Aula 4: O Potencial Elétrico
Curso de Física Geral III
F-328
1º semestre, 2014
F328 – 1S2014
1
Potencial elétrico
Como podemos relacionar a noção de força elétrica
com os conceitos de energia e trabalho?
Definindo a
energia potencial elétrica
(Força elétrica conservativa)
F328 – 1S2014
2
Energia potencial elétrica (U)
Analogia gravitacional
! !
U f − U i = −W = − ∫ mg . d l = mgh,
f
i
onde U é a energia potencial
associada ao campo da força
gravitacional mg.
q0
hf
hi
Note que h = h f − hi
!
!
No caso eletrostático,
! como F = q0 E
rf
! ! !
U f − U i = −W = − ∫ q0 E ( r )⋅dl = q0 Eh
!
ri
No caso de forças conservativas (como o nosso), o resultado desta
integral não depende do caminho de integração, mas apenas dos pontos
inicial e final.
F328 – 1S2014
Energia potencial elétrica (U)
! !
F (r )
z
i
q0
f
!
ds
!
rf
C
!
ri
y
Q
x
Se a força é devida a uma
distribuição finita de cargas,
!
convém tomar | ri |→ ∞ como a
configuração de referência tal que
Ui = 0
Com isto, podemos definir a
!
função energia potencial U (r ):
!
r
! !
!
U ( r ) = − ∫ q0 E ⋅ ds
∝
!
Ou seja, U (r ) é o negativo do trabalho realizado pela
força do campo elétrico sobre a partícula com carga q0
!
para trazê-la desde o infinito até r . (Unidade SI: J = Nm)
F328 – 1S2014
4
Potencial elétrico (V)
É a energia potencial por unidade de carga:
U
ΔU
V≡
ΔV ≡
q0
q0
Note que o potencial elétrico só depende do campo elétrico da
distribuição de cargas e não depende de q0 .
Unidade SI: joule/coulomb = J/C = volt (V)
Unidade de energia conveniente para cargas
elementares: 1eV = elétron-volt= 1,6 x 10-19 J
Potencial em função do campo:
!
rf
! " !
ΔV = V f − Vi = − ∫ E (r ) ⋅ dl
!
ri
Se escolhermos o !infinito como referência:
r
! " !
!
V ( r ) = − ∫ E ( r ) ⋅ dl
F328 – 1S2014
∝
Potencial elétrico
!
E!
E
V de um campo uniforme
!
rf
! " !
V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ dl
!
ri
a)
V f − Vi = − Ed
b) V f − Vi = − Ed
!
dl
!
dl
!
E
!
E
(Vi >Vf )
Vemos que o resultado não
depende do caminho da integração.
!
dl
a)
b)
!
E
Portanto, para se calcular V, pode-se
sempre escolher o caminho mais simples.
O campo elétrico aponta sempre
no sentido de potenciais decrescentes.
F328 – 1S2014
i
f
Superfícies equipotenciais
Superfícies equipotenciais
!
E
São superfícies em que todos os
pontos têm o mesmo potencial.
WI , WII , WIII e WIV = ?
!
As linhas de E são perpendiculares
às superfícies equipotenciais. Por quê?
!
E
Campo uniforme
!
E
Carga positiva
!
E
Dipolo elétrico
! !
Um deslocamento ao longo de uma equipotencial não requer trabalho E ⋅dl = 0
F328 – 1S2014
(
)
V de uma carga puntiforme
!
rf
! " !
V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ d l
!
dl
!
ri
!
1 q
E=
rˆ
2
4πε 0 r
Escolhendo Vi = 0 para r →∝ :
∝
!
!
"
V ( r ) = − ∫ E ( r ) ⋅dl = ∫ E ( r ′) dr ′ =
r
∝
∝
V (r )
r
q
=∫
dr
2
4πε0 r
r
Ou:
F328 – 1S2014
1
V (r ) =
q
4πε0 r
Carga +
Carga -
!
E
U de uma carga puntiforme
Energia potencial de uma carga q0 ao redor de q
!
dl
!
E
U q0 = ?
q0 q
U = q0V =
4πε0 r
1
F328 – 1S2014
Equivalente ao trabalho executado
por um agente externo para trazer as
duas cargas do infinito até uma
distância r.
9
V de um sistema de cargas puntiformes
-
z
+
! !
r − ri
qi
! ri
-
-
y
+
Princípio de superposição:
!
V (r ) =
∑
i
F328 – 1S2014
Potencial no ponto P
devido a cada carga qi :
qi
!
Vi (r ) =
! !
4πε 0 | r − ri |
!
r
+
+
x
P
!
Vi (r ) =
∑
i
qi
! ! (soma escalar!)
4πε 0 | r − ri |
10
Sistema de cargas puntiformes (V)
Exemplos
d = 1,3m
q1 = 12 nC
q2 = −24 nC
q3 = 31nC
q4 = 17 nC
F328 – 1S-2014
VP = ?
q = −12 ×e
−12 e
VC =
4πε 0 R
! !
EC = 0
11
U de um sistema de cargas puntiformes
U é o trabalho executado por um agente
externo para trazer todas as cargas do infinito até a
configuração desejada. Dada a energia potencial
elétrica entre cada par de cargas
qi q j
U ij =
! ! , temos que:
4πε 0 | ri − rj |
qi q j
1
U= ∑
2 i , j 4πε 0 rij
Fator
1
2
i≠ j
: Contar só uma vez cada par de carga,
isto é: Uij = Uji
Se U > 0: cargas livres (trabalho para uni-las);
Se U < 0: cargas ligadas (trabalho para separá-las)
F328 – 1S-2014
q1 = q
q2 = −4q
q3 = 2q
− 10 q 2
W=
4πε 0 d
Sistema de cargas puntiformes (U)
Dado que energia potencial elétrica entre cada par de cargas U ij
é dada por:
qi q j
U ij =
! ! ,
4πε 0 | ri − rj |
temos que a energia do sistema de cargas é:
⎡ 1
qi q j 1
qj ⎤ 1
1
!
U= ∑
= ∑qi ⎢
⎥ = ∑ qi V ( ri ) ,
∑
2 i , j 4πε 0 rij 2 i ⎢⎣ 4πε 0 j ≠i rij ⎥⎦ 2 i
i≠ j
!
onde V ( ri ) é o potencial na posição da carga i.
A generalização para uma distribuição contínua de cargas com
densidade ρ ( r ′) é:
1
U = ∫ ρ ( r ′ )V ( r ′ ) dv′
2
F328 – 1S-2014
Dipolo elétrico (r >> d)
!
!
V (r ) = ∑Vi (r )
i
qi
=∑
! !
i 4πε 0 | r − ri |
=
q
4πε 0 r( + )
r >> d ⇒
−
q
4πε 0 r( − )
r( − ) − r( + ) ≈ d cos θ
r( − ) r( + ) ≈ r 2
! !
!
p cosθ
p⋅r
V (r ) =
=
2
3
4πε 0 r
4πε 0 r
F328 – 1S2014
!
p
Momento de
! dipolo
elétrico ( p = qd )
14
Distribuição contínua finita de cargas
z
!
dq(r ′)
! !
r − r′
P
!
r
!
r′
! !
dV (r , r ′)
y
!
1 dq(r ′)
!
V (r ) =
! !
4πε 0 | r − r ′ |
(V , S ou L )
∫
x
F328 – 1S2014
•  V = 0 no infinito
•  Válido somente para distribuição finita de cargas
15
Distribuições contínuas de carga
Potencial de uma linha finita de carga ( dq = λ dx )
!
V (r ) =
L
V=
1 dq
∫
4πε0 r
(V , S ou L )
1
∫ 4πε
0
0
λdx
x2 + d 2
⎡ L + L2 + d 2 ⎤
λ
V=
ln ⎢
⎥
4πε 0 ⎢⎣
d
⎥⎦
F328 – 1S2014
d
L
Distribuições contínuas de carga
Potencial de um anel e de um disco carregados
a) anel (raio a e carga q)
1
dV ( P ) =
4πε 0
dq
1
q
V ( x) =
4πε 0 a 2 + x 2
a2 + x2
b) disco (raio a e densidade σ )
dV ( P ) =
1
4πε0 r + x |
V ( x) =
F328 – 1S2014
dq
2
1
4πε 0
2
a
∫
0
; dq = σ 2π r dr
σ 2π rdr
r 2 + x2
σ
V ( x) =
( x 2 + a 2 − | x |)
2ε 0
!
Campo E a partir do potencial V
Trabalho sobre q0 ao se deslocar entre duas equipotenciais:
! !
dW = − q0 dV = q0 E .ds = q0 E cosθ ds
dV
E cos θ = −
ds
!
Como E cos
! θ é a componente de E
na direção de ds :
!
∂V
Es = −
= −∇V ⋅ sˆ
∂s
!
Isto é, a componente de E em qualquer
direção é o negativo da taxa de variação do
potencial com a distância naquela direção
( derivada direcional) .
Generalizando:
F328 – 1S2014
!
!
E = −∇ V
!
E
!
ds
duas superfícies
equipotenciais
Dedução alternativa
!
rf
! " !
V f − Vi = − ∫ E ( r ) . dl
!
ri
! !
dV = − E .dl
(1)
Sejam,
em coordenadas cartesianas:
!
E = E xiˆ + E y ˆj + E z kˆ
V = V ( x, y , z )
Então:
! !
E .dl = E x dx + E y dy + E z dz
∂V
∂V
∂V
dV =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Por (1):
∂V
∂V
∂V
Ex = −
; Ey = −
; Ez = −
∂x
∂y
∂z
!
∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ
Como
j+
k
∇V = i +
∂x
∂y
∂z
F328 – 1S2014
!
!
E = −∇ V
!
O campo E a partir de V
Campo de um disco uniformemente carregado
Vimos:
!
!
E = −∇ V
σ
V ( x )=
( x 2 +a 2 − |x|)
2ε 0
Neste caso, V = V ( x ) somente. Então:
dV
Ex = −
dx
Derivando V , obtemos:
!
σ ⎛x
x
⎜ −
E ( x) =
2ε 0 ⎜⎝ |x|
x 2 +a 2
F328 – 1S2014
⎞
⎟ xˆ (resultado já conhecido!)
⎟
⎠
!
E
Potencial de um condutor isolado
Os pontos dentro e na superfície de um condutor qualquer estão
ao mesmo potencial?
! !
Sim, pois E = 0 dentro do condutor
Consequências para um condutor isolado, carregado ou não :
•  O volume é equipotencial
•  A superfície é uma equipotencial
! !
E=0
F328 – 1S2014
21
Um condutor carregado isolado
Sendo i e f dois pontos dentro de um condutor qualquer:
! !
! ! !
V f −Vi = − ∫ E ( r )⋅dr = 0 , pois E = 0 dentro do
f
condutor.
Condutor !esférico (carga Q, raio R)
E
! !
E =0
f
i
i
!
rf
! ! !
V f − Vi = − E (r ) ⋅ dr
∫
!
ri
⎧ Q , r > R (fora)
⎪⎪ 4πε r
0
V (r) = ⎨
⎪ Q
, r < R (dentro)
⎪⎩ 4πε0 R
F328 – 1S2014
Note que:
∂V
Er = −
∂r
!
!
(ou E = −∇V )
Distribuição das cargas em um condutor
Excluindo-se os condutores esféricos, a carga de um condutor não se distribui
uniformemente sobre sua superfície, mas vai depender do raio de curvatura local.
Sejam duas esferas condutoras carregadas, ligadas por um fio condutor muito
longo. Como estão ao mesmo potencial V:
q1
q2
V=
=
4πε0 R 1 4πε0 R 2
⇒
q1 R1
=
(1)
q 2 R2
Agora:
σ 1 q1 / 4π R12 q1 R22 (1) R1 R22 R2
=
=
=
=
2
2
2
σ 2 q2 / 4π R2
q2 R1
R2 R1
R1
fio longo
Então, σ é inversamente proporcional ao raio de curvatura local. Em pontos
onde o condutor é mais “pontiagudo”, a densidade de cargas (e, portanto, o campo
elétrico) é maior. Este campo pode ser suficiente para ionizar o ar em volta da ponta,
tornando-o condutor e permitindo uma descarga (descarga corona).
F328 – 1S2014
Resumo
•  Potencial elétrico em um ponto:
U
V≡
q0
•  Diferença de potencial entre dois pontos:
!
rf
! " !
ΔV =V f −Vi = − ∫ E ( r )⋅dl
!
ri
•  As linhas de campo elétrico são perpendiculares às superfícies
equipotenciais e no sentido dos potenciais decrescentes
•  Cálculo do campo elétrico a partir do potencial:
!
!
E = −∇V
•  Os pontos dentro e na superfície de um condutor em equilíbrio
eletrostático estão no mesmo potencial.
F328 – 1S2014
24
Lista de exercícios do capítulo 24
Os exercícios sobre Potencial elétrico estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br).
Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328 Física Geral III
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
F328 – 1S2014
25