Resposta
Questão 1
São conhecidos os valores calóricos dos seguintes alimentos: uma fatia de pão integral,
55 kcal; um litro de leite, 550 kcal; 200 g de
manteiga, 1.400 kcal; 1 kg de queijo,
3.200 kcal; uma banana, 80 kcal.
a) Qual o valor calórico de uma refeição composta por duas fatias de pão integral, um
copo de 200 ml de leite, 10 g de manteiga, 4
fatias de queijo, de 10 g cada uma, e duas bananas?
b) Um copo de leite integral contém 248 mg
de cálcio, o que representa 31% do valor diário de cálcio recomendado. Qual é esse valor
recomendado?
Resposta
a) A refeição é composta de:
• 2 fatias de pão integral: 2 ⋅ 55 kcal = 110 kcal;
•
•
•
550 kcal
200 ml de leite: 200 ml ⋅
= 110 kcal ;
1 000 ml
1 400 kcal
= 70 kcal ;
200 g
4 fatias de queijo com 10 g cada:
10 g de manteiga: 10 g ⋅
4 ⋅ 10 g ⋅
3 200 kcal
= 128 kcal ;
1 000 g
•
2 bananas: 2 ⋅ 80 kcal = 160 kcal.
Logo o valor calórico da refeição é:
110 +110 + 70 + 128 + 160 = 578 kcal
b) O valor diário de cálcio recomendado é:
248 mg
⋅ 100% = 800 mg
31%
Questão 2
A quantia de R$ 1.280,00 deverá ser dividida
entre 3 pessoas. Quanto receberá cada uma,
se:
a) A divisão for feita em partes diretamente
proporcionais a 8, 5 e 7?
b) A divisão for feita em partes inversamente
proporcionais a 5, 2 e 10?
a) Sejam x1 , y1 e z1 as partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7, respectivamente. Como
x1 + y1 + z1 = 1 280, temos:
x1
y
z
x + y1 + z1
= 1 = 1 = 1
⇔
8
5
7
8 +5 +7
x
y
z
⇔ 1 = 1 = 1 = 64 ⇔
8
5
7
x1 = 512 reais
⇔ y1 = 320 reais
z1 = 448 reais
b) Sejam x 2 , y 2 e z 2 as partes inversamente
proporcionais a 5, 2 e 10, respectivamente. Então:
5 ⋅ x 2 = 2 ⋅ y 2 = 10 ⋅ z 2
⇔
x 2 + y 2 + z 2 = 1 280
5
⋅ x2
2
1
=
⋅ x2
⇔
2
5
1
+
⋅ x2 +
⋅ x 2 = 1 280
2
2
y2 =
⇔ z2
x2
x 2 = 320 reais
⇔ y 2 = 800 reais
z 2 = 160 reais
Questão 3
O custo de uma corrida de táxi é constituído
por um valor inicial Q0 , fixo, mais um valor
que varia proporcionalmente à distância D
percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em
uma corrida na qual foram percorridos
3,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 8,25, e
que em outra corrida, de 2,8 km, a quantia
cobrada foi de R$ 7,25.
a) Calcule o valor inicial Q0 .
b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$ 75,00 em 10 corridas, quantos
quilômetros seu carro percorreu naquele dia?
Resposta
a) Sendo C o valor da corrida e sabendo que varia proporcionalmente à distância D percorrida,
então existe uma constante k ∈ R tal que
C − Q0 = k ⋅ D ⇔ C = Q0 + k ⋅ D.
Para uma distância percorrida de 3,6 km, o custo
é R$ 8,25 e para 2,8 km é R$ 7,25. Então:
matemática 2
8,25 = Q0 + k ⋅ 3,6
7,25 = Q0 + k ⋅ 2,8
⇔
⇔
Q0 = 8,25 − 3,6 k
0,8k = 1
⇔
Q0 = 3,75
k = 1,25
b) Em 10 corridas o taxista irá arrecadar 10 vezes o
valor inicial Q0 mais o valor proporcional à distância percorrida. Logo, 10 ⋅ 3,75 + 1,25 ⋅ D = 75 ⇔
⇔ D = 30 km.
Questão 4
Sejam A, B, C e D os vértices de um quadrado cujos lados medem 10 cm cada. Suponha
que a circunferência C passe pelos pontos C e
D, que formam o lado CD do quadrado, e que
seja tangente, no ponto M, ao lado oposto AB.
a) Calcule a área do triângulo cujos vértices
são C, D e M.
b) Calcule o raio da circunferência C.
Resposta
a) Como M pertence ao lado AB, cuja distância a
CD é 10 cm, a altura do triângulo CDM relativa ao
lado CD mede 10 cm. Assim, a sua área é
CD ⋅ 10
10 ⋅ 10
=
= 50 cm 2 .
2
2
b) Consideremos a figura a seguir, que mostra o
quadrado ABCD e a circunferência C de centro O
e raio R. Observe que OM ⊥ AB pois a circunferência é tangente ao lado AB no ponto M.
Questão 5
Dois navios partiram ao mesmo tempo, de
um mesmo porto, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Trinta minutos após a partida, a distância entre os dois
navios era de 15 km e, após mais 15 minutos,
um dos navios estava 4,5 km mais longe do
porto que o outro.
a) Quais as velocidades dos dois navios, em
km/h?
b) Qual a distância de cada um dos navios até
o porto de saída, 270 minutos após a partida?
Resposta
a) Sejam v1 > v 2 as velocidades dos navios, em
1
h, os navios estão a diskm/h. Após 30 min =
2
v
v
1
1
tâncias v1 ⋅
= 1 ev2 ⋅
= 2 , em quilôme2
2
2
2
tros, do ponto de partida, respectivamente.
Como os navios trafegam em direções perpendiculares, a distância entre eles, trinta minutos após
a partida, é
⎛ v1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛v ⎞
+⎜ 2 ⎟
⎝ 2 ⎠
2
=
v12 + v 22
2
=
= 15 km ⇔ v12 + v 22 = 900.
1
Após mais 15 min =
h, ou seja, um total de
4
1
1
3
h + h = h, um dos navios está 4,5 km mais
2
4
4
3
longe do porto do que o outro. Assim, v1 ⋅
=
4
3
= v2 ⋅
+ 4,5 ⇔ v1 = v 2 + 6.
4
Logo:
v12 + v 22 = 900
v1 = v 2 + 6
⇔
No triângulo retângulo OND, ON = MN − OM =
10
= 5 cm. Aplicando o
= 10 − R, OD = R e DN =
2
teorema de Pitágoras ao triângulo OND,
R 2 = (10 − R) 2 + 5 2 ⇔
⇔ R 2 = 100 − 20R + R 2 + 25 ⇔
⇔ R = 6,25 cm.
2
⇔
(v 2 + 6) 2 + v 22 = 900
v1 = v 2 + 6
v 22 + 6v 2 − 432 = 0
⇔
⇔
v1 = 24 km/h
v 2 = 18 km/h
270
9
b) Como 270 min =
h =
h, os navios estão
60
2
9
9
respectivamente a v1 ⋅
= 24 ⋅
= 108 km e
2
2
9
9
v2 =
= 18 ⋅
= 81 km do porto de saída.
2
2
v1 = v 2 + 6
Questão 6
Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir.
matemática 3
a) Calcule o raio da circunferência que passa
pelos pontos A, B e N.
b) Calcule o comprimento do segmento NB.
Resposta
a) Seja R o raio da circunferência circunscrita ao
triângulo ABN. Aplicando a lei dos senos a esse
AB
1
triângulo,
=2 ⋅R ⇔
=2 ⋅R ⇔
1
sen 30o
2
⇔ R = 1 km.
$ ) = α. Logo m (NBA)
$
b) Seja m (NBC
= 150o − α
$
e, no triângulo ABN, m (NAB) =
= 180o − 30o − (150o − α) = α.
Aplicando a lei dos senos ao ∆ABN,
NB
= 2 ⋅ 1 ⇔ NB = 2 senα. E no triângulo resenα
NB
tângulo BNC, cosα =
⇔ NB = 2 cosα.
2
Desse modo, 2 senα = 2 cosα ⇔ tgα = 1. Como
0 < α < 90o , α = 45 o e NB = 2 sen 45 o = 2 km.
Questão 7
Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado a uma
taxa anual de 8%, com juros capitalizados
anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:
a) O capital acumulado após 2 anos.
b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior
que o dobro do capital inicial. [Se necessário,
use log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477].
Resposta
a) O capital (c) acumulado através de uma aplicação de R$ 12.000,00 a uma taxa anual de 8%,
após n anos, é dado por c = 12 000(1 + 0,08) n .
Logo o capital acumulado após 2 anos é
c = 12 000 ⋅ (1,08) 2 = R$ 13.996,80.
b) Seja n ∈ N o número mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que
o dobro do capital inicial ci ≠ 0. Assim c > 2 ci ⇔
⇔ ci (1,08) n > 2 ⋅ c i ⇔ (1,08) n > 2 ⇔
108
⇔ n ⋅ log
> log 2 ⇔
100
⎛ 22 ⋅33 ⎞
⎟⎟ > log 2 ⇔
⇔ n ⋅ log ⎜⎜
⎝ 10 2 ⎠
⇔ n ⋅ (2 ⋅ log 2 + 3 ⋅ log 3 − 2 ⋅ log 10) > log 2 ⇔
⇔ 0,033n > 0,301 ⇔ n > 9. Logo o número mínimo de anos necessários é 10.
Questão 8
A função y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 , é chamada função quadrática.
a) Encontre a função quadrática cujo gráfico
passa pelos pontos A(0, 2), B(−1, 1) e C(1, 1).
b) Dados os pontos A(x0 , y0 ), B(x1 , y1 ) e
C(x2 , y2 ), mostre que, se x0 < x1 < x2 e se os
pontos A, B e C não pertencem a uma mesma
reta, então existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C.
Resposta
a) Seja y = ax 2 + bx + c a função quadrática em
questão. Como (0; 2), (−1; 1) e (1; 1) pertencem
ao gráfico dessa função:
2 = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c
c =2
1 = a ⋅ ( −1) 2 + b ⋅ ( −1) + c ⇔ a − b + c = 1 ⇔
a + b + c =1
1 = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c
a = −1
⇔ b =0
c =2
Assim, a função quadrática cujo gráfico passa por
esses três pontos é y = −x 2 + 2 .
b) Existe uma única função quadrática
y = ax 2 + bx + c cujo gráfico passa pelos pontos
não alinhados A (x0 ; y 0 ), B (x1 ; y1 ) e C (x 2 ; y 2 )
se, e somente se, o sistema linear em a, b e c
y 0 = ax02 + bx0 + c
y1 = ax12 + bx1 + c ⇔
y 2 = ax 22 + bx 2 + c
x02 ⋅ a + x0 ⋅ b + c = y 0
⇔ x12 ⋅ a + x1 ⋅ b + c = y1
x 22 ⋅ a + x 2 ⋅ b + c = y 2
(∗)
matemática 4
é possível e determinado e a ≠ 0. Isso ocorre
quando os determinantes |A|, da matriz incompleta, e |A a |, da matriz obtida de A substituindo-se a
1ª coluna de A pelos termos independentes, são
ambos não nulos.
Temos
x02
|A| = x12
x 22
1
= − x0
x02
x0 1
1 x0
x1 1 = − 1 x1
x2 1
1 x2
1
x1
x12
1
x2
x 22
x02
x12
x 22
=
=
= −(x1 − x0 )(x 2 − x0 )(x 2 − x1 ) ≠ 0
y 0 x0 1
x0 y 0 1
e |A a| = y1 x1 1 = − x1 y1 1 ≠ 0, pois
y 2 x2 1
x2 y 2 1
os pontos A, B e C não estão alinhados.
Logo, como |A| ≠ 0 e |A a | ≠ 0, o sistema ( ∗) é pos|A a|
sível e determinado, com a =
≠ 0. Portanto
|A|
os valores de a, b e c são unicamente determinados e, desse modo, existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C.
⎛ k + n − 1⎞
+ x 2 + ... + xn = k possui ⎜
⎟ raízes inteik
⎠
⎝
⎛7 ⎞
⎛ 4 + 4 − 1⎞
ras não negativas, existem ⎜
⎟ = ⎜ ⎟ =
4
⎠
⎝4 ⎠
⎝
7 ⋅6 ⋅ 5 ⋅ 4
=
= 35 monômios.
4!
⎛4 ⎞
4 ⋅3
b) Há ⎜ ⎟ =
= 6 maneiras de escolhermos
⎝2 ⎠
2
duas dentre as quatro letras. Determinadas as
duas letras, digamos a e b, existem 3 monômios
formados por elas nas condições do problema:
a1b 3 , a2 b 2 , a3 b1 .
6 ⋅3
18
.
Portanto a probabilidade pedida é
=
35
35
Questão 10
Um número complexo z = x + iy, z ≠ 0, pode
ser escrito na forma trigonométrica:
z = |z| (cos θ + i sen θ), onde |z| =
x2 + y2 ,
cos θ = x /|z| e sen θ = y /|z|. Essa forma de
representar os números complexos não-nulos
é muito conveniente, especialmente para o
cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:
[|z|(cos θ + i sen θ)]k = |z |k (cos kθ + i sen kθ)
Questão 9
Com as letras x, y, z e w podemos formar monômios de grau k, isto é, expressões do tipo
x p y q zrw s , onde p, q, r e s são inteiros não-negativos, tais que p + q + r + s = k. Quando
um ou mais desses expoentes é igual a zero,
dizemos que o monômio é formado pelas demais letras. Por exemplo, y 3 z4 é um monômio
de grau 7 formado pelas letras y e z [nesse
caso, p = s = 0].
a) Quantos monômios de grau 4 podem ser
formados com, no máximo, 4 letras?
b) Escolhendo-se ao acaso um desses monômios do item (a), qual a probabilidade dele
ser formado por exatamente duas das 4 letras?
Resposta
a) O número de monômios de grau 4 com no
máximo 4 letras é igual ao número de soluções
da equação p + q + r + s = 4, com p, q, r e s inteiros não negativos. Logo, como a equação x1 +
que é válida para todo k ∈ Z . Use essas informações para:
a) Calcular ( 3 + i)12 .
2
2
, calcular o valor de
b) Sendo z =
+i
2
2
1 + z + z2 + z3 + . . . + z15 .
Resposta
a) Seja z = 3 + i . Então | z | = ( 3 ) 2 + 12 = 2
e, sendo θ o argumento principal de z:
3
2 ⇔θ = π
6
1
sen θ =
2
π
π⎞
⎛
Logo z = 2 ⎜cos
+ i ⋅ sen ⎟ e, utilizando a fór⎝
6
6⎠
mula de De Moivre, ( 3 + i)12 = z 12 =
cos θ =
12
⎛ ⎛
π
π ⎞⎞
= ⎜ 2 ⎜cos
+ i ⋅ sen ⎟ ⎟
⎝ ⎝
6
6 ⎠⎠
=
⎛
π⎞
π ⎞⎞
⎛
⎛
= 212 ⋅ ⎜cos ⎜12 ⋅ ⎟ + i ⋅ sen ⎜12 ⋅ ⎟ ⎟ =
⎝
⎝
⎝
6⎠
6 ⎠⎠
matemática 5
= 212 ⋅ (cos 2 π + i ⋅ sen 2 π) = 212 = 4 096.
2
2
π
π
+i
= cos
+ i ⋅ sen
2
2
4
4
Como (1; z; z 2 ; z 3 ; ...; z 15 ) é uma PG de primeiro termo a1 = 1, razão q = z e 16 termos,
⎛ q16 − 1 ⎞
⎟⎟ =
1 + z + z 2 + z 3 + ... + z 15 = a1 ⋅ ⎜⎜
⎝ q −1 ⎠
z 16 − 1
.
z −1
Pela fórmula de De Moivre,
16
π
π⎞
⎛
z 16 = ⎜cos
+ i ⋅ sen ⎟ =
⎝
⎠
4
4
π⎞
π⎞
⎛
⎛
= cos ⎜16 ⋅ ⎟ + i ⋅ sen ⎜16 ⋅ ⎟ =
⎝
⎝
4⎠
4⎠
= cos 4 π + i ⋅ sen 4 π = 1 e
,
A
D
10 cm
b) z =
=
1 + z + z 2 + z 3 + ... + z 15 = 0.
Questão 11
A figura a seguir apresenta um prisma reto
cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a
altura do prisma mede 10 cm.
A
5 cm
B
5 cm
C
Como o plano passa pelos pontos A, C e A’ e
CD // AA’, D pertence ao plano (ACA’). Sendo o
prisma reto, esse plano determina no prisma a
secção retangular ACDA’.
Já que cada ângulo interno de um hexágono re(6 − 2) ⋅ 180o
gular vale
= 120o , pela lei dos
6
cossenos no ∆ABC, temos
(AC) 2 = 5 2 + 5 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ cos 120o ⇔
⇔ (AC) 2 = 3 ⋅ 5 2 ⇔ AC = 5 3 cm.
Desse modo a área da secção AA’CD é
5 3 ⋅ 10 = 50 3 cm 2 .
Questão 12
Para resolver equações do tipo x4 + ax 3 +
+ bx2 + ax + 1 = 0, podemos proceder do se-
10cm
,
A
A
5cm
C
guinte modo: como x = 0 não é uma raiz, divide-se a equação por x2 e, após fazer a mudan1
, resolve-se a equaça de variáveis u = x +
x
ção obtida [na variável u]. Observe que, se
x ∈ R e x > 0, então u ≥ 2.
a) Ache as 4 raízes da equação x4 − 3 x 3 +
+ 4 x2 − 3 x + 1 = 0.
a) Calcule o volume do prisma.
b) Encontre a área da secção desse prisma
pelo plano que passa pelos pontos A, C e A’.
b) Encontre os valores de b ∈ R para os quais
a equação x4 − 3 x 3 + bx2 − 3 x + 1 = 0 tem
pelo menos uma raiz real positiva.
Resposta
Resposta
a) Como a partir do centro de um hexágono regular podemos dividi-lo em seis triângulos eqüiláteros congruentes, o volume do prisma é:
52 3
⋅ 10 = 375 3 cm 3
4
b) Consideremos a figura a seguir:
6⋅
1
1
, então u 2 − 2 = x 2 + 2 .
x
x
Dividindo a equação x 4 − 3x 3 + 4x 2 − 3x + 1 = 0
por x 2 :
3
1
x 2 − 3x + 4 −
+ 2 =0 ⇔
x
x
a) Se u = x +
matemática 6
1
1
⎛
− 3 ⎜x +
⎝
x
x2
− 2 − 3u + 4 = 0
⇔ x2 +
⇔u
2
⎞
⎟ +4 =0 ⇔
⎠
2
⇔ u − 3u + 2 = 0 ⇔
1
1±i 3
x +
=1
x =
x
2
ou
⇔
ou
⇔ u = 1 ou u = 2 ⇔
1
x =1
x +
=2
x
⎧1 + i 3 1 − i 3 ⎫
V=⎨
,
,1⎬ (1 é raiz dupla)
2
2
⎩
⎭
b) Seja t = u − 2. Vamos demonstrar inicialmente
que x ∈ R e x > 0 ⇔ u ≥ 2 ⇔ t ≥ 0:
1
u =x +
⇔ x 2 − ux + 1 = 0 ( ∗)
x
c
Como P =
= 1 > 0, existe x ∈ R e x > 0 satisfaa
b
S = − >0
zendo ( ∗) se, e somente se,
⇔
a
∆ ≥0
⇔
u >0
u2 − 4 ≥ 0
⇔ u ≥ 2 ⇔ t ≥ 0.
Considerando agora a equação dada:
x 4 − 3x 3 + bx 2 − 3x + 1 = 0 ⇔
1
1⎞
⎛
⇔ x 2 + 2 − 3 ⎜x + ⎟ + b = 0 ⇔
⎝
x⎠
x
⇔ u 2 − 2 − 3u + b = 0 ⇔
⇔ ( u − 2) 2 + ( u − 2) + b − 4 = 0 ⇔
⇔ t2 + t + b − 4 = 0
Assim, a equação dada tem pelo menos uma raiz
real positiva se, e somente se, a equação
t 2 + t + b − 4 = 0 tem pelo menos uma raiz não
negativa. Como a soma das raízes dessa equação do 2º grau é −1, basta que o produto seja menor ou igual a zero, ou seja, b − 4 ≤ 0 ⇔ b ≤ 4.