faraday e Ampere.
ou seja, a componente normal da indução magnética é contínua na interface:
(A.144)
b 2n = b1n
Se os materiais têm diferentes permeabilidades magnéticas, o campo magnético é
descontínuo na interface:
(A.145)
μ 2 h 2n = μ1 h1n
Vejamos agora o comportamento das componentes tangenciais na interface.
Aplicando as equações referentes às leis de Ampere e Faraday ao caminho C com
L pequeno e Δz tendendo a zero, teremos:
(A.146)
(A.147)
r r r
r )
d⎛ r )
⎞
Lim ∫ e ⋅ dL =(e 2 − e 1 ) ⋅ t1 L = − Lim ⎜ ∫∫ b ⋅ t 2 Δz dL ⎟ = 0
Δz → 0 C
Δz → 0 dt ⎝ S
⎠
r
r r r
r )
⎛ r ∂d ⎞ )
Lim ∫ h ⋅ dL =(h 2 − h1 ) ⋅ t1 L = Lim ∫∫ ⎜⎜ j + ⎟⎟ ⋅ t2 Δz dL
Δz → 0 C
Δz → 0 S
∂t ⎠
⎝
171
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)
)
Onde t1 e t2 são vetores unitários perpendiculares entre si e ambos paralelos à
interface. O fluxo magnético em (A.146) se anula uma vez que a indução
magnética está espalhada na área infinitesimal Δz dL que tende a zero. Desta
equação concluímos que a componente paralela do campo elétrico é contínua na
interface:
(A.148)
e 2 t = e1t
mas, se os materiais envolvidos têm diferentes constantes dielétricas, a indução
elétrica tangencial é descontínua:
(A.149)
d 2 t d1t
=
ε2
ε1
Quando um dos materiais envolvidos na interface é um bom condutor, existe uma
condição de contorno especial associada ao campo elétrico. Acontece que, se não
há corrente em regime permanente no condutor, o mesmo deve ser tratado como
um volume equipotencial. Então, o campo elétrico dentro deste volume é nulo e,
por esta razão, o campo paralelo à interface, dentro e fora do condutor, é nulo.
Assim, o campo elétrico no meio não condutor incide sempre perpendicularmente
na interface com um condutor. Esta condição falha se existe correntes
permanentes no condutor, pois nesse caso o campo elétrico não se anula no
condutor.
Na equação (A.147) a última integral tem dois termos no integrando. O termo
dependente da indução elétrica certamente se anula já que a indução está
distribuída na área que tende a zero. O termo dependente da densidade de
corrente de condução não necessariamente é nulo. Se a corrente se concentra
r
)
exatamente na interface, então no limite com Δz → 0 , j Δz ⋅ t 2 → k , onde k é a
)
densidade linear de corrente na interface na direção de t2 . Esta integral, então,
resulta em:
(A.150)
r
⎛ r ∂d ⎞ )
⎟ ⋅ t 2 Δz dL = k L
Lim ∫∫ ⎜⎜ j +
Δz → 0 S
∂t ⎟⎠
⎝
Assim, a condição de continuidade para o campo magnético tangencial é dada
por:
172
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(A.151)
h 2 t − h1t = k
)
Uma vez que k é a densidade linear de corrente perpendicular à t1 , podemos
concluir que uma corrente superficial na interface afeta a continuidade apenas da
componente de campo magnético paralela à interface mas perpendicular ao vetor
r
k . Na ausência de correntes superficiais, o campo magnético tangencial é
contínuo:
(A.152)
h 2 t = h1t
Se a interface envolve dois materiais com diferentes permeabilidades magnéticas,
a indução magnética tangencial será descontínua:
(A.153)
b 2 t b1t
=
μ 2 μ1
Observe que se μ 2 >> μ1 , temos b1t << b 2 t . Uma vez que b1n = b 2n , concluímos
que, em interfaces com materiais de alta permeabilidade magnética, a indução e o
campo
magnético
no
meio
de
baixa
permeabilidade
tem
orientação
aproximadamente perpendicular à interface.
Quanto aos potenciais, pode-se mostrar facilmente que ambos, o potencial elétrico
e o potencial magnético, são contínuos através de uma interface. Consideremos,
por exemplo, a identidade (A.58) (Apêndice 2.1) aplicada ao caminho mostrado na
Figura 3.31b.
(A.154)
r
)
∫ ϕ dL = − ∫∫ ∇ϕ × nds
C
S
Se Δz → 0 , a integral de superfície se anula, enquanto a integral de linha resulta
em (ϕ 2 − ϕ1 )L = 0 , ou seja:
(A.155)
ϕ 2 = ϕ1
De modo análogo, consideremos a circulação do potencial magnético ao longo do
mesmo caminho nessa figura:
r )
r r
r )
(A.156)
∫ a ⋅ dL = ∫∫ ∇ × a ⋅ nds = ∫∫ b ⋅ nds
C
S
S
Novamente, se Δz → 0 , a integral de superfície se anula, enquanto a integral de
r
r )
linha resulta em (a 2 − a 1 ) ⋅ t1 L = 0 , ou seja:
173
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(A.157)
a t 2 = a t1
Para a componente normal, podemos calcular o fluxo do potencial magnético
através da superfície S definida na Figura 3.31a:
r )
r
(A.158)
∫∫ a ⋅ ndS = ∫∫∫ ∇ ⋅ a dV
S
V
Usando a condição de Lorentz (3.62) para substituir o divergente do potencial
magnético, teremos:
(A.159)
r )
∂ϕ
dV
∫∫ a ⋅ ndS = − ∫∫∫ με
∂t
S
V
Mas, se Δz → 0 , a integral de volume se anula, e a integral de superfície resulta
r
r )
em (a 2 − a1 )⋅ nA = 0 , ou seja:
(A.160)
a n2 = a n1
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Exercícios Propostos
1) Calcule o potencial elétrico para os campos definidos pelas seguintes
expressões:
r
)
a) e = E o z
v
q r
(r é a coordenada radial no sistema esférico)
4 πε o r 3
r
r
λ s
c) e =
(s é a coordenada radial no sistema cilíndrico)
2 πεo s 2
r
b) e =
⎡⎛
r
a3
⎜
d) e = E o ⎢ 1 + 2
⎢⎣⎜⎝
r3
3⎞
⎞
⎛
)⎤
⎟ cos θ r) − ⎜1 − a ⎟senθ θ⎥
⎟
⎜
⎥⎦
r 3 ⎟⎠
⎠
⎝
com a condição de contorno
ϕ( r = a , θ ) = 0 .
2) Definimos a capacitância por unidade de comprimento de um cabo coaxial ou
linha paralela como o quociente entre a densidade linear de carga nos condutores
e a diferença de potencial entre eles C = λ
ΔV
.
a) Usando o método das imagens, calcule a capacitância de uma linha paralela
com condutores cilíndricos de raio ‘a’ separados pela distância ‘d’.
a) Usando a equação de Laplace, calcule a capacitância de um cabo coaxial com
condutores cilíndricos de raio interno ‘a’ e raio externo ‘b’.
3) Calcule o potencial elétrico em todo o espaço e a densidade de carga nas
superfícies condutoras nos sistemas da Figura Exercício 3.
4) Calcule o potencial e o campo elétrico nos sistemas da Figura Exercício 4.
Dentro da cavidade retangular. Dentro e fora da cavidade semi-esférica e dentro e
fora da cavidade cilíndrica.
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5) Calcule o potencial magnético para uma linha paralela como aquela mostrada
na Figura 3.1 considerando que correntes de mesmo valor circulam em sentidos
opostos nos fios.
Figura Exercício 3
b
q
b
q
-q
d
b
Figura Exercício 4
0
c 0
Vo
Vo
a
0
0
0
a
b
Vo
a
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6) Considere uma linha de transmissão consistindo de duas placas condutoras
paralelas de largura ‘w’ e comprimento infinito. O espaçamento entre as placas é
‘d’. Considere que uma corrente io circula pelas placas, com densidade linear
r i )
uniforme ( k = o z onde z é a direção do comprimento das placas). A corrente em
w
uma placa está em sentido oposto ao da outra placa. Considerando que d << w ,
calcule a distribuição de potencial magnético nessa linha.
7) Calcule a energia magnética armazenada por unidade de comprimento da linha
de placas paralelas descrita no exercício anterior.
8) Considere um capacitor formado por duas superfícies esféricas concêntricas,
de raios ‘a’ e ‘b’, e uma diferença de potencial Vo entre elas, mantida por uma
bateria. Calcule a energia elétrica armazenada neste capacitor.
9) Usando os resultados do Exemplo 3.14 refaça o exemplo 3.18 e calcule a
energia magnética armazenada por unidade de comprimento do cabo coaxial
usando desta vez o potencial magnético.
10) Calcule a energia magnética armazenada em um solenóide longo pelo qual
circula a corrente io . Considere número de espiras total ‘N’, raio das espiras ‘a’ e
comprimento ‘L’. Considere que o diâmetro do fio condutor é muito pequeno
comparado ao raio e comprimento do solenóide. Use a aproximação de campo
magnético uniforme dentro do solenóide.
11) Um capacitor de placas paralelas é carregado por uma fonte de corrente de
valor io durante o intervalo de tempo Δt . Calcule a energia armazenada no
capacitor ao final desse intervalo, considerando que a área das placas é ‘A ‘, que o
espaçamento entre as placas é ‘d’ e que o campo é uniforme no interior do
capacitor. Calcule pelo potencial e pelo campo e compare os resultados.
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